2025年中考数学复习分类汇编：圆的有关位置关系（36题）（附参考解析）

专题圆的有关位置关系（36题）

一、单选题

（2024・福建・中考真题）

1.如图，己知点A,B在。。上，ZAOB=12。，直线MN与。O相切，切点为C,且C为A8

（2024・上海・中考真题）

2.在VA3C中，AC=3,3C=4,AB=5,点尸在VA3C内，分别以A、B、P为圆心画，

圆A半径为1,圆B半径为2,圆尸半径为3,圆A与圆尸内切，圆P与圆8的关系是（）

A.内含B.相交C.外切D.相离

（2024•河南•中考真题）

3.如图，。。是边长为4G的等边三角形ABC的外接圆，点。是BC的中点，连接80,

CD.以点。为圆心，3D的长为半径在。。内画弧，则阴影部分的面积为（）

16K

C.-----D.16TI

3

（2024.四川泸州・中考真题）

4.如图，EA,即是。。的切线，切点为A,D,点B,。在。。上，若NB4E+4CD=236。,

则N£=()

E

A

A.56°B.60°C.68°D.70°

二、填空题

（2024•浙江・中考真题）

5.如图，48是。。的直径，AC与。O相切，A为切点，连接BC.已知NACB=50°,则N3

的度数为________

（2024•内蒙古包头•中考真题）

6.如图，四边形ABCD是0。的内接四边形，点。在四边形ABCD内部，过点C作0。的

切线交43的延长线于点P,连接若NAO3=140。，ZBCP=35。，则NADC的度数

为.

（2024・天津•中考真题）

7.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A,F,G均在格点上.

（1）线段AG的长为；

（2）点E在水平网格线上，过点A,E,尸作圆，经过圆与水平网格线的交点作切线，分

别与AE,AF的延长线相交于点3,C,VABC中，点时在边BC上，点N在边43上，点

P在边AC上.请用不刻序的直尺，在如图所示的网格中，画出点M,N,P,使△MNP的

周长最短，并简要说明点M,N,P的位置是如何找到的（不要求证明）.

（2024•江苏扬州•中考真题）

8.如图，已知两条平行线乙、/点A是4上的定点，于点B，点C、。分别是6、

4上的动点，且满足AC=3。，连接CD交线段A3于点E,BH工CD于点H,则当NA4H

最大时，smZBAH的值为

9.如图，的圆心为“（4,0）,半径为2,P是直线、=尤+4上的一个动点，过点尸作。〃

的切线，切点为。，则PQ的最小值为

（2024.山东烟台・中考真题）

10.如图，在DABCD中，ZC=120°,AB=8,BC=10.E为边CO的中点，尸为边AD上

的一动点，将ADEF沿族翻折得AZ/EF，连接AD',3D,则△ABD面积的最小值为

三、解答题

（2024.广东.中考真题）

11.如图，在VABC中，ZC=90°.

（1）实践与操作：用尺规作图法作ZA的平分线AD交2C于点Z）；（保留作图痕迹，不要求写

作法）

（2）应用与证明：在（1）的条件下，以点。为圆心，0c长为半径作。。.求证：A3与0。

相切.

（2024•内蒙古赤峰.中考真题）

12.如图，VA3C中，NACB=90。，AC=BC,经过8,C两点，与斜边A3交于点E,

连接C。并延长交AB于点交。。于点。，过点E作所〃CD,交AC于点况

⑴求证：是。。的切线；

Q）若BM=4五,tanZBCD=,求OAf的长.

（2024.四川内江・中考真题）

13.如图，是。。的直径，C是go的中点，过点C作AD的垂线，垂足为点E.

(1)求证：AACES^ABC；

⑵求证：CE是0。的切线；

(3)若AD=2CE,OA=血,求阴影部分的面积.

(2024•江苏盐城•中考真题)

14.如图，点C在以力B为直径的0。上，过点C作0。的切线/,过点A作垂足

为D,连接AC、BC.

(1)求证：△ABCsaACD；

(2)若AC=5,CD=4,求。。的半径.

(2024・四川凉山•中考真题)

15.如图，A3是。。的直径，点。在。。上，AE＞平分NBAC交。。于点。，过点。的直

线DE工AC,交AC的延长线于点E,交的延长线于点尸.

(1)求证：是。。的切线；

(2)连接E。并延长，分别交。。于M,N两点，交AD于点G,若。。的半径为2,2尸=30。,

求GM-GN的值.

(2024•山东烟台・中考真题)

16.如图，A3是。。的直径，VABC内接于。O,点/为VABC的内心，连接C/并延长交

。于点。，E是BC上任意一点，连接AD,BD,BE,CE.

⑴若NABC=25。，求的度数；

(2)找出图中所有与W相等的线段，并证明；

⑶若C/=2应，DI*应,求VABC的周长.

(2024.甘肃.中考真题)

17.如图，A3是。。的直径，BC=BD，点E在的延长线上，S.ZADC=ZAEB.

⑴求证：3E是0。的切线；

(2)当。。的半径为2,3c=3时，求tan/AEB的值.

(2024•山东威海・中考真题)

18.如图，己知A3是。。的直径，点C,。在。。上，且30=8.点E是线段A3延长线

上一点，连接EC并延长交射线AD于点F.NFEG的平分线EH交射线AC于点H,/H=45°.

(2)若BE=2,CE=4,求谡的长.

(2024・陕西・中考真题)

19.如图，直线/与。。相切于点A,A3是。O的直径，点C,。在/上，且位于点A两侧,

连接BC,BD,分别与。。交于点E,F,连接EF,AF.

B

⑴求证：NBAF=NCDB；

⑵若。。的半径厂=6,AD=9,AC=12,求£尸的长.

(2024・湖北•中考真题)

20.Rt^ABC中，ZACB=90°,点。在AC上，以OC为半径的圆交A3于点£),交AC于

点E.且=

(2)连接08交。。于点/，若4。=百,4石=1,求弧CP的长.

(2024.贵州.中考真题)

21.如图，48为半圆。的直径，点P在半圆上，点P在4B的延长线上，PC与半圆相切于

点、C,与O厂的延长线相交于点。，AC与OP相交于点E,DC=DE.

(1)写出图中一个与NOEC相等的角：；

⑵求证：OD±AB；

(3)若Q4=2OE,DF=2,求尸8的长.

(2024.青海・中考真题)

22.如图，直线A3经过点C,且OA=O3,CA=CB.

（1）求证：直线AB是。。的切线；

⑵若圆的半径为4,ZB=30°,求阴影部分的面积.

（2024.天津•中考真题）

23.已知VAO3中，入42。=30。,43为。。的弦，直线MN与。。相切于点C.

（。如图①，若AB〃MN,直径CE与A3相交于点。，求NAOB和/3CE的大小；

⑵如图②,若OB//MN,CGLAB,垂足为G,CG与OB相交于点F,OA=3,求线段OF的长.

（2024・四川乐山•中考真题）

24.如图，。。是VABC的外接圆，A3为直径，过点C作。。的切线C。交斜延长线于点

D,点、E为CB上一点,MAC=CE.

（1）求证：DC//AE；

（2）若EF垂直平分08,D4=3,求阴影部分的面积.

（2024•江苏苏州・中考真题）

25.如图，VABC中，AB=4日。为中点，NBAC=/BCD,cosZADC=^-,QO

是AACD的外接圆.

（1）求BC的长;

⑵求。。的半径.

（2024.甘肃临夏・中考真题）

26.如图，直线/与。。相切于点。，A3为。。的直径，过点A作A£_L/于点E,延长A3

⑵如果BC=1,DC=3,求。。的半径.

（2024・广西・中考真题）

27.如图，已知。。是VABC的外接圆，AB=AC.点。，E分别是BC,AC的中点，连

接。E并延长至点R使DE=EF,连接AF.

⑴求证：四边形尸是平行四边形；

⑵求证：AF与0。相切；

3

（3）若tan/BAC=—,3c=12,求。。的半径.

4

（2024•黑龙江齐齐哈尔•中考真题）

28.如图，VABC内接于。。，A3为。。的直径，CDLAB于点。，将△CDB沿BC所在

的直线翻折，得到△<%»,点。的对应点为E,延长EC交54的延长线于点E

⑴求证：CF是。。的切线;

(2)若sinNCFB=，Z,AB=8,求图中阴影部分的面积.

2

(2024•湖北武汉•中考真题)

29.如图，VABC为等腰三角形，。是底边3C的中点，腰AC与半圆。相切于点D,底边BC

与半圆。交于E,歹两点.

⑴求证：A3与半圆。相切；

(2)连接。4.若CD=4,CF=2,求sin/OAC的值.

(2024•北京・中考真题)

30.如图，A3是。。的直径，点C,。在。。上，OD平分/AOC.

⑴求证：OD//BC；

(2)延长DO交。。于点E,连接CE交OB于点尸，过点B作。。的切线交OE的延长线于点

2若WOF=5PE=1,求。。半径的长•

BF6

(2024.湖南•中考真题)

31.【问题背景】

已知点A是半径为r的0。上的定点，连接。4,将线段绕点。按逆时针方向旋转

0(0。＜&＜90。)得到。£,连接AE,过点A作。O的切线/,在直线/上取点C,使得/CAE

为锐角.

【初步感知】

【问题探究】

(2)以线段AC为对角线作矩形使得边相＞过点E,连接CE,对角线AC,30相

交于点F.

①如图2,当AC=2r时，求证：无论。在给定的范围内如何变化,BC=CD+ED总成立:

二图2

4CF7AR

②如图3,当AC=?r,法=：时，请补全图形，并求tana及啜-的值.

3OE3BC

;

图3

(2024.黑龙江绥化•中考真题)

32.如图1,。是正方形A3CD对角线上一点，以。为圆心，OC长为半径的。。与4D相切

于点E,与AC相交于点尸.

图2

⑵若正方形ABCD的边长为0+1，求。。的半径.

(3)如图2,在(2)的条件下，若点M是半径OC上的一个动点，过点M作MVLOC交CE

于点N.当C0:FM=1:4时，求CN的长.

(2024.北京・中考真题)

33.在平面直角坐标系xQv中，。。的半径为1,对于0。的弦和不在直线A3上的点C,

给出如下定义：若点C关于直线的对称点C在。。上或其内部，且/ACB=a,则称点C

是弦A3的“a可及点

⑴如图，点A(0,l),3(1,0).

①在点G(2,0),C2(l,2),c3G,o］中，点是弦A3的“a可及点”，其中。=

O.

②若点。是弦A3的“90。可及点”，则点。的横坐标的最大值为；

(2)已知尸是直线>=瓜-班上一点，且存在。。的弦MN,使得点尸是弦MN的“60。可及

点记点尸的横坐标为/,直接写出/的取值范围.

（2024•广东广州•中考真题）

34.如图，在菱形ABCD中，NC=120。.点E在射线上运动（不与点8,点C重合）,

△AEB关于AE的轴对称图形为4AEF.

（1）当N54F=30。时，试判断线段AF和线段AD的数量和位置关系，并说明理由;

（2）若AB=6+6石，。。为的外接圆，设。。的半径为「

①求『的取值范围；

②连接ED,直线FD能否与。。相切？如果能，求郎的长度；如果不能，请说明理由.

（2024・云南・中考真题）

35.如图，是0。的直径，点。、尸是0。上异于A、3的点.点C在。。外，CA^CD,

延长所与C4的延长线交于点点N在SA的延长线上，NAMN=NABM,

=点//在直径AB上，ZAHD=90。，点E是线段。月的中点.

⑴求NA/中的度数；

⑵求证：直线G0与相切：

（3）看一看，想一想，证一证：

以下与线段CE、线段£8、线段CB有关的三个结论：CE+EB<CB,CE+EB=CB,

CE+£B>CB,你认为哪个正确？请说明理由.

（2024•河北・中考真题）

36.已知。。的半径为3,弦MN=2小,VA3C中,Z.ABC=90°,AB=3,BC=3s/2.在平

面上，先将VABC和。。按图1位置摆放（点B与点N重合，点A在。。上，点C在。。内）,

随后移动VA3C,使点8在弦MN上移动，点A始终在。。上随之移动，设BN=x.

(2)当。V力WN时，如图2,求点B到Q4的距离，并求此时x的值;

(3)设点0到BC的距离为d.

①当点A在劣弧MN上，且过点A的切线与AC垂直时，求d的值;

②直接写出d的最小值.

参考答案:

1.A

【分析】本题考查了切线的性质，三角形内角和以及等腰三角形的性质，根据C为亳的中

点，三角形内角和可求出/。。4=；义(180。-36。)=72。，再根据切线的性质即可求解.

【详解】VZAOB=72°,C为AB的中点，

ZAOC=36°

OA^OC

Z0C4=1x(180°-36°)=72°

:直线MN与。。相切，

二ZOCM=90°,

ZACM=ZOCM-ZOCA=18°

故选：A.

2.B

【分析】本题考查圆的位置关系，涉及勾股定理，根据题意，作出图形，数形结合，即可得

到答案，熟记圆的位置关系是解决问题的关键.

【详解】解：,•・圆A半径为1,圆尸半径为3,圆A与圆尸内切，

二圆A含在圆尸内，即上4=3-1=2,

.•.P在以A为圆心、2为半径的圆与VABC边相交形成的弧上运动，如图所示：

当到尸'位置时，圆尸与圆B圆心距离尸8最大，为

正+不=后，

V17<3+2=5,

圆产与圆B相交,

故选：B.

3.C

【分析】过D作DE，3c于E,利用圆内接四边形的性质，等边三角形的性质求出

N3DC=120。，利用弧、弦的关系证明BO=CD,利用三线合一性质求出,

NBDE=gNBDC=60。,在中，利用正弦定义求出8。，最后利用扇形面积公式求

解即可.

【详解】解：过。作DEL3c于E,

D

V。。是边长为4后的等边三角形ABC的外接圆,

5C=4A/3-ZA=60°,ZB£>C+ZA=180°,

ZBDC=120°,

:点。是8c的中点,

BD=CD，

：.BD=CD,

：.BE=-BC=2^/3,NBDE=LNBDC=60°,

22

BD=———=2也=4,

sinZBDEsin60°

.01207r-4216兀

阴影=F"=亍’

故选：c.

【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，扇形面

积公式，解直角三角形等知识，灵活应用以上知识是解题的关键.

4.C

【分析】本题考查了圆的内接四边形的性质，切线长定理，等腰三角形的性质等知识点，正

确作辅助线是解题关键.

根据圆的内接四边形的性质得ZBAD+ZBCD=180°,由NBAE+/BCD=2360得

ZEAD=56°,由切线长定理得E4=£D,即可求得结果.

【详解】解：如图，连接AD,

四边形ABC3是。。的内接四边形，

ZBAD+ZSCD=180°,

•/NBAE+/BCD=236。,

：.ZBAE+ZBCD-(ABAD+ABCD)=236°-180°,

即/BAE-/BAD=56°,

/.NEW=56。，

VEA,ED是。。的切线，根据切线长定理得，

,EA=ED,

：.ZEAD=ZEDA=56°,

：.ZE=180°-ZEAD-NEDA=180°-56°-56°=68°.

故选：C.

5.40°##40度

【分析】本题考查切线的性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键.

【详解】解：：AC与O。相切，

ZBAC=90°,

又•:ZACB=50°,

：.NB=90°-ZC=90°-50°=40°,

故答案为：40°.

6.1050##105度

【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质等知识，连接OC,

利用等边对等角得出NQ4B=NO54=20。，ZOCB^ZOBC,利用切线的性质可求出

ZOBC=ZOCB=55°,然后利用圆内接四边形的性质求解即可.

【详解】解：连接。C,

ZOAB=ZOBA=1(180°-ZAOB)=20°,NOCB=NOBC,

:CP是切线，

NOCP=90°,即ZOCB+Z.BCP=90°,

•.*ZBCP=35°,

ZOBC=ZOCB=55°,

：.ZABC=ZABO+ZOBC=75°,

:四边形ABCD是。。的内接四边形，

，ZADC=180°-ZABC=105°,

故答案为：105。.

7.&图见解析，说明见解析

【分析】此题考查了勾股定理、切线的性质等知识，根据题意正确作图是解题的关键.

(1)利用勾股定理即可求解；

(2)作点M关于AB、AC的对称点Al1、M2,连接加叫、M,M2,分别与AB、AC相交

于点E、P,△ACVP的周长等于加1加2的长，等腰三角形的腰长为&M，当A”的

值最小时，叫加2的值最小，此时〃是切点，由此作图即可.

【详解】(1)由勾股定理可知，AG=EF=0，

故答案为：42

(2)如图，根据题意，切点为M；连接VE并延长，与网格线相交于点/门取圆与网格

线的交点。和格点〃，连接。”并延长，与网格线相交于点〃2；连接得知2,分别与AB，

AC相交于点N,P,则点M,N,P即为所求.

【分析】证明AACE经A3DE(ASA),得出BE=AE=；A2,根据_LCD,得出Z.BHE=90°,

说明点”在以BE为直径的圆上运动，取线段8E的中点。，以点。为圆心，08为半径画圆，

则点//在。。上运动，说明当A”与。。相切时NA4H最大，得出OHLAH,根据

AO=AE+OE=3OE,禾!］用$也/及出=殁=匹=工，即可求出结果.

AO3OE3

【详解】解：・・,两条平行线4、6,点A是4上的定点，ABL/2于点8

・••点5为定点，A5的长度为定值，

•・・lx//l2,

：・ZACE=/BDE,/CAE=/DBE,

;AC=BD,

：.△ACE^ABZ)E(ASA),

BE=AE=-AB

2f

,:BHLCD,

：.NBHE=90。,

・••点H在以跖为直径的圆上运动，

如图，取线段班的中点。，以点。为圆心，05为半径画圆，

BD

则点H在OO上运动，

・•・当AH与0。相切时ZBAH最大,

OH工AH,

9：AE=BE=2OE,

：.AO=AE+OE=3OE,

•：OH=OE,

..加口_°H_OE_1

AO3OE3

故答案为：J.

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，切线的性

质，解直角三角形等知识点，解题的关键是确定点”的运动轨迹.

9.2币

【分析】记直线y=x+4与X,y轴分别交于点A,K,连接QM，PM,KM■由直线解析式

可求得点A、K的坐标，从而得△OAK,△OKM均是等腰直角三角形，由相切及勾股定理

得：PQ=^PM--QM-,由QM=2,则当口欣最小时，尸。最小，点P与点K重合，此时

最小值为KM,由勾股定理求得的最小值，从而求得结果.

【详解】解：记直线>=尤+4与x,y轴分别交于点A,K,连接PM,KM,

解得：x=~4,

即K(0,4),A(T,0)；

而M(4,0),

OA=OK=OM=4,

.♦.△OAK,ZXOKM均是等腰直角三角形,

ZAKO=ZMKO=45°,

：.ZAKM=90°,

・・・QP与O"相切，

・・.ZPQM=90°f

・•・PQ=yjPM2-QM2,

•.・QM=2,

当PQ最小时即PM最小，

•••当PM_LAK时，取得最小值，

即点尸与点K重合，此时最小值为KM,

在RtAOKM中，由勾股定理得：KM=y/OM2+OK2=4^>

PQ=J32-4=277,

；.PQ最小值为2近.

【点睛】本题考查了圆的切线的性质，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点问题，垂线段最

短，正确添加辅助线是解题的关键.

10.20V3-16##-16+20A/3

【分析】根据平行四边形的性质得到CD=AB=8,AB//CD,ZABC=60°,由折叠性质

得到£0'=止=4,进而得到点视在以E为圆心，4为半径的圆上运动，如图，过E作

交AB延长线于M,交圆E于以，此时力到边A3的距离最短，最小值为DM的

长，即此时面积的最小，过C作于N,根据平行线间的距离处处相等得到

EM=CN,故只需利用锐角三角函数求得CN=56即可求解.

【详解】解：：在DABCD中，ZBCZ)=120°,AB=8,

CD=AB=8,AB//CD,则ZABC=180。—/BCD=60。，

为边CD的中点，

/.DE=CE=-CD=4,

2

1/ADEF沿EF翻折得AD'EB，

:.ED=DE=4,

...点加在以E为圆心，4为半径的圆上运动，如图，过E作交A3延长线于M,

交圆E于力，此时视到边的距离最短，最小值为DM的长，即△"£>'面积的最小，

过。作CN_LAB于N,

・・・AB//CD,

:・EM=CN,

在中，BC=10,ZCBN=60°,

，CN=BC-sm600=10x—=5y/3,

2

D'M=ME-ED'=5^-4,

△A5D面积的最小值为:x8x34一4)=20』一16,

故答案为：20后-16.

【点睛】本题考查平行四边形的性质、折叠性质、圆的有关性质以及直线与圆的位置关系、

锐角三角函数等知识，综合性强的填空压轴题，得到点M的运动路线是解答的关键.

11.⑴见解析

(2)证明见解析

【分析】本题考查了尺规作角平分线，角平分线的性质定理，切线的判定等知识.熟练上述

知识是解题的关键.

(1)利用尺规作角平分线的方法解答即可；

(2)如图2,作DE2AB于E,由角平分线的性质定理可得OE=OC,由DE是半径，

DE±AB,可证A3与0。相切.

【详解】(1)解：如图1,AD即为所作；

图1

(2)证明：如图2,作DE工AB于E,

图2

：AD是NC4D的平分线，DCLAC,DE±AB,

：.DE=DC,

是半径，DE,AB,

A3与。。相切.

12.(1)见解析

Q)OM=亚

【分析】(1)连接OE,延长EO,交。。于点尸，连接尸222根据直径所对的圆周角是直

角求出NDBE=45。，得ZDPE=45。，ZDOE=90°,由环〃CD可得NFED=NOOE=90。，

从而可证明£F是。。的切线;

(2)由tanN8CO=」得我=!，nnDB1-,口BMDMDB1

即可=；，证明ADBM^ACM,得不="

2BC2AC2AMCM~AC~2

由BM=40得AW=8&，故可得42=120,由勾股定理求出AC=3C=12,得DB=6,

由勾股定理求出05=66，C0=D0=3乔，根据黑=g求出00=2如，进一步求出

OM=OD-DM=3亚-2亚=亚

【详解】(1)证明：连接OE,延长EO,交。。于点P,连接尸如图,

AB=BC,ZACB=90°,

VABC是等腰直角三角形,

/.ZABC=45°,

是。。的直径,

.・・NCBD=90。,

・・.ZDBE=ZCBD-ZABC=90。—45。=45°,

.・./EPD=/DBE=45。,

：./DOE=2ZDPE=2x45。=90°,

・.・EF//CD,

：.ZFEO=/DOE=90°,即OE_LEF,

•・•。石是OO的半径，

・•・斯是。。的切线；

(2)解：VZDBC=90°tanZBCD=-

f2f

.DB1

••——,

BC2

・.・BC=AC,

.DB-1

••一，

AC2

'/ZDMB=ZCMA,ZA=ZDBM,

ADBM^ACM,

.BMDMDB1

"AM-CM-AC_2'

'•*BM=4A/2,

AM=2BM=8应,

A3=AW+3M=8&+4应=120,

在等腰直角三角形ABC中，AC2+BC2=AB2,

：.AC2+AC2=AB2=(12&『，

解得，AC=12,

：.AC=BC=12,

：.DB=-BC=6,

2

在RAQC中，CD=J3c2+DB°=J12?+6?=6/,

CO=DO=3小,

乂CM2,

CM=2DM,

2DM+DM=CD=66，

/.DM=2A/5

/.OM=OD-DM=3也-2亚=非

【点睛】本题主要考查平行线的性质，等腰直角三角形的判定与性质，切线的判定，圆周角

定理，勾股定理以及相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造圆周角是解答本题的关

键.

13.⑴见解析

(2)见解析

⑶g兀-1

【分析】+(1)分别证明4cB=N4EC,ZBAC=ZEAC,从而可得结论；

(2)连接OC,证明/E4C=NACO,可得OC〃AE,再进一步可得结论；

(3)连接。3、OD,证明四边形是矩形，可得DF=EC,再证明仞=。3,可得

ZDAB=ZDBA=45°,可得ZDOA=2ZDBA=90°,利用S阴影部分=S扇形皿。-5AA的可得答案.

【详解】(1)证明：：A3是。。的直径

NACB=90。，

又：CELAD,

：.ZAEC=90°,

ZACB=ZAEC,

：C是的中点，

BC=DC，

：./BAC=NEAC,

**•AACE^AABC；

(2)证明：连接OC

・•・ZCAO=ZACO,

9：ABAC=ZEAC,

：.ZEAC=ZACO,

：.OC//AE,

VCE1AZ),

・•・CELOC,

•e,OC是。。的半径,

・・・CE是。。的切线;

・.•A5是O。的直径，

・•・ZADB=90°,

•.・ZAEC=ZECO=90°,

・•・四边形DEC方是矩形，

・•・DF=EC,

〈OC是半径，。是30的中点,

：.DF=FB,OC±DBf

即DB=2DF=2EC,

,:AD=2CE,

:.AD=DB,

：.ZDAB=ZDBA=45°9

：.ZDOA=2ZDBA=90°,

90。兀x(及『

S阴影部分=S扇形A0。-S^--xV2xV2=-7i-l

A0D36022

【点睛】本题主要考查了圆周角定理、切线的判定及扇形的面积公式，熟练地掌握相似三角

形的判定和切线的判定是解决本题的关键。

14.(1)见解析

【分析】题目主要考查切线的性质，相似三角形的判定和性质及勾股定理解三角形，作出辅

助线，综合运用这些知识点是解题关键.

(1)连接OC,根据题意得ZOCD=/OC4+N71C»=90。，ZACB=ZACO+ZOCB=90°,

利用等量代换确定NACD=/ABC,再由相似三角形的判定即可证明；

(2)先由勾股定理确定45=3,然后利用相似三角形的性质求解即可.

【详解】(1)证明：连接OC,如图所示：

：CD是。。的切线，点C在以48为直径的。。上，

NOCD=ZOCA+/ACD=90°,/ACB=ZACO+/OCB=90°,

NACD=NOCB,

；OC=OB,

：.NOBC=NOCB,

：./ACD=/ABC,

'：ADVI,

=90°,

：.ZADC=ZACB,

AABCS^ACD；

(2)VAC=5,CD=4,

AD=452-42=3,

由(1)得△TWCNACD,

.ABACAB5

>.----....即Hn----——

ACAD53

・・・O。的半径为925+2=2§5

3o

15.(1)见详解

72

⑵一

25

【分析】(1)连接O。，根据等腰三角形的性质及角平分线得到。D〃AC,根据平行线的

性质得NODb二90。，即可证明；

(2)连接MQAN,先解RtZiODF,求得OF=4,DF=26,则A尸=6,AE=3,可证

明AD=DF=2^/3,由ADGOS^AGE,得——=——=—,故DG=—AD,AG=—AD,证明

AGAE355

72

AMGDsAAGN,即可得到GM-GN=GZ>G4=一.

25

【详解】(1)解：连接。0,

9

：OA=ODf

：.N2=N3,

・・・AD平分/BAC,

・•・N1=N2,

・•・Z1=Z3,

・•・OD//AC,

：.ZODF=ZAED

,:DEAC,

：.ZAED=90°,

：.ZODF=90°f

即OD_LEF,

・・・oo是。O的半径

・•・斯是。。的切线；

(2)解：连接MD,AN,

E

N

u：ZF=30°,

・••在Rt^OD/中，OF=2OD=4,

由勾股定理得：DF=yjoF2-OD2=2V3

JAF=2+4=6,

•・•在Rt&4EF中，N尸=30。，

・・・AE=-AF=3

2f

VZF=30°,ODLEF

：.ZDOF=60°=Z2+Z3,而Z2=/3,

JN2=30。，

AZ2=ZF,

AD=DF=26，

OD//AE,

・•・ADGOS^AGE,

.DG_OP_2

**AG-AE-3'

23

DG=-AD,AG=-AD,

：AM=AM9

：.ZANG=ZMDG,

•・•ZMGD=ZAGNf

：.AMGD^AAGN,

.MGGD

^~AG~'GN"

：.GMGN=GDGA=-AD-AD=—AD2=—x(2⑹一=—.

552525,’25

【点睛】本题考查了圆的切线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，30。的直角三

角形的性质，等腰三角形的性质，正确添加辅助线是解题的关键.

16.(1)115°

(2)DI=AD=BD,证明见解析

(3)30

【分析】⑴利用圆周角定理得到ZACB=90°,再根据三角形的内角和定理求ZCAB=65°,

然后利用圆内接四边形的对角互补求解即可；

(2)连接加，由三角形的内心性质得到内心，NCAI=NBAI,ZACI=/BCI,然后利用

圆周角定理得到mR=NOCB=NAC7,AD=BD,利用三角形的外角性质证得

NDAI=NDIA,然后利用等角对等边可得结论；

(3)过/分别作/QJ_A5,IFA.AC,IP±BC,垂足分别为。、F、P,根据内切圆的性

质和和切线长定理得到AQ=AF,CF=CP,BQ=BP,利用解直角三角形求得CF=2=CP,

AB=13,进而可求解.

【详解】(1)解：•..AB是。。的直径，

AZADB=ZACB=90°,又ZABC=25°,

ZCAfi=90°-25°=65°,

:四边形ABEC是OO内接四边形，

ZCEB+ZG4B=180°,

NCEB=180°-ZCAB=115°；

(2)解：DI=AD=BD,

证明：连接加，

•点/为VABC的内心,

.ZCAI=ABAI,ZACI=ZBCI=-ZACB=45°,

2

・・AD=BD，

；・ZDAB=NDCB=ZACI,AD=BD,

9：ZDAI=ZDAB+ZBAI,ZDIA=ZACI+ZCAI,

ZDAI=ZDIA,

**•DI-AD=BD；

（3）解：过/分别作/。，AB,IF1AC,IPLBC,垂足分别为。、F、P,

:点/为VABC的内心，即为VA3c的内切圆的圆心.

，。、F、P分别为该内切圆与VA3C三边的切点，

AAQ^AF,CF=CP,BQ=BP,

；CI=2垃,NIFC=90°,ZACI=45°,

：.CF=C7cos45°=2=CP,

13

VDI=AD=BD,DI=一母,ZADB=90°,

2

AB=yJAD2+BD2=0x—收=13,

2

・•・NABC的周长为AB+AC+BC

=AB+AF+CF+CP+BP

=AB+AQ+BQ+2CF

=2AB+2CF

=2x13+2x2

=30.

【点睛】本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质、三角形的内角和定理、三角形的内心

性质、三角形的外角性质、等腰三角形的判定、切线长定理以及解直角三角形，熟练掌握相

关知识的联系与运用是解答的关键.

17.（1）见解析

（2）tanZAEB=—

【分析】（1）连接BD，OC,OD,证明垂直平分CD,得出NAFD=90。，证明CD〃3E,

得出NABE=NAFD=90。，说明即可证明结论;

（2）根据AB是。。的直径，得出NACB=90。，根据勾股定理求出

AC=S/AB2-BC2=742-32=々，根据三角函数定义求出tanZABC=—=—，证明

BC3

ZAEB=ZABC,得出tanNAE&=tanNABC=也即可.

3

【详解】（1）证明：连接BD,OC,OD,如图所示:

'­*BC=BD，

：.BC=BD,

•；OC=OD,

・••点0、3在的垂直平分线上,

・•・03垂直平分CD,

：.ZAFD=90°,

ZADC=ZAEB,

：.CD//BE,

・•・ZABE=ZAFD=90°,

・•・AB上BE,

•・,A5是0。的直径，

**•BE是00的切线；

（2）解：:。。的半径为2,

***AB=2x2=4,

「A5是。。的直径，

・•・NAC6=90。，

,:BC=3,

・•・AC=ylAB2-BC2=742-32=>/7,

.AC币

••tan/ABC--,

BC3

;AC=AC9

：.AADC=AABC,

・・・ZAEB=ZADC,

：.ZAEB;ZABC,

tanZAEB=tanNABC=-

3

【点睛】本题主要考查了切线的判定，勾股定理，求一个角的正切值，圆周角定理，垂直平

分线的判定,平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质.

18.（1）见解析

24

（2）AF-y

【分析】本题考查切线的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，根据角

平分线的定义得到/尸=90。是解题的关键.

（1）连接OC,根据圆周角定理得到=即可得到OC〃AD,然后

根据角平分线的定义得到ZF=ZFEG-ZFAE2ZH=2x45°=90°,然后得到

ZOCE=ZF=90°即可证明切线；

（2）设。。的半径为r,根据0（72+庭2=0石2,可以求出r,然后根据AECOSA£E4,即

可得到结果.

【详解】（1）证明：连接oc,

则/Q4C=/OC4,

又•:BC=CD,

BC=CD，

：.NDAC=ZCAB=-NDAB,

2

ZDAC=ZOCA,

：.OC//AD,

：.NOCE=NF,

,/EH平分NFEG,

：.NFEG=2NHEG,

：.ZF=/FEG-ZFAE=2/HEG-2NCAB=2(ZHEG-ZC4B)=2ZH=2x45°=90°,

ZOCE=ZF=90°,

又：OC是半径,

...族是。。的切线;

,则。石=。5+3£=〃+2,

■.*OC2+CE2=OE2,即r+42=(厂+2『,

解得厂=3,

E4=AB+BE=2r+2=8,OE=5,

又・.・OC\\AD,

.**△£CO0°A£K4,

,即§=竺，解得

OEOC535

19.(1)见解析

/、42后

(,2)EF=^—

【分析】（1）利用切线和直径的性质求得N54£>=N期4=90。，再利用等角的余角相等即可

证明/SAF=NCD3；

（2）先求得AB=12=AC,瓦）=15,证明VABC和是等腰直角三角形，求得AE的

长，再证明AB阱SABDC,据此求解即可.

【详解】（1）证明：：直线/与。。相切于点4

ZBAD=90°,

ZBDA+ZABD=90°,

,/AB是0O的直径，

，ZBE4=90°,

ABAF+ZABD=9Q°,

：.NBAF=NCDB；

（2）解：：r=6,

AB=2r=12=AC，BD=\/AB2+AD2=^122+92=15'

:直线/与。。相切于点A,

NR4c=90。，

VABC是等腰直角三角形，

ZABC=ZACB=45°,

：A3是。。的直径，

ZBEA=90°,

AABE也是等腰直角三角形，

AE=BE=AB-cos45°=672，

BF=BF，

：.ZBEF=ZBAF,

,：NBAF=NCDB,

：.ZBEF=ZBDC,

△BEF^^BDC9

.BEEF672EF

..——=——，即二一=-----，

BDCD1512+9

【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质，

勾股定理等知识点的应用，掌握切线的性质定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题

的关键.

20.⑴见解析

1T

⑵弧CF的长为

【分析】（1）利用SSS证明△O3D四△O3C,推出NOD5=NOCB=90。，据此即可证明结论

成立；

（2）设0。的半径为x,在RUAOE）中，利用勾股定理列式计算求得x=1,求得ZAOD=60°,

再求得/COF=60。，利用弧长公式求解即可.

【详解】（1）证明：连接OD,

BD=BC

在AOBD和△03C中，＜OB=OB,

OD=OC

AOBDmAOBC（SSS）,

ZODB=Z.OCB=90°,

为0。的半径,

...AB是。。的切线;

（2）解：VAODB=9G°,

：.ZODA=90°,

设。。的半径为x,

在RtAAOD中，AO2=OD2+AD2,即（x+l『=尤?+（否）

解得x=l,

OD=OC=1,04=2,cosZAOD=-=-,

OA2

：.ZAOD=60°,

■:Z\OBD^^OBC,

・・・ZBOD=ZCOF=|(180°-60°)=60°,

・••弧CT的长为窄己=g.

1ol)3

【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，三角函数的定义，弧长公式.正确引出辅助线

解决问题是解题的关键.

21.(l)NDCE(答案不唯一)

【分析】(1)利用等边对等角可得出/DCE=/DEC,即可求解；

(2)连接OC,利用切线的性质可得出NDCE+NACO=90。，利用等边对等角和对顶角的

性质可得出NAOE=NOCE,等量代换得出ZAEO+NC4O=90。，然后利用三角形内角和定理

求出NAOE=90。，即可得证；

(3)设OE=2,贝U可求AO=O9=8O=2x,EF=x,OD=2x+2,DC=DE=2+x,^RtAO£>C

中，利用勾股定理得出(2+2"=(x+2y+(2x)2,求出尤的值，利用tanQ=罟=若可求出

OP,即可求解.

【详解】(1)解：：OC=OE,

NDCE=NDEC,

故答案为：/DCE(答案不唯一)；

(2)证明：连接OC,

,/PC是切线,

AOCLCD,即"CE+NACO=90。，

9：OA=OC,

：.ZOAC=ZACO,

VZDCE=ZDEC,ZAEO=ZDEC,

：.ZAEO+ZCAO=90°,

：.NAOE=90。，

:.OD±AB；

(3)解：设OE1=x,贝UAO=O尸=3O=2x,

EF=OF-OE=x,OD=OF+DF=2x+2,

:.DC=DE=DF+EF=2+x,

在Rt^ODC中，OD2=CD2+OC2,

：.(2+2X)2=(X+2)2+(2X)2,

解得玉=4,x2=0(舍去)

AOD=10fCD=6,OC=8,

OPOC

…・tanZ八)=----=-----,

ODCD

.OP_S

••=一，

106

40

解得。尸=£,

BP=OP-OB=—.

3

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，切线的性质，勾股