2025年中考数学一轮复习难点专练：相交线与平行线的常考题型（6大热考题型）解析版

难点01相交线与平行线的常考题型

（6大热考题型）

题型一：方位角

题型二：垂直有关概念应用

题型三：平行线性质的应用

题型四：直角三角板在平行线中的应用

题型五：常见平行线模型的应用

题型六：平行线间的距离

.睛淮提分

题型一：方位角

【中考母题学方法】

【典例1】（2024.河南•中考真题）如图，乙地在甲地的北偏东50。方向上，则/I的度数为（）

北

A

।_

A.60°B.50°C.40°D.30°

【答案】B

【分析】本题主要考查了方向角，平行线的性质，利用平行线的性质直接可得答案.

【详解】解：如图，

甲

由题意得，ZBAC=50°,AB//CD,

：.Nl=N54C=50°,

故选：B.

【变式1-1］（2024.河北唐山・二模）如图，琪琪家位于点。北偏东25。方向，则点A,B,C,。中可能表

示琪琪家的是（）

1北

A*\由东

…

B*\

A.点AB.点BC.点CD.点。

【答案】D

【分析】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义是关键.

【详解】解：如图，琪琪家位于点。北偏东25。方向，则点A,B,C,£）中可能表示琪琪家的是点D.

故选：D.

【中考模拟即学即练】

1.（2024•河北秦皇岛•模拟预测）如图是石家庄市地图的一部分，省二院在市二中北偏东30。方向上，则市

二中在省二院的（）

•省''二院.半

-------►东

“•市二中''

A.南偏东30。方向B.南偏西30。方向

C.北偏东45。方向D.北偏西60。方向

【答案】B

【分析】本题考查了方位角的应用，因为省二院在市二中北偏东30。方向上，所以市二中在省二院的南偏西

30。方向，即可作答.

;省二院在市二中北偏东30。方向上

.•.市二中在省二院的南偏西30。方向

故选：B

2.（2024•河北沧州.模拟预测）观察图中尺规作图痕迹，下列结论错误的是（）

北

B.PA=PB

C.E是OP的中点

D.点尸在点。的北偏东25。方向上

【答案】C

【分析】本题考查了尺规作图中的作角的平分线，根据尺规作图的画法可知：。尸是-AC®的角平分线，

OA=OB,PA=PB,进而求得NAOP=25。，即可得出结论，掌握角尺规作角平分线的方法是解题的关键.

【详解】解：根据尺规作图的画法可知：OP是NZOB的角平分线，OA=OB,PA=PB,

故A、B正确，不符合题意；

C、无法证明E是OP的中点，

故C不正确，符合题意；

D、由题意知2403=90。-40。=50。，

Z.ZAOP=ZAOP=25°,

...点尸在点。的北偏东25。方向上，

故D正确，不符合题意.

故选：C.

题型二：垂直有关概念应用

【中考母题学方法】

【典例2】（2024.北京・中考真题）如图，直线和CO相交于点。，OE±OC,若NAOC=58。，贝|NEOB

的大小为（）

c

E

A-B

O

D

A.29°B.32°C.45°D.58°

【答案】B

【分析】本题考查了垂直的定义，平角的定义，熟练掌握知识点，是解题的关键.

根据得到NCOE=90。，再由平角NAOB=180。即可求解.

【详解】解：

ZCOE=90°,

,：ZAOC+ACOE+ZBOE=180°,ZAOC=58°,

/.NEOB=18O°-9O°-58=32°,

故选：B.

【变式2-1］（2023•河南洛阳•一模）如图，直线AB,CO相交于点。，EOLM,垂足为点。，ZCOE=146°,

则/3。£>=()

C.46°D.136°

【答案】B

【分析】本题考查了垂线的定义、对顶角相等，熟练掌握以上知识是解题的关键.

根据垂线的定义，得出NAOE=90。，再根据角之间的数量关系，得出/。。4=146。-90。=56。，再根据对顶

角相等，即可得出答案.

【详解】解：

ZAOE=90°,

又：ZCOE=146°,

ZCOA=146°-90°=56°,

ZBOD=ZAOC=56°.

故选：B.

【变式2-2］（2024・贵州贵阳•二模）如图，直线A3,C£＞相交于点。，EOLAB,ZCOE=56°,则/30D

A.34°B.54°C.56°D.66°

【答案】A

【分析】本题考查了对顶角，垂直的定义.首先求出NAOC=90。-56。=34。，然后根据对顶角相等求解即

可.

【详解】VEOLAB,ZCOE=56°,

：.ZAOC=90°-56°=34°,

ZDOB=ZAOC=34°.

故选：A.

【变式2-3］（20-21七年级下•辽宁沈阳•阶段练习）如图，ZACD=9Q>°,CE1AB,垂足为E,则下面的结

论中，不正确的是（）

C.A3与CE互相垂直D.线段C£>的长度是点。到AC的距离

【答案】A

【分析】本题考查了点到直线的距离，根据点到直线的距离的定义对各个选项逐一分析即可得出答案，熟

知直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离是解答此题的关键.

【详解】解：A,-JCE1AB,

二点C到的垂线段是线段CE,故原说法错误，符合题意；

B、,/ZACD=9Q°,

J.CDLAC,即CD与AC互相垂直，故原说法正确，不符合题意；

C、VCE1AB,

二A3与CE互相垂直，故原说法正确，不符合题意；

D、^ACD=90°,

：.CD.LAC,即线段CD的长度是点。到AC的距离，故原说法正确，不符合题意；

故选：A.

【变式2-4]（2024•河南商丘•模拟预测）如图，点。在直线CO上，。4，。5于点0,若ZAOD=3/BOD,

则—AOC的度数为（）

C.110.5°D.112.5°

【答案】D

【分析】本题考查了垂线的定义，邻补角，找出角度之间的数量关系是解题关键.由垂直可得NAO3=90。,

进而得出NAOD=67.5。，再结合邻补角的定义，即可求出-40。的度数.

[WlW：-OA±OB,

.•.ZAOB=90°,

・.・ZAOD=3/BOD,

14

ZAOD+/BOD=ZAOD+-ZAOD=-ZAOD=90°,

33

/.ZAOD=67.5°,

/.ZAOC=180°-ZAOD=112.5°,

故选：D.

【中考模拟即学即练】

1.（2023・广东广州•模拟预测）如图，直线AB,CD相交于点O,OELOF,若Nl=80。，Z2=30°,贝!JN3

的度数为（）

D

A.30°B.40°C.50°D.60°

【答案】B

【分析】本题考查了对顶角相等，垂线性质，角度的和差，根据对顶角相等求出/AOD的度数，从而求出

—AOE的度数，根据垂线性质得出NEO尸=90。，最后根据N3=NEOF-NAOE求出结果即可.

【详解】解：•.•ZAOD=Z1=80°,

ZAOE=ZAOD-N2=80°-30°=50°,

-.-OE±OF,即NEOF=90°

Z3=Z.EOF-ZAOE=90°-50°=40°

故选：B.

2.（2024.河南周口.三模）如图，直线ZB、CD相交于点。，OE1AB,若Zl=12,，1:/BOC=2:5,

则—AOD的度数为（）

【分析】本题考查垂直的定义，对顶角相等，先根据角的比值和垂直的定义得到』1=60。，然后根据对顶

角相等解题即可.

【详解】解：：/l：/3OC=2:5,

N1:NBOE=2:3,

"?OE1AB,

：./BOE=90°,

：.—1=60。，

?.ZAOD=ZBOC=ZBOE+Z1=90°+60°=150°,

故选A.

3.（2024.北京西城•二模）如图，直线MLCD于点C,射线CE在/BCD内部，射线CP平分/ACE,若

ZBCE=40°,则下列结论正确的是（）

A.ZECF=60°B.ZDCF=30°

C.ZACF与/BCE互余D.NECF与NBCF互补

【答案】D

【分析】根据垂直定义可得N3CD=90。，从而可得NACE=140。，NDCE=50。,再利用角平分线的定义可

得ZACF=NECF=|ZACE=70°,从而可得ZDCF=20。，然后利用角的和差关系可得ZACF+ZBCE=110°,

从而可得NACF与23CE不互余，再利用邻补角定义可得/ACF+/BCF=180。，从而利用等量代换可得

ZECF+ZBCF=180°,即可解答.

【详解】W：-.ABLCD,

:.ZBCD=9Q°,

•：ZBCE=40°,

ZACE=1800-ZBCE=140°,ZDCE=ZDCB-ZBCE=50°,

射线CF平分/ACE,

ZACF=ZECF=iZACE=70°,

2

ZDCF=ZECF-ZDCE=20°,

■.■ZACF=10°,

ZACF+ZBCE=110°,

/ACT与/BCE不互余，

•1-ZACF+ZBCF=180°,

ZECF+ZBCF=180°,

;.NECF与NBCF互补,

故A、B、C选项都不符合题意，D选项符合题意，

故选：D.

【点睛】本题考查了角的计算，角平分线的定义，余角和补角，垂线，根据题目的已知条件并结合图形进

行分析是解题的关键.

4.（2024・四川乐山•二模）如图是光的反射规律示意图，CO是入射光线，0。是反射光线，法线EOLAB,

NCOE是入射角，/EO。是反射角，ZCOE=ZEOD.若NAOC=2NEOD,则/COE的度数为.

E

C.：P

A...........0.............

【答案】30。/30度

【分析】此题主要考查了角的计算，垂直的定义，由NEOD=NCOE,/AOC=2/EOD得NAOC=2NCOE,

再根据得NAOC+NCOE=90。，据此可求出/COE的度数，准确识图，理解垂直的定义，熟练掌

握角的计算是解决问题的关键.

【详解】解：-.ZEOD=ZCOE,/AOC=2/EOD,

:.ZAOC=2ZCOE,

■.■EOLAB,

:.ZAOE=9Qa,

ZAOC+ZCOE=90°,

即2NCOE+NCOE=90°,

：.NCOE=30°.

故答案为：30°.

5.（2024.广东深圳.模拟预测）一束光从空气中以不同的角度射入水中，会发生反射和折射现象，如图①是

4

光束在水中的径迹.如图②，现将一束光以一定的入射角a（tana：］）射入水面GK,此时反射光线与折

射光线夹角恰为90。,m.

图①

【答案】47

4

【分析】本题考查了平行线的性质，解直角三角形，等角的三角函数值相等，熟练掌握知识点是解题的关

键.

FD4OF49

由题意可得N2=NEOD=a,则tan/£OZ)=——=—,tanN2=——=—,贝ij£D=4,cy‘即可求解・

OE3CE3

由题意得，/EOK=ZBOC=90°,Zl=a,GK//ED,OEkED,OE=3,

・•・Zl+ZBOK=ZBOK+NKOC,

：.Zl=ZKOC=a,

•：GK//ED,

：./2=/KOC=a,

4

*.*ZAOF=ZEOD=a,tana=一,

3

ED4OE4

二.tan/EOD==—,tanN2———,ffuOE=3,

OE3CE3

9

・・.£D=4,CE=-,

4

97

CD=4——=—m,

44

7

故答案为：—.

4

题型三：平行线性质的应用

【中考母题学方法】

【典例1】（2024•山西・中考真题）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下,

支持力司的方向与斜面垂直，摩擦力F?的方向与斜面平行.若斜面的坡角a=25。，则摩擦力F?与重力G方

向的夹角£的度数为（）

A.155°B.125°C.115°D.65°

【答案】C

【分析】本题考查了平行线的性质和三角形外角性质，根据题意结合图形可知夕是重力G与斜面形成的三

角形的外角，从而可求得月的度数.

【详解】解：,••重力G的方向竖直向下，

•••重力G与水平方向夹角为90。，

••・摩擦力F?的方向与斜面平行，。=25。,

3

F2

/7=Zl=cr+90°=115°

故选：c.

【典例2】（2024・西藏・中考真题）如图，已知直线《〃4,46,8于点。，4=50。，则N2的度数是（）

A.40°B.45°C.50°D.60°

【答案】A

【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理应用，垂线定义理解.先利用平行线的性质求出-ABC

的度数，然后利用三角形内角和定理进行求解即可.

【详解】解：4=50°,

ZA5C=Zl=50°,

ABLCD,

：.ZBDC=9Q0,

Z.Z2=180°-90°-50°=40°,故A正确.

故选：A.

【变式3-1］（2024•江苏南京•模拟预测）如图，AB//ED,若Nl=70。，则N2的度数是（）

C.100°D.110°

【答案】D

【分析】本题主要考查了平行线的性质以及对顶角相等的运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同

旁内角互补.

根据两直线平行，同旁内角互补和对顶角相等解答.

【详解】解：・・・/1=70。，

/.Z3=70°,

・・・AB\\ED,

/.Z2=180°-Z3=180°-70°=110°,

故选：D.

【变式3-2］（2024・甘肃・模拟预测）如图，直线m8被直线c所截，a//b,N2=100。，贝！JN1的余角为（）

【答案】A

【分析】本题主要考查平行的性质，余角的定义，熟练掌握平行的性质是解题的关键.根据平行的性质求

出N1的补角，即可求出N1,即可求出答案.

【详解】解：设N1的邻补角为N3,

•：a〃b,Z2=100°,

Z2=Z3=100°,

/.Zl=180o-Z3=80°,

故N1的余角为90°-80°=10。.

故选A.

【中考模拟即学即练】

1.（2024・广东.模拟预测）如图，己知N1=N2,ZB=40°,则N3的度数为（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

【答案】B

【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，先根据内错角相等，两直线平行得到AB/CT,再根据两

直线平行，同位角相等即可得到/3=/3=40。.

【详解】解：如图所示，

,/Z1=Z2,

/.AB//CT,

'：ZB=40°,

/.Z3=ZB=40°,

故选：B.

2.（2023・四川绵阳•中考真题）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要

发生折射.由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，4=122。，则N2的度数

【答案】B

【分析】本题考查了平行线的性质，根据“两直线平行，同旁内角互补”和“两直线平行，同位角相等”即可得

到结论.

【详解】解：,•・水面和杯底互相平行，

Z3=180°-Z1=180°-122°=58°.

,水中的两条光线平行，

.•.Z2=Z3=58°.

故选：B.

3.（2024.湖南.模拟预测）如图，（〃L4分别与4，4相交，若&=50。，则£的度数为（）

A.100°B.130°C.135°D.50°

【答案】B

【分析】设a的对顶角为Nl,根据题意，得/1=。=50。，利用平行线的性质解答即可.

本题考查了对顶角的性质，平行线的性质，熟练掌握性质是解题的关键.

【详解】解：设a的对顶角为4,根据题意，得4=a=50。，

,/4〃4，

N1+Q=180。,

."=130。,

故选：B.

4.（2024・甘肃・模拟预测）如图1,是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜“中国

天眼”.如图2,是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中EG为竖直方向的馈源（反射面），入

射波49经过三次反射后沿O'A水平射出，且。4〃O'A,已知入射波4。与法线的夹角4=35。，贝U

ZAO'F=()

【答案】A

［分析］本题考查了平行线的性质，过点尸作CC'〃,可得CC'〃〃0A,根据题意得到ZAOF=70°,

再由平行线的性质得至UZAO'F=Z.CFO=ZCFO=70°,得出答案，掌握平行线的性质是解题的关键.

【详解】解：过点F作CC'〃Q4,OH为法线，如图：

图2

---OA/ZO'A1,

：.CC//OA//O'A,

：.CCLEG,

二CC为法线，

ZCFO=ZCFO,

OH为法线，Zl=35°,

ZFOH=Z1=35°,

：.NAOb=70。，

,?CC'//OA,

ZAOF=ZCFO=ZCFO'=70°,

CC,//O'A,

?.NA'OT=NCFO'=70°,

故选：A.

题型四：直角三角板在平行线中的应用

【中考母题学方法】

【典例1】(2024・海南・中考真题)如图，直线相〃打，把一块含45。角的直角三角板ABC按如图所示的方式

放置，点5在直线〃上，ZA=90°f若Nl=25。，贝“N2等于()

A.70°B.65°C.25°D.20°

【答案】D

【分析】本题考查了平行线的性质求角的度数.如图，过点C作直线CO平行于直线易得机〃

根据平行线的性质可得Z3=Z1=25°,由ZACB=45°可求出/4的度数，再由平行线的性质可得Z2的度数.

【详解】解：如图，过点C作直线C。平行于直线"2,

■:直线m//n,

：.m//CD//n,

：.Z3=Z1=25°,N4=N2,

由题意可得/ACB=45。，

N4=45°—25°=20°,

Z2=Z4=20°,

故选：D.

【变式4-1］（2024.山东东营•中考真题）已知，直线。〃6,把一块含有30。角的直角三角板如图放置，N1=30。,

【答案】B

【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等，得出NC4D=NACB=90。，即可解答.

【详解】解：•••。〃心

ZC4D=ZACB=90°,

Z2=180°-Zl-ZC4D=60°,

故选：B.

c

【变式4-2］（2024.山东济南.中考真题）如图，已知/］〃，2，VABC是等腰直角三角形，ZBAC=90°,顶点

A8分别在44上，当/1=70。时，N2=

【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质，根据平行线的性质，得到/3=/1,等边对等角，得

到/ABC=45。，再根据角的和差关系求出N2的度数即可.

【详解】解：：VABC是等腰直角三角形，ABAC=90°,

,/l、〃I],

：.Z3=Z1=7O°,

N2=180°—N3—ZABC=65°；

故答案为：65°.

【变式4-3］（2024•内蒙古包头•模拟预测）如图，直线分别与直线/交于点A,B,把一块含30。角

的三角板按如图所示的位置摆放.若4=47。，则N2的度数是（）

A.77°B.103°C.113°D.137°

【答案】B

【分析】本题主要考查平行线的性质以及平角的定义，理解并掌握平行线的性质是解题的关键.

如下图，根据平行线的性质可得N3=N1=47。，由题意知/4=30。，再根据平角的定义即可求解.

【详解】解：如图，

二/3=/1=47°,

由题意知N4=30。，

Z.Z2=180°-Z3-Z4=180°-47°-30°=103°,

故选：B.

【中考模拟即学即练】

1.（2024.湖北孝感・一模）如图，将一个等腰直角三角形放在两条平行线上，若N1=50。，则N2的度数为（）

A.75°B.80°C.85°D.90°

【答案】C

【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，两直线平行同位角相等，三角形内角和定理，

根据题意可知/4=45。，再根据三角形内角和定理求出/3,然后根据平行线的性质得N3=N2,可得答案.

【详解】根据题意可知N4=45。，a//b,

Z3=180°-Zl-Z4=85°,

?.Z3=Z2=85°.

故选：c.

29.（2024•安徽阜阳•二模）将等腰直角三角板按如图所示的方式摆放，若。〃6,4=15。，贝1]/2=（）

【答案】C

【分析】此题考查了平行线的性质，利用直尺的对边平行可得Z1+Z4=Z3,根据/I+/4=15°+45。=60°,

求得N3=6O。，再根据三角形的外角性质即可求出答案.

aHb,

：.Z1+Z4=Z3,

,/Zl+Z4=15o+45°=60°,

Z.Z3=60°,

Z2=Z3+90°=60°+90°=150°,

故选：C.

30.（2024・辽宁抚顺・一模）将一副三角板按如图放置，三角板A3。可绕点。旋转，点C为4B与DE的交点,

下列结论中正确的个数是（）

(1)若CD平分4£出，则/BCD=125。

(2)若AB〃D/，则NBDC=10°

(3)若/4D尸=120°,则NADC=75。

(4)若AB_LED,则AB||E/

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】A

【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的判定和性质，三角板中的角度计算，由旋转的性质和平行线的

性质与判定依次判断可求解.

【详解】解：由三角板可知，/尸=NADB=90。，ZE=ZEDF=45°,4=30。，ZA=60°,

(1)当CD平分NAD3,则NADC=45。，

ZBCD=ZA+ZADC=105°,故(1)错误；

(2)若且4B在。尸的上方，则乙钻。=/比＞/=30。，

ZBDC=ZEDF-ZBDF=15°,故(2)错误；

(3)若NAD尸=120。时，且力。在D户的下方时，则NADC=15。，故(3)错误；

E

A

(4)若AB_LFD,且£F_LDF,贝故(4)正确，

故选：A.

31.(2024・湖南•模拟预测)直角三角板ABC与直角三角板。跖如图摆放，其中/BAC=不=90。,

NE=45。，ZC=30°,AC与DE相交于点若BC〃EF,则NCME为()

A

FE

BDC

A.55°B.65°C.75°D.85°

【答案】C

【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，关键是由平行线的性质得到/E4M=/C=30。，由

三角形外角的性质即可求解.由得到/R4M=NC=30。，由三角形外角的性质得到

NCME=ZE+ZEAM=15。.

【详解】解：•.•3C〃EF，

ZEAM=ZC=30°,

•.•ZE=45°,

Z.CME=ZE+ZEAM=75°.

故选：C

45.（2024・山西・模拟预测）如图，将直角三角板按如图方式放置在两条平行线之间，直角三角板的直角顶

点在4上，若4=39。，则/2=

【答案】51°/51度

【分析】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等.

由题意可得N54C=90。，从而可求得44。的度数，再由平行线的性质即可求N2的度数.

【详解】解：如图,

B

11

C

由题意得：ABAC=90°,

•・•Nl=39。，

ZBAD=ZBAC-Z1=51°,

丁lx//l2,

：.Z2=ZBAD=51°.

故答案为：51°.

题型五：常见平行线模型的应用

【中考母题学方法】

【典例1】（2024.宁夏.中考真题）小明与小亮要到科技馆参观小明家、小亮家和科技馆的方位如图所示，则

科技馆位于小亮家的（）

北

小

亮家

小

科技馆

A.南偏东60。方向B.北偏西60。方向C.南偏东50。方向D.北偏西50。方向

【答案】A

【分析】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义和平行线的性质是正确解决本题的关键.

作CD〃AB,根据平行线的性质得NDCE=60。，再根据CD〃），可得/CEF="CE=60。，根据方向角

的定义即可得到答案.

【详解】解：如图，作Cr>〃AB,

北

I

小明家u

♦

则ZACD=ZBAC=50°,

ZDCE=100°-50°=60°,

■：AB//CD,AB//EF,

:.CD\\EF,

:.ZCEF=ZDCE=6O°,

科技馆位于小亮家的南偏东60。方向，

故答案为：A.

【变式5-1］（2024.江苏南通・中考真题）如图，直线。Hb,矩形ABCD的顶点A在直线6上，若/2=41。,

则4的度数为（）

A.41°B.51°C.49°D.59°

【答案】C

【分析】本题考查矩形的性质，平行线的判定和性质,过点3作得到BE〃口〃6,推出

ZABC=Z1+Z2,进行求解即可.

【详解】解：：矩形ABCD,

ZABC=90°,

过点B作血〃

c

a

A

'：aHb,

：.BE//a//b,

：.Z1=ZABE,Z2=NCBE,

：.ZABC=ZABE+NCBE=4+N2,

'：Z2=41°,

Nl=90°—41°=49°；

故选C.

【变式5-1］（2024•山东潍坊・中考真题）一种路灯的示意图如图所示，其底部支架A8与吊线FG平行，灯杆

CD与底部支架A3所成锐角。=15。.顶部支架即与灯杆CD所成锐角£=45。，则E/与FG所成锐角的度

数为（）

A.60°B.55°C.50°D.45°

【答案】A

【分析】本题考查了平行线性质，平行公理的推论，过点E作团〃可得A2||M||FG,即得

ZBEH=Za=15°,NEEH+NEFG=18O。，根据N尸=45。求出/EEH即可求解，正确作出辅助线是解题

的关键.

【详解】解：过点E作EH〃AB,

,/AB//FG,

：.AB\\EH\\FGf

；・NBEH=a=15。,ZFEH+ZEFG=180°f

・"=45。,

・・・ZFEH=180°-45°-15°=120°,

・•・ZEFG=180°-ZFEH=180°-120°=60°,

JEF与FG所成锐角的度数为为60°,

故选：A.

【中考模拟即学即练】

1.（2024・广东•模拟预测）将一副三角尺在平行四边形按如图所示的方式摆放，设4=30。，则N2的度数为

C.75°D.85°

【答案】C

【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角板中角度的计算，平行四边形的性质，求出/NG”的度数是

解题的关键.如图所示，过点G作G"〃CD,由平行线的性质得到N"GB=Nl=30。，N2+NNG"=180。,

然后求出ZNGH的度数即可求出Z2的度数.

【详解】解：如图所示，过点G作G"〃CD,

D.NC

/K■

G

■H

AOB

由题意得AB〃CD,ZKGN=45°,则/NG3=135。，

/.AB//GH//CD,

：.ZHGB=Z1=30°,Z2+ZNGH=180°,

/.ZNGH=ZNGB-ZHGB=105°,

Z2=180°-ZNGH=75°,

故选：C.

2.（2015・广东深圳•三模）如图，aUb,等边VABC的顶点8在直线6上，Zl=20°,则N2的度数为（）

A.60°B.45°C.40°D.30°

【答案】C

【分析】本题考查平行线的性质，等边三角形的性质，过C作CM〃直线/,根据等边三角形性质求出

ZACB=60°,根据平行线的性质求出=Z2=ZACM,即可求出答案.

【详解】解：是等边三角形，

ZACB=60°,

过C作CM〃直线I,

;直线Z〃直线m,

直线/〃直线加〃CM,

,/ZACB=60°,Zl=20°,

Zl=ZAfCB=20°,

Z2=Z3=ZACM=ZACB-ZMCB=60°-20°=40°,

3.（2024.湖北武汉.模拟预测）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯,

其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中3CLAB,ED//AB,经使用发现，当NEDC=124。

时，台灯光线最佳.则此时/DCB的度数为（）

A.1240B.1340C.146°D.156°

【答案】C

【分析】本题考查平行线的性质.过C作CK〃A3,得到CK〃DE,由推出5CLCK,由垂直

的定义得到ZBCK=90°,由平行线的性质得出NDCK=56。,即可求出结果.

【详解】解：过C作CK〃AB,

DE//AB,

：.CK//DE,

•/BCA.AB,

:.BC±CK,

:.ZBCK^90°,

'：ZEDC=124°,

ZDCK=180°-ZCDE=56°,

ZDCB=ZDCK+ZBCK=146°,

故选：C.

4.（2024・湖北•模拟预测）“抖空竹”是我国非物质文化遗产，某中学将此运动引人特色大课间，某同学“抖空

竹”的一个瞬间如图所示，将图1抽象成图2的数学问题:在平面内，M〃CD.若NB4E=50。，NDCE=85。,

则/AEC的度数为（）

D

图1图2

A.115°B.125°C.135°D.145°

【答案】C

【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键.过点旧作历〃回，得出

EF//AB//CD,利用平行线的性质得出ZDCE=NCEF=85。，ZBAE=ZAEF=50°9进而得出答案.

【详解】解：如图，过点£作砂〃45,

.\ZDCE=ZCEF=85°,ZBAE=ZAEF=50°,

Z4EC=NCEF+NA£F=85。+50。=135。.

故选：C.

【答案】C

【分析】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，如图，过5作5"〃AC,而AC〃。石，可得

AC//BH//DE,再利用平行线的性质可得答案.

【详解】解：如图，过区作5"〃AC,而AC〃。石，

AZ1=ZABH,Z2=ZDBH,

：.ZABD=ZABH+ZDBH=120°,

・•・Zl+Z2=120°,

Zl=a,

・•・Z2=120°-cr；

故选C

6.（2024.辽宁・模拟预测）近几年我国家用汽车的发展速度非常迅猛，为了解决停车难的问题，很多地方建

起了停车场，图1为某停车场门口的电子挡车杆实物图，图2是其工作时某一时刻的示意图，其中

【答案】B

【分析】本题考查平行线的性质与判定，解题的关键是正确作出辅助线.

过。作CK〃AB,得到CK〃。石，由推出3C_LCK,由垂直的定义得到N5CK=90。，求出

Z.DCK=Z.DCB-Z.BCK=60°,由平行线的性质推出ZEDC+ZDCK=180。，即可求出ZEDC=120。.

【详解】解：如图所示，过点。作CK〃AB,

DE//AB,

：.CK〃DE,

•・・BCLAB,

:.BCLCK,

:.NBCK=90。,

QZDCS=150°,

/.ZDCK=ZDCB-ZBCK=60°,

QCK//DE,

:.ZEDC+ZDCK=1SO°,

.•.NEDC=120。,

故选：B.

（

7.）如图，已知AB〃。石，ZABC=75°fZCDE=145°f则/BCD的度数为

【答案】40

【分析】本题考查平行线的判定及性质，正确添加辅助线是解题的关键.

过点C作C方〃DE,则NOB=180O—NCD£=45。，由AB〃。石，CF//DE,得到从而

NBCF=ZABC=75。,进而根据角的和差即可解答.

【详解】解：过点C作。尸〃DE,

ZDCF=180°-ZCDE=180°-145°=35°,

VAB//DE,CF//DE,

：.AB〃CF,

：./BCF=/ABC=75。，

：.Z.BCD=ZBCF-ZDCF=75°-35°=40°.

故答案为：40

题型六：平行线间的距离

【中考母题学方法】

【典例1】（2024.江苏常州•中考真题）如图，在纸上画有-AOB,将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交

点尸在-403的平分线上，则（）

A.4与“2一定相等B.4与乙一定不相等

C.4与4一定相等D.4与一定不相等

【答案】A

【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，过点尸分别作OAOB的垂线，垂足分别为E、F,

由角平分线的性质得到=由平行线间间距相等可知4=PBd2=PE,则4=4,而乙和4的长度

未知，故二者不一定相等，据此可得答案.

【详解】解：如图所示，过点尸分别作0A08的垂线，垂足分别为£、F

,/点？在^AOB的平分线上，

PE=PF,

由平行线间间距相等可知4=PB，d2=PE,

.・4=d?,

由于4和，2的长度未知，故二者不一定相等，

故选：A,

【变式6-1］（2024.河北保定.二模）如图，直线。〃风直线c，。于点4直线于点3,点尸从点A

出发，沿着箭头方向前进，速度为2cm/s；同时点。从点8出发，沿着箭头方向前进，速度为女m/s.两

点的运动时间为笈，直线a与b之间的距离为30cm,则当点尸与点。距离最近时，，的值为（）

A.5B.6C.10D.15

【答案】B

【分析】本题考查平行线的判定与性质、平行线的距离、解一元一次方程等知识，关键是找到点P与点。

距离最近时的位置是解答的关键.先证明c〃d,进而得到当产。与直线。垂直时点尸与点。距离最近，此

时直线allPQ,则AP=QC,进而由已知列方程求解即可.

【详解】解：如图，设直线d与直线。交于点C,

:直线a〃b,直线c,a于点A,直线于点8,直线。与6之间的距离为30cm,

c//d,BC=30cm,

故当P。与直线d垂直时点P与点。距离最近，此时直线。||PQ

：.CQ=AP,

2r=30—3r,解得t=6,

故选：B.

【变式6-2］（2024.河北邯郸•二模）如图，已知点A