2025年中考数学一轮复习难点专练：几何综合模型（5大热考模型）解析版

难点17几何综合模型（5大热考模型）

题型一：两圆一中垂构造等腰三角形模型

题型二：两垂一圆构造直角三角形模型

题型三：胡不归模型

题型四：阿氏圆模型

题型五：瓜豆原理模型

,精淮握分

题型一：两圆一中垂构造等腰三角形模型

指I点I迷I津

分类讨论：

，若AB=AC,则点C在以点A为圆心，线段AB的长为半径的圆上；

;若BA=BC,则点C在以点B为圆心，线段AB的长为半径的圆上；

:若CA=CB,则点C在线段AB的垂直平分线PQ上以上简称“两圆一中垂”

:“两圆一中垂”上的点能构成等腰三角形，但是要除去原有的点A,B,还要除去因共线无法构成三角形的点MN

I

以及线段AB中点E（共除去5个点）需要注意细节

【中考母题学方法】

【典例1-1】（2022•建湖县一模）如图，每个小方格的边长为1,A,B两点都在小方格的顶点上，点C也是

图中小方格的顶点，并且AABC是等腰三角形，那么点C的个数为（）

A

A.1B.2C.3D.4

【分析】根据“两圆一线”画图找点即可.

【解答】解：如图，C点与P、Q、R重合时，均满足△ABC是等腰三角形,

故选：C.

【点评】本题考查“两圆一线”构造等腰三角形的方法，熟练使用两圆一线的方法是解题关键.

【典例1-2](2020•武汉模拟)平面直角坐标系中，A(3,3)、B(0,5).若在坐标轴上取点C,使△ABC

为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是()

个V

A■

A.3B.4C.5D.7

【分析】由于没有说明△ABC的腰长，故需要分三种情况进行讨论，分别是AB=AC,AB=BC,AC=BC,

【解答】解：当AC=CB时，

作的垂直平分线，交x轴于G，交y轴于点C2

当AB=AC时，

以点A为圆心，AB为半径作圆A,交y轴于C3，交x轴于C4、Cs，

当AB=BC时，

以点B为圆心，AB为半径作圆B,交y轴于点C6、C7

故选：D.

【点评】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是根据等腰三角形的性质分三种情况进行讨论，本题

属于中等题型.

【典例1-3】(2022•开州区模拟)如图，在等腰RtZXABC中，AB=BC,D是BC的中点，E为AC边上任意一

点，连接OE,将线段DE绕点。逆时针旋转90°得到线段OF,连接EF,交阳于点G.

(1)如图1,若A8=6,AE=五,求ED的长；

(2)如图2,点G恰好是EF的中点，连接BF,求证：CD=J5BF；

(3)如图3,若AB=4'J丐，连接CF,当CF+1BF取得最小值时.请直接写出的值.

5

【分析】(1)过点E作EH_LBC于点H,得/CHE=90°,在等腰直角三角形ABC中，求出BC=6,AC=

班,再证明△CHE也是等腰直角三角形，最后在RtZXOHE中，求出DE即可；

(2)过点E作EM〃芥于A3交点M,过点。作ONLBC交AC于N,得出△CON为等腰直角三角形，再

证明△BF。附NEO(SAS),AE/WG^AFBG(A4S),最后在等腰RtZXCON中，求出CD与BF关系；

(3)如图3-1中，取AC的中点T,连接。丁，BT,则△BOT是等腰直角三角形.首先证明点F在直线

87■上运动，如图3-2中，取卬■的中点Q,连接BQ,作“L8Q于点H,CBQ于点J,交B7■于点R.再

证明当点F与R重合时，CF+Y1_BF的值最小，即可解决问题.

5

【解答】解：(1)如图，过点E作E”_L8C于点儿

G.

C

F图1

：.ZCHE=90°,

在等腰直角三角形ABC中，

'：AB=6,

：.BC=6,AC=6A/2-

•.,。为BC中点，

：.CD=—BC,

2

,:AE=g

：.CE=AC-CE=5^2，

,/ZC=45°,

•:△CHE也是等腰直角三角形,

：.CH=EH=5,

：.HD=CH-CD=2,

.•.在RQDHE中,DF=VEH2+HD2=^29-

(2)如图，过点E作EM〃BF于八B交点M,过点。作。/V_LBC交47于N,

•••△CDN为等腰直角三角形,

：.CD=ND,

•：BD=CD,

：.BD=DN,

'：Z5+ZBDE=Z6+ZBDE,

.\Z5=Z6,

在△BFD和△'££>中，

，BD=DN

(N5=/6，

DF=DE

:ABFD咨NED(SAS),

：.BF=EN,N3=N4,

在.ZiE/WG和AFSG中，

rZl=Z2

-NMGE=NBGF，

GF=GE

AFMG^AFBG(AAS),

ME=BF,

：.ME=EN,

VZ2+Z3=45°,

/.Zl+Z4=45",

；./MEN=/l+/4+NFED=90°,

/.ZAEM=90°,

.•.△AEM是等腰直角三角形，

：.AE=ME=BF=EN,

：.BF=­AN,

2

•:DN〃BC,D是BC的中点，

：.CN=AN,

：.BF=—CN,

2

又：在等腰Rt^CCW中，CD=Y2C/V,

2

：.CD=\[2BF.

(3)如图3-1中，取AC的中点丁，连接。T,BT,则△BOT是等腰直角三角形.

:./BDF=NTDE,

"：DB=DT,DF=DE,

.♦.△BOF丝△TOE(SAS),

；.NDBF=NDTE=135°,

"：ZDBT=135°,

：.F,B,丁共线，

...点F在直线B7■上运动,

如图3-2中，取正的中点Q,连接BQ,作F”，BQ于点“，CBQ于点J,交87■于点R.

图3—2

1

"加嚼噜=2

:.FH=^-BF,

5

CF+立-BF=CF+FHWCJ,

5

，当点F与R重合时，CF+J^-BF的值最小,

5

'：ZBTQ=ZCTR=90°,BT=CT,ZQBT=ZRCT,

.,.△BTQ^ACT/?(ASA),

：.TR=QT,

*:AB=BC=AM，ZABC=90°,

.'.AC=y/2AB=8,

：.AT=CT=BT=^,QT=RT=2,

:.BF=TE=2,

：.SACEF=—'CETT=~X2X2=2.

22

【点评】本题考查了几何变换的综合应用，解题关键是正确作出辅助线，能判定出全等三角形，解直角

等腰三角形.

【中考模拟即学即练】

【变式1-1］如图，在Rt/XABC中，NACB=90°,AB=2BC,在直线BC或AC上取一点P,使得△fWB为等

腰三角形，则符合条件的点P共有（）

BC

A.4个B.5个C.6个D.7个

【分析】根据等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（简称：在同

一三角形中，等边对等角）”分三种情况解答即可.

【解答】解：如图，

①AB的垂直平分线交AC一点Pi（PA=PB）,交直线BC于点P2;

②以人为圆心，AB为半径画圆，交AC有二点P3,P4,交8c有一点P2，（此时AB=AP）；

③以B为圆心，BA为半径画圆，交BC有二点P5,P2,交AC有一点P6（此时BP=BZO.

2+（3-1）+（3-1）=6,

符合条件的点有六个.

故选：C.

【点评】本题考查了等腰三角形的判定；构造等腰三角形时本着截取相同的线段就能作出等腰三角形来，

思考要全面，做到不重不漏.

【变式1-2］已知直线y=-愿x+3与坐标轴分别交于点A,B,点P在抛物线y=-(x-'/3)2+4上，能

使AABP为等腰三角形的点P的个数有()

A.8个B.4个C.5个D.6个

【分析】分三种情况考虑：①以点B为圆心，AB长度为半径作圆可找出两个点P；②以点A为圆心，AB

长度为半径作圆可找出四个点P;③作线段AB的垂直平分线可找出两个点P.综上即可得出结论.

【解答】解：分三种情况考虑：

①以点B为圆心，AB长度为半径作圆，交抛物线于点Pi、P2;

②以点A为圆心，AB长度为半径作圆，交抛物线于点P3、24、P5、P6；

③作线段AB的垂直平分线，交抛物线于点P7、P8.

综上所述：能使^ABP为等腰三角形的点P的个数为8个.

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征以及等腰三角形的判

定，依照题意画出图形，利用数形解决问题是解题的关键.

【变式1-3】如图，已知点A（l,2）是反比例函数y=K图象上的一点，连接A。并延长交双曲线的另一分

X

支于点B,点P是X轴上一动点；若△RAB是等腰三角形，则点P的坐标是.

【分析】由对称性可知。为AB的中点，则当ARAB为等腰二角形时只能有力=AB或PB=AB,设P点

坐标为（X,0）,可分别表示出％和PB,从而可得到关与X的方程，可求得X,可求得P点坐标.

【解答】解：

•..反比例函数丫=区图象关于原点对称，

X

.♦.八、B两点关于。对称，

二。为AB的中点，且B（-1,-2）,

当△PAB为等腰三角形时有PA^AB或PB=AB,

设P点坐标为（X,0）,

（1,2）,8（-1,-2）,

22

（-1）]+[2-（-2）]=2V5,%=Y（X_I）2+22,PB=7（X+1）2+（_2）2,

当PA=A8时，则有Y（x-1）2+22=2\历,解得x=-3或5,此时P点坐标为（-3,0）或（5,0）；

当PB=AB时，则有J（x+1）2+（-2）2=2代,解得x=3或-5,此时P点坐标为（3,0）或（-5,

0）；

综上可知P点的坐标为（-3,0）或（5,0）或（3,0）或（-5,0）,

故答案为：（-3,0）或（5,0）或（3,0）或（-5,0）.

【点评】本题主要考查等腰三角形的性质和反比例函数的对称性，判断出只有PA=AB或PB=AB两种情

况是解题的关键，注意方程思想的应用.

题型二：两垂一圆构造直角三角形模型

rsiiriii¥..............................

平面内有两点A,B,再找一点C,使得ABC为直角三角形

分类讨论：

若NA=90°,则点C在过点A且垂直于AB的直线上（除点A外）；

若NB=90°,则点C在过点B且垂直于AB的直线上（除点B夕卜）；

若NC=90°,则点C在以AB为直径的圆上（除点A,B外）.

以上简称“两垂一圆”.

“两垂一圆”上的点能构成直角三角形，但要除去A,B两点.

【中考母题学方法】

【典例2-1】（2023•湖南怀化・中考真题）如图，4B是；。的直径，点尸是。外一点，上4与C。相切于点A,

点C为。上的一点.连接尸C、AC、OC,S.PC=PA.

⑴求证：PC为。的切线；

⑵延长PC与AB的延长线交于点。，求证：PDOC=PAOD；

（3）若NC铝=30。，00=8,求阴影部分的面积.

【答案】⑴见解析

（2）见解析

⑶8代-。兀

【分析】（1）连接尸0,证明,批必二尸。。，即可得证;

（2）根据sinD=/==,即可得证；

=S

(3)根据圆周角定理得出NCOD=2NC4s=60。，进而勾股定理求得CO,根据S阴影OCD\^OBC»即

可求解.

【详解】(1)证明：团PA是。的切线,

^\ZPAO=90°

如图所示，连接PO

在4序。与/、尸。。中,

PA=PC

<OA=OC

PO=PO

团

PAO^tPCO(SSS)

.\ZPCO=ZPAO=90°

团。为。上的一点.

团尸。是《。的切线;

(2)团PC是。的切线；

⑦OCLPD,

.OCPA

[?]sinD==

ODPD

^\PDOC=PAOD

(3)解：团BC=3C，ZC4B=30°,OD=8

团NCOD=2NC4B=60。，

^\OC.LPD

0ZD=3O°,

SOC=-OD=4

一2

0CD=473,

团S阴影=Soc»—S扇形OBCn/xCOxC。一

=—X4X4A/3--X427T

26

=8——7t

3

【点睛】本题考查了切线的性质与判定，圆周角定理，求含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，求扇

形面积，熟练掌握以上知识是解题的关键.

【典例2-2】（2023•福建泉州•二模）如图，是半圆。的直径，2尸，4瓦尸。与半圆。相切于点。，连接AD

并延长，交所的延长线于点C.

⑴求证：PB=PC；

（2）若。的半径为5,AO=8,求取的长.

【答案】⑴见解析

建

【分析】（1）连接8。，通过证明PB=PD可得NPDB=NPBL>,然后求得/PDC=/C,从而使问题得证;

（2）利用-A的正切值分析计算.

【详解】（1）证明：如图，连接8。，

为半圆。的直径,

.•.PB是半圆。的切线，ZADB=90°,

PD与半圆。相切于点。,

：.PB=PD,

:.NPDB=NPBD.

ZPDB+ZPDC=ZPBD+ZC=90°,

:.NPDC=NC,

:.PD=PC,

:.PB=PC.

(2)解：在及ABD中，AB=10,AD=8f

,\BD=y/102-82=6^

BD63

tanA==—=一,

AD84

ZA5C=90°,

【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质和判定，锐角三角函数，准确添加辅助线构造直角三角形是

解题关键.

【中考模拟即学即练】

【变式2-1]在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-1,2）,点B的坐标为（2,6）,点C在坐标轴上，若

△ABC为直角三角形，则满足条件的点C共有（）

A.2个B.4个C.6个D.8个

【分析】过点A作AB的垂线，交x轴于点G，交y轴于点Q;过点B作AB的垂线，交x轴于点C3,交y

轴于点C4;根据直径所对的圆周角为直角，以为直径作圆，根据4和B的坐标求出AB的长度，即为圆

的直径，可得出半径的长，进而判断得出圆与x轴相离，可得出圆与y轴交于2点.所以满足条件的点共有

6个.

【解答】解：根据题意画出相应的图形，如图所示：

分三种情况考虑：当A为直角顶点时，过A作ACLAB,交X轴于点Q,交y轴于点C2,此时满足题意的点

为Q,C2；

当B为直角顶点时，过B作BC_L_LAB,交x轴于点C3,交y轴于点C4,此时满足题意的点为C3，C4；

当C为直角顶点时，以AB为直径作圆，由A（-1,2）,B（2,6）,得至l]AB=5,可得此圆与x轴相离,

则此圆与x轴没有交点，与y轴有2个交点，分别为C5,C6.

综上，所有满足题意的C有6个.

故选：C.

【点评】此题考查了圆周角定理，勾股定理，以及坐标与图形性质，利用了分类讨论及数形结合的思想.注

意：若^ABC是直角三角形，则它的任意一个顶点都有可能为直角顶点.

【变式2-2](2022,浙江宁波•二模)如图1,四边形438是。的内接四边形，其中=对角线

AC,应)相交于点E,在AC上取一点尸，使得=过点尸作G"_LAC交于点G、H.

⑴证明：△AEZKB4DC；

(2)如图2,若AE=1,且GH恰好经过圆心0,求BCCD的值；

(3)若AE=1,EF=2,设BE的长为x.

①如图3,用含有x的代数式表示△BCD的周长；

②如图4,BC恰好经过圆心0,求△BCD内切圆半径与外接圆半径的比值.

【答案】⑴见解析；

(2)CBC£)=12；

⑶①二；②内切圆半径与外接圆半径的比值为:；

x5

【分析】(1)利用等腰三角形的性质和圆周角定理即可证明;

(2)由垂径定理得AC=2AF=2AD由(1)结论可得AD=2AE=2,求出AC,CE的长再由ElABCEBDEC,利

用比例的性质即可解答；

(3)①利用(1)结论求得AC的长，由132cE30AOE求得BC,OE的代数式，由BABEHaOCE求得C£)的

代数式，再计算周长即可；

②根据①的解答先由勾股定理求出BC的长，再利用面积法求出7?同8。的内切圆半径即可解答；

【详解】(1)证明：^AB=AD,

^ABD=^ADB,

aS\ABD=SACD,

^\ACD=^ADB,

SECAD=^DAE,

00C4Z)00£)AE；

(2)解：aaCAOGHZME,

ADAC

团---=----,

AEAD

团GH是直径，A(SGHf

[?L4C=2AF,

又朋乐

国4O2AQ,

^\AD=2AE=2f

[?L4F=2,CF=2,EF=1,

胤4c=4,CE=3f

^BCA=^\ADB=^ABD=^ACDf

又团团BAC二团E0C,

「BCAC

0----二---，

ECDC

0CBCD=CACE=4X3=12；

(3)解：①0AE=1,EF=2,

^\AB=AD=AF=3,

ADAC

团---=----,

AEAD

0AC=9,即CE=8,

^\BCE^\ADE,

BEBCCE8

团---=---=---=Xj§nPnBC=3XfDE——,

AEADDEx

miBE^\DCEf

CDAB

团---二---=3

DEAE

…24

0C£)=——

x

32

团C』8c0=4xH----

x

②BBC是直径,

fflBAC=90°,

22

0BC=73+9=3710-

团外接圆半径为亚，

2

在RZ0A5E中：BE川f+学=&5,

由①小题结论，＜^8。=4而+弟=迎©,

回5

8庆屈+上==而，CD=^4晒,

7105回5

设内切圆半径为厂贝腼BC。的面积=:xaBCr）的周长xr,则

骏加乜屈」X型厢「，

25525

解得：片|所

畔径之比二亚:亚二；

525

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，三角形内切圆半径求法等知识；

熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键.

【变式2-3］（2021•浙江杭州•一模）如图，点E是正方形A8C。边BC上一点（点E不与8、C重合），连接

BE

AE交对角线瓦）于点尸，的。尸的外接圆。交边C。于点G,连接GA、GE,设~=a.

CE

（1）求回EAG的度数.

（2）当a=:时，求tanHAEG.

（3）用a的代数式表示尝，并说明理由.

CG

【答案】（1）45。；（2）3；（3）J

2a

【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等即可求出结果；

（2）连接G厂，根据正方形推出NADG=90。，再根据圆的内接四边形对角互补推出NAGF=90。，然后根

1

据第一问推得/E4G=/AG尸，即AF=G尸，然后利用已知e=彳得出==3,再根据⑷/即可

2BE

得出结果；

（3）过点P作切LCD,连接CT然后根据正方形的对称性得CF=AF,由（2）得W=GR,由小，CD

和三线合一得CH=HG,然后根据已知得出婴=差=5.,再根据ABEF^ADAF得出芸=竽=巳担,

BEBEaBFBEa

根据NF//CD利用比例线段得出名=空=4里，然后根据ZX7=DH-GH,G〃=C"等量代换即可得到

CHBFa

结果.

【详解】解：（1）Q3。是正方形ABC。的对角线,

,\ZBDC=45°,

FG=FG，

ZGAF=ZFDG,

「.ZE4G=45。；

(2)连接G/，

，在正方形ABC。中NADG=90。,

又•「在圆。的内接四边形ADG/中NAFG+NADG=180。,

:.ZAFG=90°,由（1）得NG4£=45。，

/.ZAGF=45°f

.-.ZFAG=ZAGF,

:.AF=GF,

ZGFE=180°-ZAFG=90°,

GF

tanZAEG=—,

FE

AF

tanZAEG=——,

FE

BE1

OL=----=—,BE+CE=BC,

CE2

.工3,

BE

正方形ABCD中AD/ABC,AD=BC,

:.\BEF^/\DAF,

.AFADBC

••瓦—正一标‘

/.tanZAEG=3；

(2)过厂作FHLCD,垂足为H,连接b,

利用正方形轴对称可得CF=AFf

由⑵知AF=GF

:.CF=GF,

FH±CDf

:.CH=HG,

BE

—=a,AD=BC=BE+CE,

CE

ADBCa+1

BEBEa'

AB£F^AZMF,

DFADa+1

BFBEa'

FH±CD,ZADC=90°,

.-.HF//CD//BC,

,PHDF

'CH-BF(

.PH<7+1

~CH~a

DG=DH-GH,GH=CH,

DG_DH-GH_DH—CH_c+l-c_J_

GC~CH+GH~2cH~la~la

【点睛】本题考查了圆的综合题，圆的相关概念同弧所对的圆周角，圆的内接四边形是解本题的必备条件.利

用平行出相似，平行出比例线段以及线段的等量代换是解本题的关键.

【变式2-4］（2023•黑龙江哈尔滨•二模）如图1,VABC内接于。中，43为直径，点。在弧2C上，连接

图1图2图3

⑴求证：ZG4B+ZD=90°；

（2）如图2,连接OC交AD于点/，若NDAB+2NC4D=90。，求证：AC=CD-

⑶在（2）的条件下，如图3,点E在线段CF上，连接AE,BE交AD于点H,若NEHA=2NEAH,AE=6,

OF^y/2,求线段班的长.

【答案】（1）见解析

⑵见解析

（3）BE=2y/l4

【分析】（1）根据圆周角定理可得NACB=90。，ZB=ZD,由三角形内角和定理可得/6B+/B=90。，

从而可得/。1B+ND=90。；

（2）设/CAD=c,可得/6止=90。-20,从而得到NC4B=90。—。，由等腰三角形的性质可得

ZOCA=ZOAC=90-a,即可得到NAFC=90。，即OC_LAD,从而即可得证；

（3）连接05BD,由（2）可得：OC垂直平分A。，可得A£=OE=6,根据等腰三角形的性质及三角

形外角的定义可得=设乙HED=4HDE=B，则=ZDBE=9Q°-2J3,过点6作

BG，3E交即的延长线于点G,根据三角形的中位线定理可得80=26=20尸=20，过点5作成，ZX；

于点L,则"=GL,设DL=GL=x,根据同角的余角相等可得/LBG=NL£B,从而可得

sinZLBG=sinZLEB,因此黑=磐，即（2应丫=x（6+2x）,解方程即可得到答案.

【详解】（1）证明：钻为直径，

:.ZACB=9Q°f

团/C4B+4=90。，

AC=AC，

⑦ZB=ZD,

^ZCAB+ZD=90°；

（2）证明：设N6D=a,

团ZDAB+2ZCAD=90°,

0ZZMB=9O°-2cr,

团NC钻二90。—。，

团OC=OA,

mZOCA=ZOAC=90-af

f?JZCAF+ZACF=90°,

团NAFC=90。，

团OCJ_AD,

BAF=CFf

团AC=CD；

（3）解：连接DEBD,

由（2）可得：0C垂直平分AD,

团AE=DE=6,

⑦ZEDA=NEAH,

⑦ZEHA=2/EAH,

^ZEHA=2ZEDA,

团ZEHA=ZEDH+ZHED,

⑦ZHED=NHDE,

AB为直径，

^ZADB=90°,

设/HED=/HDE=B,

⑦/DHB=2/3,

⑦NDBE=9O0—20,

过点B作3G_L班交中的延长线于点G,

团NGDB=90°—a,/DBG=2/3,

团/G=2〃，

团BD=BG,

国AF=DF,AO=BO,

⑦BD=BG=2OF=2拒，

过点3作BLLDG于点L,

团DL=GL,

^DL=GL=x,

⑦NLBG+NG=ZLEB+NG=90。,

©ZLBG=NLEB,

团sinZLBG=sinNLEB,

LGBG

团---=---,

BGEG

回（2何=x（6+2x）,

解得玉=-4（舍去），x2=l,

SLD=LG=1,

团EL—7,

0LB=V7,

025=2旧.

【点睛】本题主要考查了圆周角定理、三角形外角的定义、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、

三角形的中位线定理，正弦的应用，熟练掌握圆周角定理、三角形外角的定义、等腰三角形的判定与性质、

三角形内角和定理、三角形的中位线定理，添加适当的辅助线，是解题的关键.

题型三：胡不归模型

-1

i指I点I迷I津

一动点尸在直线"N外的运动速度为巴,在直线MN上运动的速度为“，且匕＜4,4、B为定点,

点C在直线上，确定点C的位置使生+生的值最小.（注意与阿氏圆模型的区分）。

%匕

1）—+—=—（BC+^Ac],记无=匕，即求BC+X1C的最小值.

匕匕匕（KJV2

2）构造射线AD使得sinNZMN=Z,—=k,将问题转化为求BC+CH最小值.

AC

3）过8点作BH±AD交MN于点C,交AD于H点,此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小.

【解题关键】在求形如“必+初中的式子的最值问题中，关键是构造与小2相等的线段，将“B4+d2”型问题

转化为“出+PC理.（若A1,则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。

【最值原理】垂线段最短。

【中考母题学方法】

【典例3-1】（2022•内蒙古鄂尔多斯•中考真题）如图，在0A8C中，AB=AC=4,13cA2=30。，ADSBC,垂

足为。，尸为线段上的一动点，连接PB、PC.则公+2PB的最小值为.

【答案】472

【分析】在回8AC的外部作EICAE=15。,作WBAE于尸，交A。于P,此时B4+2P3=2尸4+「修=+PB)

=2BF,通过解直角三角形42凡进一步求得结果.

【详解】解:如图,

在I3BAC的外部作EICAE=：L5。，作BRSAE于尸，交于P,

此时B4+2PB最小，

幽4/8=90。

0AB=AC,AD0BC,

^S\CAD=^BAD=-ZBAC=-x300=15°,

22

B0EAD=EICAE+OCAD=30°,

SPF=-PA,

2

0B4+2PB=2QPA+PB=；（PF+PB）=2BF\

在RtEAB尸中，AB=4,0BAF=0BAC+0CAE=45°,

SBF=AB»sin45°=4x旦2应，

2

团（B1+2P5）最大=23尸=40,

故答案为：472.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解直角直角三角形，解题的关键是作辅助线.

4

【典例3-2】(2022•广西梧州,中考真题)如图，在平面直角坐标系中，直线＞分别与x,y轴交于

⑴求此抛物线的解析式；

(2)若点C的坐标是(0,6),将△ACO绕着点C逆时针旋转90。得到AECF，点A的对应点是点E.

①写出点E的坐标，并判断点£是否在此抛物线上；

3

②若点尸是y轴上的任一点，求gBP+EP取最小值时，点P的坐标.

【答案】⑴y=亮尤,一9一4

lo2

⑵①点E在抛物线上；②尸(0,

【分析】(1)先求出A、B坐标，然后根据待定系数法求解即可；

(2)①根据旋转的性质求出EF=AO=3,CF=CO=6,从而可求E的坐标，然后把E的坐标代入(1)的函

数解析式中，从而判断出点E是否在抛物线上；

②过点E作E/fflAB,交y轴于P,垂足为“，sinZABO=—=——=工则HP='BP,得二BP+EP=HP+PE,

ABBP555

可知"尸+PE的最小值为E”的长，从而解决问题.

【详解】(1)解:当光二。时，y=-4,

4

当y=0时，_§%_4=0,

取二-3,

妫(-3,0),B(0,-4),

把A、3代入抛物线y+Zzx+c,

5

—X(—3)92—3"C=0

得18

c=-4

b=--

2,

c=-4

团抛物线解析式为了=。2-葭-4.

1o2

(2)解：①她(-3,0),C(0,6),

[?L4O=3,C0=6,

由旋转知：EF=AO=3.CF=CO=6,0FC(?=9OO

EIE到x轴的距离为6-3=3,

团点E的坐标为(6,3),

当尤=3时，y=—x62--x6-4=3,

182

团点E在抛物线上；

②过点片作由AS交y轴于尸，垂足为H,

回04=3,03=4,

她3=5,

AQHP3

团sinNA30=-----

ABBP~5

3

^\HP=-BP,

3

^\-BP+EP=HP+PE,

WP+PE的最小值为EH的长,

作EGHy轴于G,

团团GEP=M80,

团tan团G石尸=tan团A3。,

9

团PG=3，

2

八八93

回0尸=--3=-,

22

3

团尸(0,——).

2

【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，旋转的性质，三角函数，两点之

间、线段最短等知识，利用三角函数将1BP转化为HP的长是解题的关键.

【典例3-3】(2024•四川成都・模拟预测)探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探

究.

【尝试初探】

(1)如图①，在四边形ABCD中，若NABC=NADC=90。，AB=AD=5,ZBAD=120°,求AC的长；

【深入探究】

(2)如图②，在四边形ABCD中，若NABC=NADC=90。，ZBCD=45°,AC=8®，求8。的长；

【拓展延伸】

(3)如图③，在四边形ABCD中，若ZABC+NM>C=180。，NADC=60。，AD=AB=2A/3,延长相

交于点E,DEICE,尸是线段AC上一动点，连接PZ),求2DP+CP的最小值.

【答案】(1)10；(2)8；(3)672+4.76.

【分析】本题是三角形综合题，涉及了解特殊的直角三角形、对角互补模型、最值胡不归模型、角平分线

性质及判定、全等三角形的判定，解题关键是利用三角形全等转化线段和角的关系，由30度角、45度角的

解直角三角形，求边长，构造胡不归模型利用垂线段最短求出最值.

(1)易证AABC四△AOC(HL),从而可得NBAC=，/BAD=60。，ZACD=-ZBC£>=30°,进而由含30

22

度直角三角形性质可得AC=2AD=10；

(2)如图2,取AC的中点O,连接08、OD,由直角三角形斜边中线等于斜边一半可证明，3QD是等腰

直角三角形，00=03=3AC=40,即可求出加>=而第两7=8・

(3)由已知可以求得证明/ACD=/AC8=；NBCr)=15。，ZCAD=105°,再构造含30度的直角三角形求

出0)=(70+00=6+46,再利用胡不归模型构造PD+；PC的折线段，根据垂线段最短，得出PD+〈PC的

最小值即可求解.

【详解】解：(1)0ZABC=ZAZ)C=90°,AB=AD=5,AC=AC；

ElRtAABC^RtAADC(HL)；

0ABAC=ACAD=-ABAD=60°,

2

ElZACD=90°-ZC4D=30°,

0AC=2AD=1O.

(2)如图②，取AC的中点O,连接QB、OD,

图②

^ZABC=ZADC=90°,

^OD=OC=-AC,OB=OC^-AC,

22

⑦NODC=NOCD,ZOBC=ZOCB,

团ZAOD=/ODC+/OCD=2ZOCD,ZAOB=/OBC+NOCB=2ZOCB；

0ZAOD+ZAOB=2(ZOCD+ZOCB),即ZBOD=2ZBCD,

回/BCD=45。，

^ZBOD=90°f

^OD=OB=-AC=-xSyf2=4y[2,

22

^BD=y]0D2+0B2=7(4V2)2+(4^)2=8，

(3)如图③，过点A作AFLCD,

0ZABC=12O°,ZABE=60°,

又团。石_LCE,

团NB4E=90。—Z4B£=30。，

团ND4B=150。,

团NDCB=360°-ZDAB-(ZADC+ZABC)=30°,

在，ABE■和△ADb中，

ZAEB=ZAFD=90°

<ZABE=ZADF=60°

AD=AB

团ABE沿AZ)F(AAS),

0AF=AE,

0AF1CD,AE1.EC,

^ZACD=ZACB=-ZBCD=-x300=15°

229

^ZCAF=90°-ZACD=15°,

ZCAD=180°-ZADC-ZACD=105°

过点A作A。，A。交8于点Q,

^ZAQD=90°-ZADC=30°,ZQAC=ZCAD-ZDAQ=105°-90°=15。，

团OQ=2AO=4G，AQ=^DQ2-AD2=7(4A/3)2-(2^)2=6，

团NQAC=ZACD=15。，

SAQ=CQ=6,

SCD=CQ+DQ=6+4s/3,

如图④，作Z4CG=30。，过点P作/W1.CG,垂足为H,过点。作DNLCG,垂足为N,交AC于M,

SPH=-PC,ZDCG=ZACD+ZACG=45°,

2

^DP+PH=DP+^-PC,DN=CD-sinZDCG=（6+4右）x"=3忘+2后,

22

QDP+PH2DN,当点尸在点M位置时，点〃与N重合，DP+PH取最小值，最小值为3日+2",

国。P+；PC的最小值为3点+2#,

团2OP+PC最小值为6拒+4".

【中考模拟即学即练】

【变式3-1］（22-23九年级上•山东济宁•期末）如图，VABC中，AB=AC=15,tanA=2,鹿，4。于点£,

。是线段BE上的一个动点，则CZJ+@2D的最小值是（

5

C.5亚D.10

【答案】B

BE

【分析】如图，作于a,CMJ_AB于M.由tanA=-；—=2,设AE=a,BE=2a,利用勾股定

AE

理构建方程求出。，再证明好B。，推出CO+@8D=CO+Df7,由垂线段最短即可解决问题.

55

【详解】解：如图，作W/_LAB于H,CM_LAB于

A

BE±AC,

tanA,=-B-E--=2,

AE

设AE=a,BE=2a,

则有：225=(2“y+(a)2,

a2=45,

解得a=3/a=-3百（舍去）,

@BE=2a=6由，

AB=AC,BELAC,CMLAB,则工ABCM=工ACBE

22

SCM=BE=645,

ZDBH=ZABE,ZBHD=ZBEA,

.•.si•n//DMBUH=_DH=_AE——,

BDAB5

:.DH=—BD,

5

:.CD+—BD=CD+DH,

5

当C、D、”三点共线时，CD+—BD=CM,

5

；.CD+率D的最小值为6q.

故选：B.

【点睛】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅

助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型.

【变式3-2］（2023•安徽黄山•模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数＞=x-也的图象

22

与x轴交于点A,C两点，与y轴交于点8,对称轴与x轴交于点。，若P为y轴上的一个动点，连接PD,

则;EB+P。的最小值为（

C.布D.-V3

4

【答案】A

【分析】作射线,作PE_L始于E,作DF_L如于F,交y轴于尸'，可求得ZABO=30°,从而得出PE=gpB,

进而得出PD+gp8=PO+EP,进一步得出结果.

作射线54,作PE_LH4于E,作Z)FJ_54于R交y轴于P,

T_1

抛物线的对称轴为直线天=-

242

2

0OD=-

2

当x=0时，y=-A/3,

⑦OB=A

当y=0时，走丁―走冗―6=0,

22

回玉二-1,X?=2,

团A(—1,0),

团。4=1,

041_V3

[?]tanZABO=——

OB耳，’

团Z4BO=30。，

^\PE=-PB,

—2

^PB+PD=PD+PE>DF,当点P在P时，PD+PE最小,最大值等于DR,

13

在RtADb中，ZDAF=90°-ZABO=60°fAD=OD+PA=-+1=-f

0DF=ADsin/DAE=）又显一空,

224

国弓i尸^+尸。）最小=。尸=3]A_"，

故选：A.