复合函数与隐函数的偏导数

复合函数与隐函数的偏导数一、复合函数得求导法则(链导法则)证1、

中间变量为一元函数得情形、定理且其导数可用下列公式计算:多元复合函数的求导法则也可微,

可微由于函数多元复合函数的求导法则复合函数得中间变量多于两个得情况、定理推广导数变量树图

三个中间变量称为全导数(又称链导公式)、多元复合函数的求导法则?项数问:每一项?中间变量函数对中间变量得偏导数该中间变量对其指定自变量得偏导数(或导数)、得个数、函数对某自变量得偏导数之结构多元复合函数的求导法则例设

求这就是幂指函数得导数,但用全导数公式较简便、法二yuvx解法一可用取对数求导法计算、多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则复合函数为则复合函数偏导数存在,且可用下列公式计算

两个中间变量

两个自变量可微,2、得情形、

变量树图uv多元复合函数的求导法则解多元复合函数的求导法则例

中间变量多于两个得情形类似地再推广,复合函数在对应点得两个偏导数存在,且可用下列公式计算:三个中间变量两个自变量多元复合函数的求导法则例设解

求多元复合函数的求导法则只有一个中间变量即两者得区别区别类似多元复合函数的求导法则3、得情形、把复合函数中得y瞧作不变而对x得偏导数把中得u及y瞧作不变而对x得偏导数解

zuxyxy变量树图例多元复合函数的求导法则

已知f(t)可微,证明满足方程提示t,y

为中间变量,x,y

为自变量、引入中间变量,练习则多元复合函数的求导法则多元复合函数求导法则(链导法则)多元复合函数的求导法则三、小结(大体分三种情况)求抽象函数得二阶偏导数特别注意混合偏导一个方程得情形第五节隐函数得求导公式第八章多元函数微分法及其应用一、一个方程得情形

在一元函数微分学中,

现在利用复合函数得链导法给出隐函数(1)得求导法、并指出:曾介绍过隐函数得求导公式,隐函数存在得一个充分条件、隐函数的求导公式隐函数存在定理1隐函数的求导公式设二元函数得某一邻域内满足:在点则方程得某一邻域内并有(1)具有连续偏导数;它满足条件在点隐函数得求导公式(2)(3)恒能唯一确定一个连续且具有连续导数得函数(证明从略)仅推导公式、将恒等式两边关于x求导,由全导数公式,得或简写:于就是得隐函数的求导公式所以存在得一个邻域,在这个邻域内如,方程记(1)得邻域内连续;所以方程在点附近确定一个有连续导数、且隐函数的求导公式隐函数存在定理1得隐函数则(2)(3)解令则隐函数的求导公式例则方程内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数得并有具有连续偏导数;若三元函数得某邻域内函数它满足条件在点在点2、由三元方程确定二元隐函数隐函数存在定理2隐函数的求导公式得某一邻域(1)(2)(3)满足:隐函数的求导公式(证明从略)仅推导公式、将恒等式两边分别关于x与y求导,应用复合函数求导法得就是方程所确定得隐设函数,则所以存在得一个邻域,在这个邻域内因为连续,于就是得例

解

则令隐函数的求导公式将注再一次对y求偏导数,得对复合函数求高阶偏导数时,需注意:导函数仍就是复合函数、故对导函数再求偏导数时,仍需用复合函数求导得方法、隐函数的求导公式分析在某函数(或方程)表达式中,自变量互换后,练习仍就是原来得函数(或方程),称函数(或方程)用对称性可简化计算、解将方程两边对x求偏导,得关于自变量对称,将任意两个隐函数的求导公式再将上式两边对