云南省2023-2024学年高二数学下学期3月月考试题

Page182025届高二年级3月月考数学试卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.椭圆与椭圆的（）A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等2.在四边形中，四个顶点A，B，C，D的坐标分别是，，，，E，F分别为的中点，则（）A.10 B.12 C.14 D.163.各项为正的等比数列中，，则的前4项和（）A.40 B.121 C.27 D.814.设m、n是不同的直线，α、β是不同的平面，以下是真命题的为（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则5.小明将1，4，0，3，2，2这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2之间只有一个数字，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为（）A.48 B.32 C.24 D.166.若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（）A.1 B. C. D.7.已知，则（）A. B. C. D.8.将甲、乙等8名同学分配到3个体育场馆进行冬奥会的志愿服务，每个场馆不能少于2人，则不同的安排方法有（）A.2720 B.3160 C.3000 D.2940二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分；若只有两个正确选项，每选对一个3分；若只有3个正确选项，选对一个2分，选对两个3分9.已知的展开式的各项系数之和为1024，则展开式中（）A.奇数项的二项式系数和为256 B.第6项的系数最大C.存在常数项 D.有理项共有6项10.设为复数，则下列命题中正确的是（）A. B.若，则复平面内对应的点位于第二象限C. D.若，则的最大值为211.已知函数的定义域为，、都有，且，则（）A B.C.增函数 D.是偶函数三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12已知集合，，则___________13.将平面内等边与等腰直角（其中为斜边），沿公共边折叠成直二面角，若，且点在同一球的球面上，则球的表面积为______.14.已知实数，满足，，则__________．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.滇池久负盛名，位于春城昆明，是我国西南地区最大的淡水湖，被誉为“高原明珠”．如图，为计算滇池岸边与两点之间的距离，在岸边选取和两点，现测得，，，，．（1）求的长；（2）求的长．16.已知函数.（1）若是函数的极值点，求的值；（2）求函数的单调区间.17.如图，在四棱锥中，平面，.（1）求二面角正弦值；（2）在棱上确定一点，使异面直线与所成角的大小为，并求此时点到平面的距离.18.已知椭圆与双曲线的焦距之比为．（1）求椭圆和双曲线的离心率；（2）设双曲线的右焦点为F，过F作轴交双曲线于点P（P在第一象限），A，B分别为椭圆的左、右顶点，与椭圆交于另一点Q，O为坐标原点，证明：．19.设正整数数列，，，满足，其中.如果存在，3，，，使得数列中任意项的算术平均值均为整数，则称为“阶平衡数列”（1）判断数列2，4，6，8，10和数列1，5，9，13，17是否为“4阶平衡数列”？（2）若为偶数，证明：数列，2，3，，不“阶平衡数列”，其中（3）如果，且对于任意，数列均为“阶平衡数列”，求数列中所有元素之和的最大值．云师大实验中学2025届高二年级3月月考数学试卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.椭圆与椭圆的（）A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等【答案】D【解析】【分析】求出两椭圆的长轴长、短轴长、焦距以及离心率，即可得出合适的选项.【详解】椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为，椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为，所以，两椭圆的焦距相等，长轴长不相等，短轴长不相等，离心率也不相等.故选：D.2.在四边形中，四个顶点A，B，C，D的坐标分别是，，，，E，F分别为的中点，则（）A.10 B.12 C.14 D.16【答案】A【解析】【分析】利用中点坐标公式以及向量的坐标表示进行数量积运算.【详解】由题意，则，，.故选：A3.各项为正的等比数列中，，则的前4项和（）A.40 B.121 C.27 D.81【答案】A【解析】【分析】先根据等比数列通项公式求出，再根据前项和公式求值即可.【详解】设等比数列公比为,故选：A.4.设m、n是不同的直线，α、β是不同的平面，以下是真命题的为（）A若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则【答案】B【解析】【分析】根据空间中点线面的位置关系，借助于正方体，逐项分析即可.【详解】对于A,如上图正方体中，设平面为，平面为，为，满足，，此时，故A错误；对于B，因为，，α、β是不同的平面，则必有，故B正确；对于C，如上图正方体中，设平面为，平面为，为，满足，，此时，故C错误；对于D，如上图正方体中，设平面为，为，为，则满足，，此时，故D错误.故选:B.5.小明将1，4，0，3，2，2这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2之间只有一个数字，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为（）A.48 B.32 C.24 D.16【答案】C【解析】【分析】根据相邻问题用捆绑法和不相邻问题用插空法即可求解.【详解】1与4相邻，共有种排法，两个2之间插入1个数，共有种排法，再把组合好的数全排列，共有种排法，则总共有种密码．故选：C6.若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出平行于的直线与曲线相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式可得结论．【详解】设，函数的定义域为，求导得，当曲线在点处的切线平行于直线时，，则，而，解得，于是，平行于的直线与曲线相切的切点坐标为，所以点到直线的最小距离即点到直线的距离．故选：D7.已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】应用诱导公式及已知有，再由及差角余弦公式得，最后由和角正弦公式有，即可求结果.【详解】因为，结合题设，所以，而，所以，即，所以，所以.故选：D8.将甲、乙等8名同学分配到3个体育场馆进行冬奥会的志愿服务，每个场馆不能少于2人，则不同的安排方法有（）A.2720 B.3160 C.3000 D.2940【答案】D【解析】【分析】根据题意可知：共有两种分配方式，一种是，一种是，结合分堆法运算求解.【详解】共有两种分配方式，一种是，一种是，故不同的安排方法有.故选：D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分；若只有两个正确选项，每选对一个3分；若只有3个正确选项，选对一个2分，选对两个3分9.已知的展开式的各项系数之和为1024，则展开式中（）A.奇数项的二项式系数和为256 B.第6项的系数最大C.存在常数项 D.有理项共有6项【答案】BCD【解析】【分析】令即可求出的值，再写出展开式的通项，再一一判断.【详解】解：令，得，则或（舍去）.∴的展开式的通项.对于A，，故A错误；对于B，由题设展开式共11项，第6项的系数最大，故B正确；对于C，令，解得，故存在常数项为第三项，故C正确；对于D，当时，为有理项，故有理项共有项，故D正确.故选：BCD.10.设为复数，则下列命题中正确的是（）A. B.若，则复平面内对应的点位于第二象限C. D.若，则的最大值为2【答案】ABD【解析】【分析】利用复数的四则运算，复数模的性质逐个选项分析即可.【详解】对于A，设，故，则，，故成立，故A正确，对于B，，，显然复平面内对应的点位于第二象限，故B正确，对于C，易知，，当时，，故C错误，对于D，若，则，而，易得当时，最大，此时，故D正确.故选：ABD11.已知函数的定义域为，、都有，且，则（）A. B.C.是增函数 D.是偶函数【答案】BC【解析】【分析】通过赋值法求出函数解析式，然后逐项判断，可得出合适的选项.【详解】令，得，则，令，则，①令，则，即，②联立①②可得，则，，A错B对，函数为增函数，且为非奇非偶函数，C对D错.故选：BC.【点睛】关键点点睛：本题考查抽象函数的基本性质问题，解题的关键在于对、进行赋值，通过构建方程组求解函数解析式，然后利用函数的基本性质来进行判断.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合，，则___________【答案】【解析】【分析】化简集合，，利用集合的交集的定义即可求.【详解】因，，所以.故答案为：13.将平面内等边与等腰直角（其中为斜边），沿公共边折叠成直二面角，若，且点在同一球的球面上，则球的表面积为______.【答案】【解析】【分析】利用空间几何体的外接球及球体表面积公式计算即可.【详解】如图所示取中点，连接，根据题意易知，又为等腰直角三角形，为等边三角形，所以可知，易知点在直线上，设，球半径为R，所以，故外接球的表面积为.故答案为：14.已知实数，满足，，则__________．【答案】1【解析】【分析】由可变形为，故考虑构造函数，判断函数的单调性，利用单调性化简等式，由此可求.【详解】因为，化简得．所以，又，构造函数，因为函数，在上都为增函数，所以函数在上为单调递增函数，由，∴，解得，，∴．故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.滇池久负盛名，位于春城昆明，是我国西南地区最大的淡水湖，被誉为“高原明珠”．如图，为计算滇池岸边与两点之间的距离，在岸边选取和两点，现测得，，，，．（1）求的长；（2）求的长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）中利用余弦定理可求长；（2）在中利用正弦定理可求长．【小问1详解】在中，有，，．由余弦定理，可得，即，整理可得，解得或（舍去），故的长为．【小问2详解】在中，有，，，则．由正弦定理，可得，即的长为．16已知函数.（1）若是函数的极值点，求的值；（2）求函数的单调区间.【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）利用，解得，再检验可得答案；（2）求导后，对分和讨论，根据可得增区间，可得递减区间.【详解】（1）函数定义域为，，因为是函数的极值点，所以，解得（舍）或经检验，时，是函数的极值点，所以.（2）若，，所以函数的单调递增区间为，无递减区间；若，令，解得，令，解得，所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是.综上所述：，函数单调递增区间为，无递减区间；当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是.【点睛】本题考查了根据函数的极值点求参数，考查了分类讨论思想，考查了由导数求单调区间，属于基础题.17.如图，在四棱锥中，平面，.（1）求二面角的正弦值；（2）在棱上确定一点，使异面直线与所成角的大小为，并求此时点到平面的距离.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量法求二面角；（2）设，由空间向量法求异面直线所成的角得出，再由向量法求点面距．【小问1详解】以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系.因为，所以，则.设平面的法向量，则，取得，设平面的法向量，则，取得，设二面角的大小为，则，所以.【小问2详解】设，则.因为异面直线与所成角的大小为，所以，解得或（舍去）.此时，所以点到平面的距离.18.已知椭圆与双曲线的焦距之比为．（1）求椭圆和双曲线的离心率；（2）设双曲线的右焦点为F，过F作轴交双曲线于点P（P在第一象限），A，B分别为椭圆的左、右顶点，与椭圆交于另一点Q，O为坐标原点，证明：．【答案】18.椭圆的离心率为，双曲线的离心率为19.证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意结合椭圆、双曲线的方程与性质运算求解；（2）由（1）可知，联立方程求点的坐标，结合斜率公式分析证明.【小问1详解】椭圆的焦距，双曲线的焦距，则，整理得，从而，，故椭圆的离心率，双曲线的离心率．【小问2详解】由（1）可知，椭圆，因为，所以直线的方程为．联立方程组，整理得，则，则，可得，即，因为，，，则，，故．【点睛】方法点睛：与弦端点相关问题的解法解决与弦端点有关的向量关系、位置关系等问题的一般方法，就是将其转化为端点的坐标关系，再根据联立消元后的一元二次方程根与系数的大小关系，构建方程(组)求解．19.设正整数数列，，，满足，其中.如果存在，3，，，使得数列中任意项的算术平均值均为整数，则称为“阶平衡数列”（1）判断数列2，4，6，8，10和数列1，5，9，13，17是否为“4阶平衡数列”？（2）若为偶数，证明：数列，2，3，，不是“阶平衡数列”，其中（3）如果，且对于任意，数列均为“阶平衡数列”，求数列中所有元素之和的最大值．【答案】（1）2，4，6，8，10不是4阶平衡数列；1，5，9，13，17是4阶平衡数列；（2）证明见解析（3）12873．【解析】【分析】（1）由不为整数，数列1，5，9，13，17为等差数列，结合新定义即可得到结论；（2）讨论为偶数或奇数，结合新定义即可得证；（3）在数列中任意两项，，，作差可得数列中任意两项之差都是的倍数，，讨论数列的项数超过8，推得数列的项数至多7项.讨论数列的项数为7，数列的项数小于或等于6，