专题 与幂有关的运算解答题（5大题型提分练）-2024-2025学年七年级数学下册同步练习（北师大版）

PAGE1（北师大版）七年级下册数学《第1章整式的乘除》专题与幂有关的运算解答题题型一直接运算幂的运算性质计算1．（2023春•宿州期中）计算：x3•x2﹣（﹣2x4）2+x10÷x2．【分析】根据同底数幂的乘法运算再合并同类项即可．【解答】解：x3•x2﹣（﹣2x4）2+x10÷x2．＝x5﹣4x8+x8＝x5﹣3x8．【点评】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是关键．2．（2024秋•蔡甸区校级期中）计算：a4•a5﹣a10÷a+（﹣2a3）3．【分析】先计算同底数幂乘法、同底数幂的除法、积的乘方，再合并同类项即可．【解答】解：a4⋅a5﹣a10÷a+（﹣2a3）3＝a9﹣a9﹣8a9＝﹣8a9．【点评】此题考查了同底数幂乘法、同底数幂的除法、积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．3．（2024秋•松江区期末）计算：x•x2•x3﹣（﹣x）6+（x3）2．【分析】先根据同底数幂的乘法、幂的乘方法则计算，再合并同类项即可．【解答】解：x•x2•x3﹣（﹣x）6+（x3）2＝x6﹣x6+x6＝x6．【点评】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．4．（2024秋•西宁期末）计算：a3•a4•2a﹣（a2）4+（﹣3a4）2．【分析】先根据幂的乘方与积的乘方运算法则，同底数幂的乘法运算法则进行计算，然后再合并同类项即可．【解答】解：a3•a4•2a﹣（a2）4+（﹣3a4）2＝2a8﹣a8+9a8＝10a8．【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法运算，合并同类项，熟练掌握幂的乘方与积的乘方运算法则，同底数幂的乘法运算法则，合并同类项是解题的关键．5．（2024春•牡丹区月考）计算：（1）（﹣m）•（﹣m）2•（﹣m）3；（2）（m﹣n）•（n﹣m）3•（n﹣m）4．【分析】（1）根据同底数幂的乘法运算进行计算；（2）根据同底数幂的乘法运算进行计算即可求解．【解答】解：（1）（﹣m）•（﹣m）2•（﹣m）3＝（﹣m）1+2+3＝（﹣m）6＝m6；（2）（m﹣n）•（n﹣m）3•（n﹣m）4＝（m﹣n）•[﹣（m﹣n）3]•（m﹣n）4＝﹣（m﹣n）8．【点评】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．6．计算：（1）a2•（﹣a）2﹣a3•a；（2）a3•（﹣a）2+a•（﹣a）4．【分析】（1）先算乘方，再根据同底数幂的乘法法则进行计算，最后合并同类项即可；（2）先算乘方，再根据同底数幂的乘法法则进行计算，最后合并同类项即可．【解答】解：（1）a2•（﹣a）2﹣a3•a＝a2•a2﹣a4＝a4﹣a4＝0；（2）a3•（﹣a）2+a•（﹣a）4＝a3•a2+a•a4＝a5+a5＝2a5．【点评】本题考查了合并同类项法则和同底数幂的乘法，注意：①把同类项的系数相加作为结果的系数，字母和字母的指数不变；②am•an＝am+n．7．（2024秋•五常市期中）计算：（1）x2•x4+（x3）2﹣5x6；（2）（﹣2a）6﹣（﹣3a3）2+[﹣（2a）2]3．【分析】（1）先算乘方再算乘法，最后合并同类项；（2）先计算积的乘方，再合并同类项．【解答】（1）原式＝x6+x6﹣5x6＝﹣3x6；（2）原式＝64a6﹣9a6+（﹣4a2）3＝64a6﹣9a6﹣64a6＝﹣9a6．【点评】本题考查了整式的运算，掌握同底数幂的乘法法则、积的乘方法则及合并同类项法则是解决本题的关键．8．计算：（1）x2•x+x•x2；（2）a3•an﹣1+a•an+1；（3）a2•a3﹣（﹣a3）•a4+a6•（﹣a）；（4）（x﹣y）5•（y﹣x）4•（x﹣y）2．【分析】（1）根据整式的混合运算，先计算乘法，再计算加法．（2）根据整式的混合运算，先计算乘法，再计算加法．（3）根据整式的混合运算，先计算乘法，再计算加减．（4）先变形，再根据同底数幂乘法法则（同底数幂相乘，底数不变，指数相加）解决此题．【解答】解：（1）x2•x+x•x2＝x3+x3＝2x3．（2）a3•an﹣1+a•an+1＝an+2+an+2＝2an+2．（3）a2•a3﹣（﹣a3）•a4+a6•（﹣a）＝a5+a7﹣a7＝a5．（4）（x﹣y）5•（y﹣x）4•（x﹣y）2＝（x﹣y）5•（x﹣y）4•（x﹣y）2＝（x﹣y）11．【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解决本题的关键．9．（2024春•崂山区校级月考）计算：（1）x2•x2•x+x4•x；（2）a•a7﹣（﹣3a4）2+a10÷a2．【分析】（1）利用同底数幂乘法法则计算即可；（2）利用同底数幂乘法及除法法则，积的乘方法则计算即可．【解答】解：（1）原式＝x5+x5＝2x5；（2）原式＝a8﹣9a8+a8＝﹣7a8．【点评】本题考查幂的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．10．（2024春•江都区校级月考）计算：（1）（m﹣1）3•（1﹣m）4+（1﹣m）5•（m﹣1）2；（2）（﹣a2）2•a5+a10÷a﹣（﹣2a3）3．【分析】（1）将原式变形为（m﹣1）3•（m﹣1）4﹣（m﹣1）5•（m﹣1）2，再利用同底数幂的乘法运算法则计算；（2）先计算幂的乘方，同底数幂的乘除运算，再合并同类项即可．【解答】【分（1）解：（m﹣1）3•（1﹣m）4+（1﹣m）5•（m﹣1）2＝（m﹣1）3•（m﹣1）4﹣（m﹣1）5•（m﹣1）2＝（m﹣1）3+4﹣（m﹣1）5+2＝（m﹣1）7﹣（m﹣1）7＝0；（2）解：（﹣a2）2•a5+a10÷a﹣（﹣2a3）3＝a4•a5+a10﹣1+8a9＝a9+a9+8a9＝10a9．【点评】本题考查幂的乘方、同底数幂的乘除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．题型二由幂的运算性质求字母或式子的值1．（2024春•滨湖区期中）已知10m＝20，10n＝4，求：（1）102m﹣n的值；（2）34m÷9n的值．【分析】（1）根据同底数幂的除法法则的逆运算写出102m÷10n，再根据幂的乘方的逆运算求出结果；（2）先把34m÷9n化为34m÷32n，然后根据同底数幂的除法法则计算．【解答】解：（1）∵10m＝20，10n＝4，∴102m﹣n＝102m÷10n＝400÷4＝100；（2）∵10m＝20，10n＝4，∴102m＝400，∴102m﹣n＝100，∴2m﹣n＝2，∴34m÷9n＝92m÷9n＝92m﹣n＝92＝81．【点评】本题考查同底数幂的除法、幂的乘方，掌握运算法则是解题关键．2．（2024春•丹阳市月考）（1）若2x+5y﹣3＝0，求4x⋅32y的值．（2）若n为正整数，且x2n＝4，求（3x3n）2﹣4（x2）2n的值．【分析】（1）先根据同底数幂乘法和幂的乘方法则变形，再把2x+5y＝3代入行计算即可；（2）先根据幂的乘方的运算法则变形，再把x2n＝4代入计算即可．【解答】解：（1）4x⋅32y＝22x⋅25y＝22x+5y，∵2x+5y﹣3＝0，∴2x+5y＝3，∴原式＝23＝8．（2）∵x2n＝4，∴（3x3n）2﹣4（x2）2n＝9x6n﹣4x4n＝9（x2n）3﹣4（x2n）2＝9×43﹣4×42＝512．【点评】本题考查幂的运算，掌握幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法法则是解题的关键．3．（2024秋•思明区校级期中）若am＝an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m＝n．利用上面的结论解决下面的问题：（1）如果2×4x×8x＝221，求x的值；（2）如果3a+2•6a+2＝182a﹣4，求a的值．【分析】（1）先将等式左边化为底数为2的同底数幂的运算，根据题干给的结论得到关于x的方程，进行求解即可；（2）逆用积的乘方法则，再根据题干给的结论进行求解即可．【解答】解：（1）根据题意可知，2×22x×23x＝221，∴21+2x+3x＝221，即1+2x+3x＝21，解得：x＝4；（2）∵3a+2•6a+2＝182a﹣4∴（3×6）a+2＝182a﹣4，∴18a+2＝182a﹣4，∴a+2＝2a﹣4，∴a＝6．【点评】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，掌握幂的相关运算法则是关键．4．（2024秋•晋安区校级期中）若2x＝2，2y＝3，（1）求代数式2x+y的值；（2）求8x•4y的值．【分析】（1）根据已知条件，利用同底数幂相乘法则，把幂写成两个底数是2的幂相乘，再进行计算即可；（2）根据已知条件，逆用幂的乘方法则，把所求的幂写成底数是2的幂，然后进行计算即可．【解答】解：（1）∵2x＝2，2y＝3，∴2x+y＝2x•2y＝2×3＝6；（2）∵2x＝2，2y＝3，∴8x•4y＝（23）x•（22）y＝（2x）3•（2y）2＝23×32＝8×9＝72．【点评】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂相乘法则和幂的乘方法则．5．（2024春•阳谷县期中）（1）已知ax＝3，ax+y＝12，求ax+ay的值；（2）已知8α＝5，8β＝6，求82α+2β的值．【分析】（1）先根据已知条件逆用同底数幂的乘法法则，求出ay的值，再把ax＝3和ay的值代入计算即可；（2）先根据已知条件逆用同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则，把所求算式写成含有8a，8b的形式，代入进行计算即可．【解答】解：（1）∵ax＝3，ax+y＝12，∴ax+y＝ax•ay＝12，∴ay＝4，∴ax+ay＝3+4＝7；（2）∵8α＝5，8β＝6，∴82α+2β＝82α•82β＝（8α）2•（8β）2＝52×62＝25×36＝900．【点评】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则．6．（2024春•苍梧县期中）在幂的运算中规定：若ax＝ay（a＞0且a≠1，x，y是正整数），则x＝y．利用上面的结论解答下列问题：（1）若4x＝26，求x的值；（2）若5x+2﹣5x+1＝100，求x的值．【分析】（1）利用幂的乘方的法则变形，得到2x＝6，再进行运算即可；（2）利用同底数幂的乘法法则变形，得到x+1＝2，再进行运算即可．【解答】解：（1）∵4x＝26，∴22x＝26，∴2x＝6，解得x＝3；（2）∵5x+2﹣5x+1＝100，∴5x+1×5﹣5x+1＝100．4×5x+1＝4×52，∴x+1＝2，解得x＝1．【点评】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是掌握运算法则．7．（2024秋•商水县月考）若am＝an（m，n是正整数，a＞0且a≠1），则m＝n．利用上面的结论，解答下面的问题．（1）若2×8x×16x＝222，求x的值．（2）若（27x）2＝312，求x的值．（3）已知p＝57，q＝75，用含p，q的式子表示3535．【分析】（1）利用幂的乘方以及同底数幂相乘的运算法则变形为2×8x×16x＝2×23x×24x＝21+3x+4x＝222，结合题意得出1+3x+4x＝22，计算即可得解；（2）利用幂的乘方法则变形为（27x）2＝36x＝312，结合题意得出6x＝12，计算即可得解；（3）根据幂的乘方与积的乘方法则化为含有57和75的式子，即可得解．【解答】解：（1）∵2×8x×16x＝2×（23）x×（24）x＝2×23x×24x＝21+3x+4x＝222，∴1+3x+4x＝22，∴x＝3；（2）∵（27x）2＝[（33）x]2＝（33x）2＝36x＝312，∴6x＝12，∴x＝2；（3）∵p＝57，q＝75，∴3535＝（357）5＝[（5×7）7]5＝（57）5×（77）5＝（57）5×（75）7＝p5q7．【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方的运算法则是解此题的关键．题型三运用幂的运算性质进行简便计算1．（2024秋•潢川县校级月考）用简便方法计算：（1）0.12517×（﹣8）17；（2）0.12517×（217）3．【分析】（1）根据积的乘方的逆应用简化运算即可；（2）根据积的乘方的逆应用和幂的乘方简化运算即可．【解答】解：（1）0.12517×（﹣8）17＝[0.125×（﹣8）]17＝（﹣1）17＝﹣1；（2）0.12517×（217）3＝0.12517×（23）17＝（0.125×8）17＝117＝1．【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方，熟练掌握这些知识是解题的关键．2．（2024春•宿迁月考）用简便方法计算：（1）(4（2）(−9)【分析】（1）根据积的乘方把﹣1.25与0.8相乘，即可计算出结果；（2）根据积的乘方先把−23和【解答】解：（1）(＝0.82019×（﹣1.25）2019×（﹣1.25）＝（﹣1.25×0.8）2019×（﹣1.25）＝﹣1×（﹣1.25）＝1.25；（2）(−9＝（﹣9）3×（−23＝[（﹣9）×（−29＝23＝8．【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘法，解题的关键是掌握积的乘方的计算法则．3．（2024春•莱西市校级月考）用简便方法计算：（1）(−5（2）6n【分析】（1）逆用积的乘方运算法则进行计算即可；（2）逆用积的乘方运算法则进行计算即可．【解答】解：（1）(−=(−=(−=(−1)=−3（2）6=(6×＝1n＝1．【点评】本题主要考查了积的乘方运算，解题的关键是熟练掌握积的乘方运算法则，准确计算．4．计算：（1）48×0.258；（2）（−34）2024×（113【分析】（1）利用幂的乘方与积的乘方法则计算；（2）利用幂的乘方与积的乘方法则计算．【解答】解：（1）48×0.258＝48×4﹣8＝40＝1；（2）（−34）2024×（11＝（34）2024×（34＝（34）＝1．【点评】本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握幂的乘方与积的乘方运算法则．5．用简便方法计算．（1）(−9)（2）(−5【分析】（1）根据积的乘方运算法则进行简便计算；（2）根据积的乘方运算法则进行简便计算．【解答】解：（1）原式＝[（﹣9）×（−23）×＝23＝8；（2）原式＝（−513）×（−513）2018＝（−513）×[（−513＝（−513＝（−5=−5【点评】本题考查积的乘方的逆用，掌握掌握积的乘方（ab）n＝anbn运算法则是解题关键．7．计算：（1）（﹣0.125）12×（﹣123）7×（﹣8）13×（−35（2）0.252023×42024﹣8100×0.5300．【分析】（1）利用幂的乘方和积的乘方计算；（2）利用幂的乘方和积的乘方计算．【解答】解：（1）（﹣0.125）12×（﹣123）7×（﹣8）13×（−3＝（−18）12×（−53）7×（﹣8）13＝（﹣8）﹣12×（﹣8）13×（−35）﹣7×（−＝（﹣8）×（−35＝﹣8×=−72（2）0.252023×42024﹣8100×0.5300．＝4﹣2023×42024﹣2300×2﹣300＝4﹣20＝4﹣1＝3．【点评】本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握幂的乘方和积的乘方运算法则．8．（2024秋•海门区校级月考）下面是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题．东东的作业计算：45×（﹣0.25）5．解：原式＝（﹣4×0.25）5＝（﹣1）5＝﹣1．（1）计算：①82022×（﹣0.125）2022；②(12（2）若3×9n×81n＝325，请求出n的值．【分析】（1）①根据积的乘方及幂的乘方的运算法则得到正确结果；②积的乘方及幂的乘方的运算法则即可得到正确结果；（2）利用幂的乘方运算法则的逆用及同底数幂的乘法法则即可得到n的值．【解答】解：（1）①82022×（﹣0.125）2022＝[8×（﹣0.125）]2022＝（﹣1）2022＝1；②原式==(=1×5=5（2）∵3×9n×81n＝325∴3×（32）n×（34）n＝325，∴36n+1＝325，∴6n+1＝25，解得：n＝4．【点评】本题考查了同底数幂的乘法法则，积的乘方，幂的乘方的运算法则等相关知识，熟记对应法则是解题的关键．9．（2023秋•宛城区校级月考）【问题发现】我们知道：（2×3）2＝36，22×32＝4×9＝36，于是（2×3）2＝22×32；（﹣1×4）3＝﹣64，（﹣1）3×43＝﹣1×64＝﹣64，于是（﹣1×4）3＝（﹣1）3×43；填空：[(−12)×5]2=，【结论概括】当n为正整数时，（ab）n＝；【知识迁移】：（1）计算：﹣82023×（﹣0.125）2023＝1；（2）计算：−2【分析】结论概括：根据有理数的运算即可求解；结论概括：由问题发现即可得到结论；知识迁移：（1）根据找到的结论直接运算即可求解；（2）根据有理数的运算法则、运算律及找到的结论展开运算即可得到结果；【解答】解：问题发现：[(−12)×5]故答案为：254，25结论概括：由问题发现可得，（ab）n＝anbn，故答案为：anbn；知识迁移：（1）﹣82023×（﹣0.125）2023＝﹣[8×（﹣0.125）]2023＝﹣（﹣1）2023＝1，故答案为：1；（2）原式=−16−[(1=−16−[(8−12)+7×(−=−16−[−4+7×(−1)]×1=−16−(−11)×1=−16+11=−147【点评】本题考查了有理数的运算，掌握并灵活运用（ab）n＝anbn的运算是解题的关键．题型四运用幂的运算性质化简求值1．（2023春•江阴市月考）已知4×16m×64m＝421，求（﹣m2）3÷（m3•m2）的值．【分析】先根据幂的乘方和积的乘方得出5m+1＝21，求出m的值，再算乘方，算除法，最后代入求出即可．【解答】解：∵4×16m×64m＝421，∴41+2m+3m＝421，∴5m+1＝21，∴m＝4，∴（﹣m2）3÷（m3•m2）＝﹣m6÷m5＝﹣m＝﹣4．【点评】本题考查了幂的有关性质，能正确运用整式的运算法则进行化简是解此题的关键，难度适中．2．（2024春•北湖区校级月考）若a+b+c＝3，求22a﹣1•23b+2•2a+3c的值．【分析】首先利用同底数幂的乘法法则进行计算，然后计算指数部分，最后将a+b+c＝3代入进行计算即可．【解答】解：22a﹣1⋅23b+2⋅2a+3c＝22a﹣1+3b+2+a+3c＝23（a+b+c）+1，∵a+b+c＝3，∴原式＝23×3+1＝210＝1024．【点评】本题主要考查的是同底数的乘法，将a+b+c＝3整体代入是解题的关键．3．（2024秋•东莞市校级期中）先化简，再求值：（2x2）3﹣2x•3x+（﹣3x）2﹣2x•（4x5），其中x＝2．【分析】先算乘方，再算乘法，合并同类项，最后代入求出答案即可．【解答】解：（2x2）3﹣2x•3x+（﹣3x）2﹣2x•（4x5）＝8x6﹣6x2+9x2﹣8x6＝3x2，当x＝2时，原式＝3×22＝3×4＝12．【点评】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．4．（2024秋•平原县期中）先化简再求值2m2n•（﹣2mn2）3+（2mn）3•（﹣mn2）2其中m＝4，n=1【分析】运用幂的公式进行运算，合并同类项，代值计算，即可求解．【解答】解：原式＝2m2n⋅（﹣8m3n6）+8m3n3⋅m2n4＝﹣16m5n7+8m5n7＝﹣8m5n7，当m＝4，n=1原式=−8×=−8×(4×=−1【点评】本题考查了整式化简求值，掌握幂的运算公式：am⋅an＝am+n，（am）n＝amn及其逆用是解题的关键．5．（2024春•沭阳县校级月考）先化简，再求值：a3•（﹣b3）2+（−12ab2）3，其中a=1【分析】先算乘方，再算乘法，后算加减，然后把a，b的值代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：a3•（﹣b3）2+（−12ab2＝a3•b6+（−18a3b＝a3b6−18a3=78a3b当a=14，b＝2时，原式=78×（14）3【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．6．（2024秋•明水县校级期中）先化简，再求值：（x﹣y）6÷[（y﹣x）2]2÷（x﹣y），其中x＝2，y＝﹣1．【分析】先进行乘方运算，再进行同底数幂的除法法则，再代入求值即可．【解答】解：原式＝（x﹣y）6÷（x﹣y）4÷（x﹣y）＝x﹣y；当x＝2，y＝﹣1时，原式＝2﹣（﹣1）＝3．【点评】本题考查同底数幂的除法，幂的乘方运算．熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键．7．（2024春•八步区校级月考）化简求值：（a2b6）3+5（﹣a3b9）2﹣3[（﹣ab3）2]3，其中，a＝1，b＝﹣1．【分析】先计算积的乘方，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案．【解答】解：（a2b6）3+5（﹣a3b9）2﹣3[（﹣ab3）2]3＝a6b18+5a6b18﹣3（a2b6）3＝a6b18+5a6b18﹣3a6b18＝3a6b18，当a＝1，b＝﹣1时，原式＝3×16×（﹣1）18＝3．【点评】本题主要考查了整式的化简求值，掌握代入法是关键．8．−(−2a)3⋅(−【分析】利用积的乘方与幂的乘方运算法则先计算乘方，然后算乘法，再算加法，结合绝对值和偶次幂的非负性确定a和b的值，从而代入求值．【解答】解：原式＝﹣（﹣8a3）•b6+（−278a3b＝8a3b6−278a3=378a3b∵|a+12|+(b−2)2=0，且|a∴a+12=解得：a=−12，∴原式=378×（−1=378×＝﹣37．【点评】本题考查整式的混合运算—化简求值，掌握幂的乘方（am）n＝amn，积的乘方（ab）n＝anbn运算法则是解题关键．题型五与幂的运算有关的新定义问题1．（2024秋•滕州市校级月考）【定义新知】如果a，b，c是整数，且ac＝b，那么我们规定一种记号（a，b）＝c，例如42＝16，那么记作（4，16）＝2．【尝试应用】（1）（2，8）＝；【拓展提升】（2）若k、m、n、p均为整数，且（k，9）＝m，（k，27）＝n，（k，243）＝p，求证：m+n＝p．【分析】（1）根据新定义求解即可；（2）根据新定义得到km＝9，kn＝27，kp＝243，则可证明km•kn＝kp，再由同底数幂乘法计算法则得到km+n＝kp，即可证明m+n＝p．【解答】解：（1）∵23＝8，∴（2，8）＝3，故答案为：3；（2）∵（k，9）＝m，（k，27）＝n，（k，243）＝p，∴km＝9，kn＝27，kp＝243，∴km•kn＝9×27＝243，∴km•kn＝kp，即km+n＝kp，∴m+n＝p．【点评】本题主要考查了新定义，同底数幂乘法计算，理解新定义是关键．2．（2023秋•永定区期末）在数学兴趣小组中，同学们从书上学到了很多有趣的数学知识．其中有一个数学知识引起了同学们的兴趣．根据an＝b，知道a，n可以求b的值．如果知道a，b可以求n的值吗？他们为此进行了研究，规定：若an＝b，那么f（a，b）＝n．例如：33＝27，则f（3，27）＝3．（1）填空：f（2，4）＝，f（4，64）＝；（2）计算：f（﹣3，81）﹣f（5，125）；（3）若f（a，﹣32）＝5，f（4，b）＝3，求f（a，b）的值．【分析】根据“若an＝b，那么f（a，b）＝n”的意义，逐项进行计算即可．【解答】解：（1）∵22＝4，∴f（2，4）＝2，∵43＝4×4×4＝64，∴f（4，64）＝3，故答案为：2，3；（2）∵（﹣3）4＝81，53＝125，∴f（﹣3，81）＝4，f（5，125）＝3，∴原式＝4﹣3＝1；（3）∵（﹣2）5＝﹣32，43＝64，而f（a，﹣32）＝5，f（4，b）＝3，∴a＝﹣2，b＝64，又∵（﹣2）6＝64，∴f（a，b）＝f（﹣2，64）＝6．【点评】本题考查同底数幂的乘法，理解“若an＝b，那么f（a，b）＝n”的意义，掌握同底数幂乘法的计算方法是正确解答的关键．3．（2024春•阜宁县校级月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空：（5，125）＝，（﹣2，﹣32）＝；（2）若（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，试探究a，b，c之间存在的数量关系；（3）若（m，8）+（m，3）＝（m，t），求t的值．【分析】（1）根据新定义运算，求解即可；（2）根据新定义运算，对式子进行变形，再根据5×6＝30，即可求解；（3）根据新定义运算对式子进行变形，即可求解．【解答】解：（1）∵53＝125，（﹣2）5＝﹣32，∴（5，125）＝3，（﹣2，﹣32）＝5，故答案为：3，5；（2）a+b＝c，理由如下：∵（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，∴4a＝5，4b＝6，4c＝30，∵5×6＝30，∴4a×4b＝4c，即4a+b＝4c，∴a+b＝c；（3）设（m，8）＝x，（m，3）＝y，（m，t）＝z，则mx＝8，my＝3，mz＝t，由（m，8）+（m，3）＝（m，t）可得x+y＝z，∴t＝mz＝mx+y＝mx×my＝8×3＝24．，【点评】此题考查了新定义运算，同底数幂的运算及逆运算，解题的关键是理解新定义运算，熟练掌握幂的有关运算．4．（2024春•姜堰区校级月考）阅读理解：①根据幂的意义，an表示n个a相乘；则am+n＝am•an；②an＝m，知道a和n可以求m，我们不妨思考：如果知道a，m，能否求n呢？对于an＝m，规定[a，m]＝n，例如：因为62＝36，所以[6，36]＝2．（1）[2，4]＝，[−13，−1（2）分别计算[2，16]、[2，64]的值，试猜想[2，4]、[2，16]、[2，64]之间的等量关系式；（3）若记[3，x]＝5m，[3，y+1]＝5m+1，请用含x的代数式表示y．【分析】（1）根据新定义进行计算即可求解；（2）根据新定义分别计算[2，16]、[2，64]的值，即可求解；（3）由题意得x＝35m，y+1＝35m+1，然后根据同底数幂的乘法的逆运算即可求得答案．【解答】解：（1）[2，4]＝2，[−1故答案为：2，3．（2）依题意，[2，4]＝2，[2，16]＝4、[2，64]＝6，∴[2，4]+[2，16]＝[2，64]；（3）根据题意得：x＝35m，y+1＝35m+1，∴y+1＝35m+1＝35m×3＝3x，∴y＝3x﹣1．【点评】本题考查同底数幂的乘法、列代数式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．5．（2024春•临川区校级月考）如果xn＝y，那么我们规定（x，y]＝n．例如：因为42＝16，所以（4，16]＝2．（1）（﹣2，16]＝；若（3，y]＝27，则y＝；（2）已知（4，12]＝a，（4，5]＝b，（4，y]＝c，若a+b＝c，求y的值；【分析】（1）根据新定义运算的含义可得答案；（2）由新定义可得：4a＝12，4b＝5，4c＝y，再结合a+b＝c，进一步可得答案．【解答】解：（1）由题意可得：（﹣2，16]＝4，∵（3，y]＝27，∴y＝327；故答案为：4，327；（2）∵如果xn＝y，那么我们规定（x，y]＝n，∴由（4，12]＝a，可得4a＝12，（4，5]＝b，可得4b＝5，（4，y]＝c，可得4c＝y，∵a+b＝c，∴4a+b＝4c，∵4c＝y，4a•4b＝4a+b＝12×5＝60，∴y＝60．【点评】本题考查同底数幂的乘法逆用，幂的逆运算，解题的关键是根据新定义转换成乘方运算．6．（2024秋•泗阳县月考）如果xn＝y，那么我们记为：（x，y）＝n．例如32＝9，则（3，9）＝2．（1）根据上述规定，填空：（2，8）＝，（﹣3，9）＝；（2）若（x，64）＝2，则x＝；（3）若（4，a）＝2，（b，8）＝3，求（b，a）的值．【分析】（1）据题意，由23＝8，（﹣3）2＝9可求得此题结果；（2）由（±8）2＝64可得（±8，64）＝2，从而得到此题结果是±4；（3）由42＝16，23＝8可得，a＝16，b＝2，又由24＝16，可求得此题结果为4．【解答】解：由已知：如果xn＝y，那么我们记为：（x，y）＝n．例如32＝9，则（3，9）＝2．（1）∵23＝8，（﹣3）2＝9，∴（2，8）＝3，（﹣3，9）＝2，故答案为：3，2；（2）∵（±8）2＝64，∴（8，64）＝2或（﹣8，64）＝2，∴x＝±8，故答案为：±8；（3）∵42＝16，23＝8，∴（4，16）＝2，（2，8）＝3，∴a＝16，b＝2，又∵24＝16，∴（b，a）＝（2，16）＝4．【点评】此题考查了同底数幂的乘法，关键是能准确理解和运用新定义进行运算．7．（2024春•兴隆县期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b），如果ac＝b，则（a，b）＝c．我们叫（a，b）为“雅对”．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．我们还可以利用“雅对”定义说明等式（3，3）+（3，5）＝（3，15）成立．证明如下：设（3，3）＝m，（3，5）＝n，则3m＝3，3n＝5，故3m⋅3n＝3m+n＝3×5＝15，则（3，15）＝m+n，即（3，3）+（3，5）＝（3，15）．（1）根据上述规定，填空：（2，4）＝；（5，1）＝；（3，27）＝