广西壮族自治区来宾市高中2024-2025学年高二下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版）

来宾高中2024-2025学年下学期高二4月考试题数学满分：150分时间：120分钟一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1若，则m等于（）A.6 B.5 C.4 D.32.已知函数在处的导数为2，则（）A.0 B. C.1 D.23.四名同学报名参加乒乓球、篮球、足球运动队，每人限报一项，不同的报名方法的种数是（）A.64 B.81 C.24 D.124.在的展开式中，含的项的系数是（）A. B. C. D.5.曲线在点处的切线的方程为A. B. C. D.6已知数列满足，则等于（）A.6 B.11 C.22 D.437.在等差数列，中，，其前项和为，若，则（）A.12 B.18 C.30 D.368.已知函数，，若，则取值范围为（）A. B.C. D.二、多选题（共4小题，共20分.全部选对得5分，部分选对得2分）.9.下列函数求导错误的是（）A. B. C. D.10.定义在区间上的函数的导函数图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.函数在区间单调递增B.函数在区间单调递减C.函数在处取得极大值D.函数在处取得极小值11.已知等差数列前n项和为，公差为，是和的等比中项，则（）A. B.数列是递增数列C. D.有最大值为12.丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果，设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，以下四个函数在上是凸函数的是（）A. B.C D.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.在等比数列中，，则______.14.展开式中各项系数之和__________.15.6名同学排成一排，其中甲､乙两人不相邻的排法共有__________种方法；16.已知曲线在点P处的切线与在点Q处的切线平行，若点P的纵坐标为1，则点Q的纵坐标为__________．四、解答题（共70分，第17题10分，其余每题12分）17.已知的展开式中共有9项.（1）求的值；（2）求展开式中的系数；（3）求二项式系数最大的项.18.已知函数．（1）求的单调区间；（2）求函数的极值；19.已知数列的前项和为，且．（1）证明：数列是等比数列；（2）设数列满足，求的前项和．20.已知中，角的对边分别是，且.（1）求角的大小；（2）若为中点，，求的面积.21.如图，在四面体中，面ABC，.（1）求证：面面PBC；（2）若，于D，求平面和平面夹角的余弦值.22.已知椭圆的左，右焦点分别为，，，离心率.（1）求椭圆C的方程；（2）过点作两条相互垂直的直线分别与曲线C相交于P，Q和E，F，求四边形EPFQ面积的取值范围.

来宾高中2024-2025学年下学期高二4月考试题数学满分：150分时间：120分钟一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1若，则m等于（）A.6 B.5 C.4 D.3【答案】C【解析】【分析】利用排列数公式、组合数公式，列式求解作答.【详解】因，有，则，解得，所以.故选：C2.已知函数在处的导数为2，则（）A.0 B. C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】直接由导数的概念求解即可.【详解】.故选：C.3.四名同学报名参加乒乓球、篮球、足球运动队，每人限报一项，不同的报名方法的种数是（）A.64 B.81 C.24 D.12【答案】B【解析】【分析】由分步乘法计算原理求解【详解】四名同学报名参加乒乓球、篮球、足球运动队,每人限报一项，

故每人有3种报名方法，共有种不同的报名方法;

故选：B4.在的展开式中，含的项的系数是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据多项式的乘法，5个因式中，4个取一次项x，1个取常数项，相乘可得项，进而得到系数.【详解】根据多项式的乘法，5个因式中，4个取一次项x，1个取常数项，相乘可得项．常数项共5种取法，合并同类项得项的系数为.故选：B.5.曲线在点处的切线的方程为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出导数，求得切线的斜率，由斜截式方程即可求得答案【详解】，,,则在点处的切线的方程为即故选【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线在某点切线方程，属于基础题6.已知数列满足，则等于（）A.6 B.11 C.22 D.43【答案】C【解析】【分析】根据数列的递推公式，结合的奇偶性逐步计算出的值.【详解】已知，为奇数，根据递推公式，可得.为偶数，根据递推公式可得.

为奇数，根据递推公式可得.

为偶数，根据递推公式可得.

为奇数，根据递推公式可得.

故选：C.7.在等差数列，中，，其前项和为，若，则（）A.12 B.18 C.30 D.36【答案】D【解析】【分析】设等差数列的公差为，由等差数列前项和为，利用已知即可计算出，即得，从而得.【详解】设等差数列的公差为，则，所以，，所以，故选：D.8.已知函数，，若，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先求函数的解析式，再根据导数判断函数的单调性，根据函数的单调性，解抽象不等式.【详解】，得，所以，，，所以函数在单调递增，所以，即，即，即，且，得且.故选：C二、多选题（共4小题，共20分.全部选对得5分，部分选对得2分）.9.下列函数求导错误的是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用导数的运算法则及简单复合函数求导法则计算即可.【详解】对于A，，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，，故D错误.故选：ACD.10.定义在区间上的函数的导函数图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.函数在区间单调递增B.函数在区间单调递减C.函数在处取得极大值D.函数在处取得极小值【答案】ABD【解析】【分析】根据导函数图像判断出函数的单调性和极值，由此判断出正确选项.【详解】根据导函数图像可知，在区间上，，单调递减，在区间上，，单调递增.所以在处取得极小值，没有极大值.所以A,B,D选项正确，C选项错误.故选：ABD【点睛】本小题主要考查利用导函数图像判断函数单调区间、极值，属于基础题11.已知等差数列前n项和为，公差为，是和的等比中项，则（）A. B.数列是递增数列C. D.有最大值为【答案】AC【解析】【分析】利用等差数列通项以及等比中项定义计算可得，可得A正确；由于不明确公差的符号，所以BD错误，由等差数列前n项和公式可得C正确.【详解】设等差数列的公差为，由是和的等比中项可得，可得，即，即A正确；对于B，由A可知，因为不知道的正负，因此公差的符号不确定，所以数列的单调性不确定，即B错误；对于C，易知，所以C正确，对于D，根据B选项可知数列的单调性不确定，因此不一定有最大值，可得D错误.故选：AC12.丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果，设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，以下四个函数在上是凸函数的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】根据凸函数的定义，求导，即可根据二阶导数的正负判断.【详解】对于A，由，得，则，因为，所以，所以此函数是凸函数；对于B，由，得，则，因为，所以，所以此函数是凸函数；对于C，由，得，则，因为，所以，所以此函数是凸函数；对于D，由，得，则，因为，所以，所以此函数不是凸函数，故选：ABC三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.在等比数列中，，则______.【答案】【解析】【分析】利用等比数列的性质根据已知条件列方程求解即可【详解】因为等比数列中，，所以，解得，故答案为：14.展开式中各项系数之和__________.【答案】【解析】【分析】利用赋值法求解系数和即可.【详解】令，则展开式中各项系数之和为.故答案为：15.6名同学排成一排，其中甲､乙两人不相邻的排法共有__________种方法；【答案】480【解析】【分析】根据不相邻问题插空法求解即可.【详解】先将除甲、乙之外的4人排队，共有种不同的排法，再将甲、乙两人份插入到已经排好的4人形成的5个空位上，有种不同的方法，所以根据分步乘法原理，所有排法共种.故答案为：480.16.已知曲线在点P处的切线与在点Q处的切线平行，若点P的纵坐标为1，则点Q的纵坐标为__________．【答案】11【解析】【分析】方法一：对求导，设，根据条件得到，进而得，再得到函数关于对称，最后求出点的纵坐标即可；方法二：对求导，根据在点处的切线与在点处的切线平行，可得存在两实根，再求出点的纵坐标即可.【详解】方法一：，则，设，依题意，所以，则，显然，则，因为，所以的图象关于点中心对称，所以点与点关于点对称，所以，则，所以点的纵坐标为11.方法二：，则，因为，所以在上单调递增，令，设其根为，则.因为在点处切线与在点处的切线平行，所以存在两实根，其中一个为，设另一个为．即两根为，由韦达定理得，则，所以，所以点的纵坐标为11.故答案：11.四、解答题（共70分，第17题10分，其余每题12分）17.已知的展开式中共有9项.（1）求的值；（2）求展开式中的系数；（3）求二项式系数最大的项.【答案】（1）（2）112（3）【解析】【分析】（1）利用二项式展开式中共有可求得的值；（2）求出二项展开式的通项，令的指数为4，求出参数的值，代入通项即可得出结果；（3）根据二项式系数的性质可得二项式系数最大的项的项数，再由二项式定理得结论.【小问1详解】由题意得，解得.【小问2详解】由（1）可知展开式的通项为.令，解得，则.故展开式中的系数为112.【小问3详解】根据题意可得二项式系数最大的项为.18.已知函数．（1）求的单调区间；（2）求函数的极值；【答案】（1）单调递增区间为，，单调递减区间为；（2）极大值为，极小值为．【解析】【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间；（2）结合（1）的单调性求出函数的极值.【小问1详解】函数的定义域为，又，当或时，，当时，，所以的单调递增区间为，，单调递减区间为；【小问2详解】由（1）可知当时，有极大值，且极大值为；当时，有极小值，且极小值为．19.已知数列的前项和为，且．（1）证明：数列是等比数列；（2）设数列满足，求的前项和．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由，的关系作差即可判断；（2）由（1）求得，再由等差数列、等比数列的求和公式即可求解；【小问1详解】当时，，即，当时，联立①－②，可得，即，所以，又，所以是以2为首项，2为公比的等比数列；【小问2详解】由（1）可得，则，，所以．20.已知中，角的对边分别是，且.（1）求角的大小；（2）若为的中点，，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换化简求解即可；（2）解法一：由为的中点可得，两边平方，利用向量数量积的运算公式和余弦定理可得，代入三角形的面积公式即可求解；解法二：分别在，，中利用余弦定理，再结合，联立解出，代入三角形的面积公式即可求解.【小问1详解】根据题意由正弦定理得，因为，所以，即，即，因为，所以，又因为所以，而，所以.【小问2详解】解法一：由为的中点知，两边同时平方得，即，所以，又在，由余弦定理得，所以，所以的面积为.解法二：在中，由余弦定理可得，整理得①在中，，在中，，而，所以，故，即②,由①②得，，所以的面积为.21.如图，在四面体中，面ABC，.（1）求证：面面PBC；（2）若，于D，求平面和平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）要证明面面垂直，转化为证明线面垂直，即证明平面；（2）以点为原点建立空间直角坐标系，根据垂直关系的坐标表示求点的坐标，利用向量法求二面角的余弦值.【小问1详解】，，面ABC，，面，面PAC，面面PBC.【小问2详解】由题意知，，，则.以C为坐标原点，为x轴，为轴，过点垂直于底面的线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，设，则，，，设平面DAC的法向量为，则，令，则，，同理平面的法向量为，设平面和平面夹角为，则，平面和平面夹角的余弦值为.22.已知椭圆的左，右焦点分别为，，，离心率.（1）求椭圆C的方程；（2）过点作两条相互垂直的直线分别与曲线C相交于P，Q和E，F，