练素养 利用勾股定理解题的九种常见题型

苏科版八年级上第三章勾股定理练素养利用勾股定理解题的九种常见题型集训课堂

12345A678答案呈现温馨提示：点击进入讲评习题链接9【2023·南京外国语学校模拟】在数学实验课上，李欢同学剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作：操作一：如图①，将Rt△ABC纸片沿某条直线折叠，使斜边两个端点A与B重合，折痕为DE.1(1)如果AC＝5cm，BC＝7cm，可得△ACD的周长为________；12cm【点拨】由翻折的性质可知BD＝AD，∴AD＋DC＝BD＋DC＝BC＝7cm.∴△ACD的周长＝CD＋AD＋AC＝7＋5＝12(cm)．(2)如果∠CAD

∠BAD＝12，可得∠B的度数为________；36°【点拨】设∠CAD＝x，则∠BAD＝2x.由翻折的性质可知∠BAD＝∠B＝2x，∵∠B＋∠BAC＝90°，∴x＋2x＋2x＝90°.解得x＝18°.∴2x＝2×18°＝36°.∴∠B＝36°.操作二：如图②，李欢同学拿出另一张Rt△ABC纸片，将直角边AC沿直线CD折叠，使点A

与点E重合，若AB＝10cm，BC＝8cm，请求出BE的长．解：在Rt△ABC中，AC2＝AB2－BC2＝102－82＝62，∴AC＝6cm.2如图，在四边形ABFC中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＝2AB2－CD2．求证：AB＝BC．证明：∵CD⊥AD，∴∠ADC＝90°，即△ADC是直角三角形．由勾股定理，得AD2＋CD2＝AC2.又∵AD2＝2AB2－CD2，∴AD2＋CD2＝2AB2.∴AC2＝2AB2.

∵∠ABC＝90°，∴AB2＋BC2＝AC2，∴AB2＋BC2＝2AB2.

∴BC2＝AB2，即AB＝BC.3如图，∠C＝90°，AM＝CM，MP⊥AB于点P．求证：BP2＝BC2＋AP2．证明：如图，连接BM.∵PM⊥AB，∴△BMP和△AMP均为直角三角形．∴BP2＋PM2＝BM2，AP2＋PM2＝AM2.同理可得BC2＋CM2＝BM2，∴BP2＋PM2＝BC2＋CM2.又∵CM＝AM，∴CM2＝AM2＝AP2＋PM2.∴BP2＋PM2＝BC2＋AP2＋PM2.∴BP2＝BC2＋AP2.4如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝8，∠A＝60°，∠D＝150°，四边形ABCD的周长为32.求BC和CD的长度．解：如图，连接BD，∵AB＝AD，∠A＝60°，∴△ABD为等边三角形．∴∠1＝60°，BD＝AD＝8.又∵∠ADC＝150°，∴∠2＝90°.设BC＝x，则CD＝32－8－8－x＝16－x，由勾股定理得x2＝82＋(16－x)2，解得x＝10.∴BC＝10，CD＝6.5【2022·济宁】如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3.沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若第二次的折痕与AC的交点为E，则AE的长是(

)【点拨】∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处，∴AD＝AB＝2，∠B＝∠ADB.∵折叠纸片，使点C与点D重合，∴CE＝DE，∠C＝∠CDE.∵∠BAC＝90°，∴∠B＋∠C＝90°，∴∠ADB＋∠CDE＝90°，∴∠ADE＝90°，∴AD2＋DE2＝AE2.【答案】A6【2023·徐州撷秀中学月考】如图，∠AOB＝90°，OA＝40m，OB＝15m．一机器人在B点处看见一球从A点出发沿AO方向匀速滚向O，机器人立即从B

点出发，沿直线匀速前进拦截球，在C处截住球．球滚速与机器人行速相同，机器人行走的路程BC为多少？7【母题：教材P86例1】《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？其意思为：如图，今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线长度恰好为1丈．问门高、宽各是多少？(1丈＝10尺，1尺＝10寸)解：设门高AB为x尺，则宽为(x－6.8)尺．依题意，得(x－6.8)2＋x2＝102，化简得x2－6.8x－26.88＝0，因式分解得(x－9.6)(x＋2.8)＝0，∴x－9.6＝0或x＋2.8＝0，∴x＝9.6或x＝－2.8(舍去)．∴x－6.8＝2.8.

答：门高9.6尺，宽2.8尺．8【母题：教材P91复习题T6】如图，圆柱形玻璃容器高10cm，底面周长为30cm，在外侧距下底1cm的点S处有一只蚂蚁，与蚂蚁相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有食物，求蚂蚁要吃到食物所走最短路线的长度．解：如图，将圆柱形玻璃容器侧面展开，连接SF，过点S作SP⊥MN于点P.由题意可知FP＝10－2＝8(cm)，SP＝30÷2＝15(cm)．在Rt△SPF中，SF2＝SP2＋FP2＝152＋82＝289，∴SF＝17cm.答：蚂蚁要吃到食物所走最短路线的长度为17cm.9如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠B＝∠D＝90°，AD＝AB＝4，E是AD的中点，M是边BC上的一个动点，N是边CD上的一个动点，求AM＋MN＋EN的最小值．解：如图，作A点关于BC的对称点A1，连接A1M，作E点关于DC的对称点E1，连接E1N，A1E1，易知A，B，A1在一条直线上，A，D，E1在一条直线上，∵点A和点A1关于BC对称，点E和点E1关于DC对称，∴AB＝A1B，AM＝A1M，DE＝DE1，EN＝E1N，∴AM＋MN＋EN＝A1M＋MN＋E1N≥A1E1，∴AM＋MN＋EN的最小值是A1E1的长，