2025年河南中考数学培优能力提升练习题（含答案）

2025年河南中考数学培优能力提升练习题

考试时间：100分钟；总分：120分

学校:姓名：班级：考号：

选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.下列四个数中，最小的数为（）

1

-23C-O

A.B.-3D.

2.第33届夏季奥林匹克运动会将于2024年举行,下列图形是本届奥运会运动项目图标，其中属于

3.中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划“一带一路”地区覆

盖总人口约为4500000000人，这个数用科学记数法表示为（）

A.45X108B.4.5X109C.4.5X108D.4.5X1O10

4.下列计算正确的是（）

A.a'cr—a'B.c^-^a—c^C.(x2)3=彳9D.2m+3n=5mn

5.中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗，小颖妈妈买了2个五仁月饼、3个莲蓉月饼、5个豆沙月饼,

月饼除内部馅料不同外其他均相同.小颖随意吃一个，吃到五仁月饼的概率是（）

1131

A.-B."C.-D.-

105102

6.某公司统计了今年4月份销售部10名员工销售某种商品的业绩如下表：

每人销售量/件490260220160

人数/人1252

则这10名销售人员4月该商品销售量的中位数和众数分别为（）

A.220,220B.260,240C.220,240D.260,220

7.已知6-3%W4x-8V3（x-1）,其解集在数轴上表示正确的是（)

A.-2-1012345678

B.-2-1012345678

C.-2-1012345678

D.-2-1012345678

8.“抖空竹”是国家级非物质文化遗产，也是大家钟爱的运动之一.在公园里，小聪看到小女孩在

抖空竹（图1）,抽象得到图2,在同一平面内，已知A5〃CD,ZA=70°,ZECZ）=110°,则

图1图2

A.20°B.30°C.40°D.50°

9.如图，函数y=2x和>=以+4的图象相交于A（m,4）,则不等式2xVQx+4的解集为（）

A.x>2B.x>4C.x<2D.x<4

10.下面说法中，不正确的是（）

A.1既不是质数，也不是合数

B.一个数除以真分数，结果都大于原数

C.当a=l时，3a和/不相等

D.一个长方体最多有2个面是正方形

E.1既不是质数，也不是合数，是正确的

二.填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）

11.因式分解：ab-ac—.

12.若\0-2024有意义,则实数。的取值范围是.

13.若点尸（m,m-1）在y轴上，则点尸关于x轴对称的点为.

14.2015年8月，美国某研究团队发现了一种完美五边形（如图），相互结合后可完全铺满平面，

是全球第15种能做到此效果的五边形.这个新五边形中四个角的度数分别为60°、135。、105°、

90°,请问第五个角的度数是.

15.把图1中周长为24c%的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片A、B、C、。和一张长方

形纸片E,并将它们按图2的方式放入周长为360fl的长方形中.设正方形C的边长为xcm正方

形。的边长为yew.则图2中阴影部分的周长与正方形A的周长之比为.

三.解答题（共8小题，满分75分）

16.（9分）（1）计算：9（x+1）2-（3尤+2）（3%-2）；

2x

（2）解方程：---------=1.

1-xx-1

17.（9分）为迎接学校“英语听说”大赛，某班在甲、乙两名同学中选拔一人参加，在相同的测试

条件下，两人5次测试成绩（单位：分）如下：

甲：28,28,27,28,29.

乙：25,29,27,30,29.

（1）下列表格中的a=，b=,c=；

平均数众数中位数方差

甲282828C

乙a29b3.2

（2）班主任根据这5次的测试成绩，应选择谁参加学校“英语听说”大赛更合适，请说明理由.

18.（9分）已知关于x的方程（%-1）尤2+加什1=0.

（1）求证：不论相取什么实数时，这个方程总有实数根；

（2）当相为何正整数时，关于x的方程（m-1）/+〃a+1=0有两个整数根？

19.（9分）如图，△ABC内接于O。，AB是。。的直径，。是。。上的一点，C。平分NBC。，AB

与C。相交于点E.

（1）请用无刻度的直尺和圆规作图：过点C作O。的切线，交D4延长线于点R

（2）当的半径为5,sin2=g时，求CP的长.

20.（9分）列方程解决实际问题：

2024年12月2日，中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》发布官方吉祥物形象“巳（si）

升升”，祝福全球华人在新的一年如意康宁，好事连连.2025蛇年春晚吉祥物的设计是从中华传

统文化中寻找的灵感，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，其形象既憨态可掬，又富有古意.

某商店销售A,8两款“巳升升”吉祥物，已知A款吉祥物的单价比8款吉祥物的单价高20元.若

顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，则A,B两款吉祥

物的单价分别是多少元？

21.（9分）综合实践

设计“脚手架”支杆的长度

材料1为培养学生劳动实践能力，

某学校在校西南角开辟出一

块劳动实践基地.如图是其

中蔬菜大棚的横截面，它由

抛物线AED和矩形ABCD构

成.已知矩形的长BC=12

A

米，宽A8=3米，抛物线最D

高点E到地面BC的距离为7E01C%

米.

材料2冬季到来，为防止大雪对大

棚造成损坏，学校决定在大4

棚两侧安装两根垂直于地面N

A

且关于y轴对称的支撑柱P。D

和如图所示EQO\MC3

材料3为了进一步固定大棚，准备

在两根支撑柱上架横梁

PN.搭建成一个矩形“脚手

架”PQMN,如图所示.

问题解决

任务1确定大棚形状按如图所示建立平面直角坐

标系，求抛物线AEZ）的函数

表达式.

任务2尝试计算间距若两根支撑柱尸。的高

度均为6米，求两根支撑柱

PQ,之间的水平距离.

任务3探索最优方案为了进一步固定大棚，准备

在两根支撑柱上架横梁

PN.搭建成一个矩形“脚手

架”PQMN,求出“脚手架”

三根支杆PQ、PN、MN的长

度之和的最大值.

22.（1。分）如图1,在平面直角坐标系中，抛物线＞=中』』经过点4（-5,0）和点8

(1,0).

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）点尸是抛物线上A,D之间的一点.过点尸作PEL无轴于点E.PGLy轴，交抛物线于点G,

过点G作GFLx轴于点F,当矩形PEFG的周长最大时.求点P的横坐标；

（3）如图2,连接A。，BD,作08,无轴于点"把△即距沿着射线AD方向平移，点。在射

线上移动的距离为机个单位，如果平移后的三角形恰好和抛物线有且只有两个交点，请直接

写出m的取值范围.

图1图2

23.（11分）【基础巩固】（1）如图1,在正方形ABC。中,点E在A8的延长线上，连接AE,过

点Z）作。尸_LZ）E交BC的延长线于点尸，求证：DE=DF.

【尝试应用】（2）如图2,在菱形ABCQ中，ZABC=60°，点E在边上，点E在AB的延

长线上，连接ER以E为顶点作/EG交8C的延长线于点G,若巴=AB=4,

EG4

BF=2,求CG的长.

【拓展提升】（3）如图3,在矩形ABC。中，点E在边上，点尸在AB的延长线上，连接8。,

EF,过点C作CG//BD,以E为顶点作/FEG=NBBD,EG交CG于点G,若AD=mAB,DE

=nAD＞求,值（用含〃的代数式表示）.

图1图2图3

参考答案

一.选择题(共10小题，满分30分，每小题3分)

1.解：-2U-gV0<3,

，最小的数是：-2.

选：A.

2.解：A、图形不是轴对称图形，不符合题意；

3、图形是不轴对称图形，不符合题意；

C、图形是轴对称图形，符合题意；

。、图形不是轴对称图形，不符合题意，

选：C.

3.解：4500000000=4.5XI09.

选：B.

4.解：A.a'a2=a3,选项A符合题意；

B.a6^-a—a5,选项2不符合题意；

C.(x2)3=x6,选项C不符合题意；

D.2m+3〃不是同类项，不能合并，选项。不符合题意；

选：A.

5.解：•••小颖妈妈买了2个五仁月饼、3个莲蓉月饼、5个豆沙月饼,

.2’1

,,D尸王二-2+3+5-.5-

选：B.

6.解：：第5个和第6个数据都是220,

220*220

.•.这10名销售人员4月该商品销售量的中位数是---------二220,

V220出现的次数最多，

,这10名销售人员4月该商品销售量的众数是220

选：A.

7.解：由题意得f-3XW4X-81,

l4x-8<3(x-l)®

由①得，尤》2,

由②得，尤<5,

不等式组的解集为：2Wx<5,

在数轴上表示为：

-2-101234567

选：A.

8.解：延长DC交AE于

'：AB//CD,

：.ZCME^ZA=70°,

VZECZ)=110°,

/E=ZDCE-ZCME^40°.

解得：x=2,

AA(2,4),

由图象得：不等式2x<ox+4的解集为：x<2,

选：C.

10.解：A.1既不是质数，也不是合数，是正确的；

B.-5-10,-10<-5,是不正确的；

C.当a=l时，3a=3,«3=1,不相等，是正确的;

D.是正确的.

选：B.

二.填空题(共5小题，满分15分，每小题3分)

11.解：ab-ac—a(b-c).

答案为：aQb-c）.

12.解：由于负数没有平方根，所以\a-2024有意义时,有。-202420,

所以“22024,

即实数a的取值范围是a22024,

答案为：aN2024.

13.解：：点尸（777,777-1）在y轴上，

••in^~0,

••m-1=-1,

：.P（0,-1）,

・••点P关于x轴对称的点为（0,1）.

14.解：五边形的内角和为180°X（5-2）=540°,

则第五个角的度数为540°-60°-135°-105°-90°=150°,

答案为：150°.

15.解：长方形E的宽为（x-y）cm,

正方形A的边长为（%+y）cm,

正方形8的边长为（%+2y）cm,

长方形E的长为（%+3y）cm,

.*.2（x+x+3y+x+x+y）=24,

.•.x+y=3,

2(x+y+x+2y+x-y+x+y+MN)=36,

:・MN=(18-4x-3y)cm,

.阴影部分的周长

=2(AfN+x+y+x+2y+x-y)

=2(18-4x-3y+x+y+x+2y+x-y)

=2(18-x-y)

=36-2(x+y)

=36-2X3

=30(cm).

;正方形A的周长=4(x+y)=12(cm).

30：12=5：2.

答案为：5：2.

三.解答题(共8小题，满分75分)

16.解：(1)9(尤+1)2-(3x+2)(3尤-2)

=9(jr+2x+l)-(9X2-4)

=9/+18x+9-9$+4

=18x+13；

2x

(2)——-——=1,

1TX-1

方程两边都乘1-%,得2+x=l-x,

解得：

检验：当一之时，1-xWO,

所以4一;是分式方程的解，

即分式方程的解是

17.解：(1)乙的平均数a=正因售西@=28,

乙的中位数6=29,

222

甲的方差=gx=[3X(28-28)+(27-28)+(29-28)]=0.4:

答案为：28,29,0.4；

(2)甲参加学校“英语听说”大赛更合适,

理由：因为甲平均成绩等于乙的平均成绩，且甲的方差较小，即甲的成绩稳定，所以选甲参加学

校“英语听说”大赛更合适.

18.(1)证明：当时，方程为一元二次方程，A—m2-4(m-1)=(m-2)2^0,

...一元二次方程有两个实数根，

当m=1时，方程为尤+1=0,有实数根，

综上，不论相取什么实数时，这个方程总有实数根；

(2)解：•方程(ZMT)=0有两个整数根，

.♦•方程为一元二次方程，即加W1,

由根与系数关系得到：尤1工2=高，

又和暇为整数，且比为正整数，

••TYl~11,

解之得：m=2,

经检验，此时X1=X2=-1符合题意.

19.解：(1)如图，直线。产为所求;

•：OB=OC,

:・/B=/OCB,

・：NB=ND,

：.ZOCB=ZD,

J.AD//OC,

•「CT为。。的切线,

・•・OCLCF,

：.DF.LCF,

：.ZCFD=90°,

是O。的直径，

ZACB=90°,

在RtAACB中,,：sinB=蛋=方

3

Sxl0=6,

VZACF+ZOCA=90°,ZOCB+ZOCA=90°,

：.ZOCB=ZACFf

•:/B=/OCB,

：./ACF=/B,

在RtAACF中,,.,sin/ACf==sinB=g,

3

SX6=185

:・CF=vXL-A产=j62-(y)3=y

20.解：设B款吉祥物的单价为尤元，则A款吉祥物的单价为（x+20）元,

800600

根据题意得：——=—

*+20X

解得：x=60,

经检验，尤=60是所列方程的解，且符合题意,

/.尤+20=60+20=80,

答：A款吉祥物的单价为80元，2款吉祥物的单价为60元.

21.解：任务1：•••四边形A8CO是矩形,

：.AD=BC=12(米)，

.•.点4(-6,3),点。(6,3),

根据题意和图象可得，顶点£的坐标为（0,7）,

可设抛物线的解析式为：y=af+7,

把点A（-6,3）代入解析式可得：36『+7=3,

1

-

9

抛物线的解析式为：i+7；

1

-X3+76

任务2：当y=6时,9=

解得x=±3,

V3-(-3)=3+3=6(米)，

两根支撑柱之间的水平距离为6米；

任务3：设N点坐标为［”t,PQ、PN、MN的长度之和为w米,

则PN=2m,PQ=M.Y=—gm：+7,

2

-2+

9372

2

.

9

上9_r士曰/击曰_r/击^37

当m=s时n，w有取大值，取大值为一，

22

“脚手架”三根支杆尸。，PN,MN的长度之和的最大值为二米.

2

22.解：(1):抛物线r=-1t：+，br+c经过点A(-5,0)和点8(1,0)，

O

.♦.抛物线的解析式为产一一竽，+等

4粕4

>.*-\

-X一)

一

=一

-209一z

-Q9(X4+-2

4

2,

(2)设尸(处-1后-竽m+挈),-5<m<-2,

则尸石=-施:-竽加+寻OE=-m,

设抛物线的对称轴交尤轴于点如图,

：.EH=OE=OH=-m-2,

由题意：直线为矩形尸石尸G的对称轴，

：.EH=FH=-m-2,

:,EF=2EH=-2m-4,

•・,四边形尸跖G为矩形，

41620

PE—GF—--n7•——in♦PG—EF--2m-4,

999

・•・矩形尸E尸G的周长=2(PE+EF)

=2[—gm，—竽■+等+(-2m-4)]

8.6832

二一严----T-m——

•-|VO,

.•.当-1时，矩形PEFG的周长取得最大值为垩,

419

...点P的横坐标为一早；

(3)由题意得：0H=2,08=1,DH=4,

；.BH=0B+0H=3,

=芋=5.

设直线BD的解析式为y=kx+n,

.次+八一0

•,1-2k+”=4,

4

=-5

解浮4

=5

「・直线BD的解析式为尸-31+§・

①当平移后的三角形的顶点H恰好在抛物线上时，如图,

设平移后的。，H,5的对应顶点为/，延长》H,交兄轴于点“，则MLOB,

HH'//AD,

・•・△〃HMs丛DBH,

HHfHM

BD-OB

mHM

二

二

：.HM=-

-

3

：・OM=HM-0H=gm-2,

3

*.M(-m-2,0),

5

4334

-Z2\♦2034

一

一

m(1一m

=-一16--_=

：.MH'9s2)9K79

525

设直线AD的解析式为y=ax+d,

・,・直线AD的解析式为尸打李

43704

D'M=-z(—m-2)+亏=-m+4,

3535

7

：.D'H'=D'M-H'M=4^-

,:D'H'=DH=4,

424

»7r+一机=4,

255

解得：m=_坐亘或旧工^（负数不合题意，舍去），

②当平移后的三角形的。'H'边与抛物线只有一个公共点时，如图,

设平移后的。，H,8的对应顶点为。），延长。'H'交无轴于点则X'M±OB,

.HrKDM

HHf~BD

设直线。'B'的解析式为y=-

y=~=-x+e

4U

-

93290

rk=X-舞TX-+

4

3

20

9+e

4x2+4x+9e-20=0.

A=42-4X4(9e-20)=0,

7

-

e=3

47

-

...直线O'B'的解析式为y=丁3

74

・,.丛BHD沿着y轴方向平移了二一一=1个单位,

：.MH'=1,

.14

••'=一,

HH，5

5

-

4

5；5

.♦•如果平移后的三角形恰好和抛物线有且只有两个交点，山的取值范围为：-<m<-V-

42

23.(1)证明：：四边形ABC。是正方形，

.•./A=/AOC=/OCB=90°,AD=CD=BC=CA,

r.ZDCF^ZDCB^ZA=90°,

•:DELDF,