2025年河北省张家口市高考数学模拟试卷（一）含答案

2025年河北省张家口市高考数学模拟试卷(一)

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.设集合a=[-2-1,0,1}.B={y|y=x3,xe闽，则2nB=()

A,{0,1}B.{-1,0}C.[-1,0,1}D.{0}

2.数据2,3,8,5,4,2的中位数和平均数分别为()

A.3.5和2B,3和4C,4和2D.3.5和4

3.若复数z满足zi=煞长为虚数单位)，则|z|=()

4.从集合{1,2,3，…,8,9}中随机取出4个不同的数，并将其从大到小依次排列，则第二个数是7的概率为()

A-J-R—QT)

10103621

5.设a为钝角，若直线x+y+2=0与曲线C：法嬴+忌=1只有一个公共点，则C的离心率为()

A.乎B.A/2C.1D.|

6.已知抛物线C：%2=y的焦点为F,过点F的直线/交C于P1，尸2两点，若的勺一个方向向量为

aE(0^),则|尸也|=()

A.1+cos2aB.1+sin2aC.1+tan2aD..M

sinza

7.已知定义在实数集上的函数"%)满足以下条件：

①f(l+%)=/(l-X)；

@f(3+x)+f(3—x)=0；

③/⑸=1.

则/(l)+/(2)+…+)(2025)=()

A.-1B.0C.1D.2

8.在平面直角坐标系中，2(—1,0),C(x,y),点、F,“分别是△ABC的外心和垂心，若丽=若荒

AB,则小的取值范围是()

1

A.(-oo,0)B.(-1,0)C.(-co-]D.(0,+oo)

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

第1页，共10页

9.函数/(X)弓功式一支下一〃xl(a>1)的零点个数可以为()

A.0B.1C.2D.4

10.已知球。的表面积为16兀，点P,A,B,C均在球面上，且P4=PB=PC,AB=BC=CA=3,

PA>AB,贝弘)

A,球。的半径为2

B.平面ABC截球面所得小圆的面积为3兀

C.点P到平面4BC的距离为2平

D.球体挖去四面体P-HBC后余下部分的体积为竽

11.如图，在平面直角坐标系中，曲线c为伯努利双纽线，其中％(-c,o),y，

尸2。。)为焦点，点P®y)为c上任意一点，且满足|PFil“Pf2l=c2,曲线c/丁、'\/—：'\.

的方程为(/+y2)2—2c2(/—y2)=o,则下列说法正确的有()、一■y

A.曲线C为中心对称图形和轴对称图形

B.若直线y=-与曲线C恰有3个交点，则—六

C.曲线C在直线X=±也。与y=±京所围成的矩形区域内

D.当参数c变化时，曲线C上的最高点均在曲线y=*|x|上

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知数列｛an｝满足的=2,an>+i-a„=~+1,则成一n=.

13.已知函数f(久)=2(x-b)(x-2c),0<b<2c<1,则f(0)"(1)的取值范围是.

14.我国历史文化悠久，中国象棋就是国人喜闻乐见的一种娱乐方式.不同棋子行的规则各不相同：马走日

字象走田，车走直路炮翻山，即“马”只能由“日”字格子的顶点沿“日”字的斜线走到相对的另一个顶

点41，42，…，人8,如图1.请据此完成填空：如图2,假设一匹马从给定的初始位置出发，且规定其只能向

“右前方走”，则其运动到点P所需的步数为:该马运动到点P所有可能落点(包括点P)的个数为

第2页，共10页

即图2

四、解答题：本题共5小题共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题15分)

如图，已知三棱锥P—4BC中，PA1PB,AC1BC,平面APB1平面ABC,4PAB=30°,ABAC=45°,

AB=4.

(1)求点P到平面ABC的距离；

(2)若Q为4C的中点，求PQ与平面P8C所成角的正弦值.

16.(本小题15分)

已知/1(x)=Inx—aQx+1),aeR.

(1)若。=2,求曲线f(x)在％=1处的切线方程；

(2)若三勾6(0,2],使/。o)>O,求a的取值范围.

17.(本小题15分)

在△48C中，内角4B,C的对边分别为a,b,c,A-^-,7sin2B=^bcosB.

(1)若cosB求c；

14-

(2)当BC边上的中线最小时，求△力BC的面积.

第3页，共10页

18.(本小题15分)

已知％,尸2分别为椭圆C：条+2=l(a>6>0)的左、右焦点，C为短轴的一个端点，2c是直角三

角形.

(1)求椭圆E的离心率；

(2)若直线y=久-3恰好与椭圆E相切，求椭圆E的方程；

(3)在(2)的条件下，设直线Z不过点4(2,1)且与E交于两点M,N,若前•俞=0,求愣喘的最大值.

19.(本小题17分)

某研究机构开发了一款智能机器人，该机器人通过交替学习不同技能匕S,勿来提升综合能力.初始时，机

器人选择学习技能y,且每次学习y后会等可能地选择学习s或W；每次学习S后，有0.25的概率继续学习

Y,0.75的概率学习W；每次学习”后，有0.25的概率继续学习丫，0.75的概率学习S.设an,bn,%分别表示

第律次学习后接着学习技能y,s,W的概率.

(1)若机器人仅进行三次学习，求学习技能y次数的分布列及其数学期望;

(2)求斯及其最大值;

(3)已知%n=|5an—1|-2"t,yn=2+4+...+2n,

(V2,(n=1),

z

n\y/yn(.Xi+%2++Xn-i)+(A/YI+yfy?.++yfyn)xn,(n>2).

若数列侈｝的前ri项和为Sn,证明：Sn<n(n+2).

第4页，共10页

参考答案

l.c

2.D

3.C

4.D

5.B

6.C

7.4

8.i4

9.ACD

10.XB

11.ACD

124-去

13.(0,1)

14.510

15.解：(1)过P作P。1AB,POC\AB=0,

因为平面APBJ.平面48C,平面4PBCl平面4BC=AB,POu平面力P8,

所以P。_L平面48C,

因为尸41PB,AB=4,/.PAB=30°,

所以PB=2,PA=A/16-4=24，

在直角三角形R4B中，SAPAB=*BxPA=^ABxPO,所以P。=平，

所以点P到平面ABC的距离为烈；

(2)因为AC1BC,过C作P。的平行线为z轴，以C4,CB所在直线分别为x,y轴建立直角坐标系,

第5页，共10页

在△2BC中，AC1BC,Z.BAC=45。，AB=4,所以AC=BC=2避，

在直角三角形248中，因为P41PB,AB=4,/.PAB=30。，

所以PB=2,PA=V16-4=28

所以p。=BOA=3,OB=1,

所以P(孝挈两,B(0,272,0),4(2#,0,0),C(0,0,0),Q(#,0,0),

所以所=吟,一号-我，CB=(0,2/,0),而=噜呼,我,

设平面PBC的法向量为五=(x,y,z),则蔡1而，nlCB,

n-CP=显x+^z=0

所以一22y7,

1n.CB=2退y=0

取x=28，得y=。，z=-yfZ,所以n=(2避,0,-")，

设PQ与平面PBC所成角为仇

KCCW-伍屈I_-------亚+°+沪-------_2：_癖

物以一同X\PQ\-V12+0+2X一/x2嫄一W

16.解:(l)a=2时,函数/(%)=Znx-2(x+1),

因此-1)=-4,f(%)=|-2,因此切线斜率k=r(1)=-1,

因此函数/(%)在久=1处的切线方程为y-(-4)=-1x(%-1)即％+y+3=0.

(2)由于W(0,2],使得f(%o)>O所以仇%o-Q(%o+1)>0,

因此a〈《招，令函数g(x)=等诃6(0,2],

那么导函数g'Q)=詈票=冷会，久e(0,2],

因此导函数八'(久)=—2—§<。在(0,2]上恒成立，因此八⑴在(0,2]上单调递减，

因此八(%)>/i(2)--ln2=111浮>0,因此g'(x)>0在(0,2]上恒成立，

第6页，共10页

因此g(%)在(0,2]上单调递增，因此g(%)mg=g(2)=—,

因此QG(一8骂刍.

17.解：在△ABC中，A=券，可得Be(0,f),cosB>0,

由7siTi2B=yf^bcosB,得14sinBcosB=y/^bcosB,可得=14群.

Sinti3

(1)若cosB="贝ijs讥B=卢石？百=翌(舍负)，

J.414

可得sinC=sin(i4+B)=sinAcosB+cosAsinB=宓x与一④x正造=宜？，

214，1414

根据正弦定理导==亨，可知C=与口出C鬻=5；

(2)由48"=亨，得万-AC=\AB\-|XC|cos^=一如，

根据上7=3="退，可得a=^-sinA=用lx史=7,

以"口sin/sinB3332

取中点。，贝！为边上的中线，

可得而2=1(X5+AC)2=掘2+/2+掘.而=如2+c2—bc),

由余弦定理得层=b2+c2-2bccosA,故49=b2+c2+bc>2Mb2c2+匕已=3儿，

即儿W粤，当且仅当b=c=¥时等号成立，

所以42=](49-2瓦)另(49-2义务=瑞，即而心要，当且仅当b=c=挛时等号成立,

可知BC边上的中线长的最小值为逑，止匕时S3BC=/sina=*等'孚=曙.

18.解：(1)设椭圆半焦距为c,则Fi(—c,0),F2(G0),不妨设C(06),

由于△尸1尸2c是直角三角形，所以力=C，结合。2-炉=。2,

解得Q=*b=y/2c,故e=?=孚，

a2

即椭圆E的离心率为孝.

(2)由a=y/2b="c可得椭圆方程为短+居=1,

(y=%—3

联立卫+g=1，消去y得3%2・12%+18-2扭=0,

12b2b2

因为直线y=%—3恰好与椭圆E相切，故4=122—4x3(18—262)=0,解得加=3,

所以椭圆方程为1+4=1.

o3

第7页，共10页

⑶将点4(2,1)代入椭圆C的方程得*+9=1,所以点4在椭圆C上,

当直线MN斜率存在时，设直线方程为y=kx+租,

y=kx+m

联立身.+艺=i,消去y可得(1+2fc2)%2+4fcmx+2m2—6=0,

163

设N(%2，y2)，则％1+%2=_1+2k2'X1X2=］：嬴2,

因为i4M,AN=0,(%i—2)(%2-2)+(yi-l)(y2-1)=。，

即(%1—2)(%2—2)+仇-1)仇-1)

=%1%2-2(巧+%2)+4+(fc%i+m—l)(/cx2+血一1)

22

=(fc+1)%1久2+(km-k-2)Qi+x2)+(^―l)+4=0

即(炉+1)I7^+(a—1)2+4=0,

化简得(2k+3m+l)(2fc+m—1)=0,

由于4(2,1)不在直线MN上，所以2/c+TH—1HO,故2/c+3血+1=0,k丰1,

故直线MN的方程为y=fc(x-|)-1>故MN过定点“(|,一》；

当直线MN的斜率不存在时，可得NQi,-yi),

代入(久1-2)(乂2-2)+(%—1)(>2-1)=。可得(久i-2)2+l-yl=0,

结合苓+9=1可得卬=|或均=2(舍去)，

此时直线MN也经过爪|,一］

综上可得直线MN恒经过H(|,-卞.

因为需1=庠0,结合施,丽,故黑喘为直角三角形"MN斜边上的高的长,

又直线MN恒经过小|,一乡，所以|愣端■W|他二早，

所以需喘的最大值为宇

19.解：(1)机器人通过交替学习不同技能丫，s,勿来提升综合能力,

初始时，机器人选择学习技能丫，且每次学习丫后会等可能地选择学习s或w,

每次学习S后，有0.25的概率继续学习匕0.75的概率学习W,

第8页，共10页

每次学习勿后，有0.25的概率继续学习丫，0.75的概率学习S,

设a”bn,4分别表示第九次学习后接着学习技能匕S,W的概率，

机器人仅进行三次学习，设三次学习中学习技能y次数为X,

则X的取值可以为1,2,

第一次学匕第二次学S,第三次学W，则。=”*0.75=看

第一次学y,第二次学W,第三次学S,则P=1x：xo.75=],

Zo

故P(X=1)=2XR*

o4

第一次学y,第二次学s,第三次学y,则P=ix〈xo.25=

Zo

第一次学匕第二次学W,第三次学匕则P=lxJxO.25=:，

Zo

故P(X=2)=2x!=J,

O4

故机器人仅进行三次学习，学习技能y次数的分布列的数学期望x的分布列为:

X12

31

p

44

Q1C

故E(X)

(2居1=0^1=

。2=0.25历+0.25。1=0.25xJ+0.25X々

zZ4

设a九+1=0.25bn+0.25c九,又力九+cn=l—an,

a

•*,n+i=0.25(1—an),•••an+i—1=—^(an—1),

｛M一刍为等比数列，且公比为e，首项为y，

故=一(1)7，故斯=99扔一，

要使得斯最大，贝M为偶数，此时斯=(+/351,

此时｛斯｝单调递减，故当n=2时，取到最大值士

n(22w)

(3)证明：yn=2+4+-+2n==n(n+