2025年高考数学重难点复习特训：极化恒等式与等和（高）线定理【四大题型】学生版+解析

重难点13极化恒等式与等和（高）线定理【四大题型】

【新高考专用】

►题型归纳

【题型1利用极化恒等式求值】................................................................3

【题型2利用极化恒等式求最值（范围）】......................................................4

【题型3利用等和线求基底系数和的值】........................................................4

【题型4利用等和线求基底系数和的最值（范围）】..............................................5

►命题规律

1、极化恒等式与等和（高）线定理

极化恒等式是平面向量中的重要等式，是解决平面向量的数量积问题的重要工具，有平行四边形模型

和三角形模型两大重要模型，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系；等和（高）线定理是平面向量

中的重要定理，由三点共线结论推导得出，在求基底系数和的值、最值（范围）中有着重要作用.

►方法技巧总结

【知识点1极化恒等式】

1.极化恒等式的证明过程与几何意义

⑴平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和:

|“+邸+|〃-邸=2（|才+M）.

证明：不妨设==贝！］AC=a+6,DB=a-b,

|AC|2=AC2=（a+b^=W+2a/+W①，

|DB|=DB=^a—b^=|«|-2a-b+1/?|②，

①②两式相加得：

|AC|2+网2=+附=2（阿+网）

⑵极化恒等式：

上面两式相减，得：a-b=^a+b^-(a-b^-------极化恒等式

平行四边形模式：a-Z7=l[|AC|2-|DB|2].

2.几何解释：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平

方差的

4

(1)平行四边形模型：向量的数量积等于以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角

(2)三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即行•就=

AM2—症2(M为BC的中点)(如图).

极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系.

【知识点2等和(高)线定理】

1.等和(高)线定理

(1)由三点共线结论推导等和(高)线定理：如图，由三点共线结论可知，若苏=彳51+〃方(Z〃GR),

则2+〃=1,由AOAB与△04夕相似，必存在一个常数k,kGR,使得苏=左5?,则

OP'=kOP=kXOA+k/iOB,又OP=+>08(x,yGR),.,.x+y=kA+k/u=k-,反之也成立.

(2)平面内一个基底｛d,方｝及任一向量而，OP'=^OA+^05(^ER),若点P在直线AB上或在

平行于AB的直线上，则2+〃=网定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线48平行的直线称为等和(高)

线.

①当等和线恰为直线48时，上1；

②当等和线在。点和直线A8之间时，右（0,1）；

③当直线A8在。点和等和线之间时，々e（l,+8）；

④当等和线过。点时，上0；

⑤若两等和线关于。点对称，则定值而，依互为相反数;

⑥定值k的变化与等和线到O点的距离成正比.

►举一反三

【题型1利用极化恒等式求值】

【例1】（2024・贵州毕节・三模）如图，在△力BC中，。是BC边的中点，E,尸是线段力。的两个三等分点,

若瓦1一万=7,BE-CE=2,则而•而=（）

【变式1-1］（23-24高三上•福建厦门・期末）如图，BC、OE是半径为1的圆。的两条直径，BF=2FO,

则而-FE=（）

【变式1-2］（2024高三•江苏•专题练习）如图，在平面四边形ABC。中，。为8。的中点，且。4=3,OC

【变式1-3］（23-24高二下•湖南长沙•开学考试）如图，在平行四边形4BCC中，AB=\,A£）=2,点E,F,

G,H分别是AB,BC,CD,AO边上的中点，则丽•丽+旗•近等于

【题型2利用极化恒等式求最值（范围）】

【例2】（2024高三.全国・专题练习）半径为2的圆。上有三点4、B、C满足瓦5+荏+元=6,点P是圆内

一点，则西•丽+而•通的取值范围为（）

A.[-4,14）B.[0,4）C.[4,14]D.[4,16]

【变式2-1]（23-24高一下•江苏南通・期中）正三角形2BC的边长为3,点。在边4B上，且丽=2瓦?，三

角形力8c的外接圆的一条弦MN过点。，点P为边BC上的动点，当弦MN的长度最短时，两•西的取值范围

是（）

A.[—1,5]B.[—1,7]

C.[0,2]D.[1,5]

【变式2-2]（2024.重庆.模拟预测）已知△048的面积为=2,动点P,Q在线段上滑动，且|PQ|=1,

则而•丽的最小值为.

【变式2-3]（23-24高三上•上海浦东新•阶段练习）在面积为2的平行四边形中中，，点尸

6

是AD所在直线上的一个动点，则而2+12—而.玩的最小值为.

【题型3利用等和线求基底系数和的值】

[例3]（2024・四川成都・模拟预测）如图,在平行四边形ABCD中,BE=|BC,DF=|DE,若标=AAB+^AD,

【变式3-1]（2023•河北沧州・模拟预测）在AABC中商=称前，丽=]瓦？+丽），点P为力E与BF的交点,

AP=AAB+fiAC,赃1+“=（）

113

A.0B.-C.-D.-

424

【变式3-2]（23-24高一上.江苏常州•期末）在平行四边形力BCD中，E为8C的中点，F在线段DC上，且CF=

2DF.若尼=2族+〃而，无〃均为实数，则4+〃的值为.

【变式3-3]（23-24高一上・江苏苏州・期末）如图，在矩形4BCD中，M,N分别为线段BC,CD的中点，若

丽=XjM+%前，%,%6R，则％+乙的值为.

【题型4利用等和线求基底系数和的最值（范围）】

【例4】（2024山东烟台.三模）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆0,P为圆。上任一点，若布=

xAB+yAC,贝Ij2x+2y的最大值为（)

P

AA.-8B.2C谓D.1

3

【变式4-1]（23-24高三上•河北沧州•期中）如图，△BCD与A/IBC的面积之比为2,点尸是区域4BCD内任

意一点（含边界），且方=4通+〃前（4,〃CR）,贝/+〃的取值范围是（）

A.[0,1]B.[0,2]C.[0,3]D.[0,4]

【变式4-2]（23-24高一下.福建泉州.阶段练习）在△ABC中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任

意一点、,若前=2荏+“前（2,〃eR）,贝!U+”的取值范围是.

【变式4-3]（23-24高一下•广西桂林•期末）已知。为AdBC内一点，且4+8砺+5玩=6,点M在△OBC

内（不含边界），若前=4亚+〃前，贝物+〃的取值范围是.

►过关测试

一、单选题

1.（2024•四川绵阳•三模）如图，在△力8C中，AF=BF=6,EF=5,则说・丽=（）

2.（2024•陕西西安.一模）在中，点。是线段4C上一点，点P是线段BD上一点，且方=病，丽=

|荏+沅，贝1|%=（）

112S

A.-B.-C.-D.-

6336

3.（2024高三•全国•专题练习）在△ABC中，。是BC边上的中点，且标=（而，AF=2AE,AB-AC=6,

FB-FC=-2f则而.前=（）

1

A.-1B.2C.--D.1

2

4.（2024・陕西榆林•三模）在△ABC中，E在边BC上,且EC=3BE,。是边上任意一点，AE与CD交于点P,

若而=%方+丫而，贝!]3]+4y=（）

33

A.-B.--C.3D.-3

44

5.（23-24高三下.湖南长沙.阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和

对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，。小=；（|而『—|就『），我们称为极化恒等式.已

知在中，M是中点，AM=3,BC=10,则屈•左=（）

A.-16B.16C.-8D.8

6.（2024・全国•模拟预测）如图，在AABC中，前=tR?（t>0）,丽=4丽（2>0）,若而=|前—；就,

则2+t的值为（）

7.（23-24高三上.山东潍坊・期末）己知正方形ABC。的边长为2,MN是它的内切圆的一条弦，点P为正

方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，两•两的取值范围是（）

A.[0,1]B.[0.V2]

C.[1,2]D.[-1,1]

8.（2024.河北沧州.三模）对称美是数学美的重要组成部分，他普遍存在于初等数学和高等数学的各个分

支中，在数学史上，数学美是数学发展的动力.如图，在等边AABC中，AB=2,以三条边为直径向外作三

个半圆，M是三个半圆弧上的一动点，若前=2屈+〃前，贝以+〃的最大值为（）

二、多选题

9.（23-24高一下.江苏南京•期中）在A/IBC中，点D是线段BC上任意一点，点M是线段4D的中点，若存在

尢〃61<使前=刀通+〃左，则尢〃的取值可能是（）

10.（23-24高一下•四川成都•阶段练习）如图，正方形2BCD中，E为4B中点，M为线段力。上的动点，若BM=

ABE+iiBD,贝！U+”的值可以是（）

AMD

3I

A.5B,-C.1D.2

11.（23-24高一下•陕西西安•阶段练习）（多选）如图，在四边形力BCD中，NB=60。，4B=3,BC=6,

且同=ASC（/l6R）,而•荏=一|,贝|J（）

C.四边形4BCD是梯形D.若M,N是线段BC上的动点，且|而|=1,则丽•丽的

最小值为葭

三、填空题

12.（2024.新疆.二模）在等腰梯形ABCD中，屈=2DC,点E是线段BC的中点，若衣=AAB+[iAD,则2+〃=

13.（23-24高一下.黑龙江大庆.期末）如图，在AZBC中，。是BC的中点,E,尸是4。上的两个三等分点瓦5-5二

5,BF-CF=-2,则屁•近的值是.

14.（23-24高三・广东阳江•阶段练习）在面积为2的平行四边形4BCD中，点P为直线力D上的动点，则丽•丽+

前2的最小值是.

四、解答题

15.（23-24高一下・甘肃白银•阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点0.E是线段0D的

中点，4E的延长线与交于点工

（1）用屈，同方表示获；

⑵若再^=4同+〃赤，求;1+〃的值.

22

16.（23-24高一下•江苏苏州•期中）阅读一下一段文字：（五+3）=a2+2a-b+b2,（五—3）=a.2-2a-

b+b2,两式相减得（五+3）2-（五一3）2=4五•3今五•B=1［（五+力2_（五_3）2］我们把这个等式称作“极

化恒等式”，它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算.试根据上面的内容解

决以下问题：如图，在AABC中，。是8C的中点，E,尸是上的两个三等分点.

（1）若AO=6,BC=4,求荏•前的值；

（2）若希•尼=4,FB-FC=-1,求丽•正的值.

17.（23-24高一上.辽宁大连•期末）在三角形4BC中，ABa,AC=b,BE=2EC,。为线段AC上任意一

点，8。交4E于0.

B

⑴若丽=2DA.

①用出另表示族；

②若前=4荏，求4的值;

(2)若丽=xBA+yBC,求上+」的最小值.

18.(23-24高一下•湖南邵阳•期末)如图，已知四边形ABDE为平行四边形，点C在力B延长线上，点M在线

段4D上，且力B=^BC,4M=22£),设方=%荏=双

(1)用向量出3表示丽;

(2)若线段CM上存在一动点尸，且於=ma+nb(m,nGR),求九2+nm的最大值.

19.(23-24高一下.广东潮州.阶段练习)阅读以下材料，解决本题：我们知道①0+方=浸+2港3+弘

②(N-by=a2-2a-b+京.由①-②得(2+3)2—(2—b)2-4a-b<^a-b=(。+“)；(。心,我们把最后推

出的式子称为“极化恒等式”，它实现了没有夹角参与的情况下将两个向量的数量积化为“模”的运算.如图所

示的四边形4BCD中，BD=8,AB-AD=48,E为BD中点.

(1)若cosNB力。=合，求△ABD的面积；

(2)若2标=前，求方•丽的值；

⑶若P为平面4BCD内一点，求方・(丽+而)的最小值.

重难点13极化恒等式与等和（高）线定理【四大题型】

【新高考专用】

►题型归纳

【题型1利用极化恒等式求值】................................................................3

【题型2利用极化恒等式求最值（范围）】......................................................4

【题型3利用等和线求基底系数和的值】........................................................4

【题型4利用等和线求基底系数和的最值（范围）】..............................................5

►命题规律

1、极化恒等式与等和（高）线定理

极化恒等式是平面向量中的重要等式，是解决平面向量的数量积问题的重要工具，有平行四边形模型

和三角形模型两大重要模型，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系；等和（高）线定理是平面向量

中的重要定理，由三点共线结论推导得出，在求基底系数和的值、最值（范围）中有着重要作用.

►方法技巧总结

【知识点1极化恒等式】

1.极化恒等式的证明过程与几何意义

⑴平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和:

D____________C

--------*B

\a+b^+|a-S|2=2(|a|2+|S|2).

证明：不妨设AB=a,AD=b,贝!|AC=a+b,DB=a—b,

\A<^=AC=(a+b^=\c^+2a-b+\l^®,

DB=DB=(0-6)=o|-2fl-Z?+Z?②，

①②两式相加得：

22

AC+Z)B=2(a1+卜2卜2(A81+呵).

(2)极化恒等式：

上面两式相减，得：a-b=^a+b^-（a-b^-------极化恒等式

平行四边形模式：a-Z7=l[|AC|2-|DB|2].

2.几何解释：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平

方差的

4

（1）平行四边形模型：向量的数量积等于以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角

（2）三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即方•就=

万F一标2（〃为go的中点）（如图）.

极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系.

【知识点2等和（高）线定理】

1.等和（高）线定理

（I）由三点共线结论推导等和（高）线定理：如图，由三点共线结论可知，若5?=入0+〃苏仁〃GR）,

则2+汹=1,由△OAB与△04夕相似，必存在一个常数k,kGR,使得赤=万万，则

OP'=kOP—kXOA+k/.iOB,又OP=x。/+(x,ydR),,'.x+y=kA+k/bi=k-,反之也成立.

（2）平面内一个基底｛而，而｝及任一向量而，OP'=AOA+Zzdsa,/zeR）,若点P在直线AB上或在

平行于AB的直线上，则2+〃=网定值）；反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和（高）

线.

①当等和线恰为直线48时，上1；

②当等和线在。点和直线A8之间时，右(0,1)；

③当直线A8在。点和等和线之间时，々e(l,+8)；

④当等和线过。点时，上0；

⑤若两等和线关于。点对称，则定值而，依互为相反数;

⑥定值k的变化与等和线到O点的距离成正比.

►举一反三

【题型1利用极化恒等式求值】

【例1】(2024・贵州毕节.三模)如图，在AABC中，。是BC边的中点，E,厂是线段4。的两个三等分点,

若瓦I•方=7,BE-~CE=2,则而•而=()

【解题思路】利用几何关系将瓦Im，而，互均用说,而表示出来，进而将瓦T而，丽•丽表示成与丽，丽

相关，可以求出前2=1,前2=8,同时加，丽的数量积也可用而，丽表示，即可求出结果.

【解答过程】依题意，。是BC边的中点，E,尸是线段20的两个三等分点，

则次刀=(萍—砌.(—海一砌=还产=随产=7,

22

~BE-CE=(-BC--AD\■(--BC--AD)=-AD--BC=^W-BCZ=2

因此前2=1屈2=8,~BF-CF=(^BC-FD)■(-^BC-FD)=4Fd2-bc2==-i.

故选：B.

【变式1-1](23-24高三上•福建厦门・期末)如图，BC、。后是半径为1的圆O的两条直径，BF=2FO,

则而-FE=()

正----、

E

【解题思路】根据题意，得到丽•FE=-（OE+OF）-（OE-OF）,进行求解即可.

【解答过程】因为圆半径为1BC是直径，BF=2F0,

所以|行|=|,

根据向量加法和减法法则知：FD=0D-OF,FE=0E-~0F；

又DE是直径，所以砺=-OE,\OD\=\0E\=1,

贝府-FE=（0D-OF）-（OE-OF）（-0E-0F~）-（0E-OF）

=-（OE+0F）■（OE-OF^|函2T函2=三一仁一*

故选B.

【变式1-2］（2024高三・江苏・专题练习）如图，在平面四边形A8CD中，。为8。的中点，且OA=3,OC

=5.若荏•同=一7,则就•反的值是9.

【解题思路】根据平面向量的线性表示与数量积运算，利用荏•同=（而+而）・（而+而），求出|而|=

|而|=4,再利用品•沆=（而+瓦）・（加+灰），运算可求出结果.

【解答过程】在平面四边形2BCD中，。为8。的中点，且。力=3,。。=5,.•.赤+赤=6,

若荏•丽=-7,

贝!］（而+0B）-（X0+00）=A02+A0-0D+Ad-0B+0B-0D=AO2+OA-（OD+OB）-OB2=32-

OB2=-7,

•••OB2=16,\0B\=\0D\=4,

•••BC•DC=（B0+OC）-（DO+OC）^~B0~D0+~B0~0C+~0D~0C+OC2=-BO2+OC-（B0+0D~）+

OC2=-42+0+52=9.

故答案为：9.

【变式1-3］（23-24高二下.湖南长沙•开学考试）如图，在平行四边形ABC。中，AB^l,4£»=2,点E,F,

G,X分别是42,BC,CD,边上的中点，则而•丽+旗•丽等于|.

【解题思路】在平行四边形A8C。中，取HF的中点。，根据相等向量和向量的加法运算法则及数量积运算

求解.

【解答过程】如图:

在平行四边形ABCD中，取HF的中点。,

2

则前-FG=EF-FW=(F0+0F)-(E0+0H)=E02-OH2=1-=|,GH-HE=GH-GF=

223

(GO+OH)•(GO+OF)==GO-OH-9

4

则市-FG+GH-HE^^.

故答案为：

【题型2利用极化恒等式求最值（范围）】

【例2】（2024高三・全国・专题练习）半径为2的圆。上有三点4、B、C满足a+荏+前=6,点P是圆内

一点，则而•丽+丽•丽的取值范围为（）

A.[-4,14)B.[0,4)C.[4,14]D.[4,16]

【解题思路】设。4与BC交于点D,由耐+通+前=6得四边形。B4C是菱形，D是对角线中点,

而，丽，巨瓦丽用丽和其他向量表示并计算数量积后可得而-PO+PB-PC=2|PD|2-4,由点与的位置关

系可得|PD|的取值范围，得结论.

【解答过程】如图，CM与BC交于点D,由函+荏+照=6得：OB+AC=0,

B

所以四边形084C是菱形，且。4=OB=2,贝必。=。。=1,BD=DC=V3,

由图知丽=丽+万万，PC=^D+~DC,而砺=一反，

：.PB-PC=PD2-DB2=\PD\2-\DB\2=\PD\2-3,

同理方=而+瓦PO=TD+~D0,而砺=一而，

：.~PA-~P0=而2_丽2=|pp|2_|而|2=|pp|2_i,

：.PA.而+而•丽=2\PD\2-4,

:点P是圆内一点，则0W|而|<3,：.-4<PAPO+PBPC<14,

故选：A.

【变式2-1]（23-24高一下•江苏南通・期中）正三角形4BC的边长为3,点D在边4B上，且丽=2瓦?，三

角形力BC的外接圆的一条弦MN过点。，点P为边BC上的动点，当弦MN的长度最短时，丽•丽的取值范围

是（）

A.[-1,5]B.[-1,7]

C.[0,2]D.[1,5]

【解题思路】设。为AABC外接圆的圆心，结合垂径定理和正弦定理，可得MN=2方，再由极化恒等式推

出两•丽=而2一]丽2,于是问题转化为求|而|的取值范围，然后结合三角函数知识与余弦定理，即可

得解.

【解答过程】解：设。为A外接圆的圆心，

因为前=2或，所以。D=：AC=1,

当弦MN的长度最短时，MN1OD,

在AaBC中，由正弦定理知，外接圆半径R=；•等=9意=百，即。M=V5,

2sinC212

2

所以MN=2MD=2yJOM2-OD2=2j（V3）2-l2=2/,

因为（两+而）2=（PM-PN^2+4PM-PN,即（2而）2=丽2+4PM-PN,

所以丽.丽=丽2而2=与2―：.（2迎）2=而2—2,

因为点P为线段BC上的动点，

所以当点P与点Q重合⑦Q1BC）时，I而Imin=\DQ\=|BD|sin60°=2x产=百；

当点P与点C重合时，I而|max=|CD|，

在△BCD中，由余弦定理知，

\CD\2=\BC\2+\BD\2-2\BC\­\BD\cos^ABC=9+4-2x3x2x|=7,

所以I而lmax=1叩=近，

综上，|4|e[g,V7],

所以西.丽=PD2-26[1,5].

故选：D.

【变式2-2]（2024.重庆.模拟预测）已知△048的面积为1,48=2,动点P,Q在线段48上滑动,且|PQ|=1,

则而•丽的最小值为:.

【解题思路】根据题意，记线段PQ的中点为H,由SA。.=1且力B=2,可得点。到直线力B的距离为d=1,

由丽•丽=；[（而+而尸-（而-而声，根据向量的运算代入求解即可.

4

【解答过程】记线段PQ的中点为H,点。到直线力B的距离为d,

则有SAOAB=lAB-d=l,解得d=1,

由极化恒等式可得：

__kkkkkk

OP-OQ[（OP+丽/-（OP-而）2]

4

=OH2-PH2=OH2-->d2

444

故答案为：!

4

【变式2-3］（23-24高三上.上海浦东新•阶段练习）在面积为2的平行四边形中48CD中，点尸

是AD所在直线上的一个动点，则同2+而2_而.而的最小值为2g.

【解题思路】取BC的中点Q,连接PQ,利用极化恒等式可得而2+而2_而同=|所瓦『，

结合基本不等式与四边形面积可得最小值.

【解答过程】取8c的中点Q,连接PQ,则丽+玩=2而，

丽.无=：［（而+玩）2_（而一丽沟=］（4|而荏『），

而2+而2_而同=（而+硝2—3而同=4画『_14闻函2）,

=|而『+：函2>|PQ|.咚|BC|=V^|PQHBC|》®BCD=2K

4Z

当且仅当附|=争因且PQ18C时取等号，

故答案为：2VI

【题型3利用等和线求基底系数和的值】

［例3］（2024•四川成都・模拟预测）如图,在平行四边形2BCD中,BE*BC,DF=|DE,若初=XAB+两,

则4+〃=（）

【解题思路】由已知结合向量的线性运算及平面向量基本定理即可求解.

【解答过程】在平行四边形2BCD中，BE=-BC,DF=-DE,

34

所以羽=初+而=而+|屁=前+］（反+而）

=AD+-（AB--AD）=-AB+-AD,

4\3744

若/F=XAB+IJ.AD,则a=［i=-,贝!M+//=-.

42

故选：A.

【变式3-1］（2023•河北沧州・模拟预测）在△ABC中，砺=巳画而=式瓦＜+阮），点P为4E与BF的交点,

Q=2万+居，贝！U+”=（）

113

A.0B.-C.-D.-

424

【解题思路】利用平面向量基本定理得到族=（1-左）布+）宿AP=^mAC^mAB,从而列出方程组,

求出得到4=［,〃=：，求出答案.

24

【解答过程】因为加=3（瓦？+阮），所以F为4c中点，

B,P,F三点共线，故可设前=上不，即衣一荏=々（左一丽），

整理得衣=ZcXF+（1-fc）AB=（1-k）AB+|fc4C,

因为前=工说，所以族一通=三前一三族，^AE=-AC+-AB,

22233

4P,E三点共线，

可得4P=mAE—mQxC+|AB）=|mXC+1mAB,

'2=1_k（k=-

所以广加i,解得|,

—=-kIm=-

I32I4

可得力P=5i4B+［/lC,贝!|a=5，〃=］,A+/z=—.

故选：D.

【变式3-2］（23-24高一上•江苏常州•期末）在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，F在线段DC上，且CF=

2DF.若尼=4荏+〃而，尢〃均为实数，则）+“的值为飞.

【解题思路】设同=2,前=丸结合几何性质用2万表示荏，衣，结合已知条件，构造方程组，即可求解尢〃

的值，即可求解.

［解答过程］解：设=a,AD=b,

•.,在平行四边形48CD中，E为BC的中点，F在线段DC上，且CF=2DF,

：.AE=a+^b,AF^^a+b,

'：AC^AAE+fiAF,九〃均为实数，AC^d+b,

•*,AC=2+6=4(a+—/?)+〃(石a+b),

2+-=14,

3

{A，解得：a=w，〃=『

1+〃=155

•*.A+=~.

【变式3-3]（23-24高一上.江苏苏州•期末）如图，在矩形2BCD中，M,N分别为线段BC,CD的中点，若

MN=X^AM+%前，%,%6R，则％+乙的值为:.

【解题思路】利用向量的线性运算及平面向量基本定理即可求解.

【解答过程】因为M,N分别为线段BC,CD的中点，

所以而==|（AD-AB）=|AD-|AB,

----»>---->---»1--->

AM=AB-I-BM=AB+-AD,

2

--->>>>1---»

BN=BC+CN=AD--AB,

2

所以而=%前+%前=入1（荏+（而）+入2（前-（荏）

1---»1--->

=（%-了2）48+（-A-L+^2）AD,

a-匕=一工Ai=--

所以｛12J,解得｛5,

-A+A=-A=-

21222z5

=

所以4]+A2=

所以％+%的值为

故答案为：|-

【题型4利用等和线求基底系数和的最值（范围）】

【例4】（2024山东烟台.三模）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆。，P为圆。上任一点，若布=

xAB+yAC,贝!）2x+2y的最大值为（）

R4

A.-B.2C.-D.1

33

【解题思路】等和线的问题可以用共线定理，或直接用建系的方法解决.

【解答过程】

作的平行线与圆相交于点尸，与直线A2相交于点E,与直线AC相交于点尸,

设加=XAE+[lAF,贝!U+〃=1,

：BC//EF,.•.设祭=笫=k,则[e[0,1]

：.AE=kAB.AF=kAC,AP=XAE4-(1AF=AkAB+fikAC

••x=A.kfy—林k

2x+2y=2(2+〃)fc=2/c<|

故选：A.

【变式4-1］（23-24高三上•河北沧州•期中）如图，△BCD与△ABC的面积之比为2,点尸是区域ABC。内任

意一点(含边界)，且而=4荏+〃前(4,〃eR),贝以+〃的取值范围是()

A.[0,1]B.[0,2]C.[0,3]D.[0,4]

【解题思路】根据题意，将图形特殊化，设4D垂直平分BC于点。，的。。=240,当点P与点4重合和点P与

点。重合时，分别求得4+〃的最值，即可求解.

【解答过程】根据题意，将图形特殊化，设4D垂直平分BC于点。，

因为ABCD与AABC的面积之比为2,贝1]。。=22。，

当点P与点4重合时，可得衣=6,此时2=〃=0,即4+〃的最小值为0；

当点P与点D重合时，可得Q=3^40=3x(|XB+|ZC)=|南+|前，

此时;1=〃=|,即；1+M，此时为最大值为3,

所以4+〃的取值范围为[0,3].

【变式4-2](23-24高一下•福建泉州•阶段练习)在AABC中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任

意一点，若丽=痴+国(A,46R),贝！M+”的取值范围是」QJJ_.

【解题思路】根据题意，设丽=t前，然后分t=0与0<tW1讨论，结合三点共线定理代入计算，即可

得到结果.

【解答过程】

由题意，设丽=t祠，(0<t<1),

当t=0时，AN=0,所以;I屈+〃就=6,

所以4=〃=0,从而有4+4=0；

当0<tWl时，因为前=4荏+〃前(A,〃6R),

所以t前=4万+〃前，即俞=(荏+个前，

因为M、B、C三点共线，所以(+：=1,即；1+〃=te(0,1].

综上，2+〃的取值范围是[0,1].

故答案为：[0,1].

【变式4-3](23-24高一下•广西桂林・期末)已知。为△4BC内一点，且而1+8OB+5方=6,点用在^OBC

内(不含边界)，若前=2通+〃而，则4+”的取值范围是.

【解题思路】设方=巾四+九前，根据题意结合平面向量基本定理可得而荏+5宿设施=

0<%+y<1__

xOB+yOC9且无>0,整理可得24M=f—+—x——AB+f——不%+不、)%。，进而可得结

y>017171717

果.

【解答过程】设方=mAB+nAC,m,n6R,即瓦？=-AO=-mAB-nAC,

可得证=OA+AB=(<1-m)AB-nAC,OC=OA+AC=-mAB+(1-n)AC,

因为4Hl+8OB+5OC=0,

EP4(-mZfi-nAC)+8[(1-m)AB—nAC]+5[-mAB+(1-n)AC]=0,

整理可得(8-17m)AB+(5-17n)AC=0,且荏，而不共线，

则8-17m=5—17n=0,解得一=^,n=*

即而=9屈+三左，OB^—AB~—AC,OC=--AB+—AC,

171717171717

0<X+y<1

又因为点M在A08C内(不含边界)，设丽=乂而+y瓦,x,yeR,且%>0,

.y>o

可得前=偌久一曲)四+(—Q+净)前，

则前^AO+OM^(-+—x-—y)AB+(--—x+—y\AC,

\171717\1717177

TO.O

A=—I—x-----y..

可得（VV12,可得a+〃=不Q+不（汽+y），

a=-xH——y

V171717J

且OVx+yVl,可得a+〃=!|+］（无+y）W

所以2+〃的取值范围是（£,1）.

故答案为：（工,1）.

►过关测试

一、单选题

1.（2024•四川绵阳•三模）如图，在AABC中，AF=BF=6,EF=5,则瓦？•丽=（）

【解题思路】根据极化恒等式，结合已知数据，直接求解即可.

【解答过程】因为方■b=（呼?一（呼）：

故砺-EB=（%亘f_（失审=萨一前2=25-36=-11.

故选：A.

2.（2024•陕西西安・一模）在AABC中，点D是线段4C上一点，点P是线段BD上一点，且方=瓦?，AP=

^AB+XAC,贝IM=（）

1125

A.-B.-C.-D.-

6336

【解题思路】依题意可得前=2而，即可得到方=|说+2/而，再根据平面向量共线定理的推论得到|+

22=1,解得即可.

【解答过程】因为方=/，所以而=［前，即前=2而，

又加=2屈+%而，所以标=2荏+24而，

33

因为点P是线段8。上一点，即B、P、。三点共线,

所以;+24=1,解得；I=±

DO

故选：A.

3.(2024高三・全国・专题练习)在△ABC中，。是BC边上的中点，且荏=?而，AF=2AE,AB-AC=6,

FB-~FC=-2,则丽•前=()

1

A.-1B.2C.--D.1

2

【解题思路】

利用向量的线性运算及向量的数量的运算律即可求解.

【解答过程】

AB-AC=(AD+DB)­(AD-D6)=\AD^-|0B|2=6,

同理可得而-FC=|FD|2-|DB|2=一2,

又荏=三和AF=2AE,

3

所以|而『=可而广，所以[前『=],।丽『=3,

EB-EC=|ED|2-|DB|2=4|FD|2-|DB『=4x1-3=1.

故选：D.

4.(2024・陕西榆林•三模)在A4BC中，E在边BC上，且EC=3BE,。是边力8上任意一点，4E与CD交于点P,

^CP=xCA+yCB,贝1]3久+4y=()

A.-B.--C.3D.-3

44

【解题思路】利用向量的线性运算，得而=在+而=汇5+《-|。施，再利用平面向量基本定理，可

得X=t,y=：—),然后就可得到结果.

44

【解答过程】4、P、E三点共线，设丽=tE4(0<t<1),

则而=CE+EP=^CB+tEA=^CB+t（CA-河）=tCA+Q-^CB,

又•.•丽=xg<+y施，所以x=t,y=：—：3即3%+4y=3.

故选：C.

5.（23-24