2025年高考数学二轮复习《三角函数》专项测试卷+答案解析

《三角函数》专项测试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知COS得+仇)+3cos(a—7T)=0,则旦n芸sin：=()

/sin(2+a)

3333

A-5B--5CWD-W

【答案】D

【解析】【分析】

本题考查诱导公式的应用，同角三角函数的基本关系，属于基础题.

先通过诱导公式、同角三角函数的基本关系化简条件得到tana=-3,再通过诱导公式、同角三角函数的基

本关系化简所求，再代入求值，即可得到答案.

【解答】

解：cos+a)+3cos(a—兀)=0,sina—3cosa=0,tana=-3.

sina—sin3asina(l—sin2a)tana3

-------行--------=----------------------=sinacosa=----3-------=一

sing+a)cosatan2a+110

故选D.

2.已知cos(y-3)=3cos+7),贝ljsin20=()

44

3434

A-SB-5C--5D-5

【答案】B

【解析】【分析】

本题考查三角函数求值问题，属于基础题.

求出tan。=利用sin20=畜缁■即可求解.

【解答】

解：因为cos(2-。)=3cos(e+»,

贝ijCOS7COS0+sin7sin©=3cosmeos6—3sinfsin6,

4444

贝！J2sin8=cos。，即tan。=

mi.c八2sin6cos62tan04

yinsin2夕=——3----5―=——不----=—.

sin20+cos20tan20+l5

3.当％€[0,2兀]时，曲线y=cos%与y=,cos(3%-，)的交点个数为()

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A.7B.6C.5D.4

【答案】B

【解析】【分析】

本题考查函数图象交点个数问题，属于中档题.

分别画出y=cosx与y=|cos(3x-，在［0,2兀］上的函数图象，根据图象判断即可.

【解答】

解：y=cosx与y=|cos(3x-，在［0,2兀］上的函数图象如图所示，

由图象可知，两个函数图象交点的个数为6.

故选：B.

4.在△ABC中，内角N,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列四个条件中能够使角力被唯一确定的是

()①sirL4=苧;②cosA=-苧;③cosB=-b-3a;(4)z.C—45°,b—2,c-y/~3.

A.①②B.②③C.③④D.②③④

【答案】B

【解析】【分析】

本题主要考查解三角形，掌握正弦定理是解本题的关键，属于中档题.

根据已知条件，结合三角函数的特殊角，以及正弦定理，即可依次求解.

【解答】

解:sinA=亭则4=黑手故①错误；

cosH=—孕，则力=好故②正确；

26

cosB=-b=3a,则则Z€(0,g),sinB=¥，

z3o2

•••b=3a,•••sinB=3sin力，sin力=—=—,

36

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则角/被唯一确定，故③正确；

ZC=45°,b=2,c-V-3>bsinC=«攵<c<6,二如图所示，角/不唯一，故④错误.

故选8.

5.古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础.现根据刘

徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点N是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上8,

C两点与点/在同一条直线上，且在点N的同侧.若在8,C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60。和20。,

且BC=100m,则该球体建筑物的高度约为（）（cosl00~0.985）

A.49.25mB.50.76mC.56.74mD.58.60m

【答案】B

【解析】【分析】

本题考查利用正弦定理解决高度问题，属于一般题，根据三角函数可得根据是

设球的半径为R根据图形得AB=OR，.=品，利用山=$一四氏=I。。求解R即可•

【解答】

.•"焉心=10°，

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._100_100sinl0°

••—coslO°—V^sinlO0'

tanlO°YJ

100sinl0°_50sinl0°_50sinl0°_25_25

—2sin(30°—10°)—sin20°—2sinl0°cosl0°-coslO°-0.985,

•••2R=%50.76,

故选：B

6.已知f(x)=sin(a)x+<p)(3>0)满足f©)=1,喑)=0且〃>)在(％为上单调，则3的最大值为()

A王B竺-D卫

A.7C17U-17

【答案】B

【解析】【分析】

本题考查三角函数的图像与性质，体现了逻辑推理、数学运算等核心素养，属于中档题.

根据八3)=1，")=0,得到3=工孚，kEN,再根据f(x)在区间(3,当上单调，得到3W当从而

得到女的范围，即可得到3的最大值.

【解答】

解：由已知条件，得等——=)+匕9，kGN,所以r=鉴，keN.

-V727rr12/C+67「z

又3=―,则m13=———,kEN.

2n

又fO)在区间©，当上单调，所以即W=3=3解得3W学

40o4-ZZd)/

由卫宇W竽，得k溜.又k€N,故左的值可以是0,1,

当k=1时，3取到最大值，出=捍

故选B.

7.如图，在四边形48co中，AB1AD,cosB=cos^ACB=BC=2MCD的面积为3,则CD长

A.苧B./5C.乎D.711

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【答案】B

【解析】【分析】

本题主要考查了利用正弦定理与余弦定理解三角形，三角形面积公式，属于中档题.

根据诱导公式及两角和的余弦公式求出NC48,再由正弦定理求出NC,由三角形面积求出再由余弦

定理求出CD.

【解答】

解：由cosB=g,cos4力CB=

则sinB=J1—(等)2=等,sin^ACB=J1—(骞>=

又由NC4B=TI-NABC-乙4cB,

所二匚以cicosZ.CAB——cosQ/-AB个C+।Z-ACB)=—(z-z-xV10----2V—-5x—37—1—0、)=—V—-2

D_LUOU乙f

又由NC48e(0,兀)，可得=

4

AC

在△ABC中，又由正弦定理得：

smZ.BACsin乙4BC'

所以£=票，可得AC=2，I,

sm-r2、5

4—c-

由AB1AD,/.BAC=7,可得=7,

44

又由△ACD的面积为3,有:x2，14DxsinJ=3,可得力D=3,

Z4

在aACD中，由余弦定理有CD=VAD2+AC2-2AD-ACcos^DAC=J32+(2V1)2-2x3x呜=

后

故选：B.

8.在锐角△ABC中，角/,B,C的对边分别为a,b,c,S为△ABC的面积，a=2,且2S=a?-(6-c>,

则△ABC的周长的取值范围是()

A.(4,6]B.(4,275+2]C.(6,275+2]D.(4,v"5+2]

【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了正余弦定理的应用以及三角函数的最值的应用，属于较难题.

利用面积公式和余弦定理可得tan?=",tan4=?然后根据正弦定理及三角变换可得

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b+c=|(sinB+sinC)=2"sin(B+g),再根据三角形是锐角三角形，得到5的范围，转化

为三角函数求取值范围的问题.

【解答】

解：v2S=a2—(h—c)2=a2—62—c2+2bc=2bc—2bccosA

1

=>be—bccosA=-besinA,

1.AAA

=>1—cosA=々sinZ=2sinz=sin2cos?

441，“14

=tan彳=不=tanA=r—7,

223

・•.由A为锐角知:sinA=^,cosA=^

又。二2,由正弦定理可得：号=々=$=1

sm4smBsine2

55[

h+c=(sinB+sinC)=工r[sinB+sin(X+B)]

5/34\

=2(sinB+耳sinB+耳cosB)=4sinB+2cosB

=zAsinp+@),其中tang=g,0=今

又△ABC为锐角三角形0孩一4<B<y=>^-4<B+<7+7^cosy<sin(F+<p)<1

2

=-^=<sin(B+w)41

=4V2V_5sin(B+cp)W2，^,

故^ABC的周长的取值范围是(6,2/亏+2].

故选C.

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分,

部分选对的得2分，有选错的得0分。

1

9.已知△4BC的内角的对边分别为a,比c,已知bsin/=(4b—c)sinB,且cos4=：,贝1()

4

A.a+c—4bB.tan2A=-------

△力的面积为竽房

C.△力BC的周长为106D.BC

4

【答案】AD

【解析】【分析】

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本题考查了同角三角函数的基本关系，二倍角公式及其应用，正余弦定理在解三角形计算中的综合应用和

三角形面积公式，属于中档题.

利用正弦定理，结合bsin力=(4b-c)sinB,对/进行判断，利用同角三角函数的基本关系和正切的二倍角

公式，结合cosA=对3进行判断，利用/的结论,对。进行判断，利用余弦定理,结合cosA=，得8a-7c=

2b,再由t+c；4b解得c=a=2b,最后利用三角形面积公式，对D进行判断，从而得结论.

【解答】

解：在△ABC中.

对于/、因为bsinA=(4b—c)sinB,

所以由正弦定理得ab=(4b—c)b=4b2—be,即Q+c=4b,因此4正确；

对于5、因为cosZ=3，/为三角形内角，所以sin.=J1-

因此tan/=包4=715，

cos力

所以tan2A=*%=^|=—学,因此8不正确；

1—tan。1—157

对于。、因为由/知：a+c=4b,所以a+b+c=5b,因此。不正确；

对于。、因为COS力=：所以

4。2bc4

而由/知：a+c=4b,因此入2+(c—a)•4b=1■%,BP8a-7c=2b,

因此由仁+：皿解得c=a=2b,

18a—7c=2b

所以△ABC的面积为:besinZ=孚82,因此。正确.

Z4

故选：AD.

10.已知f(8)=cos49+cos3。，且02,%是/(。)在(0,兀)内的三个不同零点，贝心)

7T

A.yG(01，。2,&}B,+。2+°3=兀

11

C.cos01cos02cos03=--D.cos。1+cos02+cos03=①

【答案】ACD

【解析】【分析】

本题考查二倍角正弦公式，函数的零点，属于中档题.

求出函数的零点，结合二倍角正弦公式，进而可得答案.

【解答】

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解：/(6)=cos46+cos30=0

cos46=—cos36=COS(TT—3。)，

4。=兀一3。+2kn,k6Z,或46=2兀一(兀一30)+2kji,kEZ,

3=^+^kn,kEZ,或8=7T+2kli,kEZ,

又6€(0,7T),=3。2=与,。3=今,故Z正确，B错;

对于C,COS01COS02COS03=COSy-COS-y--COS手

.8

n47r271sm/1

=cos7-cosT-cosT=^=--,C正确；

_37r57r

对于D,COS^i+COS02+COS%=COS7+cos—+cos—

1nn7137r7157r

二----^(2sin77cos弓+2sin-=-cos-=-+2sin-=-cos-=-)

2siny777777

=1尸27r+$也((n^+尸3TT\J+sin((nj—尸3n\)+sinf(n^+>5TJT\+sin([n^—>5TJF\]

=碎(SinT+sm--sin-+sin-Tr-sin-)=碎.sm^=,,D正确.

故选/CD

11.已知函数/(%)=2sin(a%+9)(3>0),//(%)为/(%)的导函数，则下列结论中正确的是()

A.函数g(%)=/(%)+//(%)的图象不可能关于歹轴对称

B.若且3CZ,f(x)在[。,智上恰有4个零点，则3=3

C.若9=]/(37T-X)+/(X)=0,则3的最小值为9

口.若3=与，<p=l，且f(x)在卜系m]上的值域为[-1,2],则加的取值范围是阁

【答案】BC

【解析】【分析】

本题考查三角函数的图象与性质，正弦(型)函数的零点，由正弦型函数的值域或最值求参，由正弦(型)函数

的对称性求参数，属于中档题.

根据题意，由三角恒等变换公式和三角函数的性质分析选项，即可得答案.

【解答】

解：对于4,g(%)=/(%)+//(%)=2sin(cox+9)+2cocos(cox+<p),

可知当3=1,0=弓时，5(x)=2V-2cosx,为偶函数，其图象关于〉轴对称，故4错误；

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对于8,因为久e[0,争，所以等一"

则3兀W等Y<4兀，解得卷W3〈年，

因为o)ez,故3=3,故2正确；

对于C,由题可知/(X)的图象关于点(竽,0)对称，

将(：,0)代入f(x)=2sin(s+9中，可得等+号=kn(keZ),

解得3=-5+竽(keZ),又3>0,所以3的最小值为故C正确；

对于。，由题可知/'(%)=2sin(导x+号)，因为％入[一券前,

所以日久+"[Y，等+阳，所以先等+抬等，解得非WmW苧，故。错误.

yoOyDZyooZU4

故选：BC.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知函数/(久)=sinx+cosx+2sinxcosx+2,则/'(久)的最大值为.

【答案】3+4I

【解析】【分析】

本题考查同角三角函数的基本关系，二次函数的性质，属于基础题.

令1=sinx+cosx,利用辅助角公式求得，的取值范围，并结合同角三角函数的平方关系，将原问题转化为

二次函数的最值问题，即可得解.

【解答】

解：函数/'(%)=sinx+cosx+2sinxcosx+2,定义域为R,

令t=sinx+cosx="\Z-2sin(x+：)，贝!1产=1+2sinxcosx,

因为xeR,所以te[—，2,A/9],

1c2

令g(t)=t+(t—1)+2=/+/；+1=(力+5)2+

Z4

所以当t=合时，g(t)取得最大值为3+

则f(x)的最大值为3+，I.

故答案为：3+

13.若函数/(久)=卜2—2，标+"m)sin(^mx(meN*)在[0,4]上恰有3个零点，则符合条件的m的个

数为.

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【答案】5

【解析】【分析】

本题考查正弦(型)函数的零点，属于中档题.

该函数零点可以转化为一个二次函数零点与正弦型函数零点的个数之和，对爪>8、m=8、分

类讨论，即可得取其取值范围.

【解答】

解：令/'(%)=0,则/-2讶久+gm=0或sin©小久一1)=0,

4\43/

_2

由4=(―2V-2)—m=8-m,

当m>8时，y=/-2度％+在［0,4］上没有零点，

则y=sinTH%-§在［0,4］上应有3个零点，

因为

45L5Oj

所以2兀三根冶<3兀，即与Mm<竽，

与m>8联立得8<m<

因为zn€N*,所以机的值依次为9,10；

当m=8时，因为，2£［0,4］，

所以y=/-2，至x+。小在［0,4］上有1个零点调，

而y=sin(2久—§在［0,4］上有3个零点也表手不满足题意；

当lWm<8时，因为26［0,4］,1m>|,

所以y=/一2心％+。爪在［0,4］上有2个零点，

故y=sin(，租％在［0,4］上应有1个零点，

因为THGN*,所以该零点与y=x2-2，2%+Jzn的零点不相同，

所以OWzn—£<兀，即〈等，

与1W爪<8联立得?<m<y,

因为m€N*,所以机的取值依次为2,3,4,

综上得符合条件的m的个数是5.

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故答案是：5.

14.某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的

三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心

（即三角形三条高线的交点）.如图，已知锐角△力BC外接圆的半径为2,且三条圆弧沿△力BC三边翻折后交于

点P.若2B=3,贝ilsin4PAe=；若2C:力B:BC=6:5:4,贝！|PA+PB+PC的值为.

【解析】【分析】

本题主要考查了正余弦定理在解三角形中的应用，涉及三角形垂心的性质的应用，解答时要能灵活地结合

垂心性质寻找角之间的关系，应用正余弦定理，解决问题.

第一空，由正弦定理求得sinN4CB=',可得COSNHC8=W，利用三角形垂心性质结合三角形诱导公式

推得sinzPXC=cos乙4cB,即得答案；

第二空，设NC48=aNCBA=a,N4C8=0,由余弦定理求得它们的余弦值，然后由垂心性质结合正弦定

理表示出PA+PB+PC=4（cos0+cosa+cos/?）,即可求得答案.

【解答】

解：设外接圆半径为R,则R=2,

由正弦定理，可知一第五=-70=2R=4,

smZ.ACBsmZ.ACB

即sinzXCB=]由于乙ACB是锐角，故cos^ACB=2,

44

又由题意可知尸为三角形48c的垂心，即AP_LBC,故NPAC=]-NACB,

所以sm^PAC=cos^ACB=4；

4

设/.CAB=e,NCBA=a,乙ACB=/?,

则/.PAC=1—S，4PBA=5-9/PAB=l-a,

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由于AC:AB-.BC=6-.5-A,不妨假设AC=6fAB=5fBC=4,

342+52—62142+62—529

由余弦定理知COS。二6会打二,cosa=g,cos£n=

ZX。X542x4x52x4x616

设4D,CE,为三角形的三条高，由于乙£7选+4£18。=5，"。。+“P。=/

故4EBC=乙CPD,

则得4Ape=n-乙CPD=n-乙EBC=n一^ABC,

斫“pc_PA_AC_AC_

WWsin(f-/?)—sing-0)—l^ZAPC-^ZABC-_4,

同理可得号=缶=缶=2R=4,

一一21022

所以PA+PB+PC=4(cos6+cosa+cosi?)=4x(-+-+—)=—,

4olo4

故答案为：?；

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.（本小题13分）

2sin(7r—%)—sin(^+x)3

已知

5cos(苧+%)+3cos(2江一%)131

(1)求tan%的值;

(2)若sin%,cos%是方程/—mx+n=0的两个根，求*+3n的值.

【答案】解：⑴「不言*=黑恶=祭

5cos(-y+%)+3cos(27r—%)osinx-f-jcos%io

•••/♦，解得tan久=2;

sinx+cosx=m

sinxeosx=n

•••m2+3n=(sinx+cos%)2+3sinxcosx=1+5sinxcosx,

sinxeosx_tanx_2

sinxeosx=sin2x+cos2xtan2x+l5

02

/.m24-3n=1+5X-=3.

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【解析】本题考查利用诱导公式化简，正余弦齐次式的计算，二次方程根的分布，属于中档题.

(1)对原式进行化简，即可求得.

(2)由题意可得「in”+cosx=瓶，然后代入到7n2+3n,即可求得.

isinxcosx=n

16.(本小题15分)

在锐角△力BC中，角/,B,C所对的边分别为a,b,c,且=右纥

sinecL

(1)求B;

(2)若6=2,求△ABC周长的取值范围.

【答案】解：(1)因为史竺谭叫=邛，由正弦定理得金二=与竺，化简得ac=a2+c2-接，

由余弦定理cosB=吐好把=产=q,又因为B£(0,兀)，所以B

(2)由正弦定理三=-2=义，所以Q=#^sinZ,c=^^sinC,

又B=W，所以a+c=与,所以c=：—a,

所以4aBe的周长Z=2+竽卜inA+sin得-A)]

=2+4(孕sin力+^-cosTl)—2+4sinM+

LL6

又△ABC为锐角三角形，0＜力＜今0＜年—力＜[即

L3Z6Z

I、I7T«,7T27r

所以5＜4〈可，

所以苧＜sin(A+3)＜1,

所以周长Ze(2+2，可,6].

【解析】本题考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换、三角函数的性质，属于中档题.

(1)根据正弦定理、余弦定理求得cosB的值，结合角3的取值范围求得角8的值；

(2)根据正弦定理、三角恒等变换，把△ABC的周长表示为关于角/的三角函数，结合角/的取值范围求得

△4BC的周长的取值范围.

17.(本小题15分)

已知函数/'(久)=sin(2x+号)+—1.

(1)将函数/(x)的图象向左平移J个单位长度，再将平移后图象上点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)

得到函数9(久)的图象，求或久)在久6[-也争上的值域；

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(2)若久0C偌有］,且/■(久o)=?一义，求cos(2久°一相)的值.

【答案】施军：(l)f(x)=(|sin2x+^ycos2x)-y^3cos2x-1

1./317T、1

=-sinQzx--cosQzx--=sin(2x

将f(%)的图象向左平移;个单位，得到y=Sin［2(k+§一,一,=sin(2x+-'

再将平移后图象上点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)=sin(x+g-p

当久E［一,竽］时，％+看6［0,年］,则。<sin(%+看)<1,所以一:<sin(%+看)一：<：,

故g(%)在久C［Y片］上的值域为［一另］;

(2)由(1)与/(&)=苧-g得：sin(2%o-1)=苧,

因为尤°C借，争，

所以2XQ—€［叫兀］,

2

从而cos(2x0=-J1-sin(2x0=-J1=-苧，

进而cos(2x0一盍)=cos［(2x0_.)+)］

y［27TV-2.n

-

=-2COS(2%0—可)—2-sin(2x0-)

72<6<2<32<3+<6

=--X-3FX—二6'

【解析】本题考查三角恒等变换的综合应用、正弦型函数的图象变换、求正弦型函数的值域或最值、由一

个三角函数值求其他三角函数值、两角和与差的余弦公式，属于中档题.

(1)利用三角恒等变换先化简/(%),再利用正弦型函数的图象变换求出g(%)的解析式，结合三角函数的图像

与性质求解即可.

(2)根据题意求出sin(2%o—g)和cos(2%o—g)的值，根据cos(2%o—得)=COS［(2%Q—?)+7］,利用两角差

331Zo4

的余弦公式求解即可.

18.(本小题17分)

在△ABC中，内角4B,C的对边分别是a,瓦c,csinF+43b-cosC=73a,b=^3.

(1)求角B；

(2)若a+c=2,求边/C上的角平分线长；

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(3)若△ABC为锐角三角形，求边4C上的中线BE的取值范围.

【答案】解：(1)在中，

由正弦定理及csinB+y/~3bcosC=V_3a,

得sinBsinC+V^sinBcosC=y/~3sinA

=73sin(B+C)

=V3sinBcosC+V_3cosBsinC,

即sinBsinC=V3cosBsinC,

而Ce(0,TT),sinCW0,

解得tanB=JI,又所以

(2)由8=寺及力=后，

由余弦定理得3=c2+a2—ac=(c+a)2—3ac,

又a+c=2,解得ac=",

由SMBC=S4ABD+S^BDC，

得:acsinB=•BD•sin-^+|a•BD•sin?,

即acsin言=BD•(c+a)sing

36

则gx苧=BDx2x：,所以=

(3)因为E是/C的中点，

所以配=X瓦？+配)，

贝"BE=：(BA+2BA-BC+BC)

=j(c2+a2+ac)=＞产,

4、74

由正弦定理得，

bb

ac=-----sinA------sinC

sinBsinB

=4sinAsinC=4sinAsin(夸一Z),

即ac=2v3sinAcosA+2sin2A

=V-3sin2A—cos2A+1=2sin(2A—^)+1,

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f0</Ky

△ABC为锐角三角形，《2_