2025年高考数学二轮复习热点题型专项突破：平面向量重难点题型（原卷版）

专题6-1向量重难点题型汇总(17类题型)

近5年考情(2020-2024)

考题统计考点分析考点要求

2024年I卷第3题，5分平面向量数量积的运算、化简、

证明及数量积的应用问题，如证

2024年甲卷(理)第9题，5分

明垂直、距离等是每年必考的内(1)向量的有关概念

容，单独命题时，一般以选择、

2023年I卷第3题，5分

向量的线性运算和向量共

填空形式出现.交汇命题时，向(2)

线定理及其推论

2023年II卷第13题，5分量一般与解析几何、三角函数、

平面几何等相结合考查，而此时

投影向量

2023年乙卷(理)第12题，5分(3)

向量作为工具出现.向量的应用

是跨学科知识的一个交汇点，务平面向量的坐标表示及坐

2022年北京卷第10题，5分(4)

必引起重视.标运算

预测命题时考查平面向量数量积(5)平面向量的数量积及其几

2020年新高考I卷，第7题,5分的几何意义及坐标运算，同时与何意义

三角函数及解析几何相结合的解

答题也是热点

模块一热点题型解读(目录)

【题型1】向量的概念辨析易错题梳理....................................................2

【题型2】向量的垂直与共线...........................................................3

【题型3】向量的夹角与模长计算.......................................................4

【题型4】投影向量.....................................................................6

【题型5】用其他向量表示已知向量......................................................7

【题型6】平面向量共线定理............................................................9

【题型7】平面向量共线定理的推论.....................................................10

【题型8］极化恒等式求数量积.........................................................13

【题型9】投影法求数量积.............................................................17

【题型10］拆分向量求数量积..........................................................18

【题型11］建立坐标系解决向量问题....................................................20

【题型12］三角形四心的识别..........................................................23

【题型13】向量的四心运算............................................................26

【题型14］等和线问题................................................................28

【题型15］通过平面向量共线定理的推论求最值.........................................32

【题型16］奔驰定理..................................................................34

【题型17］向量中的隐圆问题..........................................................37

模块二1核心题型•举一反三

【题型1］向量的概念辨析易错题梳理

基础知识

1、零向量的方向是任意的，注意。与0的含义与书写区别.

2、平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；

共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.

3、共线向量与相等向量关系：相等向量一■定是共线向量，但共线向量不一■定是相等向量.

4、若两向量共线，则两向量所在的直线有平行和重合两种可能

5、零向量是影响向量平行或共线判断的“幽灵”，要特别注意

6、向量相等具有传递性，即若a=b,b-c,则a=c。而向量的平行不具有传递性，即若a〃瓦b〃c,未必有a〃c。

因为零向量平行于任意向量，当b=。时,a,c可以是任意向量，所以a与c不一定平行。但若b*0,则必有

a//b,b//c今a//c

1.（多选）下列结论中正确的是（）

A.若卜卜则〃

B.若a=b,b=C,贝!|a=c

C.若A,B,C,。是不共线的四点，贝=DC”是“四边形ABC。为平行四边形”的充要条件

D.%=用的充要条件是“同叫且勿右

2.有下列结论：

①表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同；

②若"b,则a，Z?不是共线向量；

③若,8卜则四边形ABCZ）是平行四边形；

④若m=n,n=kf则z=R；

⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段.

其中，错误的个数是（）

A.2B.3C.4D.5

【巩固练习11下列命题中，正确的个数是（）

①单位向量都相等；②模相等的两个平行向量是相等向量;

③若满足|a|>|B|,且a与〃同向，贝（

④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合;

⑤若a〃h力〃c,则々〃C

A.0个B.1个C.2个D.3个

【巩固练习2】（多选）下列叙述中错误的是（）

A.a=b,则3a>23B.若a//b，则。与〃的方向相同或相反

C.若a〃b，方〃C，则〃〃CD.对任一非零向量a，2是一个单位向量

\a\

【题型2】向量的垂直与共线

基础知识

（1）向量共线定理：如果a=且）*0,贝4a〃8；反之。〃入且方wO,则一定存在唯——个实数为，使

a=Ab.

（2）两个向量〃的夹角为锐角=〃.Z?〉0且a,不共线;

两个向量a,Z7的夹角为钝角=〃./?<（）且a,）不共线.

（3）aLba-b=O

（4）若a=（x,y）,则（尢V,2y）

向量共线运算：已知1=（.必）/=（巧,为），则向量拓wo）共线的充要条件是玉y2T2yi=o

3.向量〃=(1,3),6=(3%—1,%+1),c=(5,7),若(〃+/?)〃(a+e),且c=加〃+脑，则加+〃的值为()

A.2B.—C.3D.—

22

【巩固练习1］已知向量〃=(1,1),5=(-1,1),c=(4,2),若W=+贝微+4=()

A.-2B.-1C.1D.2

【巩固练习2】设向量〃二(cos乐也sinx),=其中无£[0,旬.

⑴若(〃-b)〃匕，求实数x的值；(2)已知c=(m,-l)且cl/?,若/(%)=〃•<?,求/(x)的值域.

【巩固练习3】(多选)已知向量a=(l,G),b=(cosa,sina),则下列结论正确的是()

A.若al/，贝！hana=#

B.若“J_b，贝=

C.若〃与人的夹角为(贝IJ|Q-Z?|=3

D.若°与b方向相反，则6在。上的投影向量的坐标是

【题型3】向量的夹角与模长计算

基础知识

a-ba-ya+b)

。与b夹角公式：cos<9=nT7l〃与a+b夹角公式：COS8=T3-------p

\a\\b\丽+司

注意：涉及,。士〃,这类条件时一般要进行平方

4.已知向量|a|=3，W=2,a与3的夹角为则12a-30=()

A.6B.3A/6C.3D.3亚

5.已知向量”，6满足同=1，,=3,a-b=(2，咐,则|3°+囚=

6.已知向量a=（1,2）,6=（4,后），若。与、垂直，则。与a+b夹角的余弦值为（）

A旧B2D1

5435

7.设向量a=（x,-4）,Z?=（l,-x）,向量。与b的夹角为锐角，则x的范围为.

【巩固练习。向量”=（2j）,b=（—1,3）,若a,沙的夹角为钝角，贝打的范围是

【巩固练习2】已知0,b为单位向量，且|3d-54=7,则。与的夹角为（）

7127171571

A."B.—C.-D.—

3366

【巩固练习3】（2024.高三.上海奉贤.期中）已知平面向量0,介的夹角为：，若口=1,|2。-。|=丽，则

w的值为.

【巩固练习4］已知G，e；表示两个夹角为会的单位向量，。为平面上的一个固定点，P为这个平面上任

意一点,当。=咫+用时，定义（尤4）为点尸的斜坐标.设点Q的斜坐标为（2,1）,则|。。|=.

【巩固练习5】（2024•江西宜春•三模）已知口，方均为非零向量，若12a-6|=|b|=2|a|,则“与3的夹角

为.

【题型4】投影向量

bb

向量a在z,上的投影向量：w"="rcos/”，其中同是与b同方向的单位向量

a-b

向量々在b上的投影向量模长：［适

8.已知Q,b是夹角为120。的两个单位向量，若向量〃+动在向量4上的投影向量为2〃，贝!］丸=()

「20

3

9.(2024•福建泉州•模拟预测)在平面直角坐标系xOy中，点尸在直线x+2y+l=0上.若向量二=。,2),

则0P在。上的投影向量为()

£2

5,5

D.(-1,-2)

10.已知向量。=(-2,2)/=(1,1),则〃_匕在一方向上的投影向量为.

11.已知点A(T,D、3(1,2)、。(-2,-1)、0(3,4),则向量.在C£＞方向上的投影向量的模长为

3715述3而

22

【巩固练习1】已知同=2,a与〃的夹角为丁，e是与〃同向的单位向量，则a在&方向上的投影向

量为()

B.-1D.-g

【巩固练习2】已知网=3,e是与5方向相同的单位向量.若向量。在人方向上的投影向量是4e，则

a-b=

【巩固练习3］若向量a=(x,2),〃=(2,3),c=(2,T),且〃〃c，则a在b上的投影向量为()

812812

A.B.C.（8,12）

13，1313913D.普

【巩固练习4】(2024•黑龙江哈尔滨.模拟预测)已知向量a2满足同=2/=(3,0乂加0=而，则向量。

在向量8方向上的投影向量为()

A.［别B.C.Q,o］D,(1,0)

【题型5】用其他向量表示已知向量

基础知识

(1)基本思路：利用向量的线性运算对已知向量进行拆分，逐渐转化为只有基底向量的形式

(2)坐标表示：待定系数法

(3)常见模型补充：向量中的定比分点恒等式(爪型图)

BDm-YYI-V)-

在八48。中，D是BC上的点，如果——=一，则AD=--------AC+--------AB

CDnm+nm+n

12.在ABC中，点。满足AD=3DB，则()

13

A.CD=—CA+—CBB.CD=-CA+-CB

4433

31

C.CD=-CA+—CBD.CD=-CA+-CB

4433

13.若向量“=(2,1),2=(-1,2),c=(°，|］，贝1Jc可用向量口，乃表示为()

11-r

A.-a+bB.一一a-b

22

3131

C.-a+-7bD.—a——b

2222

14.如图所示的AABC中，点。、E分别在边5C、A0上，^BD=DC，ED=2AE,则向量AE=()

iuuniumn

A.-AB+-ACB.-AB+-ACC.-AB+-ACD.-AB+-AC

33666633

15.已知「.ABC的边BC的中点为。，点E在MC所在平面内，S.BD=2BE-BA,若

mCE+nAC=AB,则加+〃=()

A.7B.6C.3D.2

【巩固练习1】如图所示，点C在线段3。上，且BC=3CD,贝IJAD=()

4一1-12•

A.3AC-2ABB.4AC-3ABC.-AC--ABD.-AC--AB

【巩固练习2】如图，在/3C中，AN=gAC,P是BN的中点，若AP=%4B+〃AC，则加+〃=()

A

N

P

BC

133

A.—B.1C.—D.一

224

【巩固练习3】已知在，ABC中，N是边的中点，且43M=8C，设川W与CN交于点P.记=

⑴用。，6表示向量AM,CN；

（2）若21al=2|,且CP1AB，求（凡河的余弦值.

【题型6】平面向量共线定理

基础知识

平面向量共线定理：三点A,B,C共线0和，AC共线（功能：证明三点共线）

16.已知向量AB=（2,1）,BC=（l,m）,CD=（3,-1）,若A,B,。三点共线，则加=

17.已知A6=3（ei+e2）,CB=e2-q,CD=2e]+e2,则下列结论中成立的是（）

A.A,B,C三点共线B.A,B,。三点共线

C.A,D,C三点共线D.D,B,C三点共线

18.如图，在YA3CD中，点M为AB的中点，点N在3。上，3BN=BD.

求证：M,N,C三点共线.

【巩固练习1］已知MN=a+58，NP=-2(a-4b),P0=3伍-b),则()

A.M,N,尸三点共线B.M,N,。三点共线

C.M,P,。三点共线D.N,P,。三点共线

【巩固练习2】已知不共线的向量a,b,且AB=a+2》，BC=-5a+6b>CD=7a-2b，则一定共线的三

点是()

A.A,B,DB.A,B,C

C.B,C,DD.A,C,D

【巩固练习3】如图，在JWC中，CD=2DB,AE=EC.

(1)用AB,AD表示AC，BE;

13

(2)若点M满足=—AB-\—AC,证明：B,M,£二点共线.

24

I-I档题里

【题型7】平面向量共线定理的推论

;孩，但画

平面向量共线定理的推论——系数和为1:

已知+

A

C

PB

①若4+〃=1,则A、B、C三点共线；

②若则A、B、C三点共线，则2+〃=l.

证明

证明①：由X+y=lnA,B,c三点共线.

由x+y=1得：PC=xPA+yPB=xPA+(l-x)PB=PC—PB=x(PA-PB)nBC=xBA.

即B。，B4共线，故A,B,C三点共线―

(2)由A,B,c三点共线nx+y=l.

由A,B,C三点共线得BC，8A共线，即存在实数2使得3C=；18A.

故3尸+尸。=2(3尸+尸4)=尸。=2尸4+(1—彳)尸3.即工=4^=1一/1,则有％+y=l.

1?

19.在.ABC中，N是AC上的一点，旦AN=-NC,尸是BN上的一点，^AP=mAB+—AC,则实数相

311

20.(深圳二模)已知中，。。=14，OD=2DB，AO与3C相交于点M,OM=xOA+yOB,则

有序数对(x,y)=()

21.在4ABe中，已知BO=2DC，CE=EA,仍与AD交于点。.若CO=xCB+yCA(x,yeR),则

x+y=.

22.已知点G为ABC的重心，分别为AB,AC边上一点，D,G,E三点共线，厂为BC的中

14

点，若A尸=XAD+〃AE,则2+〃=;不+一的最小值为

X〃

2024届•湖南师大附中月考（二）

23.ABC中，。为AC上一点且满足A£>=；OC,若P为BD上一点,且满足4尸=几48+〃4（7,彳,〃为正

实数，则下列结论正确的是（）

A.的最小值为JB.加的最大值为1

16

C.；的最小值为4D.；+；的最大值为16

44〃44〃

1?

【巩固练习1】如图，在△/勿中,AN=-NC,产是勿/上的一点，^AP=mAB+—AC,

311

则实数"=

【巩固练习2】江苏省苏锡常镇四市2023届高三下学期3月教学情况调研（一）

在ABC中，已知8O=2OC，CE=EA,班与AD交于点。.若CO=xCB+yCA（x,yeR）,则

x+y=.

【巩固练习3】如图所示，在,.ABC中，点。是8C的中点，过点。的直线分别交直线AB、AC于不同的两

点M、N,若48=机40,46="4"（机,”>0）,则帆+〃的值为（）

2

【巩固练习4】在&AFC中，BC=3BD,CF=2FA，E是AB的中点，EF与AD交于点P,AP=mAB+nAC>

则加+〃=（）

46

A.2B.C.-D.1

777

【巩固练习5】如图，在中，。是线段8C上的一点，且过点。的直线分别交直线

AB,AC于点M,N.若AM=4A5,AN=//AC（A>0,//>0）,则彳一，的最小值是.

4

【巩固练习6】已知三点A,B,C共线，QB,OC不共线且A在线段BC上（不含BC端点），若

14

OA=xOB+yOC,则一+—的最小值为（）

xy+1

79

A.不存在最小值B.-C.4D.-

【题型8］极化恒等式求数量积

核心•技巧

极化恒等式求数量积

在三角形ABC中（M为BC的中点），则有：AB-AC=|AM|2-|BM|2

证明（基底法）：因为所以A8.AC=（AM+MB）.（AM+MC）=|AM「-\BMf

24.如图，己知圆。的半径为2,弦长AB=2,C为圆。上一动点，则ACBC的取值范围为（）

A.[0,4]B.[5-473,5+473]

C.[6-4石,6+46]D.[7-473,7+473]

2022•北京高考T10——隐圆+极化恒等式

25.在JWC中，AC=3,BC=4,ZC=9O°.P为ABC所在平面内的动点，且尸C=l,则P4PB的取值范

围是（）

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]

2024届长沙一中月考（二）

26.已知正四面体A-3CD的外接球半径为3,MN为其外接球的一条直径，P为正四面体A-3CD表面上

任意一点，则尸河.PN的最小值为.

27.（2017年全国2卷（理）T12）已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则尸A.（P8+尸C）

的最小值是（）

34

A.—2B.—C.—D.—1

23

28.（2019江苏高考）如图，在AABC中，D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点A4•CA=4,

BFCF=-1,则5石石的值是.

IF

BDC

【巩固练习1】如图，AB是圆。的直径，尸是圆弧A8上的点，M、N是直径A8上关于。对称的两点,

且AB=6,ACV=4,则尸()

C.5D.3

【巩固练习2】如图，边长为2的菱形ABCD的对角线相交于点。，点尸在线段8。上运动，若

ABAO=1，则PA.尸2的最小值为.

【巩固练习3】如图，Rt"3C中，NABC=90。，AB=2,BC=M点是线段AC一动点，若以

M为圆心半径为1的圆与线段AC交于尸，。两点，则3尸必。的最小值为()

A1B.2C.3D.4

【巩固练习4】平行四边形ABCZ）中，AB-AZ）=5，点P满足PB-P£>=8，贝！IPA-PC=

【巩固练习5]莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛，如图所示,

分别以正三角形ABC的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角

形，已知A8两点间的距离为2,点尸为AB上的一点，贝1JP4•（尸B+PC）的最小值为.

UUIUL

【巩固练习6】已知圆C的半径为2,点A满足|AC|=3,E,尸分别是C上两个动点，且|跖|=2石，则

的取值范围是（）

A.[4,16]B.[2,6]C.[6,22]D.[1,13]

【巩固练习7】半径为2的圆。上有三点，A、B、C满足。4+AB+AC=0，点P是圆内一

点，则PA.PO+PBPC的取值范围是.

【巩固练习8】（等和线+极化恒等式）正方形ABCD的边长为4,中心为O.过。的直线/与边AB，CD

分别交于点M，N,点P满足条件：2OP=WB+（1-A）OC,则PM.PN的最小值为（）

A.0B.-2C.-3D.-7

【巩固练习9】在AABC中，BC=3,AC=4,ZACB=9Q°,。在边AB上（不与端点重合）.延长CD到

_133

P,使得CP=9.当。为AB中点时，的长度为—7_；若尸。=m24+（耳-㈤依（根为常数相W0且

3

m^-）,则5。的长度是.

【题型9】投影法求数量积

/核心•技巧/

投影法求数量积

如图，PAPB=PAPH

对于PBcos。,其中P3cos。是在丛上的投影,

在Rt^PBH中PBcos6»=PH,故PA48=PAPH,

考虑至'Jcos©可能为钝角，故写成PA-PB-PA-PH-

29.(2020•新高考1卷T7)已知尸是边长为2的正六边形ABC。所内的一点，则APAB的取值范围是

()

A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-2,4)D.«6)

30.已知圆O半径为2,弦AB=2,点C为圆O上任意一点，则A3-AC的最大值是

2023全国乙卷(理)T12——投影法求最值

31.已知。的半径为1,直线B4与。相切于点A,直线尸8与。交于2,C两点，。为BC的中点，若

|PO|=&,则P4PZ)的最大值为()

1+A/2n1+2应

A.D.----------------------

22

C.1+V2D.2+72

【巩固练习1】在边长为1的正六边形ABCD硬中，点P为其内部或边界上一点，则4>3尸的取值范围为

【巩固练习2】平面四边形ABCD是边长为4的菱形，且/A=120°.点N是。C边上的点，满足DN=3NC.点

M是四边形ABC。内或边界上的一个动点，则AM-AN的最大值为（）

A.13B.7C.14D.12+2指

【巩固练习3】如图，A8CD是边长2的正方形，尸为半圆弧BC上的动点（含端点）则AB.&P的取值

范围为.

【题型10］拆分向量求数量积

核心•技巧

把夹角或模长未知的向量拆分成已知向量，若有动点则需要结合动点轨迹进行拆分，比如动

点在圆上动，则拆解相关向量时插入圆心对应的点

32.如图，在等腰梯形ABCD中，AB//CD,AB=4,NZMB=60。，E为8C边上一点，且满足

,,UUUULU

BE=2CE,右A»A8=4，则（）

A.-4B.-8C.4D.8

33.如图在平行四边形ABC。中，已知AB=8,AO=5,(JP=3PD，APBP=2,则

的值是.

DPC

34.骑自行车是一种环保又健康的运动，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮）,

圆。（后轮）的半径均为石，ME,3EC,一屈力均是边长为4的等边三角形.设点P为后轮上的一

点，则在骑行该自行车的过程中，A。AP的最大值为.

、jr'rr

35.在平面四边形ABC。中，ZBAD=—,ZBAC=-,AB=6,AD=2，AC=4.若

66

AC=2AB+juAD,则X+〃=()

【巩固练习1］在ABC中，AC=3,BC=4,C4.C8=8，则AB边上中线CO的长为

7T

【巩固练习2】如图，在中，ZBAC=~,AD=2DB，尸为8上一点，且满足

AP=mAC+AB(meR),若AC=3,AB=4,则APC。的值为（）.

131

A.-3B.---D.——

1212

【巩固练习3】已知菱形ABCD的边长为2,/84。=120°,点E,尸分别在边5C、QC上，5C=3BE,

DC=WF.若k=1，则2的值为

【巩固练习4】（向量的拆分）如图，ABC中，/C=（,AC=2,8C=#+JL在一ABC所在的平面

内，有一个边长为1的正方形ADEF绕点A按逆时针方向旋转（不少于1周），则.出。的取值范围是

D.[-3,4]

【题型11】建立坐标系解决向量问题

DfbcosQ,加in。)C(a+bcosQ,Z?sin0)

AB(a,0)

平行四边形直角梯形等腰梯形圆

36.在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,AC与BD相交于点O,过点A作AEJ_BD,则

AEEC=.

12n24

AB.——

2525

12八4

C.D-

y5

37.在矩形4区％中，/夕=4,M,〃分别是23Z7上的动点，且满足2A"+AN=1,设

AC=xAM+yAN,则2x+3y的最小值为.

38.（2024•全国•模拟预测）已知在菱形ABC。中，AB=BD=6,若点M在线段A。上运动，则5C8M

的取值范围为

39.如图，已知正方形A3CD的边长为3,S.2BC=3BE+AB，连接BE交8于则

p0kc（0,l）,若动点尸满足|B4|=2|尸理，且

40.（2024.广东深圳.一模）设点A（-2,0）,B

AP=/IAB+〃AC,则2+2"的最大值为.

___27r

41.给定两个长度为1的平面向量OA和。8，它们的夹角为学.如图所示，点C在以。为圆心的圆弧

上运动.^OC=xOA+yOB,其中无、yeR,则x+2y的最大值为

【巩固练习1】如图，正八边形ABCDEFGH中，若AE=/AC+〃A尸（”ueR）,则几+〃的值为.

【巩固练习2]（2024.高三.河南濮阳•开学考试）大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作注时介绍

了“勾股圆方图”，即“赵爽弦图”.如图是某同学绘制的赵爽弦图，其中四边形ABCD,EFGH均为正方形，

AD=AE=2,贝!]所.4a=.

【巩固练习3】菱形A3CD的边长为2道，中心为。，ZABC-M为菱形ABC。的内切圆上任意一

点，S.BM=xBA+yBO,则2x+y的最大值为.

【巩固练习4】（2024・天津•二模）已知菱形A3CD边长为1,且48以。=-±后为线段的中点，若产

2

在线段CB上，且8/=九胡+?BC,则2=，点G为线段AC上的动点，过点G作8C的平行线

交边A3于点过点M做8C的垂线交边BC于点N,贝lJ（MG+MV>MF的最小值为.

【巩固练习5】已知正三角形ABC的边长为2,。是边BC的中点，动点P满足|P£）|41,且

AP=xAB+yAC,其中x+y21,则2x+y的最大值为.

【题型12］三角形四心的识别

_法心^17

1、若O为AABC重心

⑴SABOC:S^COA:S—OB=1：1：1；

(2)OA+OB+OC=0-，

(3)动点p满足OP=OA+〃AB+AC),2e(0,+oo),则p的轨迹一定通过△ABC的重心

(\

ABAC

(4)动点P满足0P=。4+丸।―i------+1—i------,2G©,+OO),则动点P的轨迹一定通过aABC的

|AB|sinB四卜in。，

(5)重心坐标为：

2、若O为4ABC垂心

(1)OAOB=OBOC=OCOA

(2)|OA|2+|BC|2=|OB|2+叫=|oc|2+|AB|2

ABAC

(3)动点P满足OP=Q4+4।―i------+i―i-------,AG(0,+OO),则动点尸的轨迹一定通过△ABC的

ABcosBACcosC

垂心

3、若O为ZkABC内心

(1)S^BOC-S/^COA-SAAOB=a：b：C

(2)a^OA+b-OB+c-OC=0

(ABACy

(3)动点P满足OP=OA+A----+-----,九£[0,+8),则P的轨迹一定通过AABC的内心

[\AB\\AC\)

(ACAByBCBA「C4CB'

(4)ON=0B,=0C,=0

|AC|\AB\)\BC\叫JCA\~'\CB\>

4、若O为AABC外心

⑴OA2=OB2=OC2；、

ABAC

(2)动点尸满足。尸=+X,4£(0,+co),则动点P的轨迹一■定通过

2AB\COSBAC|cosC

△ABC的夕['心；

(3)若(CM+QB)-AB=(03+OC13C=((M+OC)-AC=0,则0是的外心;

42.已知点。为ABC所在平面内一点，^AC-AB=2AOBC＞则点。的轨迹必通过ABC

的.（填：内心，外心，垂心，重心）

43.已知ABC所在平面内的动点M满足+且实数无，y形成的向量2=（尤-g,y）与

6=（-1,2）向量共线，则动点M的轨迹必经过ABC的心.（在重心、内心、外心、垂心中选

择）

44.已知O,N,P,/在ABC所在的平面内，则下列说法不正确的是（）

A.若|。4卜|。@=|。4,则O是一ABC的外心

B.若CB.IA=AC-IB=BA.IC=0，则/是一ABC的内心

C.若PA.PB=PB.PC=PCPA,则尸是」ABC的垂心

D.若NA+NB+NC=Q，则N是.ABC的重心

45.已知O,尸,N在―ABC所在平面内，满足|。小=[0q=|。4，PA+PB+PC^O,且

NA.NB=NB-N，=NC-NA，则点。，尸,N依次是.ABC的（）

A.重心，外心，垂心B.重心，外心，内心

C.外心，重心，垂心D.外心，重心，内心

46.（多选）点。在ABC所在的平面内，则以下说法正确的有（）

A.若aOA+bO8+cOC=0，则点。是,ABC的重心

(AC

B.若OA=0,则点。是一ABC的内心

1|AC|需"儡潟

C.^(OA+OB)AB=(OB+OC)BC=0,则点。是_ASC的外心

D.^OAOB=OBOC=OCOA,则点。是MBC的垂心

【巩固练习1】点。,G,P为ABC所在平面内的点，且有|。4『+阿卜网HQ4『=|0C『+网'

GA+GB+GC=O,(PA+PB\AB=(PB+PC)BC=(PC+PA)CA=O9则点QG,P分别为.ABC的

()

A.垂心，重心，外心B.垂心，重心，内心

C.外心，重心，垂心D.外心，垂心，重心

【巩固练习2】已知点N,O,P在..ABC所在平面内，S.PA+PB+PC=3PN,OA"=OB2=0(2

PAPB=PBPC=PCPA,则点N,O,尸依次是一ABC的()

A.重心、外心、垂心B.重心、外心、内心

C.外心、重心、垂心D.外心、重心、内心

【巩固练习3】若。是AABC所在平面上一定点，H,N,Q在AABC所在平面内，动点P满足

'ABAC)