2025年高考数学模拟试卷及答案 （二）

1.设全集。={-2,-1,0,1,2,3},集合/={-1,2},B={1,3},则G(，UB)=()

A.{1,3}B.{0,3}C.{-2,1}D.{-2,0}

【答案】D

【解析】由/={T,2},B={1,3},可得/28={-1,1,2,3},

又因为全集U={-2,-1,0,1,2,3),所以Q。0={-2,0},

故选：D

2.若复数z=；,贝1］忖=()

1—1

V21

A.|B.C.一D.41

~T2

【答案】B

【解析】由题得z=1一=Z(l+0—1+i1i

2-2’2，所以|z|=、

1-1(I-0(1+0心+54

故选：B

3.在“3C中，。是48边上的中点,则而=（）

A.2CD+CAB.CD-2CAC.2CD-CAD.CD+2CA

【答案】C

CB^CA+AB=CA+2AD=CA+2(CD-C%=Q.CD-CA

故选：C

“71371

4.设一<a<—，sina+cosa=—~-，则cos2a=()

442

A.-1

BD

2-T-4

【答案】A

V3-1

【解析】因为sina+cosa=

2

、V3

所以(sina+cosa)2=1+sin2a=1———所以sin2a=—<0,

2

因为十0寸，所以曰<2a售，

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一371

又因为sin2a＜0,所以兀＜2。＜彳，

所以cos2a=-V1-sin22a=-

2

故选：A.

5.以边长为6的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得几何体的侧面积为（）

A.18兀B.36兀C.54兀D.72兀

【答案】D

【解析】由题意可得所得几何体为圆柱体，底面半径r=6,高〃=6,侧面积S=2兀泌=72兀,

故选：D.

6.下列说法正确的是（）

A.若函数/（%）为奇函数，则"0）=0

B.函数在（一84）D（l，+8）上是减函数

C.若函数了=/（2》+1）的定义域为[2,3],则函数/（X）的定义域为1,1

D.若函数f（x）为偶函数，且在（0,+8）上是单调递增，则/（另在（-叫0）上是单调递减

【答案】D

【解析】对于选项A：例如/（%）=：为奇函数，但/（0）无定义，故A错误；

对于选项B：因为/（0）=-1,/（2）=1,所以函数/（x）在定义域上不是减函数，故B错误；

对于选项C：因为函数了=/（2尤+1）的定义域为[2,3],即尤e[2,3],则2x+le[5,7],

所以函数/（x）的定义域为[5,7],故C错误;

对于选项D：因为函数为偶函数，且在（0,+e）上是单调递增,

所以「（X）在（一叱0）上是单调递减，故D正确;

故选：D.

7.已知函数/(x)=sinox+2cos2券侬＞0)在区间日引上单调递增，则。的取值范围是()

A.(0,4]B.fo,1-u1,4C.fo,-u1,3D.；,3

【答案】C

【解析]/(%)=sincox+2cos2=sincox+coscox+\=41sin(啰x+:]+1,

因为所以s+生+：,萍+:)

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因为函数〃x）在区间手）上单调递增,

所以函数尸,^在；上单调递增，且即0<GV4.

371兀，5兀

(x---CDH---«---

函数>=sinx在0+—0+上单调递增等价于学0+或]442

所以,

(2444J442兀兀、3兀

''—CD+—>——

1242

所以，解不等式得。1或六口分所以，。的取值范围是a；o|,3

故选：C

8.已知数列也｝满足q=1,%=贵£（〃£泗）.记数列也｝的前〃项和为s〃，则（

)

199„

A.-<5100<3B.3<S100<4C.4<S100<—D.—<5100<5

【答案】A

aia

【解析】因为q=1，%+1=]+/,所以%>0,%=5，所以品>。>%+。2=5，

111,,、1,n-1n+\4

由累加法可得当"琅时，衣一衣＜5（”2瓦＜1+丁=丁=%＞而适,

44

又因为当力=1时，％=逅记也成立，所以％开而可（"©N"）,

anann+\

所以<=封

n+\

.%<〃+1..a„."a„-i.«-1...”.2

*an〃+3'a”-n+2an_2〃+1a]4'

,a,,nn—\n—2326~11、

由累乘法可得当"刑时，an=­------X…X?X7=(=6(--——J,

%〃+2〃+1n54(〃+2)(〃+1)n+1n+2

所以Eoo*1+6(-------1---------1--------1-----1------------)=1+6(---------)<1+2=3,所以一<So。<3.

10034455610110231022

故选：A.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的

得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.体育教育既能培养学生自觉锻炼身体的习惯，又能培养学生开拓进取、不畏艰难的坚强性格.某校学生参加体育

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测试，其中甲班女生的成绩X与乙班女生的成绩y均服从正态分布，且X〜N（160,900）,y-7V（160,400）,贝1（）.

A.E（X）=160B.£>（7）=20

C.尸（X<120）+尸（XV200）=1D,尸（XV180）〈尸（yV180）

【答案】ACD

【解析】选项A：由X〜N（160,900）,得E（X）=160,故A正确；

选项B：由T〜N（160,400）,得。a）=400,故B不正确；

选项C：由于随机变量X服从正态分布，该正态曲线的对称轴为直线：x=160,

所以尸（X<120）+尸（XV200）=P（X>200）+P（XV200）=l,故C正确；

选项D：解法一:由于随机变量X,/均服从正态分布，且对称轴均为直线：x=160,

D（X）=900>D（y）=400,所以在正态曲线中，Y的峰值较高，正态曲线较“瘦高”，

随机变量分布比较集中，所以P（X4180）（尸（Y4180）,故D正确.

解法二：因为X〜N（160,900）,K-2V（160,400）,

所以尸（X4180）=尸（X4160+20）<P（X4160+30）=P（yM160+20）=P（yvl80）,

故D正确.

故选：ACD.

10.己知函数/（x）=bgi（f+2）-log2（x+4）,下列说法正确的是（）

2

A.函数/⑴的定义域为（-4,2]

B.函数/卜-1）为偶函数

C.函数/'（x）的单调递增区间为（-1,2]

D.函数/（无）的图像关于直线x=-l对称

【答案】BD

/\r—x+2>o/、

【解析】/x的定义域为：/八，•“£一4,2,

'7〔x+4>0

/（X）=logi（-X+2）-log2（x+4）=-log2（-X+2）-log2（x+4）=_bg?-2x+8）；

对于A,错误；

对于B,/（x-1）--log2（-x+3）-log2（x+3）,

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/(-x-l)--log2(x+3)-log2(-^+3)=/(x-l)是偶函数，正确；

对于C,x=2不在定义域内，错误；

对于D,二次函数y=-/-2X+8的对称轴是X=-1,f{x)是关于x=-l对称的，正确；

故选：BD.

11.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为(/+/)3=丫2/，则下

列说法正确的是()

A.四叶草曲线有四条对称轴

B.设尸为四叶草曲线上一点，且在第一象限内，过尸作两坐标轴的垂线，则两垂线与两坐标轴围成的矩形面积

的最大值为:

O

C.四叶草曲线上的点到原点的最大距离为;

D.四叶草曲线的面积小于：

【答案】ABD

【解析】对于A,将x换为f方程不变，所以曲线关于〉轴对称；

将＞换为方程不变，所以曲线关于X轴对称；

将X换为y,V换为X方程不变，所以曲线关于y=x对称；

将x换为r,y换为—方程不变，所以曲线关于＞对称.故A正确；

对于B,设曲线c第一象限任意一点为(xj),则围成矩形面积为初，

则1+户3=/必28(孙)3,

I6

即中V当且仅当='时取得最大值，故B正确；

8-4

对于C,设距离为d/C+V,要求”的最大值，即求/+/的最大值,

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22x2y21,11

.cX+y=------------------7=-------------------7----------------r-<-----------7=—

显然d>0,x2+y2^Q,又(x2+/)12+力pL+1](1+1)4,

当且仅当/=/=：时，等号成立，

O

所以曲线c上的点到原点距离后寿最大值为:，故c错误；

对于D,由C可知，得四叶草曲线在以原点为圆心，:为半径的圆内，

故四叶草面积小于故D正确.

4

故选：ABD

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.若直线y=3x+a与曲线y=lnx+2x相切，则实数。的值为.

【答案】-1

【解析】设切点坐标为&lnf+2。,由y=lnx+2x得j//+2,

X

所以切线的斜率为：左=1+2,

t

所以曲线在(f/nt+2f)处的切线方程为：y=]+2j(x—)+ln/+2/,

SPy=^~+2^x+lnZ—1,所以：+2=3,所以，=1,所以a=lnt—1=—1.

故答案为：-1.

22

13.己知双曲线C:二一==l(a>0,b>0)的左焦点为尸，过尸的直线/交圆/+「=/于A,8两点，交C的右支

ab

于点0,若|足4|=|/同=忸。|,则C的离心率为.

【答案】叵

5

【解析】设C的半焦距为c(c>0),如图，设O为坐标原点，的中点为M,C的右焦点为耳，连接。B，。“，AO.

因为照|=|四=忸0],所以“也是尸。的中点.设园|=|四=忸。|=2加(加>0),

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由双曲线的定义得|。盟一|Q年|=2a,所以|Q阊=6加-2d]。初=3切-a,

在RtA/OAf中，由/=（3%-°）2+机2,得m=卷,所以|。9|=4、0用=三，

在RtAQEQ中，由（?；+[?；=4c"得上=率~.

故答案为：恒.

5

14.数学家高斯在各个领域中都取得了重大的成就.在研究一类二次型数论问题时，他在他的著作《算术研究》中首

次引入了二次剩余的概念.二次剩余理论在噪音工程学、密码学以及大数分解等各个领域都有广泛的应用.已知对于

正整数（〃开2）,若存在一个整数X,使得"整除--a,则称。是〃的一个二次剩余，否则为二次非剩余.从1到

20这20个整数中随机抽取一个整数。，记事件/="a与12互质"，B="a是12的二次非剩余”，贝!]

尸（/）=；P（B\A）=.

、75

【答案】为?

7

【解析】在1-20内与12互质的数有1,5,7,11,13,17,19,所以尸（4）二痴；

根据定义，对于整数的％不存在，则q是12的二次非剩余数，

12

显然，当。=1时，x=ll；当。=13时，x=7；当a=5,7,11,17,19时，x不存在；

»（刃/）=;

75

故答案为：—.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步果。

15.（13分）记V/BC的内角A,B,。的对边分别为。，b,。，点。在边ZC上，且满足。氏。/:。。=2:3:4,

丫/2（7的面积5=处竽哩

2

⑴证明：2e=7ac

⑵求cosN48c.

12

【答案】⑴证明见解析;（2）-Q或-§

【解析】（1）点。在边4。上，且满足O5:D4:OC=2:3:4,

234

所以DA=—b,DC=—b,...................................................................................3分

777

BD-b-sin5

S=-acsinB=...............................................................................................4分

22

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2

故ac=.,即2"=7ac;................................................................................................6分

(2)由图可知cosN/DB+cosZCDB=°)小,？-------+17J了？--------=0,.....................7分

2324

2x-bx-b2x-bx-b

7777

2

可得3。2_8。。+4。2=0,角星得Q=2。或〃=,..........9分

1。当。=2c时，b2=^-ac=7c2,cosa480=区上C二£=_工；..............11分

22x2cxc2

f2cY272

277—+c-[C

2°当。=丁＜:时，b2=-ac=-c2,cosZABC=3----------=；.....................12分

323.2c3

2x——xc

3

12

综上所述cos乙4BC=—L或—V................................................13分

23

16.新冠肺炎疫情期间，某市为了了解本地居民对当地防疫工作的满意度，从市居民中随机抽取若干居民进行评分

(满分为100分)，根据调查数据制成如下频率分布直方图，已知评分在［70,90］的居民有2200人.

频案

(1)求频率分布直方图中«的值及所调查的总人数；

(2)从频率分布直方图中，估计本次评测分数的众数和平均数(精确到0.1)；

(3)设该市居民为50万人，估计全市居民对当地防疫工作评分在85分以上的人数.

【答案】(1)0.025,4000人;(2)众数为85.0,平均数80.7;(3)212500

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【解析】(1)有频率分布直方图矢口(0.002+0.004+0.014+0.020+0.035+。)><：10=1

即10x(0.075+a)=l,解得°=0.025...................................................................................2分

2200

设总共调查了"人，则——=(0.020+0.035)x10,

n

解得“=4000,即调查的总人数为4000人；..................................5分

(2)最高小矩形底边中点横坐标即为众数，可得众数为双詈=85.0,...................7分

由频率分布直方图知各段的频率分别为：0.02、0.04、0.14、0.20、0.35、0.25,

所以设平均数为了，

WJx=45x0.02+55x0.04+65x0.14+75x0.2+85x0.35+95x0.25=80.7...................11分

035

(3)由频率分布直方图知评分在85分以上的频率为一「+0.25=0.425....................13分

所以估计该市居民评分在85分以上的人数为:500000x0.425=212500...................15分

22BF

17.椭圆三+4=l(a>b>0)的右焦点为R右顶点为4,上顶点为2,且满足

a2b2~AB

(1)求椭圆的离心率e；

(2)直线I与椭圆有唯一公共点M,与丁轴相交于N(N异于M).记。为坐标原点，若10M=|。叫，且的

面积为百，求椭圆的标准方程.

【答案】⑴e=逅⑵工+又=1

362

［解析］(1).^^.=3+。=/。=3=>4/=3伍2+/)=/=3/,

AB扬+。2五+/2')

离心率为5分

(2)由⑴可知椭圆的方程为/+3/=/,

易知直线/的斜率存在，设直线/的方程为y=h+m,....................................................6分

联立得(1+3左2卜？+6•x+(3/-/)=o,..................................................8分

由△=36左2/_4(1+3左2乂3历一/)=0=3疗=/0+3左2),①.....................................9分

3km7m

2一罚‘加=瓯+"'=自..............................................................................11分

硝9左2+1)

由|(W|=|ON|可得/=②.................................................1..2...分.......................................

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由SAOMN二百可得;同•:j-=③.......................................13分

L1\3K

联立①②③可得/=!，相=4,/=6,故椭圆的标准方程为止+亡=1.......15分

362

18.（17分）已知四棱锥P-NBC。的底面N8C。是直角梯形，ADHBC,AB1BC,BC=2AD=2,AB=0

⑴证明：平面尸3。，平面ASCD；

JT

（2）若PB=PD,尸C与平面ABC。所成的角为1，试问在侧面尸C。内是否存在一点N,使得

师，平面尸C£>?若存在，求出点N到直线尸。的距离；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴见解析。）半

【解析】（1）由四边形A8CD是直角梯形，AB=也,8c=24D=2,AB1BC,

jr

可得DC=2,ZBCD=~,从而ABCD是等边三角形，BD=2,BD平分/ADC.

为CD的中点，：.DE=AD=LBD1AE,..........................3分

又rPBLAE,PBcBD=B,8Du平面尸3D,尸Bu平面尸5。...........4分

.•./£_L平面尸助，.....................................................5分

/Eu平面/BCD,所以平面尸3D_L平面/BCD...........................6分

（2）在平面PAD内作尸O_LAD于。，连接OC,QAE'平面尸50,

又u平面ABCD,二平面PBD_1平面ABCD.

因为平面尸50rl平面48cD=AD,P。u平面尸AD,.•.尸O_L平面48CD

7T

NPCO为PC与平面ABCD所成的角，则/PCO=

4

，由题意得OP=OC=。

•;PB=PD,POLBD,,。为BZ）的中点，OC1BD......................8分

以08,OC,OP所在的直线分别为x,y,Z轴建立空间直角坐标系，

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Zj

则8(1,0,0),c(o,V3,o),0(-1,0,0),尸(0,0,6),9分

假设在侧面尸CD内存在点N,使得平面尸CD成立,

设PN=APD+"PC(2,//>0,2+//<1),

由题意得N(-九,出—\[^(九+//—1)),10分

BN=_彳-1,瓦，-百+PC=(0,V3,-V3),ra=(-l,0,-73),

BN-PC=03〃+3(4+4—1)=0

由<_______，得

,11分

BNPD=0A+l+3(A+^-l)=0

、

212也2打

大,满足题意，，可一，。(-1,0,0),

解得彳=不〃=5,-F,-r12分

7

42^/32M、

取,=丽=—,TO=(-1,0,-A/3)=2，

5,55J

一PDc-------k28

，a2=DN=

M5

w~^-47

_一4xJ,

Q•〃=­X15分

52

求出点N到直线PD的距离为：7«2-（«-»）2=16分

所以N点直线PD的距离为姮

17分

5

19.（17分）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇，衡量曲线

弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若/''（X）是/（X）的导函数，/"⑺是/'（X）的导函数，则曲线

了=/a）在点卜,/（耳）处的曲率“一3

WOT2

⑴求曲线/（X）=lnx+x在（1,1）处的曲率号的平方;

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(2)求正弦曲线〃(x)=sinx(xeR)曲率的平方K2的最大值.

⑶正弦曲线Mx)=sinx(xeR),若g(x)=e=2x-〃(x),判断g(x)在区间卜会鼻上零点的个数，并写出证明过

程.

【答案】(1)圭;(2)1;(3