2025年高考数学复习汇编之立体几何初步（含解析）

2025年高考数学解密之立体几何初步

一.选择题（共10小题）

1.（2024•泰安模拟）下列命题中，正确的是（）

A.三点确定一个平面

B.垂直于同一直线的两条直线平行

C.若直线/与平面a上的无数条直线都垂直，贝心，.

D.若a、b>c是三条直线，a//b且与c都相交，则直线a、b>c在同一平面上

2.（2024•天津）一个五面体ABC-DEF.已知AD//BE7/CF,且两两之间距离为1.并已知49=1,BE=2,

A73R3A/31百N3A/31

642242

3.（2024•河南模拟）已知圆锥的底面半径为2,其侧面展开图是一个圆心角为它的扇形，则该圆锥的侧

3

面积为（）

A.6TIB.8%C.107TD.1271

4.（2024•吴忠模拟）某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的表面积（单位：。疝）是（

俯视图

A.24B.28C.32D.36

5.（2024•四川模拟）如图所示，在棱长为2的正方体A3CD-A4CQ中，直线平面=E,F,

歹是BC的中点，G是线段用产上的动点，则直线GE与侧面ADQ4的交点P的轨迹长为（）

A.A/5B.—C.2&D.垃

2

6.（2024•大连模拟）在正四棱台ABC。-44G2中，AB=4,44=2，胴=咛，则该正四棱台的

体积为（）

A..B.她c..D.

9933

7.（2024•云南模拟）底面积是万，侧面积是3%的圆锥的体积是（）

A.2屈兀B.岳C.—D.其

33

8.（2024•榆林三模）设a,b为两条不同的直线，a,/?为两个不同的平面，下面为真命题的是（）

A.若a//£,aua，bu/3,贝!JQ//Z?

B.对于空间中的直线/,若Qua,bua,ILa,ILb,贝”_La

C.若直线。上存在两点到平面a的距离相等，则a//a

D.若a//a,aA-p,则1_1/

9.（2024•莆田三模）若制作一个容积为例的圆锥形无盖容器（不考虑材料的厚度），要使所用材料最省，

3

则该圆锥的高是（）

A.72B.2C.76D.4

10.（2024•咸阳模拟）已知平行六面体ABC。-A4CQ中，棱澳、AB、AD两两的夹角均为60。,

AA,=2AB,AB^AD,E为片G中点，则异面直线即与所成角的余弦值为（）

2

二.多选题（共5小题）

11.（2024•郴州模拟）如图，在棱长为2的正方体ABC。-AqG口中，点尸是正方体的上底面A耳GR内

（不含边界）的动点，点。是棱BC的中点，则以下命题正确的是（）

A.三棱锥。-尸CD的体积是定值

B.存在点P,使得与朋所成的角为60。

c.直线尸。与平面AADR所成角的正弦值的取值范围为（0,孝）

D.若PD『PQ,则P的轨迹的长度为羊

12.（2024•随州模拟）在棱长为2的正方体中，E,尸分别为钻，3c的中点，贝U（

）

A.异面直线与男尸所成角的余弦值为当

B.点尸为正方形A耳GR内一点，当。尸//平面4跖时，上的最大值为呼

C.过点2，E,b的平面截正方体ABCE>-A8C12所得的截面周长为2岳+近

D.当三棱锥4-BEP的所有顶点都在球O的表面上时，球。的表面积为6万

13.（2024•盐湖区一模）设〃，。是两条不同的直线，a,尸是两个不同的平面，则下列命题正确的有（

）

A.若a//a,bIla,则a//6B.若a_La,bLa>则。〃6

C.若a//b,b!la,a牛a,则a//aD.若a//c,a11/3,aU0,则a//。

14.（2024•保定三模）如图，在正方体中，E,F,M,N分别为棱惧，AQ,AB,

DC的中点，点尸是面3。的中心，则下列结论正确的是（）

3

A.E,F,M,P四点共面

B.平面PEF被正方体截得的截面是等腰梯形

C.EF//平面PMN

D.平面AffiF_L平面PMV

15.（2024•江苏模拟）如图，在棱长为2的正方体ABCD-A用G2中，E为例的中点，点厂满足

率=4硒（喷氏1）,贝1|（）

A.当4=0时，AC|_L平面8DF

B.任意彳e[0,1],三棱锥尸-瓦龙的体积是定值

C.存在彳e[0,1],使得AC与平面BDF所成的角为工

3

D.当4=2时，平面由加截该正方体的外接球所得截面的面积为史乃

319

三.填空题（共5小题）

16.（2024•盐湖区一模）已知圆锥的高为5,其顶点和底面圆周都在直径为6的球面上，则圆锥的体积为一

17.（2024•黄浦区二模）在四面体上4BC中，2两=可+而，5PE=2PB+3PC,2PF=-PC+3PA,设

四面体RLBC与四面体PDE尸的体积分别为X、V2,则匕的值为

匕一

18.（2024•西城区模拟）如图，正方形ABCD和矩形所在的平面互相垂直.点尸在正方形XBCD及

其内部运动，点。在矩形及其内部运动.设AB=2,AF=1,给出下列四个结论：

①存在点P,Q,使「。=3；

4

②存在点P,Q,使CQ//EP；

③到直线4)和EF的距离相等的点尸有无数个；

④若则四面体PAQE体积的最大值为g；

其中所有正确结论的序号是—.

19.(2024•辽宁模拟)古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点A,3距离之比为常数42>0且

2/1)的点的轨迹是一个圆心在直线AB上的圆，该圆简称为阿氏圆.根据以上信息，解决下面的问题：

阿波罗尼斯奥

如图，在长方体中，AB=2AD=2AAl=6,点£■在棱至上，BE=2AE,动点尸满足

BP=6PE.若点P在平面ABCD内运动，则点尸所形成的阿氏圆的半径为；若点尸在长方体

ABCZ)-A4GR内部运动，F为棱CR的中点，”为CP的中点，则三棱锥M-下的体积的最小值

为—.

20.(2024•甘肃模拟)传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球

的直径恰好与圆柱的高相等.“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现.在一个“圆柱容球”模型中，若

球的体积为4岳，则该模型中圆柱的表面积为一.

四.解答题(共5小题)

21.(2024•河南模拟)如图所示，在△ABC中，点。在边3C上，且CD=2BZ),E为边他的中点.S是

平面ABC外一点，S.(SA+SB)-SC=(AB+2AC)-SC=0.

(1)证明：SC±SD；

(2)已知DE=1,SD=s/6,SE=3,直线3c与平面SDE所成角的正弦值为迪.

3

⑺求的面积;

5

（z7）求三棱锥S-ABC的体积.

S

22.（2024•重庆模拟）正多面体又称为柏拉图立体，是指一个多面体的所有面都是全等的正三角形或正多

边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这样的多面体就叫做正多面体.可以验证一共只有五种多面体.令

a<b<c<d<e（a,b,c,d,e均为正整数），我们发现有时候某正多面体的所有顶点都可以和另一个

正多面体的一些顶点重合，例如正。面体的所有顶点可以与正b面体的某些顶点重合，正。面体的所有顶

点可以与正1面体的所有顶点重合，等等.（1）当正。面体的所有顶点可以与正6面体的某些顶点重合时，

求正。面体的棱与正。面体的面所成线面角的最大值；

（2）当正c面体在棱长为1的正6面体内，且正c面体的所有顶点均为正6面体各面的中心时，求正c面

体某一面所在平面截正b面体所得截面面积；

（3）已知正/面体的每个面均为正五边形，正e面体的每个面均为正三角形.考生可在以下2问中选做1

问.

（第一问答对得2分，第二问满分8分，两题均作答，以第一问结果给分）

第一问：求棱长为1的正e面体的表面积；

第二问：求棱长为1的正d面体的体积.

23.（2024•湖北模拟）如图，在三棱锥尸-ABC中，侧面R4C_L底面ABC,AC±BC,AR4c是边长为

2的正三角形，BC=4,E,尸分别是尸C,PB的中点，记平面女/与平面ABC的交线为/.

（1）证明：直线/_L平面R4C；

（2）设点。在直线/上，直线与平面所成的角为a,异面直线尸。与EF所成的角为。，求当AQ

为何值时，a+6=工.

2

24.（2024•扬州模拟）如图，在四棱锥尸-ABCD中，侧面R4Z5_L底面ABCD,侧棱以=尸£）=0,底面

ABCD为直角梯形，其中3C//4D,ABLAD,AD=2AB=2BC=2,。为AD中点.

（1）求证：PO_L平面ABCD；

6

(2)求异面直线PB与CD所成角的大小.

25.(2024•商洛模拟)如图，在四棱锥尸-ABCD中，四边形ABCD是矩形，M,N分别是PD和3c的

中点，平面B4B_L平面ABCD,PA=PB=AB=AD=2.

(1)证明：MN//平面P46.

(2)求三棱锥M-ABC的体积.

7

2025年菁优高考数学解密之立体几何初步

参考答案与试题解析

选择题（共10小题）

1.（2024•泰安模拟）下列命题中，正确的是（）

A.三点确定一个平面

B.垂直于同一直线的两条直线平行

C.若直线/与平面。上的无数条直线都垂直，则/，£

D.若a、b、c是三条直线，a//。且与c都相交，则直线a、b、c在同一平面上

【答案】D

【考点】命题的真假判断与应用；直线与平面垂直

【专题】转化思想；数学运算；简易逻辑；综合法；逻辑推理；直观想象；空间位置关系与距离

【分析】利用平面的基本性质及推论可知A,3错误，。正确，再利用直线与平面垂直的判定定理可知选

项C错误.

【解答】解：对于A：不共线的三点确定一个平面，故A错误，

对于3：由墙角模型可知，两条直线可能是相交直线，也可能是异面直线，显然3错误，

对于C：根据线面垂直的判定定理，若直线/与平面口内的两条相交直线垂直，则直线/与平面a垂直，

若直线/与平面。内的无数条平行直线垂直，则直线/与平面々不垂直，故C错误，

对于£>：因为a//b,所以。与6唯一确定一个平面，设为平面a,又c与。和6都相交，所以c也在平面a

内，即直线a、b、c共面，故选项。正确，

故选：D.

【点评】本题主要考查了平面的基本性质及推论，考查了空间中线与线的位置关系，是基础题.

2.（2024•天津）一个五面体ABC-DEF.已知AD〃班V/CF,且两两之间距离为1.并已知">=1,BE=2,

CF=3.则该五面体的体积为（）

3A/31

~4--2

8

【答案】C

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积

【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；立体几何；数学运算

【分析】根据题意，分别延长4）、3E到G、〃，使AG、BH、CF平行且相等，得到三棱柱A?C-GHF,

根据四边形即与四边形HGDE全等，利用锥体的体积公式得到/YBED=4_HGDE=g匕，然后求

出ABC-GHF的体积，进而算出该五面体的体积，可得答案.

【解答】解：延长45到G,使DG=2,延长留到〃，使EH=1,连接"'、BF,

可得AG=2H=B=3,结合AG//8H//CF,可知ABC—GHF为三棱柱，

B

因为四边形ABED与四边形打切E全等，所以%一回=%一3，

由AG3BH//CF,且它们两两之间的距离为1.可知：

当ABC-GHF为正三棱柱时，底面边长为1,高为3,此时匕BCGHF=3XFX3=上巨.

ADC—Lrnr44

根据棱柱的性质，若ABC-G所为斜三棱柱，体积也是土叵，

因止匕，VF_HGDE=-^ABC-GHF=~,可得该五面体的体积V=匕℃一6."=弓•

故选：C.

【点评】本题主要考查棱柱的定义与性质、柱体与锥体的体积公式及其应用等知识，考查了计算能力、图

形的理解能力，属于中档题.

3.（2024•河南模拟）已知圆锥的底面半径为2,其侧面展开图是一个圆心角为色的扇形，则该圆锥的侧

3

面积为（）

A.6TIB.8%C.107TD.12万

【答案】A

【考点】圆锥的侧面积和表面积

【专题】三角函数的求值；综合法；数学运算；整体思想

9

【分析】根据半径求出底面周长，由弧长公式可得母线长，再利用圆锥的侧面积公式求解.

【解答】解：因为底面半径r=2,

所以底面周长为2兀r=4rr，

又因为侧面展开图是圆心角为空的扇形，

3

所以圆锥的母线长/=f=3,

4万

T

所以该圆锥的侧面积S=R7=»X2X3=6万.

故选：A.

【点评】本题主要考查了圆锥的侧面积公式，属于基础题.

4.（2024•吴忠模拟）某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的表面积（单位：。/）是（

俯视图

A.24B.28C.32D.36

【答案】C

【考点】由三视图求面积、体积

【专题】数学运算；立体几何；转化法；数形结合

【分析】借助三视图得到几何体的直观图后计算即可得.

【解答】解：该几何体的直观图如图所示，

则几何体的表面积为

S=1X3X4+-X5X4+-X3X4+-X4X5=6+10+6+10=32（CT?22）.

2222

故选：C.

10

4

【点评】本题考查了利用三视图求几何体的表面积问题，是基础题.

5.（2024•四川模拟）如图所示，在棱长为2的正方体中，直线40c平面ACR=E,F,

产是3c的中点，G是线段瓦厂上的动点，则直线GE与侧面ADRA的交点产的轨迹长为（）

C.2A/2D.V2

【答案】A

【考点】棱柱的结构特征

【专题】数学运算；向量法；转化思想；空间位置关系与距离；逻辑推理

【分析】先建立空间直角坐标系，设出点P的坐标，保证尸，E,F,与四点共面，从而得到向量而与

平面E/英的法向量垂直，进而分析得出的方程表示的轨迹是什么，求解即可.

【解答】解：在棱长为2的正方体ABCO-A4CQ中，直线40c平面AC〃=E,F,尸是3C的中点,

G是线段与厂上的动点,

分别以ZM,DC,所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系孙z,如图,

X

11

则4(2,2,2),F(1,2,0),

,直线BQC平面ACR=E,F,设BO0|AC=M,如图,

DMDE£

在矩形BORA中，DM//DlBl,..△B.O.E,

BQ】B[E2

二.点石满足方g的，石(|,|,|),

设平面EFB,的法向量为n=(x,y,z),

且丽OfPR=(———)

।3'3'3

142c

—x+—yz=0

3°,即,333

可得不妨取为=(-2,1,1),

河.函,444

=0—x+—y+—z=0

[33'3

由于直线GE与侧面的交点P,设点尸(x,0,z),

可得P,E,F,用四点共面，

__,292__-222

且乔=(x——,——,z——),显然而•为=-2(x——)——+z——=0,

333333

得方程z=2x,显然方程z=2x在平面2A内表示一条直线，

当z=0时，点P(0,0,0),此时两点尸，。重合，

当z=2时，x=l,点尸(1,0,2),设线段4。的中点为T,此时两点尸，T重合,

直线GE与侧面AD?A的交点P的轨迹为线段DT,且OT=V12+22=6.

故选：A.

【点评】本题考查正方体结构特征、三角形相似、四点共面、点的轨迹等基础知识，考查运算求解能力,

是中档题.

6.(2024•大连模拟)在正四棱台中，钻=4,44=2，A4]=半，则该正四棱台的

体积为()

112140

ARr112140

9933

【答案】A

12

【考点】棱台的体积

【专题】综合法；立体几何；数学运算；转化思想

【分析】根据题意可得：该正四棱台上下底面正方形的中心到相应正方形顶点的距离分别为0,2a,

从而可求出该正四棱台的高，最后根据正四棱台的体积公式，即可求解.

【解答】解：•正四棱台—中，AB=4,44=2，

上下底面正方形的中心到相应正方形顶点的距离分别为拒，2点，又侧棱相=学，

，该正四棱台的高为J（g）2-（2加-鱼）2=?,

，该正四棱台的体积为gx（22+42+2x4）*：=岩.

故选：A.

【点评】本题考查正四棱台的体积的求解，属基础题.

7.（2024•云南模拟）底面积是万，侧面积是3%的圆锥的体积是（）

A.2缶B.岳C.—D.兀

33

【答案】D

【考点】圆锥的体积

【专题】数学运算；立体几何；定义法；方程思想

【分析】利用圆锥的底面积和侧面积公式求出底面圆半径和母线长，再求圆锥的高，即可计算圆锥的体积.

【解答】解：设圆锥的母线长为/,高为/z,半径为厂，

贝US底=%/=乃，且S侧=7TXrx/=3»,角毕得〃=1,1=3,

所以"=A/Z2—r2=59-1=2^/2,

所以圆锥的体积为LX%X12X2^=£?〃.

33

故选：D.

【点评】本题考查了圆锥的侧面积公式和体积公式应用问题，是基础题.

8.（2024•榆林三模）设〃，。为两条不同的直线，a,分为两个不同的平面，下面为真命题的是（

A.若a///,aua,bu0,则a//〃

B.对于空间中的直线/,若au<z,bua,/_La,lib,贝”_La

C.若直线。上存在两点到平面a的距离相等，则a//a

D.若a//a,a-LJ3,则a_L/

13

【答案】D

【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置

关系

【专题】综合法；整体思想；逻辑推理；空间位置关系与距离；直观想象

【分析】由空间中直线与直线、直线与平面的位置关系判定ABC；直接证明。正确.

【解答】解：若a1/0,aua,bu/3,则a//6或a与6异面，故A错误；

当auiz,bua,I±a,/_L6时，只有a,。相交时才有/_L<z,故B错误;

若直线a上存在两点到平面a的距离相等，则a//e或a与a相交，故C错误；

如图，

•：a//a,过a作平面?和平面a交于〃，则a//〃，而a-L月，故〃_L夕，

又〃ua,,故。正确.

故选：D.

【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思

维能力，是中档题.

9.（2024•莆田三模）若制作一个容积为竺的圆锥形无盖容器（不考虑材料的厚度），要使所用材料最省，

3

则该圆锥的高是（）

A.0B.2C."D.4

【答案】B

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的体积

【专题】转化思想；计算题；导数的概念及应用；数学运算；综合法；立体几何

【分析】根据题意，设圆锥的高与半径，利用体积公式得出高与半径的关系，再消元转化得出侧面积，利

用导数计算单调性与最值，即可得答案.

【解答】解：根据题意，设该圆锥的高为〃，底面圆的半径为r,

^\-7rr2h=—,从而/〃=4,变形可得产=±,

33h

14

该圆锥的侧面积S=；-2万入+产="W+产)产=l4h+16.

令f(h)=4h+—(Ji>0)=>f\h)=4--=4(—^—),

hhh

—8

易知/zw(0,2)时，-----<0,f\h)<Q,/(/z)单调递减，

h

川一8

/zw(2,+x))时，----->0,广①)>0,/(/z)单调递增，

h

则当/z=2时，/(/?)取得最小值；

所以要使所用材料最省，则该圆锥的高是2.

故选：B.

【点评】本题考查圆锥的体积、表面积计算，涉及导数与函数单调性的关系，属于中档题.

10.(2024•咸阳模拟)已知平行六面体ABC£>-A4G2中，棱明、他、AD两两的夹角均为60。,

A\=2AB,AB^AD,E为耳G中点，则异面直线网与所成角的余弦值为()

【答案】D

【考点】异面直线及其所成的角

【专题】转化思想；数学运算；综合法；空间角；空间向量及应用；逻辑推理

【分析】由题意求出异面直线3的方向向量和方向向量的表达式，求出这两个向量的余弦值，进而

求出异面直线所成的角的余弦值.

【解答】解：因为E为与J的中点，棱A4,、AB,AD两两的夹角均为60。，4^=245,AB=AD,

设AB=2,贝!IAA,=4,

由平行六面体的性质可得：B^=BA+A^=-AB+AA^,D[E=DlQ+^ClB^=AB-^Al5,

____,____,___1________________________Q1______________、1____>____,

可得好*=（-荏+丽）.（通-5必=-通+-ABAD+A^AB--A^AD

211

=-AB+-|AB|-|A£>|cos60°+|A4f|•|cos600--1A4t|-|A5|COS60°

=-4+1X2X2X-+4X2X---X4X2X-=-1,

22222

15

IB\|2=AB+A4f2-2AB-A\=AB+A\-2\AB\-\AA^\cos60°=4+16-2x2x4x1=12,

所以|西'1=26,

----►C-21a1——►►<21>21——►I1

\DXE^=AB+-AD-2x-ABAD=AB+-AD-2x-1AB|-|AD|cos60°=4+-x4-2x2x-=3»

可得|D]E|=A/3,

则cos（瓯，P^>=-^'D{E-1_1

2Ax后一6

\B\\-\DXE\

所以异面直线网与2E所成角的余弦值为|cos＜瓯，屏〉|=L

6

故选：D.

【点评】本题考查空间向量的运算性质的应用及用空间向量的方法求异面直线所成的角的余弦值，属于中

档题.

二.多选题（共5小题）

11.（2024•郴州模拟）如图，在棱长为2的正方体ABCD-A与CQ中，点P是正方体的上底面A用CQ内

（不含边界）的动点，点。是棱3c的中点，则以下命题正确的是（）

A.三棱锥PCD的体积是定值

B.存在点P,使得PQ与A4,所成的角为60。

C.直线PQ与平面A.ADD,所成角的正弦值的取值范围为3号

D.若PR=PQ,则P的轨迹的长度为空

【答案】ACD

【考点】直线与平面所成的角；棱柱的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角

16

【专题】转化法；立体几何；数学运算；转化思想

【分析】对于A：利用等体积转换即可求得体积为定值；

对于5：建立空间直角坐标系，设P(尤，y,0),得出声=(尤-2,y=l,2),招=(0,0,2),利用向量夹角

公式即可求解；

对于C：求出平面AAOA的法向量为沅=(1,0,0),利用向量夹角公式即可求解；

对于D：由=尸。可得f+(y-2)2=(无一2)2+(y-iy+4,即可求解.

114

【解答】解：对于A,VoPCD=Vp0CD=—x—xlx2x2=—(定值)，故A正确；

以A为坐标原点，A耳为x轴，AR为y轴，AA为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

则。(2,1,-2),设P(x,y,0)(0<x<2,0<y<2),

则行=(x-2,y=l,2),

对于5,M=(0,0,2),

PQ与A4,的夹角。满足cosa==—'3egl),

故3错误;

22

\QP\-\AAl\2X7(X-2)+(J-1)+4

对于C,平面A4DQ的法向量为防=(1,0,0),

直线PQ与平面A.ADD,所成的角p的正弦值为sin£=-=^^=e(0,—),故C正确;

7(X-2)2+(J-1)2+42

对于£),A(0，2,0),A尸=(x,y—2,0),

由尸Q=PQ可得f+(y_2)2=(%_2)2+(y_l)2+4,

化简可得4x-2y-5=0,

3

在平面内，令尤=2,得y=5，

令y=0,得％=9,

4

17

所以P的轨迹的长度为j(2？+(|)2=手，0正确.

故选：ACD.

【点评】本题考查等体积法求体积以及空间向量的应用，属于中档题.

12.(2024•随州模拟)在棱长为2的正方体ABC。-A用G2中，E,尸分别为AB,的中点，贝1(

)

A.异面直线DDA与BF所成角的余弦值为发

B.点P为正方形内一点，当。尸//平面4跖时，DP的最大值为乎

C.过点2，E,尸的平面截正方体ABCD-A4C12所得的截面周长为2万+夜

D.当三棱锥4所的所有顶点都在球O的表面上时，球。的表面积为6万

【答案】ACD

【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行；异面直线及其所成的角；球的体积和表面积

【专题】立体几何；数学运算；空间角；对应思想；向量法

【分析】对于A：根据正方体的性质得出在用△3尸中Ng厂即为异面直线与百歹所成的角，即可

判定；对于3：取AA的中点M，的中点N,连接MN,DM,DN,得到DM//用尸,DN/!BXE,

即可证明面DMV//面,则根据已知得出P轨迹为线段MN,则过。作此时。尸取得最

小值，即可判定；对于C：过点2、E、尸的平面截正方体ABCD-AaGA所得的截面图形为五边形

D\MEFN,得出D.N//ME,设=CN=n,以。为原点，分别以方及配，西■方向

为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系D-孙z,得出该，邱,方而，游的坐标，则可根据

D}M//NF,2"〃腔列式得出AW，CN,即可得出,C.N,在放△心⑶〃中得出,同理

得出RN,在RtAMAE中得出VE,同理得出/W,在RtAEBF中得出EF,即可得出五边形QMEEN的

周长，即过点2、E、尸的平面截正方体ABC£>-A3IG2所得的截面周长，即可判定；对于D：取砂的

中点。I，则Q|E=OJ=qB,过。।作。。|//2月，且使得其=1,则O为三棱锥瓦-3E厂的外接

球的球心，则OE为外接球的半径，计算得出半径即可求出球。的表面积，即可判定.

【解答】解：对于A选项，//8耳，

在Rf△BBF中ZBBtF即为异面直线DDt与瓦尸所成的角，

18

异面直线DDt与所成的角的余弦值为半.故A正确；

对于C选项，过点2、E、尸的平面截正方体,

•平面例〃。//平面8耳GC,则过点2、E、歹的平面必与A4,与CG交于两点，

设过点2、E、尸的平面必与相与CG分别交于加、N,

•.•过点2、E、尸的平面与平面和平面BBCC分别交于AM与RV,.•.□///△，，同理可得

DtN//ME,

如图过点2、E、尸的平面截正方体48。-4瓦£2所得的截面图形为五边形

如图以。为原点，分别以方X,皮，西■方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系。-盯z,

设AM=m,CN=n,

则M(2,0,in),N(0,2,〃)，E(2,1,0),F(1,2,0),R(0,0,2),

ME=(Q,l,-m),取=(0,2,〃一2),^7=(2,0,小一2),NF=(l,0,-n),

■：DiM//NF,DtN//ME,

19

2

m=—

-2m=n-2一，03

CC，解得

-2〃=m-22

n=—

3

2244

AM=~,CN=~,AM=-,C、N=-,

3333

.•.在中，2A=2,DtM同理：D、N=,

在RtAMAE中，AM^-,AE=1,ME=—,同理：FN=—

333

在RtAEBF中，BE=BF=1,EF=42,

D、M+D、N+ME+FN+EF=+2x与+应=2岳+近,

即过点2、E、尸的平面截正方体ABC。-A旦GA所得的截面周长为2拒+0.故C正确;

对于3选项，取A2的中点M，2G的中点N,取AD的中点S,连接MN,DM,DN,\S,SF,

■：SF/IABI/A.B,,SF=AB=AB、,

，四边形A4E5为平行四边形，:.AAl//B1F,­.-A.SHDM,:.MD!!BXF,

同理可得LW//4E,

又〈DM«面BEF,耳尸u面4EF,DN仁面耳所，B】Eu面B〔EF,

:.DM//^BXEF,DN1//菌B、EF,

又•；1)%DN=D,DM,DNu面DMN,

，面DWV//面4EF,

又•.•£>2//面4£F,尸e面A4c]〃，

尸轨迹为线段MN,

.•.在AZM/N中，过。作DP_LMN,此时。尸取得最小值，

在Rf△DRM中,D,M=1,D,D=2,:.DM=卡,

20

在用△■DRN中，DXN=1,DQ=2,:.DN=0

在.Rt4MD]N中,D、N=I,D,M=1,:.MN=0,

.[如图，在RtADPN中，DP=4DN?-（等了=%；=当

即Z）尸的最小值为还，而上的最大值为石.故5错误;

2

对于O选项，如图所示，取EF的中点0],则a石=0]b=。内，过01作OO"/54,

且使得OQ=：BBi=l,则O为三棱锥B,-BEF的外接球的球心，

所以OE为外接球的半径，

•.•在RtAEBF中，EF=j2,

R2=0E2=00；+（争=12+吟丫=|,

.1S球=4"R?=6%.故。项正确，

故选：ACD.

【点评】本题考查线面角以及利用空间向量法解决球体相关问题，属于中档题.

13.（2024•盐湖区一模）设a,6是两条不同的直线，a,尸是两个不同的平面，则下列命题正确的有（

）

A.若a//e,blla,则a//Z>B.若a_L（z,Z?±tz,则a//6

C.若a//b,blla,ata,则a//aD.若a//a,al1（3,a（^/3,则a//£

【答案】BCD

【考点】平面与平面之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置

21

关系

【专题】转化思想；逻辑推理；空间位置关系与距离；综合法

【分析】根据空间中线线关系，线面关系，面面关系，即可分别求解.

【解答】解：对A选项，-.-alia,r.a//6或。与6相交或。与6异面，；.A选项错误；

对3选项，:aLa,Z?±«,;.a//b,选项正确；

对C选项，-：a//b,6〃rz,与。内的某条直线平行，

二。也平行该直线，又a仁a,a//cr,C选项正确；

对。选项，,e,«//«,a11（3,a仁£,a//£,;.£）选项正确.

故选：BCD.

【点评】本题考查空间中线线关系，线面关系，面面关系，属基础题.

14.（2024•保定三模）如图，在正方体ABC。-A4G。中，E,F,M,N分别为棱的，4,01,AB,

DC的中点，点P是面的中心，则下列结论正确的是（）

A.E,F,M,P四点共面

B.平面PEF被正方体截得的截面是等腰梯形

C.EF"平面PMN

D.平面AffiF_L平面PMV

【答案】BD

【考点】平面与平面垂直；直线与平面平行；平面的基本性质及推论；空间中直线与平面之间的位置关系

【专题】立体几何；综合法；转化思想；逻辑推理

【分析】由题意可得过E,F,M三点的平面为一个正六边形，判断出A的真假；分别连接E,歹和3,

G，截面£瓦亦是等腰梯形，判断出3的真假；分别取CG的中点G,Q,易证跖显然不平行平

面0GMN,可判断出C的真假；平面PMV,可判断出。的真假.

【解答】解：对于A：如图经过E,F,Af三点的平面为一个正六边形EFMHQK,点尸在平面外，

所以E,F,M,P四点不共面，所以选项A错误；

22

对于3：分别连接E,尸和3,C,,则平面PEF即平面G3EF,截面。1班户是等腰梯形，所以选项3正

对于C：分别取8片，CG的中点G,Q,则平面PMN即为平面。G/VCV,

由正六边形EFMHQK,可知HQ//E尸，所以M。不平行于EF,

又EF,MQu平面EFMHQK,所以

所以EFC平面。GAW=W,

所以£F不平行于平面PMV,故选项C错误；

对于。：因为AAEA/,ABMG是等腰三角形，所以NAME=NBMG=45。,

所以NEMG=90。，所以M_LMG,

因为M,N是AB,CD的中点，易证MV//AD,

由正方体可得A。_L平面AB耳A，

所以肱V_L平面AB与A，又MEu平面AB4A，所以

因为MG,MNu平面PW,所以R0_L平面GMN,

因为平面A4EF,

所以平面MEFJL平面PMV,故选项。正确.

故选：BD.

【点评】本题考查直线与平面平行的证法及平面与平面垂直的证法，属于中档题.

15.（2024•江苏模拟）如图，在棱长为2的正方体A3CD-A4G2中，E为例的中点，点尸满足

质=2硒（0g氏1）,贝1（）

23

A.当；1=0时，AC1，平面BDF

B.任意力e[0,1],三棱锥P-瓦龙的体积是定值

C.存在4e[0,1],使得AC与平面5DF所成的角为土

3

D.当4=2时，平面6DF截该正方体的外接球所得截面