2025年高考数学复习：分类加法计数原理与分步乘法计数原理【四大题型】

专题10.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理【四大题型】

【新高考专用】

►热点题型归纳

【题型1分类加法计数原理的应用】............................................................3

【题型2分步乘法计数原理的应用】............................................................3

【题型3涂色问题】...........................................................................4

【题型4两个计数原理的综合应用】............................................................5

►考情分析

1、分类加法计数原理与分步乘法计数原理

考点要求真题统计考情分析

2023年新高考I卷：第13题，

5分

⑴理解分类加法计数原从近几年的高考情况来看，高考对

2023年新高考II卷：第3题，

理、分步乘法计数原理及两个计数原理的考查比较稳定，多以选

5分

其意义择题、填空题的形式出现，以考查两个

2023年全国乙卷(理数)：第

⑵能利用计数原理解决计数原理的基本概念与步骤方法为主，

7题，5分

简单的实际问题往往与排列组合结合考查，难度不大.

2023年全国甲卷(理数)：第

9题，5分

►知识梳理

【知识点1分类加法计数原理与分步乘法计数原理】

1.分类加法计数原理

(1)分类加法计数原理的概念

完成一件事直两类不同方案，在第1类方案中有相种不同的方法，在第2类方案中有〃种不同的方法,

那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法.

概念推广：完成一件事有一类不同方案，在第1类方案中有犯种不同的方法，在第2类方案中有牝种

不同的方法，…，在第"类方案中有犯，种不同的方法，那么完成这件事共有心〃?1+优2+，”+肛,种不同

的方法.

(2)分类的原则

分类计数时，首先要根据问题的特点，确定一个适当的分类标准，然后利用这个分类标准进行分类，

分类时要注意两个基本原则：一是完成这件事的任何一种方法必须属于相应的类；二是不同类的任意两种

方法必须是不同的方法，只要满足这两个基本原则，就可以确保计数时不重不漏.

2.分步乘法计数原理

(1)分步乘法计数原理的概念

完成一件事需要两个步骤，做第1步有机种不同的方法，做第2步有"种不同的方法，那么完成这件

事共有N=mxn种不同的方法.

概念推广：完成一件事需要“个步骤，做第1步有殉种不同的方法，做第2步有g种不同的方法，・••，

做第w步有"2"种不同的方法，那么完成这件事共有2加1乂〃22乂...义加“种不同的方法.

(2)分步的原则

①明确题目中所指的“完成一件事”是指什么事，怎样才能完成这件事，也就是说，弄清要经过哪几步才

能完成这件事；

②完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少任何一步，这件

事就不可能完成；不能缺少步骤.

③根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这"个步骤逐步去做，才能完成这件事，各

个步骤既不能重复也不能遗漏.

3.分类加法计数原理与分步乘法计数原理的辨析

⑴联系

分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决的都是有关完成一件事的不同方法的种数问题.

(2)区别

分类加法计数原理每次得到的都是最后结果，而分步乘法计数原理每步得到的都是中间结果，具体区

别如下表：

区别分类加法计数原理分步乘法计数原理

①针对的是“分类”问题针对的是“分步”问题

②各种方法相互独立各个步骤中的方法互相依存

用其中任何一种方法都可以完成这件

③只有各个步骤都完成才算完成这件事

事

(3)分类加法计数原理与分步乘法计数原理的合理选择

分类一将问题分为互相排斥的几类，逐类解决一分类加法计数原理；

分步一将问题分为几个相互关联的步骤，逐步解决一分步乘法计数原理.

在解决有关计数问题时，应注意合理分类，准确分步，同时还要注意列举法、模型法、间接法和转换

法的应用.

【知识点2分类、分步计数原理的解题策略】

1.分类加法计数原理的解题策略

分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词、关键元素和关键位置.

(1)根据题目特点恰当选择一个分类标准；

(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法才

是不同的方法，不能重复；

(3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏.

2.分步乘法计数原理的解题策略

（1）利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步

必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事.

（2）分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成.

【方法技巧与总结】

分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础，并贯穿其始终.

（1）分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类，并且只属于其中一类.

（2）分步乘法计数原理中，各个步骤中的方法相互依存，步与步之间”相互独立，分步完成”.

►举一反三

【题型1分类加法计数原理的应用】

【例1】（2024•全国.模拟预测）从1至7这7个整数中随机取出3个不同的数，则它们的积与和都是3的

倍数的不同取法有（）

A.9种B.12种C.20种D.30种

【变式1-1］（2024•浙江温州•模拟预测）平面上的两个点月），B（X2,y2）,其中横纵坐标均为自然数,

且不大于5,则两点之间的距离可以有多少种取值（）

A.19B.20C.25D.27

【变式1-2］（2024.安徽・模拟预测）甲、乙等6名高三同学计划今年暑假在4B,C,D四个景点中选择一个打

卡游玩，若每个景点至少有一个同学去打卡游玩，每位同学都会选择一个景点打卡游玩，且甲、乙都单独1

人去某一个景点打卡游玩，则不同游玩方法有（）

A.96种B.132种C.168种D.204种

【变式1-3］（2024•贵州黔东南•二模）在几个数码1,2,…,W9,neN*）的全排列人为…九中，若一个较大

的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成一个逆序，这个排列的所有逆序个数的总和称为这个排

列的逆序数，记为70优…％）•例如，在3个数码的排列312中，3与1,3与2都构成逆序，因此7（312）=2.

那么7（87542136）=（）

A.19B.20C.21D.22

【题型2分步乘法计数原理的应用】

【例2】（2024•湖北武汉.模拟预测）五一小长假前夕，甲、乙、丙三人从4B,C,。四个旅游景点中任选

一个前去游玩，其中甲到过4景点，所以甲不选4景点，则不同的选法有（）

A.64种B.48种C.36种D.24种

【变式2-1］（2024•河南郑州•模拟预测）已知x€Z,yEZ,则满足方程孙+2024Q-y）=8092的解（％y）

的个数为（）

A.27B.54C.108D.216

【变式2-2］（2024•湖南岳阳•三模）把5个人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人,

甲乙安排在不相邻的两天，乙丙安排在相邻的两天，则不同的安排方法数是（）

A.96种B.60种C.48种D.36种

【变式2-3］（2024•海南•模拟预测）将“1,2,2,3,4,5”这6个数字填入如图所示的表格区域中，每个

区域填一个数字，1不在4区域且三列中只有中间一列区域的数字之和为7,若中间一列填2和5,则不同的

B.24种C.36种D.48种

【题型3涂色问题】

【例3】（2024・四川资阳•模拟预测）某社区计划在该小区内如图所示的一块空地布置花卉，要求相邻区域

布置的花卉种类不同，且每个区域只布置一种花卉，若有5种不同的花卉可供选择，则不同的布置方案有

C.480种D.540种

【变式3-1］（2024•辽宁・模拟预测）为迎接元宵节，某广场将一个圆形区域分成4B,C,D,E五个部分（如图

所示），现用4种颜色的鲜花进行装扮（4种颜色均用到），每部分用一种颜色，相邻部分用不同颜色，则

C.24种D.12种.

【变式3-2］（2024•全国.模拟预测）如图，A,B,C,。为四个不同的区域，现有红、黄、蓝、黑4种颜色,

对这四个区域进行涂色，要求相邻区域涂不同的颜色（A与C不相邻，8与。不相邻），则使用2种颜色涂

色的概率为（）

【变式3-3］（2024.广西南宁.模拟预测）五行是华夏民族创造的哲学思想.多用于哲学、中医学和占卜方面

五行学说是华夏文明重要组成部分.古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金、木、水、火、

土，彼此之间存在相生相克的关系.五行是指木、火、土、金、水五种物质的运动变化.所以，在中国，“五

行”有悠久的历史渊源.下图是五行图，现有4种颜色可供选择给五“行”涂色，要求五行相生不能用同一种颜

色（例如木生火，木与火不能同色，水生木，水与木不能同色），五行相克可以用同一种颜色（例如火与

水相克可以用同一种颜色），则不同的涂色方法种数有（）

韦

A.30B.120C.150D.240

【题型4两个计数原理的综合应用】

【例4】（23-24高二上.江西九江.期末）从1,2,3,4,5,6,7,9中，任取两个不同的数作对数的底数

和真数，则所有不同的对数的值有（）

A.30个B.42个C.41个D.39个

【变式4-1］（2024•河北•模拟预测）用0,1,2,3,4能组成没有重复数字且比32000小的数字（）个.

A.212B.213C.224D.225

【变式4-2］（24-25高三上•江苏南京•开学考试）甲、乙、丙、丁共4名同学参加某知识竞赛，已决出了第

1名到第4名（没有并列名次），甲、乙、丙三人向老师询问成绩，老师对甲和乙说：“你俩名次相邻“，对

丙说：“很遗憾，你没有得到第1名”，从这个回答分析，4人的名次排列情况种数为（）

A.4B.6C.8D.12

【变式4-3]（2024高二•全国•专题练习）从正十五边形的顶点中选出3个构成钝角三角形，则不同的选法

有（）.

A.105种B.225种C.315种D.420种

►过关测试

一、单选题

1.（2024•陕西商洛•三模）甲、乙、丙、丁、戊5名大学生实习时，有A,B,C三家企业可供选择，若去

C企业最多一人，则不同分配种数是（）

A.112B.80C.64D.32

2.（2024・陕西西安•三模）方程孙=2160的非负整数解的组数为（）

A.40B.28C.22D.12

3.（2024•山东淄博・一模）小明设置六位数字的手机密码时，计划将自然常数e=2.71828…的前6位数字

2,7,1,8,2,8进行某种排列得到密码.若排列时要求相同数字不相邻，且相同数字之间有一个数字，则

小明可以设置的不同密码种数为（）

A.24B.16C.12D.10

4.（2024.山东泰安.模拟预测）某市人民医院急诊科有3名男医生和4名女医生，内科有4名男医生和4名女

医生，现从该医院急诊科和内科各选派1名男医生和1名女医生组成4人组，参加省人民医院组织的交流会，

则所有不同的选派方案有（）

A.192种B.180种C.29种D.15种

5.（2024・四川成都•模拟预测）《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》三部贺岁片引爆了2024年

春节电影市场.某电影院同时段播放这三部电影，小李和小明每人只能选择看其中的一场电影，则两位同

学选择的电影不相同的概率为（）

A.-B.-C.-D.-

6233

6.（2024•重庆沙坪坝•模拟预测）用a代表红球，6代表蓝球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1

个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由（l+a”（l+b）的展开式1+a+b+ab表示出来,

如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”表示把红球和蓝球都取出来，以此

类推，下列各式中，其展开式可用来表示从3个无区别的红球、3个无区别的蓝球、2个有区别的黑

球中取出若干个球，且所有蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（）

A.(1+a+a2+a3)(l+b3)(l+c)2

B.(1+a3)(l+b+b2+b3)(l+c)2

C.(1+a)3(l+b+。2+。3)(1+02)

D.(1+a3)(l+fe)3(l+c+c2)

7.（23-24高二上.山东德州.阶段练习）中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的

创造.如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成8个区域，每个区域分别印有数字1,2,3,8.现准备给该伞

面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域（如区域1

与区域5）所涂颜色相同.若有6种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（）

A.550种B.630种

C.720种D.840种

8.（2024・四川南充•模拟预测）距高考30天之际，高三某班级五位同学打算利用周末亲近大自然，陶冶情

操，释放压力.这五位同学准备星期天在凌云山景区，印象嘉陵江湿地公园，西山风景区三个景点中选择一

个去游玩，已知每个景点至少有一位同学会选，五位同学都会进行选择并且只能选择其中一个景点，若学

生甲和学生乙准备选同一个景点，则不同的选法种数为（）

A.18B.36C.48D.32

二、多选题

9.（23-24高三下•全国・强基计划）某城市内有若干街道，所有街道都是正东西或南北向，某人站在某段正

中央开始走，每个点至多经过一次，最终回到出发点.已知向左转了100次，则可能向右转了（）次.

A.96B.98C.104D.102

10.（23-24高二下•湖北武汉.阶段练习）数学中蕴含着无穷无尽的美，尤以对称美最为直观和显著.回文数

是对称美的一种体现，它是从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22,121,3443,94249等，显然两

位回文数有9个：位22,33,....99；三位回文数有90个：101,111,121,191,202,999.

下列说法正确的是（）

A.四位回文数有45个B.四位回文数有90个

C.2n（neN*）位回文数有1。"个D.2n+1（neN*）位回文数有9x10rl个

11.（2024・重庆•模拟预测）如图，16枚钉子钉成4x4的正方形板，现用橡皮筋去套钉子，则下列说法正确

的有（不同的图形指两个图形中至少有一个顶点不同）（）

A.可以围成20个不同的正方形

B.可以围成24个不同的长方形（邻边不相等）

C.可以围成516个不同的三角形

D.可以围成16个不同的等边三角形

三、填空题

12.（2024.湖南岳阳•模拟预测）甲、乙、丙、丁、戊5名大学生实习时，有A,B,C三家企业可供选择，

若去C企业最多一人，则不同分配种数是.

13.（2024•河南濮阳•模拟预测）对一个四棱锥各个顶点着色，现有5种不同颜色供选择，要求同一条棱连

接的两个顶点不能着相同的颜色，则不同的着色方法有种（用数字作答）.

14.（2024.江苏连云港.模拟预测）某排球赛共有三个组：第一、二组各有6个队，第三组有7个队，首先

各组进行单循环赛，然后各小组的第一名共3个队分主客场进行决赛，最终决出冠、亚军，则该排球比赛

一共需要比赛场.

四、解答题

15.（2024高三.全国・专题练习）分别编有1,2,3,4,5号码的人与椅，其中i号人不坐i号椅（i=1,2,

3,4,5）的不同坐法有多少种？

16.（24-25高二上•全国•课后作业）将三个分别标有A,B,C的球随机放入编号为1,2,3,4的四个盒子

中.求：

（1）1号盒中无球的不同放法种数；

(2)1号盒中有球的不同放法种数.

17.(23-24高二下•青海西宁•期中)由0,1,2,3,4这五个数字.

(1)能组成多少个无重复数字的五位数？

(2)能组成多少个无重复数字的五位偶数？

(3)组成无重复数字的五位数中比21034大的数有多少个？

18.(23-24高二下•安徽合肥・期中)如图，从左到右有5个空格.

(1)若向这5个格子填入0,1,2,3,4五个数，要求每个数都要用到，且第三个格子不能填0,则一共有多

少不同的填法？(用数字作答)

(2)若给这5个空格涂上颜色，要求相邻格子不同色，现有红黄蓝3颜色可供使用，问一共有多少不同的涂

法？(用数字作答)

(3)若把这5个格子看成5个企业，现安排3名校长与5个企业洽谈，若每名校长与2家企业领导洽谈，每

家企业至少接待1名校长，则不同的安排方法共有多少种(用数字作答).

19.(23-24高二下.广东茂名.期中)某校高二年级开设了《数学建模》、《电影赏析》、《经典阅读》、

《英语写作》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学打算在上述四门课程中随机选择一门进行学习，已

知三人选择课程时互不影响，且每人选择每一门课程都是等可能的.

(1)三人共有多少种不同的课程选择种数?

(2)求三位同学选择的课程互不相同的概率；

(3)若至少有两位同学选择《数学建模》，则三人共有多少种不同的选课种数?

专题10」分类加法计数原理与分步乘法计数原理【四大题型】

【新高考专用】

►热点题型归纳

【题型1分类加法计数原理的应用】............................................................3

【题型2分步乘法计数原理的应用】............................................................3

【题型3涂色问题】...........................................................................4

【题型4两个计数原理的综合应用】............................................................5

►考情分析

1、分类加法计数原理与分步乘法计数原理

考点要求真题统计考情分析

2023年新高考I卷：第13题，

5分

⑴理解分类加法计数原从近几年的高考情况来看，高考对

2023年新高考II卷：第3题，

理、分步乘法计数原理及两个计数原理的考查比较稳定，多以选

5分

其意义择题、填空题的形式出现，以考查两个

2023年全国乙卷(理数)：第

⑵能利用计数原理解决计数原理的基本概念与步骤方法为主，

7题，5分

简单的实际问题往往与排列组合结合考查，难度不大.

2023年全国甲卷(理数)：第

9题，5分

►知识梳理

【知识点1分类加法计数原理与分步乘法计数原理】

1.分类加法计数原理

(1)分类加法计数原理的概念

完成一件事直两类不同方案，在第1类方案中有相种不同的方法，在第2类方案中有〃种不同的方法,

那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法.

概念推广：完成一件事有〃类不同方案，在第1类方案中有犯种不同的方法，在第2类方案中有加2种

不同的方法，…，在第w类方案中有〃7“种不同的方法，那么完成这件事共有N=〃％+加2+…+加”种不同

的方法.

(2)分类的原则

分类计数时，首先要根据问题的特点，确定一个适当的分类标准，然后利用这个分类标准进行分类，

分类时要注意两个基本原则：一是完成这件事的任何一种方法必须属于相应的类；二是不同类的任意两种

方法必须是不同的方法，只要满足这两个基本原则，就可以确保计数时不重不漏.

2.分步乘法计数原理

(1)分步乘法计数原理的概念

完成一件事需要两个步骤，做第1步有％种不同的方法，做第2步有〃种不同的方法，那么完成这件

事共有N=mxn种不同的方法.

概念推广：完成一件事需要〃个步骤，做第1步有犯种不同的方法，做第2步有吗种不同的方法，…，

做第"步有机"种不同的方法，那么完成这件事共有N=的x%2X...x加“种不同的方法.

(2)分步的原则

①明确题目中所指的“完成一件事”是指什么事，怎样才能完成这件事，也就是说，弄清要经过哪几步才

能完成这件事；

②完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少任何一步，这件

事就不可能完成；不能缺少步骤.

③根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这"个步骤逐步去做，才能完成这件事，各

个步骤既不能重复也不能遗漏.

3.分类加法计数原理与分步乘法计数原理的辨析

⑴联系

分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决的都是有关完成一件事的不同方法的种数问题.

(2)区别

分类加法计数原理每次得到的都是最后结果，而分步乘法计数原理每步得到的都是中间结果，具体区

别如下表：

区别分类加法计数原理分步乘法计数原理

①针对的是“分类”问题针对的是“分步”问题

②各种方法相互独立各个步骤中的方法互相依存

用其中任何一种方法都可以完成这件

③只有各个步骤都完成才算完成这件事

事

(3)分类加法计数原理与分步乘法计数原理的合理选择

分类-将问题分为互相排斥的几类，逐类解决一分类加法计数原理；

分步一将问题分为几个相互关联的步骤，逐步解决一分步乘法计数原理.

在解决有关计数问题时，应注意合理分类，准确分步，同时还要注意列举法、模型法、间接法和转换

法的应用.

【知识点2分类、分步计数原理的解题策略】

1.分类加法计数原理的解题策略

分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词、关键元素和关键位置.

(1)根据题目特点恰当选择一个分类标准；

(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法才

是不同的方法，不能重复；

(3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏.

2.分步乘法计数原理的解题策略

(1)利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步

必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事.

(2)分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成.

【方法技巧与总结】

分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础，并贯穿其始终.

(1)分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类，并且只属于其中一类.

(2)分步乘法计数原理中，各个步骤中的方法相互依存，步与步之间”相互独立，分步完成”.

►举一反三

【题型1分类加法计数原理的应用】

【例1】(2024•全国•模拟预测)从1至7这7个整数中随机取出3个不同的数，则它们的积与和都是3的

倍数的不同取法有()

A.9种B.12种C.20种D.30种

【解题思路】

根据题意分3个不同的数中不含3和6,取出的3个不同的数中含有3不含有6,取出的3个不同的数中含

有6不含有3,取出的3个不同的数中含有3和6时四种情况研究即可.

【解答过程】

①当取出的3个不同的数中不含3和6时，显然它们的积不可能是3的倍数，不符合题意；

②当取出的3个不同的数中含有3不含有6时，它们的积一定是3的倍数，

但只有当另外2个数是(1,2),(1,5),(2,4),(2,7),(4,5),(5,7)时，

它们的和才是3的倍数，共有6种取法；、

③当取出的3个不同的数中含有6不含有3时，它们的积一定是3的倍数，

但只有当另外2个数是(1,2),(1,5),(2,4),(2,7),(4,5),(5,7)时，

它们的和才是3的倍数，也有6种取法；

④当取出的3个不同的数中含有3和6时，它们的积一定是3的倍数，

但它们的和一定不是3的倍数，不符合题意.

综上，它们的积与和都是3的倍数的不同取法有6+6=12(种)，

故选：B.

【变式1-1](2024•浙江温州•模拟预测)平面上的两个点A(久1，%)，B(X2,y2),其中横纵坐标均为自然数,

且不大于5,则两点之间的距离可以有多少种取值()

A.19B.20C.25D.27

【解题思路】依题先确定勺,犯，力，月中任意两个数的差的绝对值的所有可能值有0,123,4,5共6个，推得

（与-久2产与（乃-为/的可能的取值都分别有0,1,4,9,16,25共6个，再结合两点间距离公式，考虑|ZB|的不

同取值即得.

【解答过程】依题意，x1,x2,y1,y2GN,且刀1，刀2，为，〉2均不大于5，

将其中任意两个数的差的绝对值记为dr则丛可能的值有0,1,2,3,4,5共6个，

而%），B（x2,、2）之间的距离为I力B|=501-刀2）2+01-%）2,

而01-冷）2与01—%）2的可能的取值都分别有0,1,4,9,16,25共6个，

故|48|的不同取值可分成五类：

①|石一町1与1%-力冲有一个取。，另一个可取0,1,2,3,4,5六个数,则|AB|的不同取值有：0,123,4,5；

②出—与从一光1中有一个取1，另一个可取123,4,5五个数，则|4司的不同取值有：

V2,A/5,V10,V17,V26；

③%-亚1与-、2冲有一个取2,另一个可取2,3,4,5四个数，则|AB|的不同取值有：2a,旧,2低包;

④出一句与仇-、2l中有一个取3,另一个可取3,5两个数，贝的不同取值有：3vx后，

⑤出一切与I%—冲有一个取%另一个可取4,5两个数，则|4司的不同取值有：4V2,V41；

@|xi-。与1%-%1均取5时,则凶凶的不同取值有5立;

由分类加法计数原理可得，不同的取值共有6+5+4+2+2+1=20个.

故选：B.

【变式1-2]（2024・安徽•模拟预测）甲、乙等6名高三同学计划今年暑假在4B,C,D四个景点中选择一个打

卡游玩，若每个景点至少有一个同学去打卡游玩，每位同学都会选择一个景点打卡游玩，且甲、乙都单独1

人去某一个景点打卡游玩，则不同游玩方法有（）

A.96种B.132种C.168种D.204种

【解题思路】根据题意，剩下4人去其他两个景点游玩，由此按游玩的人数分2种情况讨论，结合分类加

法计数原理，即可求解.

【解答过程】由题意，甲、乙都单独1人去某一个景点打卡游玩，

则剩下的4人去其他两个景点游玩，有两种情况：

①若3位同学去一个景点，1位同学去另一个景点，有A：熊=96种不同游玩方法；

②分别都是2位同学去一个景点，有A〃婴•A'=72种不同游玩方法，

由分类计数原理得，共有96+72=168种.

故选：C.

【变式1-3](2024.贵州黔东南.二模)在几个数码1,2,…,W9,n6N*)的全排列九力…九中，若一个较大

的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成一个逆序，这个排列的所有逆序个数的总和称为这个排

列的逆序数，记为TO"?…%).例如，在3个数码的排列312中，3与1,3与2都构成逆序，因此7(312)=2.

那么7(87542136)=()

A.19B.20C.21D.22

【解题思路】根据题意，结合数字8,7,5,4,2都构成逆序，结合分类计数原理，即可求解.

【解答过程】由题意，对于八位数87542136,可得8与后面每个数字都构成逆序，

7与后面每个数字都构成逆序，5与4,2,1,3都构成逆序，4与2,1,3都构成逆序，

2与1构成逆序，所以7(87542136)=7+6+4+3+1=21.

故选：C.

【题型2分步乘法计数原理的应用】

【例2】(2024•湖北武汉•模拟预测)五一小长假前夕，甲、乙、丙三人从力，B,C,。四个旅游景点中任选

一个前去游玩，其中甲到过4景点，所以甲不选4景点，则不同的选法有()

A.64种B.48种C.36种D.24种

【解题思路】由分步乘法计数原理求解即可.

【解答过程】因甲不选A景点，应该分步完成：

第一步，先考虑甲在B,C,D三个景点中任选一个，有3种选法；

第二步，再考虑乙和丙，从4,8,中分别任选一个景点，有4x4=16中选法.

由分步乘法计数原理，可得不同选法有：3X16=48种.

故选：B.

【变式2-1](2024•河南郑州•模拟预测)已知xeZ,yEZ,则满足方程孙+2024Q-y)=8092的解(x,y)

的个数为()

A.27B.54C.108D.216

【解题思路】由已知可得(x-2024)(y+2024)=-20222,又2022=2x3x337,结合分步乘法计数原理

求结论.

【解答过程】由题设，得2024)(y+2024)=-20222,

又2022=2X3x337,其中2,3,337都为质数，

所以(x-2024)0+2024)=-22X32X3372,

因为x,y&Z,所以x-2024可能为(一1严2a3b337%k6{0,1},a.b.cE[0,1,2),

所以x-2024的取值个数为2X3X3x3=54,

方程xy+2024（%-y）=8092的整数解（x,y）的个数为54.

故选：B.

【变式2-2]（2024•湖南岳阳•三模）把5个人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人,

甲乙安排在不相邻的两天，乙丙安排在相邻的两天，则不同的安排方法数是（）

A.96种B.60种C.48种D.36种

【解题思路】根据分步乘法计数原理，结合相邻问题和不相邻问题的方法即可求得.

【解答过程】依题意，设这五个人分别为甲乙丙丁戊.

第一步，将乙丙看成一个整体，考虑2人之间的顺序，有A5=2种情况，

第二步，将这个整体与丁戊全排列，有Ag=6种安排方法，

第三步，排好后产生4个空位，因甲乙不相邻，则只能从3个空中任选1个安排甲，有A^=3种安排方法.

则由分步乘法计数原理，不同的方案共有2X6X3=36种.

故选：D.

【变式2-3]（2024.海南.模拟预测）将“1,2,2,3,4,5”这6个数字填入如图所示的表格区域中，每个

区域填一个数字，1不在4区域且三列中只有中间一列区域的数字之和为7,若中间一列填2和5,则不同的

【解题思路】根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式计算即得.

【解答过程】求不同填法需要4步，填中间一列有2种方法，再填1有3种方法，

与1同列的只能是3或4,有2种方法，最后两个区域，填两个数字有2种方法，

所以不同填法种数是2X3X2x2=24.

故选：B.

【题型3涂色问题】

【例3】（2024・四川资阳•模拟预测）某社区计划在该小区内如图所示的一块空地布置花卉，要求相邻区域

布置的花卉种类不同，且每个区域只布置一种花卉，若有5种不同的花卉可供选择，则不同的布置方案有

A.360种B.420种C.480种D.540种

【解题思路】利用要求根据区域依次讨论计算即可.

【解答过程】如图，先在区域A布置花卉，有5种不同的布置方案，再在区域E布置花卉，有4种不同的

布置方案，

再在区域Z）布置花卉，有3种不同的布置方案.

若区域B与区域E布置同一种花卉，则区域C有3种不同的布置方案；

若区域8与区域E布置不同的花卉，则区域B有2种不同的布置方案，区域C有3种不同的布置方案.

故不同的布置方案有5x4x3x（3+2x3）=540种.

故选：D.

【变式3-1］（2024•辽宁・模拟预测）为迎接元宵节，某广场将一个圆形区域分成4B,C,D,E五个部分（如图

所示），现用4种颜色的鲜花进行装扮（4种颜色均用到），每部分用一种颜色，相邻部分用不同颜色，则

该区域鲜花的摆放方案共有（）

A.48种B.36种C.24种D.12种.

【解题思路】满足条件的涂色方案可分为区域同色，且和其它区域不同色和C,E区域同色两类，且和其

它区域不同色，结合分步乘法计数原理，分类加法计数原理求解即可

【解答过程】满足条件的摆放方案可分为两类，

第一类8,。区域同色，且和其它区域不同色的摆放方案，

满足条件的方案可分四步完成，

第一步，先摆区域4有4种方法，

第二步，摆放区域有3种方法，

第三步，摆放区域C有2种方法，

第四步，考虑到区域不同色，且4种颜色都要用到，摆放区域E有1种方法，

由分步乘法计数原理可得第一类中共有4x3x2x1=24种方案，

第二类，区域同色两类，且和其它区域不同色的摆放方案，

满足条件的方案可分四步完成，

第一步，先摆区域4有4种方法，

第二步，摆放区域B有3种方法，

第三步，摆放区域C,E有2种方法，

第四步，考虑到区域不同色，且4种颜色都要用到，摆放区域。有1种方法，

由分步乘法计数原理可得第一类中共有4x3x2x1=24种方案，

根据分步加法计数原理可得该区域鲜花的摆放方案共有48种，

故选：A.

【变式3-2］（2024•全国.模拟预测）如图，A,B,C,。为四个不同的区域，现有红、黄、蓝、黑4种颜色,

对这四个区域进行涂色，要求相邻区域涂不同的颜色（A与C不相邻，8与。不相邻），则使用2种颜色涂

色的概率为（）

【解题思路】由排列组合以及分类加法计数原理求解个数，即可由古典概型概率公式求解.

【解答过程】使用4种颜色给四个区域涂色，有A1=24种涂法；

使用3种颜色给四个区域涂色，共有2出禺A5=48种涂法；

（使用3种颜色给四个区域涂色有两类情况：①区域A与区域C涂同一种颜色，区域2与区域。涂另外2

种颜色；

②区域B与区域。涂同一种颜色，区域A与区域C涂另外2种颜色）

使用2种颜色给四个区域涂色，共有A：=12种不同的涂法.

所以所有的涂色方法共有24+48+12=84（种），故使用2种颜色给四个区域涂色的概率为珠="

847

故选：B.

【变式3-3］（2024.广西南宁.模拟预测）五行是华夏民族创造的哲学思想.多用于哲学、中医学和占卜方面.

五行学说是华夏文明重要组成部分.古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金、木、水、火、

土，彼此之间存在相生相克的关系.五行是指木、火、土、金、水五种物质的运动变化.所以，在中国，“五

行”有悠久的历史渊源.下图是五行图，现有4种颜色可供选择给五“行”涂色，要求五行相生不能用同一种颜

色（例如木生火，木与火不能同色，水生木，水与木不能同色），五行相克可以用同一种颜色（例如火与

水相克可以用同一种颜色），则不同的涂色方法种数有（）

韦

A.30B.120C.150D.240

【解题思路】依次填涂“火”、“土”、“金”、“水”、“木”，分别确定每个区域的涂色方法种数，结合分类加法

分步乘法计数原理可得结果.

【解答过程】由题意可知，要求五行相生不能用同一种颜色（例如木生火，木与火不能同色，水生木，水

与木不能同色），

五行相克可以用同一种颜色（例如火与水相克可以用同一种颜色），

不妨设四种颜色分别为4、B、C、D,

先填涂区域“火”，有4种选择，不妨设区域“火”填涂的颜色为4

接下来填涂区域“土”，有3种选择，分别为8、C、D,

若区域“土”填涂的颜色为B,则区域“金”填涂的颜色分别为4、C、D；

若区域“土”填涂的颜色为C,则区域“金”填涂的颜色分别为4、B、D；

若区域“土”填涂的颜色为D,则区域“金”填涂的颜色分别为力、B、C.

综上所述,区域“金”填涂4、B、C、。的方案种数分别为3、2、2、2种，

接下来考虑区域“水”的填涂方案:

若区域“金”填涂的颜色为4则区域“水”填涂的颜色可为B、C、D；

若区域“金”填涂的颜色为8,则区域“水”填涂的颜色可为力、C、D；

若区域“金”填涂的颜色为C,则区域“水”填涂的颜色可为4、B、D；

若区域“金”填涂的颜色为D,则区域“水”填涂的颜色可为力、B、C.

则区域“水”填涂2的方案种数为2x3=6种，填涂B的方案种数为3+2x2=7种,

填涂C的方案种数为3+2X2=7种，填涂。的方案种数为3+2X2=7种.

从区域“火”、“土”、“金”填涂至区域“水”，填涂区域“水”的方案还和填涂区域“木”有关，

当区域“水”填涂的颜色为4时，区域“木”填涂的颜色可为B、C、D；

若区域“水”填涂的颜色为B时，区域“木”填涂的颜色可为C、D；

若区域“水”填涂的颜色为C时，区域“木”填涂的颜色可为B、D；

若区域“水”填涂的颜色为。时，区域“木”填涂的颜色可为B、C.

所以，当区域“火”填涂颜色力时，填涂方案种数为6x3+7x2x3=60种.

因此，不同的涂色方法种数有4X60=240种.

故选：D.

【题型4两个计数原理的综合应用】

【例4】（23-24高二上.江西九江.期末）从1,2,3,4,5,6,7,9中，任取两个不同的数作对数的底数

和真数，则所有不同的对数的值有（）

A.30个B.42个C.41个D.39个

【解题思路】分是否取1两类，当不取1时，排除重复的即可得解.

【解答过程】当取1时，贝也只能为真数，此时这个对数值为0,

当不取1时，底数有7种，真数有6种，

其中log24=log39=2,log42=log93=|,log23=log49,log32=log94,

故此时有7x6-4=38个，

所以共有38+1=39个.

故选：D.

【变式4-1］（2024.河北.模拟预测）用0,1