2025年高考数学第一轮复习考点专练：二项分布、超几何分布及正态分布（学生版+解析）

第08讲二项分布、超几何分布及正态分布

(3类核心考点精讲精练)

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

指定区间的概率

2024年新I卷，第9题,6分/

正态分布的实际应用

2023年全国甲卷(理)，超几何分布的均值计算几个数的中位数

第19题,12分超几何分布的分布列独立性检验解决实际问题

2022年新H卷，第13题,5分正态分布指定区间的概率/

2021年新II卷，第6题,5分正态分布的实际应用/

知识讲解

1.独立重复试验与二项分布

独立重复试验二项分布

在相同条件下重复做的n在见次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中

定义次试验称为n次独立重复事件A发生的概率为P，此时称随机变量X服从二项分布，记作X〜

试验B(n,p),并称p为成功概率

A,(z=l,2,,,,,〃)表示第i

计算次试验结果，则在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为p(X=k)=C^

公式…A")=p\1—0,1,2,…，〃)

P(A1)P(A2)-P(A„)

独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略

(1)在求“次独立重复试验中事件恰好发生上次的概率时，首先要确定好”和左的值，再准确利用公式求概

率.

(2)在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试

验次数〃和变量的概率，继而求得概率.

2.两点分布

X01

P1—pP

这样的分布列叫做两点分布列.

如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从两点分布，而称p=P(X=l)为成功概率.

3.超几何分布列

一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取力件，其中恰有X件次品，则事件｛X=心发生的概率为尸(X

「kr^n~k

=k)—c.，k—0,1,2,9•••,m,其中m=min{M,〃},且〃WN,M〈N,n,M,NGN*,称分布列为超

几何分布列.如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布.

X01・・・m

cQ「〃一0

。入N-M・・•

P「n

5LN5

4.正态分布

正态曲线的特点

(1)曲线位于x轴上方，与无轴不相交；

(2)曲线是单峰的，它关于直线对称;

⑶曲线在处达至U峰值志;

(4)曲线与x轴之间的面积为1；

(5)当。一定时，曲线的位置由〃确定，曲线随着〃的变化而沿x轴平移；

(6)当〃一定时，曲线的形状由。确定，c越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；。越大，曲线越

“矮胖”，表示总体的分布越分散.

正态分布的三个常用数据

⑴尸〃一<7<XW〃+c)=0.6826；

(2)P(Ju-2cj<X^fi+2(T)=0.9544；

(3)尸@一3KxW〃+3Q=0.9974.

考点一、二项分布

典例片阚

1.(2024・全国•三模)甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则：每一局比赛中，胜者得1分，负者得。分,

9

且比赛中没有平局.根据以往战绩，每局比赛甲获胜的概率为：，每局比赛的结果互不影响.

⑴经过3局比赛，记甲的得分为X,求X的分布列和期望；

（2）若比赛采取3局制，试计算3局比赛后，甲的累计得分高于乙的累计得分的概率.

2.（2024•安徽•三模）近年来，为了提升青少年的体质，教育部出台了各类相关文件，各地区学校也采取了

相应的措施，适当增加在校学生的体育运动时间；现调查某地区中学生（包含初中生与高中生）对增加体

育运动时间的态度，所得数据统计如下表所示：

喜欢增加体育运动时间不喜欢增加体育运动时间

初中生16040

高中生14060

⑴在犯错误的概率不超过0.01（小概率值《=0。1）的前提下，能否认为学段与对增加体育运动时间的态度

有关联；

（2）以频率估计概率，若在该地区所有中学生中随机抽取4人，记"喜欢增加体育运动时间”的人数为X,求X

的分布列以及数学期望E（X）.

参考公式：*=“其中f+Hc+/

参考数据：

P0.050.010.005

Xa3.8416.6357.879

喜欢增加体育运动时间不喜欢增加体育运动时间总计

初中生16040200

高中生14060200

总计300100400

3.（2024・山东荷泽•模拟预测）荷泽牡丹栽培始于隋，兴于唐，盛于明清，自古享有"曹州牡丹甲天下”的美

誉.四月，荷泽大地上牡丹次第绽放，观赏牡丹拥有9大色系、10大花型、1280余个品种，以最亮眼的姿态恭

迎八方游人.某旅行团带游客来荷泽观赏牡丹，游客可自由选择曹州牡丹园和中国牡丹园的一处游览，若每

位游客选择曹州牡丹园的概率是选择中国牡丹园的概率是:，游客之间选择意愿相互独立.

44

⑴从游客中随机选取3人，记3人中选择曹州牡丹区的人数为X,求X的分布列、均值与方差；

(2)现对游客进行问卷调查，若选择曹州牡丹园记2分，选择中国牡丹园记1分，记已调查过的累计得分为“

分的概率为月，求

4.(2024・湖北•模拟预测)组合投资需要同时考虑风险与收益.为了控制风险需要组合低风险资产，为了扩

大收益需要组合高收益资产，现有两个相互独立的投资项目A和B,单独投资100万元项目A的收益记为

随机变量X,单独投资100万元项目B的收益记为随机变量Y.若将100万资金按％A+(1-2)B进行组合投

资，则投资收益的随机变量Z满足Z=4X+(1-2)Y,其中。W4W1.假设在组合投资中，可用随机变量的期

望衡量收益，可用随机变量的方差衡量风险.

⑴若y〜8(100,0.03),2=0,求Z的期望与方差;

⑵已知随机变量X满足分布列：

DXXEXREXEX2

()=£(,-())2.=(-())2.求证：£»(z)=^£>(x)+(i-2)o(y);

i=l

⑶若投资项目X是高收益资产，其每年的收益满足：有30%的可能亏损当前资产的一半；有70%的可能增

值当前资产的一倍.投资项目y是低风险资产，满足丫〜8(100003).试问2=0.3能否满足投资第1年的收

益不低于17万，风险不高于500?请说明理由.

1.(2024•河北邯郸•模拟预测)某人投掷两枚骰子，取其中一枚的点数记为点尸的横坐标X,另一枚的点数

记为点尸的纵坐标V,令事件A="x+y=7",事件为奇数

⑴证明：事件43相互独立；

(2)若连续抛掷这两枚骰子三次，求点尸在圆尤?+>2=12内的次数X的分布列与期望.

2.(2024・四川宜宾•模拟预测)某地为调查年龄在35-50岁段人群每周的运动情况，从年龄在35-50岁段人

群中随机抽取了200人的信息，将调查结果整理如下：

女性男性

每周运动超过2小时6080

每周运动不超过2小时4020

⑴根据以上信息，能否有99%把握认为该地年龄在35-50岁段人群每周运动超过2小时与性别有关？

⑵用样本估计总体，从该地年龄在35-50岁段人群中随机抽取3人，设抽取的3人中每周运动不超过2小

时的人数为X,求X的分布列和数学期望E(X).

n(ad-be)2

参考公式：K2=n=a+b+c+d

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

0.100.050.0250.0100.001

2.7063.8415.0246.63510.828

k0

3.(2024•河北•三模)某学校的数学兴趣小组对学校学生的冰雪运动情况进行调研，发现约有;的学生喜欢

滑雪运动.从这些被调研的学生中随机抽取3人进行调查，假设每个学生被选到的可能性相等.

⑴记X表示喜欢滑雪运动的人数，求X的数学期望.

(2)若该数学兴趣小组计划在全校学生中抽选一名喜欢滑雪运动的学生进行访谈.抽选规则如下：在全校学

生中随机抽选一名学生，如果该学生喜欢滑雪运动，就不再抽选其他学生，结束抽选活动；如果该学生不

喜欢滑雪运动，则继续随机抽选，直到抽选到一名喜欢滑雪运动的学生为止，结束抽选活动.并且规定抽

取的次数不超过〃(〃eN*)次，其中“小于当次调查的总人数.设在抽选活动结束时，抽到不喜欢滑雪运动

的学生的人数为y,求抽到y名学生不喜欢滑雪运动的概率.

4.(2024•河南驻马店•二模)某汽车销售公司为了提升公司的业绩，现将最近300个工作日每日的汽车销售

情况进行统计，如图所示.

⑴求。的值以及该公司这300个工作日每日汽车销售量的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作

代表);

（2）以频率估计概率，若在所有工作日中随机选择4天，记汽车销售量在区间［200,250）内的天数为X,求X

的分布列及数学期望；

⑶为增加销售量，公司规定顾客每购买一辆汽车可以进行一次抽奖活动，规则如下：抽奖区有A1两个盒

子，其中A盒中放有9张金卡、1张银卡，8盒中放有2张金卡、8张银卡，顾客在不知情的情况下随机选择

其中一个盒子进行抽奖，直到抽到金卡则抽奖结束（每次抽出一张卡，然后放回原来的盒中，再进行下次

抽奖，中途可更换盒子），卡片结果的排列对应相应的礼品.已知顾客小明每次抽奖选择两个盒子的概率相同，

求小明在首次抽奖抽出银卡的条件下，第二次从另外一个盒子中抽奖抽出金卡的概率.

考点二、超几何分布

典例引领

1.（2023•陕西榆林•模拟预测）某校体育节组织比赛，需要志愿者参加服务的项目有：60米袋鼠跳、100米、

200米、1500米、3000米、4x100米接力.

⑴志愿者小明同学可以在6个项目中选择3个项目参加服务，求小明在选择60米袋鼠跳服务的条件下，选

择3000米服务的概率；

（2）为了调查志愿者选择服务项目的情况，从志愿者中抽取了15名同学，其中有9名首选100米，6名首选

4x100米接力.现从这15名同学中再选3名同学做进一步调查.将其中首选4x100米接力的人数记作X,

求随机变量X的分布列和数学期望.

X0123

8421613520

P

455455455455

2.（2023•全国•高考真题）一项试验旨在研究臭氧效应.实验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20

只分配到实验组，另外20只分配到对照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养

在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）.

⑴设X表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求X的分布列和数学期望；

（2）实验结果如下：

对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：

15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.1

32.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2

实验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：

7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.2

19.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5

(i)求40只小鼠体重的增加量的中位数的再分别统计两样本中小于根与不小于的数据的个数，完成如下

列联表：

o<m>m

对照组□□

实验组

(ii)根□据(i)□中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量

有差异.

附.y=_______n(ad-bc¥_______

,(a+6)(c+d)(a+c)(b+d)；

k00.1000.0500.010

可片注)2.7063.8416.635

3.(2024,福建泉州•模拟预测)某学校为了研究不同性别的学生对“村8A”赛事的了解情况，进行了一次抽样

调查，分别随机抽取男生和女生各80名作为样本，设事件M="了解村加"，N="学生为女生”，据统计

1P(MM)=|.

P(M\N)=

16

⑴根据已知条件，补全2x2歹！I联表，并根据小概率值。=0.001的独立性检验，判断该校学生对"村崩”的了

解情况与性别是否有关？

了解不了解总计

男生

女生

总计

(2)现从该校不了解"村BA”的学生中，采用分层随机抽样的方法抽取10名学生，再从这10名学生随机抽取

4人，设抽取的4人中男生的人数为X,求X的分布列和数学期望.

2n[ad-bcf

附:“(a+Z?)(c+d)(a+c)(b+d)'n=a+b+c+d.

尸(不?＞斗0.0500.0100.0050.001

k3.8416.6357.87910.828

1.(2024•新疆•二模)某人工智能研究实验室开发出一款全新聊天机器人棋型，它能够通过学习和理解人类

的语言来进行对话.聊天机器人棋型的开发主要采用RLHF(人类反馈强化学习)技术，在测试它时，如果

输入的问题没有语法错误，则它的回答被采纳的概率为90%,当出现语法错误时，它的回答被采纳的概率

为50%.

⑴在某次测试中输入了7个问题，聊天机器人棋型的回答有5个被采纳，现从这7个问题中抽取4个，以J

表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求J的分布列和数学期望；

⑵设输入的问题出现语法错误的概率为P，若聊天机器人棋型的回答被采纳的概率为80%,求P的值.

2.(2024•湖北•二模)某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加

体育锻炼的次数，现随机抽取了60名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表：

一周参加体育锻炼次数01234567合计

男生人数1245654330

女生人数4556432130

合计579111086460

⑴若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻炼"，其余的称为"不经常锻炼请完成以

下2x2列联表，并依据小概率值。=0.1的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；

锻炼

性别合计

不经常经常

男生

女生

合计

(2)若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼"，"极度缺乏锻炼"会导致肥胖等诸多健康问

题.以样本频率估计概率，在全校抽取20名同学，其中"极度缺乏锻炼"的人数为X,求E(X)和D(X)；

⑶若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者"，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的

10名"运动爱好者"中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为丫，求y的分布列和数学期望.

2

2_n(ad-bc)

附:“(a+Z?)(c+d)(a+c)(O+d)n=a+b+c+d

a0.10.050.01

%2.7063.8416.635

3.（2024・四川成都•模拟预测）为了估计鱼塘中鱼的数量，常常采用如下方法：先从鱼塘中捞出机条鱼，在

鱼身上做好某种标记后再放回鱼塘.一段时间后，再从鱼塘中捞出"条鱼，并统计身上有标记的鱼的数目，

就能估计出鱼塘中的鱼的总数N.已知m=200,设第二次捞出的〃条鱼中身上有标记的鱼的数目为随机变

量X.

⑴若已知N=4000,n=40.

①求X的均值；

②是否有90%的把握认为能捞出身上有标记的鱼（即能捞出身上有标记的鱼的概率不小于0.9）?

（2）若〃=700,其中身上有标记的鱼有30条，估计池塘中鱼的总数（将使尸（X=30）最大的N作为估计值）.

参考数据：lg3.76®0.5752,lg3.8«0.5798,lg3.96«0.5977,lg4®0.6021.

考点三、正态分布

典例引领

1.（2021•全国•高考真题）某物理量的测量结果服从正态分布N（10Q2）,下列结论中不正确的是（）

A.b越小，该物理量在一次测量中在（9.9,10.1）的概率越大

B.该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5

C.该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等

D.该物理量在一次测量中落在（9.9,10.2）与落在（10,10.3）的概率相等

2.（2024•广东江苏,高考真题）（多选）随着"一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出

口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本

均值元=2」，样本方差/=0.01,已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N（L8,012）,假设推动出口

后的亩收入y服从正态分布N（元/）,贝式）（若随机变量Z服从正态分布），尸（Z<〃+<7）a0.8413）

A.P（X>2）>0.2B.P（X>2）<0.5

C.P（r>2）>0.5D,P（r>2）<0.8

3.（2024・湖北•模拟预测）某品牌专卖店统计历史消费数据发现：进店消费的顾客的消费额X（单位：元）

服从正态分布N（330,252）.为回馈广大顾客，专卖店对消费达一定金额的顾客开展了品牌知识有奖答题活

动，顾客需要依次回答两类试题，若顾客答对第一类题，则回答第二类题，若顾客没有答对第一类题，则

不再答第二类题，直接结束有奖答题活动.对于每一类题，答错得0分，答对得10分，两类题总分20分，

答题结束后可减免与得分相同数额的现金（单位：元）.每类试题均有两次答题机会，在任意一类试题中，

若第一次回答正确，则认为答对该类试题，就不再进行第二次答题.若第一次回答错误，则进行第二次答

题，若第二次答题正确，则也认为答对该类试题；若第二次回答错误，则认为答错该类试题.

⑴若某天有200位进店消费的顾客，请估计该天消费额X在（305,+8）内的人数（结果保留整数）；

附：若X〜贝（〃一bWXW4+b）a0.6827,P（〃一2bWXW〃+2b）a0.9545.

3

（2）某顾客消费达到指定金额后可参与答题活动，A类题中的两次答题机会答对的概率都是8类题中的

4

2

两次答题机会答对的概率都是§,且每次答题相互独立.若答题结束后可减免的现金数额为X元，求X的

分布列和数学期望.

4.（2024•福建福州•三模）已知某种机器的电源电压U（单位：V）服从正态分布N（220,202）.其电压通常

有3种状态：①不超过200V；②在200V〜240V之间③超过240V.在上述三种状态下，该机器生产的零件

为不合格品的概率分别为0.15,0.05,0.2.

⑴求该机器生产的零件为不合格品时，电压不超过200V的概率；

⑵从该机器生产的零件中随机抽取"（77>2）件，记其中恰有2件不合格品的概率为p.，求P”取得最大值

时n的值.

附：若Z〜取P（〃-cr<Z<〃+cr）=0.68,P（〃-2cr<Z<〃+2cr）=0.95.

1.（2022•全国•高考真题）已知随机变量X服从正态分布N（2Q2）,且P（2<X42.5）=0.36,贝|

P（X>2.5）=.

2.（2024•新疆喀什・三模）某企业监控汽车零件的生产过程，现从汽车零件中随机抽取100件作为样本，测

得质量差（零件质量与标准质量之差的绝对值）的样本数据如下表：

质量差（单位：）5458606364

件数（单位：件）52545205

⑴求样本质量差的平均数已假设零件的质量差X〜NJ。?），其中02=4,用1作为〃的近似值，求

尸（62<XW64）的值；

（2）已知该企业共有两条生产汽车零件的生产线，其中第1条生产线和第2条生产线生产的零件件数比是

3:1.若第1、2条生产线的废品率分别为0.004和0.008,且这两条生产线是否产出废品是相独立的.现从

该企业生产的汽车零件中随机抽取一件.

但）求抽取的零件为废品的概率；

3）若抽取出的零件为废品，求该废品来自第1条生产线的概率.

参考数据：若随机变量X〜N(〃,b2),则b<XW〃+b)。0.6827,尸(〃-2b<X<〃+2。)。0.9545,

P(4-3b<XW〃+3cr卜0.9973

3.(2024•河南,模拟预测)某大型公司进行了新员工的招聘，共有10000人参与.招聘规则为：前两关中的每

一关最多可参与两次测试，只要有一次通过，就自动进入下一关的测试，否则过关失败.若连续通过三关且

第三关一次性通过，则成功竞聘，已知各关通过与否相互独立.

543

⑴若小李在第一关、第二关及第三关通过测试的概率分别为求小李成功竞聘的概率P；

654

(2)统计得10000名竞聘者的得分X〜N(420.5,10.752),试估计得分在442分以上的竞聘者有多少人.(四舍

五人取整)

附：若随机变量X〜贝l|P(〃一bWXW〃+b)a0.6827,P(〃—2bWXW〃+2b)e0.9545

4.(2024•山东日照•三模)电信诈骗是指通过电话、网络和短信等方式，编造虚假信息，设置骗局，对受害

人实施远程诈骗的犯罪行为.随着5G时代的全面来临，借助手机、网银等实施的非接触式电信诈骗迅速发展

蔓延，不法分子甚至将"魔爪”伸向了学生.为了增强同学们的防范意识，某校举办了主题为"防电信诈骗，做

反诈达人”的知识竞赛.

(1)已知该校参加本次竞赛的学生分数〃近似服从正态分布N(80,25),若某同学成绩满足〃-+

则该同学被评为“反诈标兵"；若〃>M+2b,则该同学被评为“反诈达人

(i)试判断分数为88分的同学能否被评为“反诈标兵"；

(ii)若全校共有40名同学被评为“反诈达人"，试估计参与本次知识竞赛的学生人数(四舍五入后取整).

⑵已知该学校有男生1000人，女生1200人，经调查有750名男生和600名女生了解"反诈"知识，用样本

估计总体，现从全校随机抽出2名男生和3名女生，这5人中了解"反诈”知识的人数记为X,求X的分布

列及数学期望E(X).

参考数据：若自N.,吟,则尸(〃一b4j4〃+b)=0.6827,P(〃—2bVj4〃+2b)=0.9545,

P(〃—3cr<"〃+3cr)=0.9973

IN.好题冲关

1.(23-24高二下•安徽宿州•期中)已知随机变量X~3(4,p),E(X)=；则O(2X_1)=.

2.(2024・上海・三模)设随机变量X服从成功概率为p(O<p<l)的二项分布，若用X]=30,D[X]=20,

贝|P=.

3.(2024•江西新余•模拟预测)己知连续型随机变量X与离散型随机变量V满足X〜

若X与y的方差相同且P（2VXW4）=0.3,则P（XW4）=（）.

A.0.8B.0.5C.0.3D.0.2

4.（2024・广东广州•模拟预测）（多选）对某地区数学考试成绩的数据分析，男生成绩X服从正态分布

N（72,8?）,女生成绩y服从正态分布N（74,6）.贝U（）

A.P（X<86）<P（y<86）B.P（X<80）>P（y<80）

c.P（x<74）>P（y<74）D,P（x<64）=P（Y>80）

5.（2024•江苏•模拟预测）目前，某校采用“翻转课堂”的教学模式，即学生先自学，然后老师再讲学生不

会的内容.某一教育部门为调查在此模式下学生的物理成绩与学习物理的学习时间的相关关系，针对本校

49名考生进行了解，其中每周学习物理的时间不少于12小时的有21位学生，余下的人中，在物理考试中平

均成绩不足120分的学生占总人数的：，统计后得到以下表格：

大于等于120分不足120分合计

学时不少于12小时821

学时不足12小时

合计49

⑴请完成上面的2义2列联表，能否有97.5%的把握认为“物理成绩与自主物理的学习时间有关"？

（2）若将频率视为概率，从全校大于等于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中周自主学习时间不少于12

小时的人数的期望和方差.

n^ad-bc^

(a+Z?)(c+d)(a+c)(Z;+d)

P(K2*）0.1000.0500.0250.0100.0050.001

2.7063.8415.0246.6357.87910.828

6.（2024•四川成都•一模）为了进一步推动智慧课堂的普及和应用，A市现对全市中小学智慧课堂的应用情

况进行抽样调查，统计数据如表：

经常应用偶尔应用或者不应用总计

农村40

城市60

总计10060160

从城市学校中任选一个学校，偶尔应用或者不应用智慧课堂的概率是:.

⑴补全2x2列联表，判断能否有99.5%的把握认为智慧课堂的应用与区域有关，并阐述理由；

（2）在经常应用智慧课堂的学校中，按照农村和城市的比例抽取5个学校进行分析，然后再从这5个学校中

随机抽取2个学校所在的地域进行核实，记其中农村学校有X个，求X的分布列和数学期望.

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(fl+c)(Z?+d)

P(K2>k)0.5000.0500.005

k0.4453.8417.879

7.（2024•陕西西安•三模）每个国家对退休年龄都有不一样的规定，2018年开始，我国关于延迟退休的话题

一直在网上热议，为了了解市民对“延迟退休”的态度，现从某地市民中随机选取100人进行调查，调查情况

如下表：

年龄段（单位：岁）[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75]

被调查的人数101520m255

赞成的人数612n20122

⑴从赞成"延迟退休"的人中任选1人，此年龄在［35,45）的概率为（，求出表格中加，〃的值；

（2）若从年龄在［45,55）的参与调查的市民中按照是否赞成"延迟退休”进行分层抽样，从中抽取10人参与某项

调查，然后再从这10人中随机抽取4人参加座谈会，记这4人中赞成"延迟退休"的人数为X,求X的分布

列及数学期望.

8.（23-24高三上•江苏南通・期末）袋中装有5个乒乓球，其中2个旧球，现在无放回地每次取一球检验.

⑴若直到取到新球为止，求抽取次数X的概率分布及其均值；

⑵若将题设中的“无放回"改为"有放回"，求检验5次取到新球个数X的均值.

9.（2024・全国•模拟预测）自2023年12月以来，从各地前往哈尔滨赏冰乐雪的游客络绎不绝，东北冰雪游

人气"爆棚某校体育组为了解学生喜欢冰雪运动是否与性别有关，随机抽取100名学生进行了一次调查,

得到下表.

女男合计

不喜欢冰雪运动15

喜欢冰雪运动75

合计25

⑴请补全2x2列联表，并依据小概率值e=0.05的独立性检验，分析能否认为学生喜欢冰雪运动与性别有

关？

⑵以频率估计概率，以样本估计总体，若从该市学生中随机抽取3人进行深度调研，记3人中喜欢冰雪运

动的人数为X,求X的分布列和数学期望E（X）.

n(ad-bc)

参考公式及数据：Z27------丁」~77—-------r,n=a+b+c+d.

(a+8)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.10.050.01

Xa2.7063.8416.635

10.（2024•江西鹰潭•三模）某校体育锻炼时间准备提供三项体育活动供学生选择.为了解该校学生对“三项体

育活动中要有篮球”这种观点的态度（态度分为同意和不同意），随机调查了200名学生，数据如下：

单位：人

男生女生合计

同意7050120

不同意305080

合计100100200

⑴能否有99%的把握认为学生对"三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度与性别有关？

⑵现有足球、篮球、跳绳供学生选择.

①若甲、乙两名学生从这三项运动中随机选一种，且他们的选择情况相互独立互不影响.记事件A为“甲学

生选择足球"，事件B为"甲、乙两名学生的选择不同"，判断事件A、8是否独立，并说明理由.

②若该校所有学生每分钟跳绳个数X〜N（195,169）.根据往年经验，该校学生经过训练后，跳绳个数都有明

显进步.假设经过训练后每人每分钟跳绳个数比开始时个数增加10,该校有1000名学生，预估经过训练后

该校每分钟跳182个以上人数（结果四舍五入到整数）.

参考公式和数据：%'=-——]'/"哈2~,其中〃=a+/?+c+d.

P（K注x0）0.0250.0100.005

%5.0246.6357.879

若X〜N（〃Q2）,则尸（|x-■》0.6827,P（|X-/z|<2cr）«0.9545,尸（国一”<3cr）,0.9973.

1.（2024•浙江金华・模拟预测）比较两组测量尺度差异较大数据的离散程度时，常使用离散系数，其定义为

标准差与均值之比.某地区进行调研考试，共10000名学生参考，测试结果（单位：分）近似服从正态分布，

且平均分为57.4,离散系数为0.36,则全体学生成绩的第84百分位数约为（）

附：若随机变量Z服从正态分布N3b2）,P（|Z-〃|<0.68.

A.82B.78C.74D.70

2.（2024•河南•三模）已知

P（/j-c<X<〃+<T）=0.6827,P（〃-2crWX<〃+2cr）=0.9545,P（〃-3crVXW〃+3（T）=0.9973.某体育器材

厂生产一批篮球，单个篮球的质量¥（单位：克）服从正态分布N（600,4）,从这一批篮球中随机抽检300

个，则被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为（）

A.286B.293C.252D.246

3.（2024・贵州遵义•二模）商场对某种商品进行促销，顾客只要在商场中购买该商品，就可以在商场中参加

抽奖活动.规则如下：先赋予参加抽奖的顾客5分的原始分，然后从装有4个红球，2个白球，2个黑球的

盒中有放回地随机取球若干次，每次取出一个球，若为红球，则加1分，否则扣1分，过程中若顾客持有

分数变为0分，抽奖结束；若顾客持有分数达到15分，则获得一等奖，抽奖结束.

⑴求顾客3次取球后持有分数Y的数学期望E（Y）；

（2）设顾客在抽奖过程中持有分数为n分最终获得一等奖的概率为Pn=0,1”，15）；

①证明：｛与｝是等差数列；

②求顾客获得一等奖的概率.

4.（23-24高三下•全国•开学考试）2023年11月，世界首届人工智能峰会在英国举行，我国因为在该领域取

得的巨大成就受邀进行大会发言.为了研究不同性别的学生对人工智能的了解情况，我市某著名高中进行了

一次抽样调查，分别抽取男、女生各50人作为样本.设事件4="了解人工智能"，8="学生为男生”，据统计

P（A|B）=-,P（B\A）=~.

57

⑴根据已知条件，填写下列2x2列联表，是否有99%把握推断该校学生对人工智能的了解情况与性别有关？

了解人工智能不了解人工智能合计

男生

女生

合计

（2）①现从所抽取的女生中利用分层抽样的方法抽取20人，再从这20人中随机选取3人赠送科普材料，求

选取的3人中至少有2人了解人工智能的概率；

②将频率视为概率，从我市所有参与调查的学生中随机抽取20人科普材料，记其中了解人工智能的人数为

X,求随机变量X的数学期望和方差.

参考公式：/=

诃禺3E.常用的小概率值和对应的临界值如下表:

a0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001

Xa2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

5.（2024•全国•模拟预测）某游戏设计者设计了一款游戏：玩家在一局游戏内，每点击一次屏幕可以获得一

张卡片，共有"A"和两种卡片，每位玩家的初始分数为0,每获得一张"A"力口1分，每获得一张"3"减1

分.已知某位玩家在一局游戏内共点击屏幕i次，设该玩家获得"A"的次数为X,,最终分数为工.

⑴若玩家每次点击屏幕时，获得"A"和"B"的概率均为:，求X3的分布列与数学期望，并直接写出E（XJ的

值；

⑵若该游戏系统通过一个计数器来控制玩家获得"A"和"8"的概率.计数器会记录玩家已经点击屏幕的次数

”（初始值为0）,若〃为偶数，则玩家下一次点击屏幕时，获得"A"和"B"的概率均为g,若〃为奇数，则

71

玩家下一次点击屏幕时，获得"A"的概率为：，获得""’的概率为:.求。（工）.

附：若随机变量X］和X?的取值是相互独立的，则。（乂+*2）=。（工）+。（乂2）.

6.（2023•广东•二模）多巴胺是一种神经传导物质，能够传递兴奋及开心的信息.近期很火的多巴胺穿搭是指

通过服装搭配来营造愉悦感的着装风格，通过色彩艳丽的时装调动正面的情绪，是一种"积极化的联想”.小

李同学紧跟潮流，她选择搭配的颜色规则如下：从红色和蓝色两种颜色中选择，用"抽小球"的方式决定衣物

颜色，现有一个箱子，里面装有质地、大小一样的4个红球和2个白球，从中任取4个小球，若取出的红

球比白球多，则当天穿红色，否则穿蓝色.每种颜色的衣物包括连衣裙和套装，若小李同学选择了红色，再

选连衣裙的可能性为0.6,而选择了蓝色后，再选连衣裙的可能性为0.5.

⑴写出小李同学抽到红球个数的分布列及期望；

⑵求小李同学当天穿连衣裙的概率.

7.（2023•全国•模拟预测）2023年中秋国庆双节期间，我国继续执行高速公路免费政策.交通部门为掌握双

节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费点记录了10月1日上午8:20〜9:40这一时间段内通过的车

辆数，统计发现这一时间段内共有1000辆车通过该收费点，为方便统计，时间段8:20〜8:40记作区间

［20,40）,8:40〜9:00记作［40,60）,9:00〜9:20记作［60,80）,9:20〜9:40记作［80,100］,对通过该收费点

的车辆数进行初步处理，己知〃?=2〃，8:20〜9:40时间段内的车辆数的频数如下表：

时间段[20,40)[40,60)[60,80)[80,100]

频数100300mn

⑴现对数据进一步分析，采用分层随机抽样的方法从这1000辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取

4辆，设抽到的4辆车中在9：00~9：40通过的车辆数为X,求X的分布列与期望；

⑵由大数据分析可知，工作日期间车辆在每天通过该收费点的时刻T〜N（〃02）,其中〃可用（1）中这1000

辆车在8:20〜9:40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，〃可用样本的方差近似代替（同一组中的

数据用该组区间的中点值代表），已知某天共有800辆车通过该收费点，估计在8:28〜9:22之间通过的车辆

数（结果四舍五入保留到整数）.

参考数据：若贝U①尸（〃一b<TW〃+b）=0.6827；②尸（〃一2b<T4〃+2b）=0.9545；③

P（Ju-3cr<T<〃+3cr）=0.9973.

8.（23-24高三上•辽宁大连•期末）某农场2021年在3000亩大山里投放一大批鸡苗，鸡苗成年后又自行繁

育，今年为了估计山里成年鸡的数量N,从山里随机捕获400只成年鸡，并给这些鸡做上标识，然后再放

养到大山里，过一段时间后，从大山里捕获1000只成年鸡，X表示捕获的有标识的成年鸡的数目.

⑴若N=10000,求X的数学期望；

（2）已知捕获的1000只成年鸡中有20只有标识，试求N的估计值（以使得P（X=20）最大的N的值作为N

的估计值）.

9.（2024・山西长治•模拟预测）某汽车公司最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单

次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试.现

对测试数据进行整理，得到如下的频率分布直方图：

(I)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值元(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；

⑵由频率分布直方图计算得样本标准差S的近似值为49.75.根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的

单次最大续航里程X近似地服从正态分布其中〃近似为样本平均数元，。近似为样本标准差S.

(0)利用该正态分布，求P(250.25<X<399.5)；

(0)假设某企业从该汽车公司购买了20辆该款新能源汽车，记Z表示这20辆新能源汽车中单次最大续航

里程位于区间(250.25,399.5)的车辆数，求E(Z)；

参考数据：若随机变量^服从正态分布则P(〃-b<J<〃+b)=0.6827,

P(〃—2cr<J<〃+2cr)=0.9545,P(〃—3cr<J<〃+3cr)=0.99731.

⑶某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出"玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷

硬币的结果，操控微型遥控车在x轴上从原点。出发向右运动，已知硬币出现正、反面的概率都;，客户

每掷一次硬币，遥控车向右移动一次，若掷出正面，则遥控车向移动一个单位，若掷出反面，则遥控车向

右移动两个单位，直到遥控车移到点(59,0)(胜利大本营)或点(60,0)(失败大本营)时，游戏结束，

若遥控车最终停在"胜利大本营"，则可获得购车优惠券.设遥控车移到点(凡0)的概率为匕(14”460),试证

明数歹是等比数列(2(〃(59),求出数列{£}(1W〃W6O)的通项公式，并比较生和耳，的大小.

10.(2024•福建龙岩•三模)某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个

层级，分别对应如下五组质量指标值：45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95].根据长期检测结果，得到芯片

的质量指标值X服从正态分布并把质量指标值不小于80的产品称为A等品，其它产品称为B等

品.现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.

f频率/州距

D.O4O....................1~।

D.O25卜----

D.0I5

D.010

455565758595历易指尿值

⑴根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差s的近似值为11,用样本平均数元作为4的近似值，用

样本标准差s作为。的估计值.若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为A等品的概率（保留小数点后面

两位有效数字）；

（①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据:若随机变量4服从正态分布N（〃Q2）,则

P（N—crvj<〃+b）七0.6827,P（ju—2b<^<//+2cr）«0.9545,尸（〃—3<r<^<//+3cr）工0.9973.）

（2）（i）从样本的质量指标值在［45,55）和［85,95］的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在［85,95］的芯

片件数为〃，求〃的分布列和数学期望；

（ii）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按:L00件一箱包装.已知一件A