2025年高考数学二轮复习热点题型专项突破：函数与方程（解析版）

热点专题2-7函数与方程

近5年考情(2020-2024)

考题统计考点分析考点要求

2024年天津卷第15题，5分从近几年高考命题来看，高考

(1)理解函数的零点与方

对函数与方程也经常以不同的

年全国甲卷，第题分

202416,5程的解的联系.

方式进行考查，比如：函数零

(2)理解函数零点存在定

2023年天津卷第15题，5分点的个数问题、位置问题、近

理，并能简单应用.

似解问题，以选择题、填空题、

(3)了解用二分法求方程

2021年北京卷第15题，5分解答题等形式出现在试卷中的

的近似解.

不同位置，且考查得较为灵活

模块-3热点题型解读(目录)

【题型1］求函数的零点

【题型2】求函数零点所在区间

【题型3】二分法求近似解

【题型4】判断函数零点个数或交点个数

【题型5】利用函数的零点所在区间求参数范围

【题型6】已知零点个数求参数范围

【题型7】比较零点的大小

【题型8】求零点的和

模块二1核心题型•举一反三

【题型1］求函数的零点

基础知识

函数的零点

1、函数零点的概念：对于一般函数y=/(%),我们把使/(x)=0的实数x叫做函数y=/(x)的

零点.即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值.

【要点辨析】

(1)函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零;

(2)函数的零点也就是函数^=/(X)的图象与x轴交点的横坐标;

(3)函数y=/(x)的零点就是方程/(%)=0的实数根.

2、函数的零点与方程的解的关系

函数y=/(x)的零点就是方程/(x)=0的实数解，也就是函数y=/(x)的图象与x轴的公共点的

横坐标.所以方程/(x)=0有实数根=函数y=/(x)的图象与x轴有交点。函数y=/(x)有

零点.

3、函数零点存在定理

如果函数/(x)在区间［a,6］上的图象是一条连续不断的曲线，且/(。>/伍)<0,那么，函数

y=/(x)在区间(a.b)内至少有一个零点，即存在ce(a.b),使得/(c)=0,这个c也就是方程

/(x)=0的解.

1.函数〃x)=3「l的零点为()

A.(0,0)B.(1,1)C.0D.1

【答案】C

【解析】令/(》)=3*-1=0,解得无=0,故选:C.

【巩固练习1］函数/■(x)=l-lg(3'+2)的零点为()

A.log38B.2C.log37D.log25

【答案】A

【解析】令/(x)=l-lg(3"+2)=0,得3*+2=10,则工=晦8.故选：A

【巩固练习2】

【巩固练习3】已知定义在(0,+e)上的〃x)是单调函数，且对任意尤e(O,+s)恒有

/X

f/(x)+log,X=4,则函数/(X)的零点为()

I3)

A.-B.-C.9D.27

279

【答案】A

［解析］设/(x)+log,x=Q,即/(x)=Tog产+Q,

33

/\

因为//(x)+bgM=4,可得/⑷=4,

I37

所以-log产+。=4,解得a=3,所以"X)=-k)gM+3,

33

令〃x)=0,可得Tog,+3=。，即log1=3,解得x='.故选：人.

【题型2】求函数零点所在区间

基础知识

判断函数零点所在区间的步骤

第一步：将区间端点代入函数求函数的值；

第二步：将所得函数值相乘，并进行符号判断；

第三步：若符号为正切在该区间内是单调函数，则函数在该区间内无零点;

若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少一个零点。

2.函数/(x)=2'+x-4的零点所在区间为()

A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)

【答案】C

【解析】因为了=2"和y=x-4均是R上的增函数，所以函数/(x)=2*+x-4是R上的增函数,

又〃1)=-1<0,/(2)=2>0,〃1)-/(2)<0,

所以函数“X)的零点所在区间为(1,2).故选：C.

【巩固练习1】函数/(x)=ln(2x)-：的一个零点所在的区间是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】B

【解析】因为/(x)的定义域为(0,+司，且y=ln(2x),y=-工在(0,+司内单调递增，

可知/(X)在(0,+e)内单调递增，

且/⑴=ln2_l<0J(2)=ln4_g>0,

所以函数/(X)的唯一一个零点所在的区间是(1,2).

【巩固练习21函数/(x)=ln(2x)-：的一个零点所在的区间是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】B

【解析】因为〃x）的定义域为（0,+8）,且y=ln（2x）,y=-，在（0,+。）内单调递增,

可知/'（x）在（0,+e）内单调递增,

且/⑴=ln2-l<0,〃2）=ln4-g>0,

所以函数/（X）的唯一一个零点所在的区间是（1,2）.

【题型3】二分法求近似解

基础知识

所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.

求方程/（x）=0的近似解就是求函数f（x）零点的近似值.

3.（2024•广东梅州•二模）用二分法求方程log4X-[=0近似解时，所取的第一个区间可以是（）

2x

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

【答案】B

【解析】令/（x）=log4X-g,

因为函数y=10g4x,y=--L在（0,+的上都是增函数，

2x

所以函数=在（0,+“）上是增函数，

=⑵=1吗2-；=»：>0,

所以函数/（x）=log4X-：在区间（L2）上有唯一零点，

所以用二分法求方程logs%-」-=0近似解时，所取的第一个区间可以是（1,2）.

3%

【巩固练习1]一块电路板的N8线段之间有60个串联的焊接点，知道电路不通的原因是焊口脱落

造成的，要想用二分法的思想检测出哪处焊口脱落，至少需要检测（）

A.4次B.6次

C.8次D.30次

【答案】B

【解析】利用二分法检测，每次取中点，焊接点数减半，不妨设需要〃次检测，则

即2"260,因为<60<2、故〃的最小值为6,即至少需要检测6次.

【巩固练习2】已知函数〃尤)=log2X-L在区间(1,2)内存在一个零点，在利用二分法求函数/(x)近

似解的过程中，第二次求得的区间中点值为.

【答案】47

【分析】根据题意，利用对数的运算法则，结合零点二分法，准确计算，即可求解.

【详解】由函数〃x)=log2X-L为单调递增函数，且在(1,2)内存在一个零点，

又由〃l)=TJ(2)=g,则/⑴〃2)<0,

3323-

3

第一次用二分法，由/(-)=log2---=log2--log22,

因为T<4，可得(」尸<43,即三<23,可得10g2±<10g223,所以/(；)<0,

X8222

3

所以确定函数的零点所在区间为(万,2)；

7741S—

第二次用二分法，由〃a)=iog2K-,=10g27-亍=10g27-10g227,

18187

因为7>2亍，可得Iog27-log227>0，即/(了)>0

7373

所以/(：)〃/<0,所以确定函数的零点所在区间为(二,二)，

4242

7

所以第二次求得的区间的中点值为

【巩固练习3](2024•辽宁大连•一模)牛顿迭代法是我们求方程近似解的重要方法.对于非线性可

导函数/(x)在与附近一点的函数值可用/(尤卜/■(x0)+/'(x())(x-x。)代替，该函数零点更逼近方程

的解，以此法连续迭代，可快速求得合适精度的方程近似解.利用这个方法，解方程/-3x+l=0,

选取初始值％=g,在下面四个选项中最佳近似解为()

A.0.333B.0.335C.0.345D.0.347

【答案】D

【解析】令/(力=/—3x+l,贝|/，(%)=3%2-3,

f（x\

令〃x）=0,即/（尤o）+/•〈尤o）（x-尤0卜0,可得x2/_/,（；）,

迭代关系为“+i=Xk一~——r=x-

/（4）k34-334—3

2x--l2312x--1

12x«—1812网一127

取玉）=3，则演=&2_&—«0.34722

3x1-33,%3针33*372

4

【题型4】判断函数零点个数或交点个数

基础知识

零点个数的判断方法

(1)直接法：直接求零点，令/(x)=0,如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点.

(2)定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间［见口上是连续不断的曲线，且/伍)<0,

结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.

(3)图象法：

①单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数/(X)的图象，函数/(X)的图象与X轴交点的个

数就是函数/(X)的零点个数.

②两个函数图象：将函数/(X)拆成两个函数/z(x)和g(x)的差，根据/(X)=0u>/z(x)=g(x),

则函数f(X)的零点个数就是函数y=〃(x)和y=g(x)的图象的交点个数.

(4)性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是

周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数.

4.函数/'(•0=尤1那-1的零点个数为()

A.0B.1C.2

【答案】B

【解析】令/(x)=xlgx-l=O,得lgx='，

X

画出函数v=lgx与歹=^■的图象，

X

可得这两个函数在(0,+8)上的图象有唯一公共点，

故/(X)的零点个数为1.故选：B

5.函数/(x)=——2、的零点个数为()

A.0B.1C.2

【答案】D

【解析】通过图形可以得出/(x)=——2'有3个零点

【巩固练习1】函数〃X)=(3『-£-2在定义域内的零点个数是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】函数了=(/)”,了=Y-2分别是R上的减函数和增函数，则函数f(x)=(])*-尤3-2是减函数,

13

而/(-1)=^_(_1)_2=1>0,/(0)=-1<0,

所以函数/*)在R上的零点个数是1.故选：B

【巩固练习2】(2024•江苏盐城•模拟预测)函数>=cos尤与『=啕五|的图象的交点个数是()

A.2B.3C.4D.6

【答案】D

【分析】在同一坐标系中，作出两个函数的图象，根据图象得到交点个数.

【详解】函数V=cosx与>二炮忖都是偶函数，其中COS2TI=COS4兀=1,lg4;r>IglO=1>lg2;i,

在同一坐标系中，作出函数丁=3$%与》=lgW的图象，如下图，

加

片坨网y=cosxI

-4兀77cz-2兀、2兀5tz4兀攵

由图可知，两函数的交点个数为6.

【巩固练习3](2019・全国•高考真题)函数/(x)=2sinx-sin2x在[0,2句的零点个数为()

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】令/W=0,得sinx=0或cosx=l,再根据x的取值范围可求得零点.由

f(x)=2sinx-sin2x=2sinx-2sinxcosx=2sinx(l-cos%)=0,

得sinx=0或cosx=l,vxe[0,2,r],

:.x=0>兀或2兀.

.•./(%)在[0,2句的零点个数是3

X?+2%丫V0

【巩固练习4】已知函数/(%)=｝诩、；0一’则函数g(x)=/(x)-3的零点个数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】由题意可知，g(x)=/(x)-3的零点个数可以转化为/⑴和函数>=3的图象交点个数，

它们的函数图象如图所示.故选：C.

【题型5】利用函数的零点所在区间求参数范围

基础知识

本类问题应细致观察、分析图像，利用函数的零点及其他相关性质，建立参数的等量关系，列关于

参数的不等式，解不等式，从而解决.

6.函数y=/一24、+。—1在(0,1)上存在零点，则实数。的取值范围是()

A.0<a<1B.或C.a>\D.。〈一1或a>0

【答案】B

【解析】令/(x)=d_2QX+Q一1,

因为A=4/-4(a-1)=4(/-a+l)=41a-g1+3>0,

所以函数图象与x轴有两个交点，

因为函数f(x)=x2-2"+”-1在(0,1)上存在零点，且函数图象连续,

/(0)>0(2—1>0

所以/(0)/⑴<0,或〈/⑴〉0,所以(4—1)(—。)<0,或—。〉0,

0<Q<10<。<1

解得a<0或。>1

7.函数/(x)=log2X+/+冽在区间(1,2)存在零点.则实数用的取值范围是()

A.(-oo,-5)B.(-5,-1)C.(1,5)D.(5,+oo)

【答案】B

【解析】由必=log2X在(0,+8)上单调递增，％=/+次在(0,+。)上单调递增，得函数

/(x)=log2X+炉+加在区间(0,+8)上单调递增,

因为函数/(x)=log2X+x2+加在区间(1,2)存在零点，

[/(1)<0[logl+l2+m<0

所以：；、、n，即।?°N八,解得一5<加<-1,

[log22+2-+别>0

所以实数机的取值范围是(-5,-1).

【巩固练习1】(2024・高三・浙江绍兴•期末)已知命题P：函数〃x)=2x3+x-a在(1,2]内有零点,

则命题P成立的一个必要不充分条件是()

A.3<a<18B.3<a<18C.。<18D.a>3

【答案】D

【解析】函数/(尤)=2/+x-。在R上单调递增，由函数/(x)=2/+尤-。在(1,2]内有零点,

IV⑴=3—<0

得1二.O八，解得3<“418，即命题P成立的充要条件是3<。(18,

[〃2)=18-。20

显然3<aV18成立，不等式3Va<18、3<a<18、a<18都不一定成立，

而3<。418成立，不等式恒成立，反之，当时，3<。418不一定成立，

所以命题?成立的一^个必要不充分条件是a23.

【巩固练习2】(2024・山西阳泉•三模)函数/(x)=log2x+x2+加在区间0,2)存在零点.则实数加

的取值范围是()

A.(-℃,-5)B.(-5,-1)C.(1,5)D.(5,+oo)

【答案】B

【解析】由乃=log?尤在(0,+旬上单调递增，力=7+机在(。,+°°)上单调递增，得函数

2

/(X)=log2x+x+m在区间(0,+oo)上单调递增，

因为函数/(x)=log,x+/+机在区间(1,2)存在零点，

|7⑴<0[log,l+l2+m<0/、

所以〔<C，即〈2，解得-5<加<-1,所以实数加的取值范围是(-

[log22+2+m>0

【巩固练习3](2024・四川巴中•一模)若函数"x)=2ax2+3x-l在区间内恰有一个零点，则

实数a的取值集合为()

A.{a|-l<a<2}B.{a|a=-2或T<a<2}.

8

Q

C.{a\-\<a<2}D.{a\a=一一或一1«QW2}.

8

【答案】D

【解析】由函数/(x)=2"2+3x-l,

若a=0,可得/(x)=3x-l,令〃x)=0,即3x-l=0,解得x=g,符合题意；

若aw0,令y(x)=0,即2Q/+3%-1=0,可得A=9+8。，

992

当A=0时，即9+8a=0,解得。=——,此时/(、)=——X2+3X-1,解得x=—,符合题意；

843

当A〉0时，即Q>—。且awO,贝ij满足/(—=(2a—4)(2。+2)40,

8

解得-IVaV2且"0,

若a=-l,可得/(x)=-2尤2+3尤一1,令〃x)=0,即2/-3尤+1=0,

解得x=l或x=g,其中x=ge(-l,l),符合题意；

若a=2,可得/(0=4/+31,令/(x)=0,即4/+3尤-1=0,

解得》=-1或芯=工，其中x=」w(-l,l),符合题意；

44

9

综上可得，实数。的取值范围为或一"。<2}.

8

【题型6】已知零点个数求参数范围

基础知识

已知函数零点个数，求参数取值范围的方法

(1)直接法：利用零点存在的判定定理构建不等式求解；

(2)数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化

为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围；

(3)分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解.

求函数的零点个数就是求函数图象与x轴的交点个数，因此只要作出函数图象即可.如果函数图象

不易作出，可将函数转化为y=m(x)—“(X)的结构，然后转化为加(x)与“(X)的图象交点个数的问

题.

解决步骤

第一步：将函数化为y=加(1)-“(X)的形式，加(x)与“(X)一个含参，一个不含参.

第二步：画出两个函数的图象.

第三步：确定满足题意时含参函数的图象的移动范围，从而求出参数的取值范围.

/、z—X1

8.若函数/%/二、1有两个不同的零点，则实数。的取值范围是()

A.(0,2]B.(0,2)C.(0,1)D.(—8,1)

【答案】A

【解析】当X>1时，由皿X-1)=0,得x=2,

/、2》_a,XW]

因为函数/(x)=,/小，有两个不同的零点，

则当时，函数/(x)=2=a还有一个零点,

因为0<2工菖2=2,所以0<a42,

所以实数。的取值范围是(0,2].故选：A

9.函数/'(x)=|2x-4-|1时有且只有一个零点，则〃?的取值范围是

【答案】(-*ln2+l)

【解析】由题意可得，问题等价于y=|2x-时与y=|lnx|有且只有一个交点.

分别作图如下：

考虑他们的临界情况，即歹=|21-同与y二|lnx|相切时，如上图，即)/=加-2x与y=-lnx相切时,

仅有一个交点.

设切点为(Xo/o),

则y，=一--=-2,

%

所以％o=5，%=一In5=In2,

所以1口2=冽-2*5二加一1,即加=ln2+l,

但因为y=|2x-同与歹=|ln乂有且仅有一个交点，

所以ln2>加-1,即加<ln2+l

【巩固练习1]若函数/(x)=2"-3|-1-加有2个零点，则加的取值范围是

【答案】卜1,2)

【解析】由/(x)=|2「3|-1一机=0,得y-3|-l=m.

2-2\x<log,3，/、,

设函数g(x)=〔2*-3|-l=<2一41。〉作出gOO的大致图象，如图所示・

函数/(》)=2"3|-1-加有2个零点，即函数g(x)与函数^=加的图象有两个交点,

由图可知，m的取值范围是(-1,2).

|2r-l|,x<2

【巩固练习2】已知函数f(x)=3，若方程/(x)=。有三个不同的实数根，则实数。的取

-----,x〉2

1

值范围是()

A.(1,3)B,(0,1)C.(0,3)D.[0,1]

【答案】B

【解析】方程有三个不同的实数根，即函数_y=/(x)与函数>的图象有三个不同交点.

作函数了=/(无)的图象如下图所示，/⑵=3

由图可得，0<。<1.所以实数。的取值范围是：(0,1).故选：B.

2x,x<0

【巩固练习3】已知函数/(x)=1,g(x)=/(x)-x-«,若g(x)有2个零点，则实数。的取

----x,x>0

值范围是()

A.[-1,0)B.[0,+co)C.[-1,+«))D.[1,+<»)

【答案】D

【解析】x>0时，/(x)=--x,函数在(0,+力)上单调递减，/(I)=0,

令g(x)=0可得/(x)=x+a,作出函数y=/(x)与函数y=x+。的图象如图所示：

由上图可知，当.21时，函数了=/(x)与函数y=x+a的图象有2个交点,

此时，函数y=g(无)有2个零点.因此，实数。的取值范围是口,+8).故选：D.

【题型7】比较零点的大小

基础知识

利用数形结合、等价转化等数学思想.

10.(2024•新疆乌鲁木齐•二模)设x〉0,函数y=%2+x-7,y=2"+x-7,y=k)&x+x—7的零点分

别为a,b,c,则()

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<a<b

【答案】A

【分析】由题意。也。分别为函数>=-x+7与函数歹=/,,=2\y=log21图象交点的横坐标，作出

函数)=12J=—x+7,y=2",歹=1千2X的图象，结合函数图象即可得解.

【详解】分别令y=公+%-7=0,y=2"+'—7=0,y=logx+x-7=C,

贝=—x+7,2"——x+7,lo&x——x+7,

x

则a,b9c分别为函数>=一%+7与函数y=/,y=29y=log2x图象交点的横坐标，

分别作出函数歹)=一％+7,歹=2"y=1生2元的图象，如图所示，

【巩固练习1】(2024•广东梅州•二模)三个函数/(%)=丁+、一3,g(x)=lnx+x-3,7z(x)=ex+x-3

的零点分别为Q,6,c,则。力,。之间的大小关系为()

A.a<b<cB.c<a<b

C.a<c<bD.b<c<a

【答案】B

【分析】先判断各函数的单调性，再根据零点的存在性定理求出函数零点的范围，即可得出答案.

【详解】因为函数v=y=e"y=\wc9歹二%一3都是增函数，

所以函数f(x)=x3+x-3,g(x)=lnx+x-3,〃(％)=1+工一3均为增函数，

因为/⑴=_l(0J(2)=7〉0,

所以函数的零点在(1,2)上，即ae(l,2),

因为g⑵=ln2-l〈0,g(3)=ln3〉0,

所以函数g(x)的零点在(2,3)上,即6e(2,3),

因为〃（0）=-2〈0,〃（l）=e-2）0,

所以函数〃（x）的零点在（0,1）上，即ce（O,l）,

综上，c<a<b.

【巩固练习2】（2024•海南•模拟预测）已知正实数〃也。满足=log3〃［；］=log3b,c=logLc,则

()

A.a<b<cB.c<b<a

C.b<c<aD.c<a<b

【答案】D

【分析】利用数形结合法，根据题意结合图象交点分析判断.

【详解】因为c=logy=Tog3C,即一C=log3%

3

由题意可知：。为y=与>=10g3X的交点横坐标；

b为歹=［：）与>=log3X的交点横坐标；

。为>=一工与>=log3x的交点横坐标；

在同一^平面直角坐标系中作出>=,y=\og3x,y=/=一％的图象,

由图可得：c<a<b,

【巩固练习3］设正实数。也。分别满足a・2"=b4og3b=c」og2。=1,则〃也。的大小关系为（）

A.a>b>cB.b>c>a

C.c>b>aD.a>c>b

【答案】B

【分析】作出》=2"J=log2%J=k）g3X的图像，利用图像和〉=g图像交点的横坐标比较大小即可.

【详解】由已知可得'=2",y=log3b,—=log2c,

abc

x

作出y=2,y=log2x,y=log3x的图像如图所示:

X

由图像＞可得

【题型8】求零点的和

基础知识

结合函数的对称性以及交点个数，数形结合

11.(2024•青海西宁•二模)函数/(x)=4sin]x-|x-l|的所有零点之和为()

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【分析】令/(x)=0两个解为零点，将零点问题转换成g(x)=4sin5x,=两个函数的交点

问题，作图即可求出零点，且g(x)和〃(x)的图象关于x=l对称，零点也关于尤=1,即可求出所有

零点之和.

【详解】令/(x)=0,得4sin]x=|x-l|,解得x=-3或x=5,即为零点，

令g(尤)=4sin]x,/?(x)=|x-l|,

7=至=4

g(x)的周期jt,对称轴x=l+4左，左eZ,且"(