2025年高考数学二轮复习：概率与统计常考小题归类（讲义）解析版

专题21概率与统计常考小题归类

目录

01考情透视•目标导航............................................................2

02知识导图•思维引航............................................................3

03知识梳理•方法技巧............................................................4

04真题研析•精准预测............................................................5

05核心精讲•题型突破...........................................................14

题型一：抽样方法与随机数表14

题型二：统计图表及其数字特征15

题型三：传统线性拟合18

题型四：非线性拟合处理20

题型五：传统独立性检验22

题型六：创新类定义统计25

题型七：正态分布28

题型八：超几何分布与二项分布30

题型九：随机变量的分布列、期望、方差32

题型十：古典概型36

题型十一：条件概率与全概率39

题型十二：概统结合问题41

题型十三：新赛制概率问题43

重难点突破：递推型概率命题46

差情;奏汨•日标旦祐

概率统计小题乃历年高考必考项目，主要涵盖三大方面：一是解析统计图表、计算方差及平均数，这

类题目通常要求考生能够准确理解并应用统计知识，对数据的处理能力有一定要求；二是求解古典概型问

题，这要求考生掌握古典概型的定义及计算方法，能够准确判断事件的等可能性，并据此求解概率；三是

涉及相互独立事件及其概率乘法公式的应用，这部分内容要求考生理解独立事件的概念，掌握概率乘法公

式的使用方法，并能够灵活应用于实际问题中。

此类题目多以选择、填空的形式出现，难度适中，旨在检验考生对概率统计基础知识的掌握程度及实

际应用能力。

考点要求目标要求考题统计考情分析

2024年II卷第4题，5分

掌握统计图表分2023年上海卷第14题，4分

统计图表、方差、平均

析，理解方差平均2022年甲卷第2题，5分

数、中位数

数中位数2021年甲卷第2题，5分

2021年I卷第9题，5分

预测2025年高考，概

2024年I卷第14题，5分

率统计内容或将频繁以小

2024年甲卷第16题，5分

理解古典概型定题面貌亮相，亦可能巧妙

2023年乙卷第9题，5分

古典概型义，掌握概率计算融入解答题中，呈现相对

2023年甲卷第4题，5分

方法

2022年I卷第5题，5分独立性。其中：（1）选择

2022年甲卷第6题，5分题或填空题将侧重于检验

逻辑推理与数学运算能

相互独立事件和相互理解独立事件概

2022年乙卷第10题，5分

独立事件的概率乘法念，掌握概率乘法力；（2）古典概型题目将

2021年天津卷第14题，5分

公式公式成为热门考点，备受瞩目。

掌握回归方程应2024年I卷第9题，6分

回归方程、正态分布用，理解正态分布2023年天津卷第7题，5分

特性2021年II卷第5题，5分

寓2

知识导图•思维引航

抽柱调查

简单随机抽任

分层抽住

频率分布直方图

百分位数

株本的数字特征

两个变量的或性相关

回归分析与回归方程

残差分析

独立性检验

随机事件的概率

频率与概率的关系

事件的关系与运算

概率的基本性质

古典概型

相互独立事件

条件概率

相互独立事件与条件盛率、

全概率与贝叶斯公式

全概率公式

概率贝叶斯公式

随机变量的有关慨念

随机变量的分布列、均值与

离散型随机变量分布列

方差

离散型随机变量的均值与

方差

两点分布

二项分布

两点分布、二项分布、超几

何分布与正态分布

超几何分布

正奇分布

牛nt口偏孑里・二注怙工亏

1、加强识图能力，理解并记准频率分布直方图与众数、中位数及平均数的关系；折线图注意上升趋势

以及波动性；扇形图数据可先用表格列出，再计算、判断.

频率篝=频率，

2、在频率分布直方图中，注意小矩形的高=，小矩形的面积=组距X所有小矩形的

面积之和为1.

3、求回归方程

（1）根据散点图判断两变量是否线性相关，如不是，应通过换元构造线性相关.

（2）利用公式，求出回归系数，.

（3）待定系数法：利用回归直线过样本点的中心求系数”•

4、回归方程的拟合效果，可以利用相关系数判断，当卜|越趋近于1时，两变量的线性相关性越强.

5、比较几个分类变量有关联的可能性大小的方法

（1）通过计算K?的大小判断：K?越大，两变量有关联的可能性越大.

（2）通过计算kd-用的大小判断：卜〃-6d越大，两变量有关联的可能性越大.

6、独立性检验的一般步骤

（1）根据样本数据制成2x2列联表.

n（ad-bc\

（2）根据公式K?=7_1-------------，计算K?的观测值公.

\a+b\（a+c）（6+d）（c+d）

（3）比较上与临界值的大小关系，进行统计推断.

7、概率分布与不同知识背景结合考查对实际问题的解决能力

（1）与数列结合的实际问题

（2）与函数导数结合的实际问题

（3）与分段函数求最值、解不等式结合的实际问题

（4）与统计结合的实际问题

（5）与其他背景结合的实际问题

0

心真题砒标•精御皿\\

1.（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排

尾的概率是（）

2

D.

【答案】B

【解析】解法一:画出树状图，如图,

丙丁乙丁乙丙丙丁甲丁甲丙

丁丙丁乙丙乙丁丙丁甲丙甲

乙丁甲丁甲乙乙丙甲丙甲乙

丁乙丁甲乙甲丙乙丙甲乙甲

由树状图可得，甲、乙、丙、丁四人排成一列，共有24种排法，

其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有8种，

Q1

故所求概率2=五=].

解法二：当甲排在排尾，乙排第一位，丙有2种排法，丁就1种，共2种；

当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有1种排法，丁就1种，共2种；

于是甲排在排尾共4种方法，同理乙排在排尾共4种方法，于是共8种排法符合题意;

基本事件总数显然是A：=24,

Q1

根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为2=3.

故选：B

2.（2024年天津高考数学真题）下列图中，线性相关性系数最大的是（）

【解析】观察4幅图可知，A图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较

好，呈现明显的正相关，卜|值相比于其他3图更接近1.

故选：A

3.（2024年新课标全国II卷数学真题）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得

到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表

亩产

[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1050,1100)[1100,1150)[1150,1200)

量

频数61218302410

根据表中数据，下列结论中正确的是（）

A.100块稻田亩产量的中位数小于1050kg

B.100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%

C.100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间

D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间

【答案】C

【解析】对于A,根据频数分布表可知，6+12+18=36<50,

所以亩产量的中位数不小于1050kg,故A错误；

对于B,亩产量不低于1100kg的频数为24+10=34,

所以低于1100kg的稻田占比为气100六-34=66%,故B错误；

对于C,稻田亩产量的极差最大为1200-900=300,最小为1150-950=200,故C正确;

对于D,由频数分布表可得，平均值为

—x(6x925+12x975+18xl025+30xl075+24xll25+10xll75)=1067,故D错误.

故选；C.

4.(2024年高考全国甲卷数学(理)真题)有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6,从中无放

回地随机取3次，每次取1个球.记机为前两次取出的球上数字的平均值，”为取出的三个球上数字的平均

值，则机与«之差的绝对值不大于1的概率为.

【答案】看7

【解析】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有A：=120种，

设前两个球的号码为“力，第三个球的号码为则”*一誓wg,

故|2c-(a+6)|W3,故-3V2c-(“+6)V3,

^La+b-3<2c<a+b+3,

若c=l,则0+H5,则(。,。)为:(2,3),(3,2),故有2种,

若c=2,则l(a+*7,则(。⑼为:(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,4),

(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4,3),故有10种,

当c=3,则3Va+6V9,则(a,6)为：

(1,2),(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(4,5),

(2,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4,2),(5,2),(6,2),(5,4),

故有16种,

当c=4,则5Wa+/?〈ll,同理有16种，

当c=5,则7Wa+bV13,同理有10种，

当c=6,则9Va+6415,同理有2种,

共加与"的差的绝对值不超过;时不同的抽取方法总数为2(2+10+16)=56,

故所求概率为言=《.

,,7

故答案为：—

5.(2024年天津高考数学真题)某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个

项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每

人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为；已知乙同学参加的3个项目

中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为.

【答案】7I

【解析】解法一：列举法

给这5个项目分别编号为A,B,C,D,E,F，从五个活动中选三个的情况有：

ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE,共10种情况，

其中甲选到A有6种可能性：ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,

则甲参加“整地做畦”的概率为：P=4=|；

乙选A活动有6种可能性：ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,

其中再选择。有3种可能性：ABD,ACD,ADE,

31

故乙参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为二=工.

解法二：

设甲、乙选到A为事件乙选到O为事件N,

则甲选到A的概率为尸（M）=|^=|；

P(MN)Cl1

乙选了A活动，他再选择。活动的概率为尸（N|M）=

山田6d31

故答案为：­;y

6.（2024年新课标全国I卷数学真题）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上

分别标有数字1，3,5,7,乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8,两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两

人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人

得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得

分不小于2的概率为.

【答案】1/0.5

【解析】设甲在四轮游戏中的得分分别为X”X2，X3，X4,四轮的总得分为X.

对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲得分的出牌组合有六种，从而甲在

该轮得分的概率尸（X*=1）=£=g,所以E（XJ==1,2,3,4）.

从而E（X）=E（X+X2+X3+X4）=£E（Xj=Zd=亍

1己0=p(乂=%)(左=0,1,2,3).

11

如果甲得。分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1,3,5,7分别对应乙出2,4,6,8,所以Po=Q=五；

11

如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1,3,5,7分别对应乙出8,2,4,6,所以，3=炉=五・

3

而X的所有可能取值是0,1,2,3,故P0+P1+P2+P3=1，Pi+2P2+3〃3=^（X）=].

所以Pl+P2+±=1，P1+2P2+：=|''两式相减即得夕2+==；,故P2+P3=4.

12o224Zz

所以甲的总得分不小于2的概率为0+。3=；♦

故答案为：■

7.（2023年天津高考数学真题）把若干个黑球和白球（这些球除颜色外无其它差异）放进三个空箱子中，

三个箱子中的球数之比为5:4:6.且其中的黑球比例依次为40%,25%,50%.若从每个箱子中各随机摸出一

球，则三个球都是黑球的概率为；若把所有球放在一起，随机摸出一球，则该球是白球的概率

为.

3

【答案】0.05-/0.6

【解析】设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为5”,4",6",所以总数为15〃，

所以甲盒中黑球个数为40%x5»=2n,白球个数为3n；

乙盒中黑球个数为25%X4M=〃，白球个数为3〃；

丙盒中黑球个数为50%x6〃=3”，白球个数为3〃；

记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件A,所以，

P（A）=0.4x0.25x0.5=0.05；

记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件8,

黑球总共有2〃+〃+3九=6〃个，白球共有9〃个，

所以，尸（2）=鸿=±

3

故答案为：0.05；

8.（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设。为平面坐标系的坐标原点，在区域｛（%,）|14/+；/44｝内

随机取一点，记该点为4则直线OA的倾斜角不大于J的概率为（）

4

A.—B.—C.-D.—■

8642

【答案】C

【解析】因为区域｛（Q）114/+/w4｝表示以0（0,0）圆心，外圆半径R=2,内圆半径厂=1的圆环，

则直线04的倾斜角不大设的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角4。N胃

3无、!

结合对称性可得所求概率p_4_1.

Jr-

3兀4

9.（2023年天津高考数学真题）莺是鹰科的一种鸟，《诗经・大雅・旱麓》日：“莺飞戾天，鱼跃余渊”.莺尾花

因花瓣形如莺尾而得名，寓意鹏程万里、前途无量.通过随机抽样，收集了若干朵某品种莺尾花的花萼长度

和花瓣长度（单位：cm）,绘制散点图如图所示，计算得样本相关系数为，=0.8642,利用最小二乘法求得

相应的经验回归方程为y=0.7501x+0.6105，根据以上信息，如下判断正确的为（）

72

花6.8

瓣6.4

长6.0

度5.6

52

4.8

4.4

4.85.25.66.06.46.8727.6

花萼长度

A.花瓣长度和花萼长度不存在相关关系

B.花瓣长度和花萼长度负相关

C.花萼长度为7cm的该品种莺尾花的花瓣长度的平均值为5.8612cm

D.若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8642

【答案】C

【解析】根据散点的集中程度可知，花瓣长度和花萼长度有相关性，A选项错误

散点的分布是从左下到右上，从而花瓣长度和花萼长度呈现正相关性，B选项错误，

把x=7代入y=0.750lx+0.6105可得y=5.8612cm,C选项正确；

由于r=0.8642是全部数据的相关系数，取出来一部分数据，相关性可能变强，可能变弱，即取出的数据的

相关系数不一定是0.8642,D选项错误

故选：C

10.（2023年新课标全国H卷数学真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽

样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和

200名学生，则不同的抽样结果共有（）.

A.CQC器种B.种

c.C：3c2种D.C：：°.C机种

【答案】D

【解析】根据分层抽样的定义知初中部共抽取60x典=40人，高中部共抽取60x纱=20,

600600

根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有C黯C募种.

故选：D.

11.（多选题）（2024年新课标全国I卷数学真题）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并

举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后

亩收入的样本均值于=2]，样本方差d=0.01，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N（1.8,0.12）,

假设推动出口后的亩收入y服从正态分布NG，s?）,则（）（若随机变量Z服从正态分布4）,

P（Z<M+CT）B0.8413）

A.P（X>2）>0.2B.P（X>2）<0.5

C.P[Y>2）>0.5D.P（r>2）<0.8

【答案】BC

【解析】依题可知，x=2.1,？=0.01,所以y~N（2.1,0.12）,

^P（y>2）=P（r>2.1-0.1）=P（r<2.1+0.1）«0.8413>0.5,C正确，D错误；

因为X~（1.8,0.12）,所以P（X>2）=尸（X>L8+2xQl）,

因为尸（X<1.8+0」卜0.8413,所以P（X>1.8+0」卜1—0.8413=0.1587<0.2,

而尸（X>2）=尸（X>L8+2x0.1）〈尸（X>1.8+0.1）<0.2,B正确，A错误，

故选：BC.

12.（多选题）（2023年新课标全国I卷数学真题）有一组样本数据占,…其中玉是最小值，%是最

大值，则（）

A.%，工3，匕，工5的平均数等于4々，…，%的平均数

B.x2,x3,x4,x5的中位数等于再,马,…％的中位数

C.工2，X3，匕,三的标准差不小于网，了2,…，毛的标准差

D.%，后，匕，工5的极差不大于占，々,…的极差

【答案】BD

【解析】对于选项A:设/，三，匕，尤5的平均数为优，玉，尤2,…，尤6的平均数为〃，

ygX]+&+X3+%4+*5+*6/+$+*4+*52（&+%）-（尤5+*2+W+'4）

—64-12

因为没有确定2（占+%）,/+%+&+4的大小关系，所以无法判断相，”的大小，

例如：1,2,3,4,5,6,可得〃?="=3.5；

例如1,1,1,1,1,7,可得相=1,〃=2；

例如1,2,2,2,2,2,可得加=2,九=口；故A错误；

6

对于选项B：不妨设玉4毛44，

可知％,w,匕，三的中位数等于玉，/，…，%的中位数均为石产，故B正确；

对于选项C：因为X1是最小值，尤6是最大值，

则%,三，8，%的波动性不大于玉，尤2,…,毛的波动性，即工2，三,X4，无5的标准差不大于占，尤2,…，%的标准差，

例如：2,4,6,8,10,12,则平均数〃=工（2+4+6+8+10+12）=7,

6

标准差心=^1[（2-7）2+（4-7）2+（6-7）2+（8-7）2+（10-7）2+（12-7）2]=,

4,6,8,10,则平均数根=；（4+6+8+10）=7,

标准差s2=g[（4-7『+（6-7）,（8一7『+（10一7月=逐,

显然叵＞若，即与＞S2；故c错误；

3

对于选项D：不妨设西〈尤2〈尤34匕三三4飞，

则％一国N尤5-马，当且仅当玉=尤2，工5=尤6时，等号成立，故D正确；

故选：BD.

13.（多选题）（2023年新课标全国H卷数学真题）在信道内传输0,1信号，信号的传输相互独立.发送0

时，收到1的概率为0（0＜戊＜1）,收到0的概率为1-e；发送1时，收到0的概率为〃（0＜/＜1）,收至IJ1

的概率为l-p.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是

指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三

次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1,0,1,则译码为1).

A.采用单次传输方案，若依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的概率为(1-。)(1-£)2

B.采用三次传输方案，若发送1,则依次收到1,0,1的概率为4(1-A)?

C.采用三次传输方案，若发送1,则译码为1的概率为6(1-02+(1-尸)3

D.当0<夕<0.5时，若发送0,则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的

概率

【答案】ABD

【解析】对于A,依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1

接收1的3个事件的积，

它们相互独立，所以所求概率为(1一£)(1一a)(l-£)=(1一①(1一A正确；

对于B,三次传输，发送1,相当于依次发送1,1,1,则依次收到1,0,1的事件，

是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积，

它们相互独立，所以所求概率为(1一£)川・(1一£)=£(1-月)2,B正确；

对于C,三次传输，发送1,则译码为1的事件是依次收到1,1,0、1,0,1、0,1,1和1,1,1的事件

和，

它们互斥，由选项B知，所以所求的概率为C/(l-尸)2+(1-03=(1-02(1+20,c错误；

对于D,由选项C知，三次传输，发送0,则译码为0的概率尸=(1-⑨2(l+2a),

单次传输发送0,则译码为0的概率P=1-a,而0</<0.5,

因止匕P-P=(l-a)2(l+2a)-(l-a)=c(l-a)(l-2a)>0,即P>P,D正确.

故选：ABD

㈤5

孩心精说，题型突破

题型一：抽样方法与随机数表

【典例1-1】某厂质检员利用随机数表对生产的600个产品进行抽样调查，先将这600个产品进行编号：001,

002,003,600.从中抽取120个样本，下图是随机数表的第2行到第3行，若从随机数表的第2行第

5列开始从左向右读取数据，则得到的第5个编号是（）

3212671231023702147231098147802513254608

7120345119720138471804925128023127465130

A.098B.147C.513D.310

【答案】C

【解析】由题意可知得到的编号依次为231,023,147,098,513,则得到的第5个编号是513.

故选：C.

【典例1-2】非物质文化遗产是文化多样性中最富活力的重要组成部分，是人类文明的结晶和最宝贵的共同

财富.某校为了解学生对当地非遗文化“川剧”的了解程度，现从高中部抽取部分学生进行调查，已知该校高

一、高二、高三年级学生人数之比为4:3:2,若利用分层随机抽样的方法抽取36人进行调查，则抽取到的

高一年级学生人数比高三多（）

A.16人B.12人C.8人D.4人

【答案】C

4

【解析】由题意，采用分层抽样的方法，应从高一年级抽取36"°.=16人,

4+3+2

2

从高三年级抽取36x丁丁二=8人，则抽取到的高一年级学生人数比高三多16-8=8人.

故选：C

【变式1-1］国内某优秀新能源电池制造企业在锂电池单位能量密度技术上取得了重大突破，该制造企业内

的某车间有两条生产线，分别生产高能量密度锂电池和低能量密度锂电池，总产量为400个锂电池.质检

人员采用分层随机抽样的方法随机抽取了一个容量为80的样本进行质量检测，已知样本中高能量密度锂电

池有35个，则估计低能量密度锂电池的总产量为（）.

A.325个B.300个C.225个D.175个

【答案】C

【解析】根据分层随机抽样可知低能量密度锂电池的产量为400X笠*=225（个）.

80

故选：C

命题预测7

1.从一个含有N个个体的总体中抽取一容量为〃的样本，当选取抽签法、随机数法和分层随机抽样三种不

同方法时，总体中每个个体被抽中的概率分别为回，必，03,三者关系可能是（）

A.Pl=P2Vp3B.Pi=p2=PiC.Pl=P3Vp2D.P2=P3<A

【答案】B

【解析】因为在抽签法抽样、随机数法抽样和分层随机抽样中，每个个体被抽中的概率均为二，

所以P1=P2=P3-

故选：B.

题型二：统计图表及其数字特征

【典例2-1】豆瓣评分是将用户评价的一到五星转化为0-10的分值（一星2分，二星4分，三星6分，以此

类推），以得分总和除以评分的用户人数所得的数字，国庆爱国影片《长津湖》豆瓣得分是7.4分，截止至2021

年10月24日，共计有437181人参与评分，豆瓣评分表如图.根据猫眼实时数据，该片的票房为53.1亿元,

按照平均票价50元来计算，大约有1亿人次观看了此片，假如参与评分观众中有97.6%的评价不低于二星,

则下列说法错误的是（）

437181人评分

A.机的值是32%

B.随机抽取100名观众，则不一定有24人评价五星

Q

C.若以频率当作概率，记事件A为“评价是一星”，事件3为“评价不高于二星”，则尸（冏力=5

D.若从已作评价的观众中随机抽出3人，则事件“至多1人评价五星”与事件“恰有2人评价五星”是互斥

且不对立事件

【答案】C

【解析】对A选项，参与评价的观众中有97.6%的评价不低于二星，

贝［）24.0%+32.9%+7〃+8.7%=97.6%,所以m=32%,故A正确；

对B选项，随机抽取100名观众，可能有100x24.0%=24人评价五星，但不是一定的，故B正确；

对C选项，因为AnB=A,贝产（引力=尢/=向=1,故C错误；

对D选项，根据互斥事件和对立事件的定义可知，

事件“至多1人评价五星”与事件“恰有2人评价五星”是互斥且不对立事件，故D正确.

故选：C.

【典例2-2】将某大型出版公司所有打字员每分钟的平均打字数统计如下图所示，则可以估计该公司打字员

每分钟的平均打字数的中位数为（）

【答案】B

【解析】由图可知，前三个矩形的面积依次为0.02,0.18,0.4,

0.5-(0.02+0.18)=0.3,

故所求中位数为300+80x丝=360.

0.4

故选：B

【变式已知甲、乙两组数可分别用图（1）、（2）表示，记甲、乙两组数的平均数和方差分别为吊、耳、

A.xx>x2,s[>s1B.豆=&，s；vs；

C.看〈耳，D.\=x2,s；〉s；

【答案】B

3x10+6x20+6x30+3x404x（10+20+30+40）_

=25,x=---------------------------=25,

18216

故£=元2，

s；=\[3（10-25）2+6（20-25）2+6（30-25）2+3（40-25）卜学，

2222

^=±X4X[（10-25）+（20-25）+（30-25）+（40-25）]=125,故S；>S：,

故选：B.

命题预测

1.某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；

戊，重大疾病保险.各种保险按相关约定进行参保与理赔.该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得

到如图所示的统计图表.则下列说法中一定错误的是（）

参保人数比例

不同年龄段人均参保费用

A.丁险种参保人数超过五成B.41岁以上参保人数超过总参保人数的五成

C.18—29周岁人群参保的总费用最少D.人均参保费用不超过5000元

【答案】B

【解析】对于A,由条形图可知丁险种参保比例为1—0.3—0.1—0.02—0.04=0.54>0.5,

超过五成，故A正确；

对于B,由扇形图可知，41岁以上参保人数占比：35%+10%=45%,故B错误；

对于C,由扇形图与折线图可知18—29周岁人群参保人数占比15%,

人均参保费用在（3000,4000）,而54岁及以上人群参保比例虽10%,

但人均参保费用在6000,所以18—29周岁人群参保的总费用最少，故C正确；

对于D,由扇形图与折线图可知，人均参保费用约

15%x4000+40%x4000+35%x5500+10%x6000=4725,

不超过5000元，故D正确.

故选：B

题型三：传统线性拟合

【典例3-1】已知〃个点R（x,,y）（i=L2,3,…川大致呈线性分布，其中%=i,且数据&,%）的回归直线方

程为y=2x-ll,则£y的最小值为

1=1

【答案】-25

【解析】回归直线y=2x-ll经过伍力，

「一

且1(1+ri)n1+n—二1-小A'

1«]+%

代入回归方程得：-Z，-x2-11=W-10,

即fy=("_10)九=(〃一5)2—25,

i=l

所以当〃=5时，f%的最小值为-25.

Z=1

故答案为：-25.

【典例3-2】已知x和y之间的一组数据如右表;》与无线性相关，且回归方程为夕=霖+。.25,优为x的方

差的0.6倍，则当x=8时，.

X0123

ymm+252m+3

【答案】16.25/下

4

【解析】由表格可得x的平均值8=卢曰=：=1.5,

42

贝IJ机=0.6x（。-1寸+（1-1寸+（2一13+（3一1寸二075,

4

士“一r/口、，Me।入/+-m+m+2+5+2m+34m+1013一

由表格可得y的平均值y=---------------------------=---=—=3.25,

444

将（1.5,3.25）代入回归直线9=九+0.25,可得3.25=1.55+0.25,解得5=2,

贝1Jy=2x+0.25，当x=8,则B=2x8+0.25=16.25.

故答案为：16.25.

【变式3-1】商家项目投资的利润产生是一个复杂的系统结果.它与项目落地国的商业环境，政府执政能力,

法律生态等都有重大的关联.如表所示是某项目在中国和南亚某国投资额和相应利润的统计表.

项目落地国中国南亚某国

投资额X（亿元）10111213141011121314

利润y（亿元）11121416191213131415

请选择平均利润较高的落地国，用最小二乘法求出回归直线方程为.参考数据和公式：

5

555£（苍-于）（y-歹）

^（x,.-x）2=10,中国E（x,-丁）（％-了）=20,南亚某国£（x,「T）5-y）=7,b=-------