2025年高考数学第一轮复习考点专练：利用导数证明不等式（学生版+解析）

第05讲利用导数证明不等式

（6类核心考点精讲精练）

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

证明函数的对称性

利用导数求函数的单调性

2024年新I卷，第18题,17分利用导数证明不等式

利用导数研究不等式恒成立问题

利用不等式求取值范围

利用导数求函数的单调区间（不含参）

2021年新I卷，第22题,12分利用导数证明不等式

导数中的极值偏移问题

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较大，分值为13-17分

【备考策略】1能用导数证明函数的单调性

2能求出函数的极值或给定区间的最值

3能进行函数转化证明不等式

【命题预测】导数的综合应用是高考考查的重点内容，也是高考压轴题之一近几年高考命题的趋势，是稳中

求变、变中求新、新中求活，纵观近几年的高考题，导数的综合应用题考查多个核心素养以及综合应用能力,

有一定的难度，一般放在解答题的最后位置，对数学抽象、数学运算、逻辑推理等多个数学学科的核心素养

都有较深入的考查，需综合复习

知识点1基本方法

核心知识点「知识点2常见类型

考点1直接法证明简单不等式

利用导数证明不等式考点2构造函数证明不等式

考点3转为两个函数类型证明不等式

核心考点考点4数列类型不等式的证明

考点5三角函数类型不等式的证明

考点6切线放缩法证明不等式

知识讲解

1.基本方法

在不等式构造或证明的过程中，可借助题目的已知结论、均值不等式、函数单调性、与e*、Inx有关的常用

不等式等方法进行适当的放缩，再进行证明.

(1)通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值(最值)，从而得出不等关系；

(2)利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；

(3)适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；

(4)构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.

2.常见类型

与e*有关的常用不等式:

(1)er>1+x(xeR)；(2)ex>ex(XGR).

与Inx有关的常用不等式:

■X—1

(1)----WlnxW%—1(%>0)；(2)--<lnx<—%(x>0)；

Xexe

2(x-l)

(3)lnx<------(0<x<l),lnx>———L(x>\)；

x+\x+1

(4)(x>l).

用x+1取代X的位置，相应的可得到与ln(x+l)有关的常用不等式.

考点一、直接法证明简单不等式

典例引领

1.(2024高三•全国•专题练习)求证：

X

2.(2022高三•浙江•专题练习)证明以下不等式:

(l)ex>x+l;

(2)lnx<x-l；

⑶eflna+l).

1.(2023高三•全国•专题练习)求证:

(l)ex>x2+l(x>0)；

(2)ex>ex;

⑶e"2ex+(x—球(x>0).

考点二、构造函数证明不等式

典例引领

1.(2024•湖南益阳•模拟预测)已知为正实数，构造函数〃力=—吟.若曲线y=〃x)在点处

CUC十D

的切线方程为y=：(依-5).

(1)求a+b的值；

,21

(2)求证：/(%)>-------.

'x+1尤

2.(2024・重庆•模拟预测)已知函数/(x)=a(x+a)—InxSeR)

(1)讨论函数〃x)的单调性；

(2)证明：当a>0时，/(x)>31na+2

3.(2024•山东济南•二模)已知函数/(*)=依2-lnx-Lg(x)=xeX-<zc2(aeR)•

⑴讨论〃龙)的单调性;

(2)证明:/(x)+g(x)>x.

1.(2024•河北•三模)已知函数/(x)=cosx+2x.

⑴当xe(-co,0)时，证明：/(x)<eA.

⑵若函数g(x)=ln(x+l)+e=〃x),试问：函数g("是否存在极小值？若存在，求出极小值；若不存在，

请说明理由.

0.2.(2024•河北保定三模)已知函数=1ax+lnx,x=l为/'(x)的极值点.

⑴求a；

(2)证明：f(x)<2x2-4x.

3.(2024・陕西榆林•模拟预测)己知函数〃x)=e*+(a-l)x-l,其中aeR.

⑴讨论函数/(x)的单调性；

(2)当a=2时，证明：/(x)>xlnx-cosx.

考点三、转为两个函数类型证明不等式

典例引领

1.(全国•高考真题)设函数/(x)=a/lnx+*,曲线y=f(x)在点处的切线方程为y=e(x-l)+2.

⑴求。，6(2)证明：/U)>1

1.(2024高三•阶段练习)已知函数/(x)=1-Inx+a12x32-ax{aeR).

(1)讨论了(尤)的单调区间；

(2)当1=0且％£(。/)，求证：")+尤--<1.

ex

考点四、数列类型不等式的证明

典例引领

1.(2022•全国•高考真题)已知函数/(%)=%*-el

⑴当Q=1时，讨论，㈤的单调性;

(2)当％>0时，f(x)<-1,求。的取值范围；

111一I、

(3)设〃wN*,证明：12+I2+・••+/〉ln(〃+l).

VI2+1V22+2

2.(2023•天津•高考真题)已知函数/(尤)=[g+；}n(尤+1).

⑴求曲线y=/(x)在尤=2处的切线斜率;

(2)求证:当x>0时，/(%)>1；

(3)证明：|<ln(«!)-

3.(2024・北京•三模)已知函数/(x)=ln(x+l)+%(x+l).

⑴求〃x)的单调区间；

(2)若y(x)w-i恒成立，求实数％的取值范围；

ln,n(n

⑶求证：XV,—<—.(且〃22)

4

1.(2024•河北•三模)已知函数/(%)=彳111了-加+(2a-l)x-a+l(aeR).

⑴若/(x)W0在［1,M)恒成立，求实数a的取值范围；

(2)证明：—+^—+—1—+---+-^-+—>ln2.

〃+1n+2〃+3n+n4〃

2.(2024•安徽马鞍山•模拟预测)已知函数/(无)=(尤+2)ln(尤+1).

⑴证明：x>0时，/(x)>lx；

«2

(2)证明：ln(M+l)>^—.

M2A:+1

3.(2024•江苏苏州•三模)己知函数/'(x)=cosx,g(x)=a(2-x2).

⑴a=l时,求歹(x)=/(幻-g(x)的零点个数;

(2)若/(尤)Ng(x)恒成立，求实数〃的最大值；

⑶求证:^sin］g-3-242)(左eR).

考点五、三角函数类型不等式的证明

典例引领

1.(2024•山东枣庄•模拟预测)己知函数/(x)=e£-ax2-x,/'(x)为了(元)的导数

(1)讨论了'(x)的单调性；

(2)若x=0是f(x)的极大值点，求。的取值范围；

(3)若。€卜，(；证明：e""^1+ecose-1+ln(sin<9cos6>)<1.

1.2.3.4.2.(2024•陕西•模拟预测)已知函数/(x)=alnx-x+l(aeR),g(x)=sinx-x.

(1)讨论函数〃x)的单调性；

⑵证明：<0(neN*);

(3)证明：In2>sin———I-sin--——i-sin--——I----Fsin—(〃wN*).

n+1n+2〃+3In

1.(2024・辽宁•模拟预测)已知函数/(x)=sinx-In(sinr),xe(l,2)

⑴求的最小值；

(2)证明：sinx-er-suu-In(sinx)>1.

2.(2024•陕西西安・模拟预测)已知函数/Xx)=2sinx-ax

⑴若函数在［0,K］内点A处的切线斜率为-a(a大0),求点A的坐标；

■JT

⑵①当。=1时，求8。)=/(幻-111。+1)在0,-上的最小值;

O

②证明：；；1n+1

sin+sinH—+sin->ln——(neN,n>2).

n2v7

考点六、切线放缩法证明不等式

典例引领

1.（2024高三・全国・专题练习）已知函数/（尤）=/一Q+2（4wR）,g（尤）=xe*+3.

⑴求函数〃元）的极值；

（2）当xNO时，〃x）＜g（x）恒成立，求证：a＞0.

1.（2023高二・上海・专题练习）已知函数/（劝=上/（左为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线

e

y=〃尤）在点（i,f（D）处的切线与x轴平行.

⑴求女的值；

⑵求了（X）的单调区间；

（3）设g（x）=（y+x）「（x）,其中/'（X）为了（X）的导函数.证明:对任意x＞0,g（x）＜l+e-2.

1-i-]nx

2.（2023•山东济南•一模）已知函数〃X）=F一.

（1）求函数的极值；

（2）若a21,求证：＞H+—j（l+lnx）.

IN.好题冲关

1.（2024高三•全国•专题练习）求证：若XK0,则e、＞l+x.

2.（2024高三•全国•专题练习）证明：当0＜无＜1时，x_x2＜sinx＜x；

3.（22-23高二下,河北沧州•阶段练习）求证：,,〈冬

Ina-mb2

4.（2022高三・全国・专题练习）讨论函数f（x）=Je，的单调性，并证明当x＞0时，（%-2）el+^+2＞0.

x+2

]2

5.（2024高三•全国・专题练习）已知函数/（x）=xlnx-ox,证明：对一切xw（0,+oo）,都有In尤+1＞户--—

成立.

6.（22-23高二下•北京•期中）已知函数/。）=叱-二

XX

⑴求曲线y=〃尤）在点（L/⑴）处的切线方程;

（2）求证：f（x）＜2x-3.

7.(2024高三•全国•专题练习)已知函数〃x)=e，-x(其中e是自然对数的底数)，g(x)=1.r12+l34.

⑴求证:/(x)>l；

⑵当xN。时，求证：/(x)2g(x).

8.(2024•湖北武汉•模拟预测)已知”x)=-/")f+x+21nx.

⑴求/'⑴并写出〃元)的表达式；

(2)证明：/(%)<x-l.

9.(2023•吉林长春•模拟预测)己知函数

⑴求的最小值；

47

⑵证明：ln§>五.

10.(2023.广西南宁•一模)/(x)=x-<21n(l+x),

⑴讨论〃%)的单调性；

⑵当[=1时，证明〃%)之0；

⑶证明对于任意正整数几，都有—।-----1------1---1------1>21n2.

nn+1n+24n—14〃

1.(2024•江苏苏州•模拟预测)己知函数/(%)=1!1%+依+1,。€11.

⑴讨论“X)的单调性；

(2)当时，证明：<e2x.

X

2.(2024•江苏连云港•模拟预测)已知函数/(x)=e'-；x2-x.

⑴求函数/(x)在x=l处的切线方程.

⑵证明：VXG[0,-+w),/(x)>sinx.

3.(2024•青海西宁•二模)已知函数/(%)=%2+(2-2〃)%-2alnx(〃£R).

⑴若a=2,求〃x)的极值；

(2)^g(^)=/(x)+2a2-2x+ln2x,求证：g(x)>-1.

4.(2024•陕西安康•模拟预测)已知函数/(x)=-lnx+e，—(e—l)x—l.

⑴求〃x)的最小值；

n，+1

(2)证明:VneN*,ln(n+l)+n<^ez.

Z=1

1.2.3.4.5.(2024•河北邢台・二模)己知函数一(司=墨北+一三一。，

⑴当。=0时，求函数y=/(x)在尤=3处的切线方程；

1

(2)若/(x)Ve二恒成立，求实数。的取值范围；

⑶证明：ln(/7+l)!>n+2^+^--(/7>2).

6.(2024三•全国・专题练习)已知/1(x)=(x-l)e"+]依~.

⑴当。=e时，求“X)的极值；

(2)对求证：/(无)2：⑪2+尤+1+111(尤一1).

7.(23-24高三下•山东荷泽•阶段练习)已知函数/(x)=ln(l+x)+a?—武0>0).

(1)讨论〃x)的单调区间；

⑵若函数g(x)=x-ln(l+x),«,证明：g(sina)+g(cosa)<^.

8.(2024•北京昌平•二模)已知函数“x)=x+£.

⑴求曲线y=/(x)在点(o"(o))处的切线方程；

⑵求在区间[0』上的最小值；

(3)若a>0,当x>0时，求证：/(lna-x)>/(lna+x).

9.(2024・湖南长沙三模)已知函数力(力=尤"+尤"7+…+x-l(〃eN+).

⑴判断并证明力(%)的零点个数

⑵记力(X)在(0,+8)上的零点为乙,求证；

(i)｛七｝是一个递减数列

/..、"+1'nY

(ii)V玉+/+…+%“<万+1・

10.(2024•四川南充•模拟预测)已知函数〃x)=l-x[(lnx)"-x],aeR.

12

⑴若函数〃元)在工=-处切线的斜率为一，求实数〃的值；

ee

⑵当〃=2时，V]£[l,+8),/(%)-侬：N0恒成立，求实数次的最大值;

〃2

(3)当4=2时，证明：£/「>ln(2"+l),"eN*.

7-1

1.（2019・北京•高考真题）已知函数/（无）=；/一/+尤.

4

（0）求曲线y=/（x）的斜率为1的切线方程；

（团）当尤w|-2,4］时，求证：x-6</（x）<x；

（0）设/（》）="（尤）-0+。）|（。€1<）,记/。）在区间［-2,4］上的最大值为M（°）,当M（a）最小时，求a

的值.

2.（2018■全国■高考真题）已知函数〃x）=（2+x+ax2）ln（l+尤）-2x.

（1）若a=0,证明：当一l<x<0时，/（x）<0；当x>0时，/（x）>0；

（2）若x=0是的极大值点，求4.

3.（2018•全国•高考真题）已知函数〃尤）=竺?二1.

（1）求曲线y=f（x）在点（。,-1）处的切线方程；

（2）证明：当421时，/（x）+e>0.

4.（2017•浙江•高考真题）已知数列代｝满足：占=1,%=%+ln（l+无

证明：当”eN*时，

（I）0<xn+l<xn.

（H）2""

（“）］■<为</！•

5.（2016•浙江可考真题）设函数/（尤）=----,元£［0,1］.证明：

1+x

（团）f（x）>l-x+x2;

33

（团）-</«<-.

42

6.（2016•全国•高考真题）设函数/（%）=ln%-%+l.

（团）讨论/⑺的单调性；

（团）证明当光£（1,+8）时，

Inx

（团）设c〉l,证明当％£（0,1）时，l+（c—1）%>心

7.（2015•全国•高考真题）设函数/（%）=言一alnx.

（0）讨论的导函数r（x）的零点的个数;

2

（团）证明：当。〉0时/（%）之2〃+aln—.

第05讲利用导数证明不等式

（6类核心考点精讲精练）

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

证明函数的对称性

利用导数求函数的单调性

2024年新I卷，第18题,17分利用导数证明不等式

利用导数研究不等式恒成立问题

利用不等式求取值范围

利用导数求函数的单调区间（不含参）

2021年新I卷，第22题,12分利用导数证明不等式

导数中的极值偏移问题

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较大，分值为13-17分

【备考策略】1能用导数证明函数的单调性

2能求出函数的极值或给定区间的最值

3能进行函数转化证明不等式

【命题预测】导数的综合应用是高考考查的重点内容，也是高考压轴题之一近几年高考命题的趋势，是稳中

求变、变中求新、新中求活，纵观近几年的高考题，导数的综合应用题考查多个核心素养以及综合应用能力,

有一定的难度，一般放在解答题的最后位置，对数学抽象、数学运算、逻辑推理等多个数学学科的核心素养

都有较深入的考查，需综合复习

______________知识点1基本方法

核心知识点「知识点2常见类型

考点1直接法证明简单不等式

利用导数证明不等式考点2构造函数证明不等式

考点3转为两个函数类型证明不等式

核，心考点考点4数列类型不等式的证明

考点5三角函数类型不等式的证明

考点6切线放缩法证明不等式

知识讲解

3.基本方法

在不等式构造或证明的过程中，可借助题目的已知结论、均值不等式、函数单调性、与e'、In%有关的常用

不等式等方法进行适当的放缩，再进行证明.

(1)通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值(最值)，从而得出不等关系；

(2)利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系;

(3)适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；

(4)构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.

4.常见类型

与e1有关的常用不等式：

(1)ex>1+x(xeR)；(2)ex>ex(XGR).

与In%有关的常用不等式：

Y-111

(1)----<lnx<x-l(x>0)；(2)---<lnx<-x(x>0)；

2(1)/、2(x-l)

lnx<------(Ovx<l),lnx>------(x>l)；

x+\x+\

lnx>—(0<x<l),lnx<—(x>\).

22

用x+1取代工的位置，相应的可得到与ln(x+l)有关的常用不等式.

考点一、直接法证明简单不等式

典例引领

1.(2024高三，全国•专题练习)求证：InxNl—-.

【详解】证明：令/(x)=lnx-1+-(％>0),则广(%)=—

Y—11

当Ovxvl时，/'(%)=[-<0,函数/(%)=lnx-1+-单调递减;

当X>1时，/'(劝=Y出—一1>0,函数/(x)=lnx_l+IL单调递增

XX

则"X)=Inx-1+4在X=1时求得最小值/(I)=Ini-1+!=0,

X1

即/(%)=lux-1+J20在(0,+GO)上恒成立，即lux21-J在(0,+8)上恒成立

2.(2022高三•浙江•专题练习)证明以下不等式:

(l)ex>x+l;

(2)lnx<x-l；

(3)e"i>ln(x+l).

【详解】(1)解:令/(x)=e，—(x+l),则有尸(x)=e-L

令/(无)<0,即然—1<0,解得x<0；

令((x)>0,即解得x>0,

所以/(X)在(-8,0)单调递减，(0,+8)上单调递增，

所以/(x)N/(0)=e°—l=0,即e'-(x+l)20.

所以元+1.

(2)解：^g(x)=lnx-(x-l)(x>0),贝lJg，(x)=L-l.

X

令g'(x)<0,即工一1<0,解得彳>0；

X

令?(尤)>0,即工一1<0,解得0cx<1,

尤

所以g(x)在(0,1)单调递增，(1,y)上单调递减，

所以gQ)=g(l)=lnl-(1—1)=0,即Inx-(尤一1)40,

所以InxWx-l.

(3)解：由(1)得e=x+1,所以广匕(x-l)+l=x(当且仅当x=l时取等号)①.

由(2)得InxVx-l,所以ln(x+l)〈(尤+l)-l=x(当且仅当x=0时取等号)②

因为①式与②式取等号的条件不同，所以ei>ln(x+l).

1.(2023高三・全国,专题练习)求证：

(l)ex>x2+l(x>0)；

(2)ex>ex;

⑶e"〉ex+(x—I)?(x>0).

V2+1

【详解】(1)要证e—f+1,只需证土上Wl,

e

令〃尤)=?(转0),广⑺=一邛40，

eee

故/(X)在R上单调递减，由于/(o)=l,因xNO,

Y24-1

故----<1,贝IJ有(x>o).

ex

⑵令〃尤)=||，尸3=斗旦，

当x>i时，r(x)<o；当了<1时，r(x)>o,

可知/(X)在(-8，1)上单调递增；在(1,+8)上单调递减，所以/⑴1mx="1)=1,

故号41,从而e'&ex成立.

e

⑶令/⑺=(x>0))y，(x)=_(xT)(；+e3),由/口)=0解得：％=3-e,x2=l,

令/'(x)>。，得3-e<x<l,令〃x)<。，得0vx<3-e或x>l

故〃x)在区间(0,3-e)和(1,+s)上单调递减，在区间(3-e,l)上单调递增，

由于〃。)=/(1)=1，

x2

则有e*+(xT)L］对％目0,y)恒成立,故得：e>er+(x-l)(x>0).

ex

考点二、构造函数证明不等式

典例引领

1.(2024・湖南益阳•模拟预测)已知为正实数，构造函数若曲线y=/(x)在点处

CUC十u

的切线方程为y=g(依-％).

(1)求a+b的值；

21

⑵求证：-----•

X+1X

【答案】⑴2

⑵证明见解析

【分析】(1)根据切线方程列出关于〃,匕的方程组，解方程组即可.

(2)对要证明的式子进行化简，构造函数，利用单调性求解即可.

1ax-ax]nx+b

【详解】(1)因为/⑺=-吟,所以尸(x)=

ax+bx(ax+b)2

a+b1

又因为广⑴="⑴=0,

(。+瓦)2a+b

所以曲线I⑶在点处的切线方程为尸占(1)=白，-工

由题意可知曲线y=/(x)在点(1J⑴)处的切线方程为y=g(欧-6),

1_a

所以2解得。=>=1(负值舍去),所以。+6=2.

1_b

、a+b2

Inx

⑵由第1问可知，，⑺=持

要证〃无丝三-工，即要证"上二-1

x+1Xx+1x+1X

只需证InxH---1^0.

x

1y—1

构造函数g(x)=lnx+-,贝i]g'(无)=——,

xx

当xe(0,1)时，gr(x)<0,函数g(x)单调递减;

当尤e(l,+8)时,g'(x)>0,函数g(无)单调递增,

21

所以g(x)疝n=g⑴=1,所以g(x)Nl,所以/(x2—.

x+l尤

2.(2024・重庆•模拟预测)已知函数/(x)=a(x+a)-Inx(awR)

⑴讨论函数的单调性；

(2)证明：当。>0时，/(x)>31na+2

【答案】⑴答案见解析

⑵证明见解析

【分析】(1)根据题意，求导可得/'(%),然后分与a>0讨论，即可得到结果；

(2)根据题意，由(1)可得的最小值为了(£|,构造函数g(x)=f—21nx-l(x>0),转化为g(x)的

最小值大于等于零，即可证明.

【详解】(1)依题意x>0,f\x)=a--,

X

当aW0时，/r(x)<0,

当a>0时，由r(x)>0得尤〉;，由r(x)<0得0<x<(，

即当a<0时函数/(X)在(0,+8)是减函数；

当a>0时在是减函数，在1,+j是增函数；

(2)由(1)知当a>0时，/(x)的最小值为/m=l+a2+lna,

1+a2+ina—(3Ina+2)——2InQ—1,

设g(x)=%2_21nx,

则g，(x)=2x二=2(1)(1),

XX

回函数g(x)在(0,1)是减函数，在(1,+8)是增函数，

即g(x)的最小值为g⑴=『—21111-1=0,即g(x)Ng(l)=0,

回g(a)20,即/(x)的最小值d£|=l+/+lnaN31na+2,

0/(x)>31na+2.

3.(2024•山东济南•二模)已知函数/(x)=ox2—lnx-l,g(x)=xe£-ax2(aeRA

⑴讨论的单调性；

(2)证明：f(x)+g(x)>x.

【答案】⑴答案见详解

⑵证明见详解

【分析】（1）求导可得尸（x）=牛二L分和a>0两种情况，结合导函数的符号判断原函数单调性;

（2）构建网x）=/（x）+g（x）T,x>0,MxHe-.xX）,根据单调性以及零点存在性定理分析网力的

零点和符号，进而可得尸（无）的单调性和最值，结合零点代换分析证明.

【详解】（1）由题意可得：的定义域为（0,+e）,/3=2办-工=犯・1,

XX

当aWO时，贝ij2ar2-l<0在（0,+/）上恒成立,

可知/（x）在（0,+8）上单调递减；

当a>0时，令/'（x）>0,解得x>令/解得0<x<

2a2a

上单调递减，在［修，+。上单调递增;

可知“X）在

综上所述：当a<0时，“X）在（0,+8）上单调递减;

\

当a>0时，/（x）在0,上单调递减,+。上单调递增.

7

(2)构建尸(x)=/(x)+g(x)-x=xe"-ln%—%-l,%>。,

则9(x)=(x+l)e-J-l=(x+l)(e-[,

由％>0可知x+l>0,

构建h(x\=e*—,x>0,

x

因为尸e”,y=-:在(°，+⑹上单调递增,则从力在(。,+⑹上单调递增,

旦心卜G2(0,/z(l)=e_l)0,

可知/z(x)在(0,+8)上存在唯一零点七eg,1)

当0<了<七，贝即尸'(x)<0；

当犬>/，则。(力>。，即尸⑺>0；

可知F(x)在(0,无)上单调递减，在(%,+8)上单调递增,

Ab

贝(JF(x)>F(xo)=xoe-lnx0-x0-l,

又因为e'°」=0,则eM=',Xo=eT。，xoef1,lL

x。%(2)

-%0

可得/(玉))=%ox-----Ine-x0-1=0,

即“x"0,所以/(x)+g(x)2x.

1.(2024•河北•三模)已知函数〃x)=cosx+2x.

⑴当XW(YO,0)时，证明：/(x)<eA.

(2)若函数g(x)=ln(x+l)+e，-〃x),试问：函数g(x)是否存在极小值?若存在，求出极小值；若不存在,

请说明理由.

【答案】⑴证明见解析

⑵存在；极小值为0.

【分析】(1)构造新函数，利用导数研究函数的单调性和最值，即可得证；

(2)对函数求导，并构造新函数，结合零点存在性定理及函数的单调性即可求解.

【详解】(1)证明：函数〃x)=cosx+2x定义域为R,

令F(x)=ex-2x-cos%,则F\x)=ex-2+sinx=(ex-1)+(sinx-1),

当了£(—oo,0)时，ex-l<e°-l=o,_Ssinx-l<0,所以尸'(%)<0,

函数方(x)=e*-2x-cosx在(-oo,0)上单调递减，故F(x)>F(0)=0,

即e"-2%-cosx〉0，故e">/(冗)得证.

x

(2)由题意g(%)=ln(%+l)+e"—2%—COSX,%>-1,贝！J=~~+e-2+sinx,x>-1,

x+\

令力(x)=g'(x)=^—+e“-2+sinx,x>-l,贝!Jhr(x)=ex-------+cosx,x>-l

x+1(x+1)

TTTT

当xe(O,$时，h'(x)>0,故函数/z(x)在(O.])单调递增，则心)>〃(0)=0,即，(x)>0,

所以g(M在(吟单调递增；

1-11

当xe(-l,O)时，〃(x)单调递增，且〃(0)=1>0,又〃(一七)=62+cos(-9)-4<0,

故七°e(-g,O),使得〃(%)=0,

所以当了€(无0,0)时，〃(力>0,即函数版尤)在(%,0)上单调递增，即〃(x)=g'(x)</7(0)=0,

所以函数g(x)在(x0,0)上单调递减；

兀--11

当兀£[一,+8)时，ex>e2>2,72>4,--->0,即:----+ex-2+sinx>0,

2x+1x+1

jr

所以函数g(x)在片,+8)上单调递增.

综上所述，函数g(x)在(内,。)上单调递减，在(。,+⑹上单调递增，

因此，当x=0时，函数g(M有极小值，极小值为g(0)=0.

故存在，极小值为0.

2.(2024・河北保定•三模)已知函数=/-办+lnx,x=l为/(x)的极值点.

⑴求a；

(2)证明：/(X)<2X2-4X.

【答案】⑴3；

(2)证明见解析；

【分析】(1)求导/。)=2%-。+工，由(⑴=0求解；

X

(2)转化为证％2一1一111。20,g(x)=x2-x-lnx,由gQ)*>。证明.

【详解】(1)解：f\x)=2x-a+~,

X

依题意，/'⑴=2x1-0+1=0,解得”3,

经检验符合题意，所以"=3；

(2)由(1)可知，/(x)=x2-3x+lnx,

要证/(%)=f-3x+lnx<2x2-4x,BPiiEx2-x-lnx>0,

设g(x)=%2—%—in%,贝U/(%)=21一］」=(XD(2x+1),

xx

所以当X£(O,1)时，gr(x)<0,g(x)单调递减，

当X£(l,+oo)时，g'(X)>0,g(x)单调递增，

当兀=1时，g(x)取得极小值，也是最小值，

因为g⑴=0，g(x)之g⑴=。，

所以/(%)(2%2一4%.

【点睛】方法点睛：证明不等式往往由/(九)而/0证明.

3.(2024・陕西榆林•模拟预测)已知函数/(同=已》+(々-1)九-1,其中acR.

⑴讨论函数/(%)的单调性；

(2)当〃=2时，证明：/(x)>xhi¥-cosx.

【答案】(1)答案见解析

⑵证明见解析

【分析】(1)就。21、a<1分类讨论导数的符号后可得函数的单调性；

(2)原不等式等价于e'+x+cosx—l—xlnx>0,x£(0,+oo),当OvxWl时，可由各式符号证明此不等式成立，

当x>l时，设g(x)=』+%+co&r—l—jdnx,利用导数可证明g'(x)>0恒成立，据此可得g(x)的单调性，从

而可得原不等式成立.

【详解】(1),.*/(%)=ex+((2-l)x-l,/./'(%)=ex+tz-l,

当〃21时，r(x)=ex+a-l>0,函数/(%)在R上单调递增；

当a<1时，由/'(%)=e*+a—1>。，得％>ln(l—a),

函数八%)在区间(1口(1-。),+8)上单调递增，

由r(x)=e*+a—l<。，得了<ln(l—a),

函数八%)在区间(y,ln(l-a))上单调递减.

综上，当“21时，/(%)在R上单调递增，无减区间.

当a<1时，在(in。-。),+8)上单调递增，在(-00,In(1-a))上单调递减.

(2)，.,当。=2时，f(x)=ex+x—1,

/.要证/(x)>xlnx-co&x,即证e"+x+cosx-l-xlnx>0,xe(0,+oo),

①当0<%Wl时，・・・eX+x+cosx-l>0,xlnx<0,

ex+x+cosx—1—xlnx>0；

②当x>l时，令g(x)=eX+%+co&x-l-xlnx,

贝！Jg'(x)=ex-sinx-lnx,设/z(x)=g'(x),贝U//(%)=ex-cosx--,

Qx>l,/.ex>e>2,-1<--<0,—1<—cosx<1,/zr(x)>0,

x

"(x)在(l,+°o)上单调递增，/./z(x)>/z(l)=e-sinl-0>0,即g'(x)>0,

二.g(%)在(L+oo)上单调递增，1.g(%)>g⑴=e+cosl>0,

即ex+x+cosx—1—xlnx>0.

综上，当〃=2时，/(x)>xlnx-cosx.

【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立，应该根据不等式中含有的函数的类型进行合理的分类讨论，

特别是含有三角函数式时，可根据其值域选择分类讨论的标准.

考点三、转为两个函数类型证明不等式

典例引领

bpX-l

1.(全国局考真题)设函数/(x)=a/lnx+〈,曲线y=f(x)在点(Lf(D)处的切线方程为y=e(x-l)+2.

x

⑴求。，6(2)证明：/«>1

【答案】(1)a=l,b=2.(2)详见解析.

【详解】试题分析：(1)根据求导法则求出原函数的导函数，由某点的导数是在该点的切线的斜率，结合

切线方程以及该点的函数值，将函数值和切线斜率代入原函数和导函数可求得参数值；(2)由(1)可得f(x)

的解析式，/(x)为多项式，对要证的不等式进行变形，使之成为两个函数的大小关系式，再分别利用导函

数求出两函数在定义域内的最值，可证得两函数的大小关系，进而证得.

试题解析：(1)函数/⑺的定义域为(0,+8),

f\x)=aex\nx+-ex-^^.

XXX

由题意可得/(1)=2,/⑴=e.故口=1,b=2.

2

(2)证明：由(1)知，f(x)=exlnx+-ex~1,

X

2

从而/W>1等价于x\nx>xe~x--.

e

设函数g(%)=Hnx,则g<%)=l+lnx.

所以当g&)<0；

当xe[j,+oo]时，g'(x)>0.

故g(x)在,,j上单调递减，上单调递增，从而g(x)在(0,+?)上的最小值为g(；)=1.

2

设函数%(%)=枕一”——,贝！|"(%)="'(1一%).

e

所以当工£(0,1)时，"%)>。；当尤£(1,+8)时，”(%)V。.故%(%)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减,

从而Mx)在(0,+8)上的最大值为〃⑴=

e

综上，当x>0时,g(x)>h(x),即上x)>l.

考点：1、导数的几何意义；2、利用导数研究函数的单调性进而证明不等式恒成立.

【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、不等式的恒成立

和导数的几何意义，属于难题.利用导数研究函数/■(%)的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数

“X)的定义域；②对〃x)求导；③令/(x)>0,解不等式得x的范围就是递增区间；令尸(力<0,解不

等式得x的范围就是递减区间；④根据单调性求函数/(X)的极值及最值(闭区间上还要注意比较端点处函

数值的大小).本题(2)的证明过程就是利用导数分别求出g(x)在(0,+?)上的最小值及力(x)在(0,+8)上的

最大值，进而得证的.

1.(2024高三•阶段练习)已知函数/(x)=l-lnx+a?/-a尤(aeR).

(1)讨论AM的单调区间；

(2)当。=0且xe(0,l),求证：以虫+尤-L<1.

ex

【答案】(1)见解析(2)证明见解析

【分析】(1)函数/(刈定义域为(0,+8),求出导函数，通过。=0,a>0,“<0判断导函数符号，求解函数

1_lnr1

的单调区间；(2)运用分析法转化证明，要证，只需证，法一中要证——+x—<1,只需证：