2025年高考数学第一轮复习考点专练：分类加法原理与分步乘法原理（学生版+解析）

第01讲分类加法原理与分步乘法原理

（3类核心考点精讲精练）

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

全排列问题解读

2024年新H卷，第14题,6分分步乘法计数原理

写出基本事件

2023年新I卷，第13题,5分分类加法计数原理实际问题中的组合计数问题

抽样比、样本总量、各层总数、总体容

2023年新D卷，第3题,5分分步乘法计数原理及简单应用量的计算

实际问题中的组合计数问题

2023年全国甲卷（理），

分类加法计数原理排列数的计算

第9题,5分

2023年全国乙卷（理），排列数的计算

分步乘法计数原理及简单应用

第7题,5分实际问题中的组合计数问题

2020年全国乙卷（理），

分步乘法计数原理及简单应用相邻问题的排列问题

第14题,5分

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等，分值为5分

【备考策略】L理解、掌握分类加法原理与分步乘法原理的定义

2.会分类加法原理与分步乘法原理在实际问题中的应用及计算

【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般会和排列组合结合在小题中考查，需重点复习

知识讲解

1.分类加法计数原理

做一件事，完成它有n类办法,在第一类办法中有7771种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法

在第〃类办法中有他“种不同的方法.那么完成这件事共有N=si+他+…+*种不同的方法.

2.分步乘法计数原理

做一件事，完成它需要分成"个步骤，做第一个步骤有侬种不同的方法，做第二个步骤有〃Z2种不同的方

法做第”个步骤有物,种不同的方法.那么完成这件事共有N=niiXn72X…又如种不同的方法.

3.分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别

分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；

分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事.

4.使用分类加法计数原理时两个注意点

（1）根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏.

（2）分类时，注意完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，不能重复.

5.利用分步乘法计数原理解题时三个注意点

（1）要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的.

（2）各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这件事.

（3）对完成每一步的不同方法数要根据条件准确确定.

应用两个计数原理的难点在于明确分类和分步.分类要做到“不重不漏”，正确把握分类标准是关键；分步

要做到“步骤完整”，步步相连能将事件完成，较复杂的问题可借助图表完成.

考点一、分类加法原理

典例引领

L（2023•北京东城•二模）某社区计划在端午节前夕按如下规则设计香囊：在基础配方以外，从佩兰、冰片、

丁香、石菖蒲这四味中药中至少选择一味添加到香囊，则不同的添加方案有（）

A.13种B.14种C.15种D.16种

2.（2023•全国•高三专题练习）将编号1,2,3,4的小球放入编号为1,2,3的盒子中，要求不允许有空

盒子，且球与盒子的号不能相同，则不同的放球方法有（）

A.16种B.12种C.9种D.6种

1.（2024•内蒙古赤峰•模拟预测）有3名同学同时被邀请参加一项活动，必须有人去，去几人自行决定，共

有种不同的去法.（用数字回答）

2.（2023•全国•高三专题练习）如果把个位数是1,且恰有3个数字相同的四位数叫做"好数"，那么在由1,

2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，"好数"共有个.

考点二、分步乘法原理

典例引领

1.（2023•全国•高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有

1种相同的选法共有（）

A.30种B.60种C.120种D.240种

2.（全国•高考真题）如图，小明从街道的E处出发，先到尸处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓

参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为

D.9

1.（2023秋・山东•高三校联考阶段练习）某商店共有A,B,C三个品牌的水杯，若甲、乙、丙每人买了一

个水杯，且甲买的不是A品牌，乙买的不是C品牌，则这三人买水杯的情况共有（）

A.3种B.7种C.12种D.24种

2.（2024•山东荷泽・二模）在2024年高校自主招生考试中，高三某班的四名同学决定报考三所高校，

则恰有两人报考同一高校的方法共有（）

A.9种B.36种C.38种D.45种

3.（2024•江苏南通•模拟预测）某志愿者小组有5人，从中选3人到A、8两个社区开展活动，其中1人到A

社区，则不同的选法有（）

A.12种B.24种C.30种D.60种

考点三、两个计数原理的综合应用

典例引领

1.（2024・上海・高考真题）设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两个不同元素之

积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值____.

2.（2024•河南信阳•模拟预测）从0,1,2,5中取三个不同的数字，组成能被5整除的三位数，则不同三

位数有（）

A.12个B.10个C.8个D.7个

3.（2024・安徽合肥・模拟预测）2024届高三某次联考中对尖端生采用屏蔽措施，某校历史方向有

A、B、C、D、E五名屏蔽生总分在前9名，现在确定第一、二、五名是A、B、C三位同学，但A不是第一

名，D、E两名同学只知道在6至9名，且。的成绩比E好，则这5位同学总分名次有多少种可能（）

A.6B.12C.24D.48

1.（2024•河北•模拟预测）用0J,2,3,4能组成没有重复数字且比32000小的数字（）个.

A.212B.213C.224D.225

2.（23-24高二下•广东中山•期末）用数字0,1,2,3,4,5组成的有重复数字的三位数且是偶数的个数

为（）

A.76B.38C.36D.30

3.（2023•江苏扬州•仪征中学校考模拟预测）某人从上一层到二层需跨10级台阶，他一步可能跨1级台阶，

称为一阶步，也可能跨2级台阶，称为二阶步，最多能跨3级台阶，称为三阶步，从一层上到二层他总共

跨了6步，而且任何相邻两步均不同阶，则他从一层到二层可能的不同走法共有（）种.

A.10B.9C.8D.12

I诲,好题冲关.

1.（2024・云南大理•模拟预测）现有4个同学站成一排，将甲、乙2个同学加入排列，保持原来4个同学顺

序不变，不同的方法共有（）种

A.10B.20C.30D.60

2.（2024•河南•二模）将甲，乙等5人全部安排到A,民C,。四个工厂实习，每人只去一个工厂，每个工厂至

少安排1人，且甲，乙都不能去A工厂，则不同的安排方法有（）

A.72种B.108种C.126种D.144种

3.（2024・陕西商洛•三模）甲、乙、丙、丁、戊5名大学生实习时，有A,B,C三家企业可供选择，若去C

企业最多一人，则不同分配种数是（）

A.112B.80C.64D.32

4.（2024•河南濮阳・模拟预测）某班派遣五位同学到甲、乙、丙三个街道打扫卫生.每个街道至

少有一位同学去，至多有两位同学去，且A,3两位同学去同一个街道，则不同的派遣方法有（）

A.18B.24C.36D.48

5.（23-24高二下•天津北辰•期中）从0,2,4中选一个数字.从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字

的三位数.其中奇数的个数为（）

A.48B.30C.24D.6

6.（23-24高二下•广西桂林,期末）从1,3,5,7中任取2个数字，从2,4中任取1个数字，可以组成没

有重复数字的三位数的个数是（）

A.8B.12C.18D.72

7.（24-25高三上•北京•阶段练习）某外商计划在5个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资

的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有（）

A.36种B.60种C.120种D.180种

8.（24-25高三上•广东•阶段练习）小明去超市从4种功能性提神饮料和5种电解质饮料中选3瓶进行购买，

若每种饮料至多买一瓶，则功能性提神饮料和电解质饮料都至少买1瓶的买法种数为.（用数字作答）

9.（24-25高三上•上海黄浦•阶段练习）若甲、乙两人从6门课程中各选修3门，则甲、乙所选修的课程中至

少有1门相同的选法种数为一.

10.（24-25高三上•上海•开学考试）若从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取2个偶数和2个奇数，组成

一个无重复数字的四位数，则不同的四位数的个数是.

1.（2024・河北•模拟预测）用0,1,2,3,4能组成没有重复数字且比32000小的数字（）个.

A.212B.213C.224D.225

2.（2024・广东深圳•模拟预测）已知6件不同的产品中有2件次品，现对它们一一测试，直至找到所有2件

次品为止，若至多测试4次就能找到这2件次品，则共有（）种不同的测试方法.

A.114B.90C.106D.128

3.（2024・陕西铜川•模拟预测）小张同学喜欢吃4种不同品种的奶糖，她有5个不同颜色的塑料袋，每个袋

子中至少装1种奶糖.小张同学希望任意两个袋子所包含奶糖种类不完全相同，且每一种奶糖均要在两个

袋子中出现，那么不同的方案数为（）

A.3000B.3360C.1440D.1560

4.（23-24高二下•浙江杭州・期中）将5名医生分配到三个社区协助开展社区老年人体检活动，每个社区至

少1人，则不同的分配方法有（）

A.50B.150C.240D.300

5.（24-25高三上•浙江•阶段练习）将6棵高度不同的景观树种植在道路两侧，要求每一侧种植3棵，且每

一侧中间的景观树都要比两边的高，则不同的种植方法共有（）

A.20种B.40种C.80种D.160种

6.（23-24高三上•江苏•阶段练习）若一个五位数的各个数位上的数字之和为3,则这样的五位数共有个.

7.（2024•浙江杭州•模拟预测）袋子中有数字"7"的卡片3张和数字"2","3","5"的卡片各1张，从中任意取

出4张卡片，最多能组成个不同的四位数（用数字回答）.

8.（23-24高二下•吉林长春•期末）有4人到甲、乙、丙三所学校去应聘，若每人至多被一所学校录用，每

所学校至少录用其中1人，则所有不同的录用情况种数为.（用数字作答）

9.（2024高三・全国•专题练习）用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数，将这些数字

从小到大排列起来，第71个数是.

10.（23-24高三上•山东泰安•阶段练习）现有6名志愿者报名参加某项暑期公益活动，此项公益活动为期两

天，每天从这6人中安排3人参加，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式有种.

1.（2023•全国•统考高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中

恰有1种相同的选法共有（）

A.30种B.60种C.120种D.240种

2.（2023•全国•统考高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每

天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（）

A.120B.60C.30D.20

3.（2023•全国•统考高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中

选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种（用数字作答）.

4.（北京・高考真题）从0,2中选一个数字.从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数.其中奇

数的个数为

A.24B.18C.12D.6

5.（全国•高考真题）5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方

法有（）

A.10种B.20种C.25种D.32种

6.（全国•高考真题）甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则

不同的选修方案共有

A.36种B.48种C.96种D.192种

7.（四川・高考真题）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是

A.72B.96C.108D.144

8.（全国•统考高考真题）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区

至少安排1名同学，则不同的安排方法共有种.

第01讲分类加法原理与分步乘法原理

（3类核心考点精讲精练）

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

全排列问题解读

2024年新H卷，第14题,6分分步乘法计数原理

写出基本事件

2023年新I卷，第13题,5分分类加法计数原理实际问题中的组合计数问题

抽样比、样本总量、各层总数、总体容

2023年新II卷，第3题,5分分步乘法计数原理及简单应用量的计算

实际问题中的组合计数问题

2023年全国甲卷（理），

分类加法计数原理排列数的计算

第9题,5分

2023年全国乙卷（理），排列数的计算

分步乘法计数原理及简单应用

第7题,5分实际问题中的组合计数问题

2020年全国乙卷（理），

分步乘法计数原理及简单应用相邻问题的排列问题

第14题,5分

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等，分值为5分

【备考策略】1.理解、掌握分类加法原理与分步乘法原理的定义

2.会分类加法原理与分步乘法原理在实际问题中的应用及计算

【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般会和排列组合结合在小题中考查，需重点复习

知识讲解

1.分类加法计数原理

做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有mi种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法

在第〃类办法中有恤种不同的方法.那么完成这件事共有N=如+货+…+加〃种不同的方法.

2.分步乘法计数原理

做一件事，完成它需要分成〃个步骤，做第一个步骤有电种不同的方法，做第二个步骤有“22种不同的方

法……做第n个步骤有恤种不同的方法.那么完成这件事共有N^mlXm2X…X?时种不同的方法.

3.分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别

分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；

分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事.

6.使用分类加法计数原理时两个注意点

⑴根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏.

(2)分类时，注意完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，不能重复.

7.利用分步乘法计数原理解题时三个注意点

(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的.

(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这件事.

(3)对完成每一步的不同方法数要根据条件准确确定.

应用两个计数原理的难点在于明确分类和分步.分类要做到“不重不漏”，正确把握分类标准是关键；分步

要做到“步骤完整”，步步相连能将事件完成，较复杂的问题可借助图表完成.

考点一、分类加法原理

典例引领

1.(2023•北京东城•二模)某社区计划在端午节前夕按如下规则设计香囊：在基础配方以外，从佩兰、冰片、

丁香、石菖蒲这四味中药中至少选择一味添加到香囊，则不同的添加方案有()

A.13种B.14种C.15种D.16种

【答案】C

【分析】分四种情况，利用分类计数原理即可求出结果.

【详解】从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中选一种，有C：=4种，

从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中选二种，有C；=6种，

从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中选三种，有C：=4种，

从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药全选，有C：=l种，

所以从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中至少选一种，共有4+6+4+1=15种，

故选：C.

2.（2023•全国•高三专题练习）将编号1,2,3,4的小球放入编号为L2,3的盒子中，要求不允许有空

盒子，且球与盒子的号不能相同，则不同的放球方法有（

A.16种B.12种C.9种D.6种

【答案】B

【分析】分六种情况讨论，求解每一种类型的放球方法数,然后利用分类计数加法原理求解即可.

【详解】由题意可知，这四个小球有两个小球放在一个盒子中，当四个小球分组为如下情况时，放球方法

有:

当1与2号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法;

当1与3号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法;A

当1与4号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法;

当2与3号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法;

当2与4号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法;

当3与4号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法;

因此，不同的放球方法有12种，故选B.

点睛：本题主要考查分类计数加法原理的应用，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐

含条件.解题过程中要首先分清"是分类还是分步"，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论

又不能遗漏，这样才能提高准确率.

1.（2024•内蒙古赤峰•模拟预测）有3名同学同时被邀请参加一项活动，必须有人去，去几人自行决定，共

有种不同的去法.（用数字回答）

【答案】7

【分析】按去1,2,3个人分类，利用组合数求解即可.

【详解】由题意，去1人有C；=3种去法，去2人有C；=3种去法，去3人有C；=l种去法，

所以共有3+3+1=7种不同的去法，

故答案为：7

2.（2023•全国•高三专题练习）如果把个位数是1,且恰有3个数字相同的四位数叫做"好数"，那么在由1,

2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，"好数"共有个.

【答案】12

【分析】分析可得，共有三个1,三个2,三个3,三个4,4种情况，分别求得满足题意"好数"个数，根

据分类加法计数原理，即可得答案.

【详解】当组成的数字有三个1,三个2,三个3,三个4时共有4种情况.

当有三个1时：2111,3111,4111,1211,1311,1411,1121,1131,1141,有9种，

当有三个2,3,4时：2221,3331,4441,有3种,

根据分类加法计数原理可知，共有12种结果.

故答案为：12

考点二、分步乘法原理

典例引领

1.（2023•全国•高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有

1种相同的选法共有（）

A.30种B.60种C.120种D.240种

【答案】C

【分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案.

【详解】首先确定相同得读物，共有C；种情况，

然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有A；种，

根据分步乘法公式则共有C2A；=120种，

故选：C.

2.（全国•高考真题）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓

参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为

A.24B.18C.12D.9

【答案】B

【详解】解：从后到孔每条东西向的街道被分成2段，每条南北向的街道被分成2段，

从E到尸最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，

每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，故共有C/C22=6种走法.

同理从尸到G,最短的走法，有C£Cz2=3种走法.

.•.小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6X3=18种走法.

故选B.

【考点】计数原理、组合

【名师点睛】分类加法计数原理在使用时易忽视每类中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是相互

独立的；分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事,

步步之间是相互关联的.

1.（2023秋・山东•高三校联考阶段练习）某商店共有A,B,C三个品牌的水杯，若甲、乙、丙每人买了一

个水杯，且甲买的不是A品牌，乙买的不是C品牌，则这三人买水杯的情况共有（）

A.3种B.7种C.12种D.24种

【答案】C

【分析】根据分步乘法计数原理即可求解.

【详解】由分步乘法计数原理可得这三人买水杯的情况共有2x2x3=12（种）.

故选：C

2.（2024,山东荷泽•二模）在2024年高校自主招生考试中，高三某班的四名同学决定报考三所高校，

则恰有两人报考同一高校的方法共有（）

A.9种B.36种C.38种D.45种

【答案】B

【分析】利用排列、组合数即可求解.

【详解】由题意，恰有两人报考同一高校的方法共有C：A；=36种.

故选：B.

3.（2024•江苏南通•模拟预测）某志愿者小组有5人，从中选3人到A、8两个社区开展活动，其中1人到A

社区，则不同的选法有（）

A.12种B.24种C.30种D.60种

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理及组合数计算即得.

【详解】求不同选法种数需2步，先从5人中选1人去A社区，再从余下4人中选2人去8社区，

所以不同的选法有C；C；=30（种）.

故选：C

考点三、两个计数原理的综合应用

典例引领

1.（2024・上海•高考真题）设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两个不同元素之

积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值____.

【答案】329

【分析】三位数中的偶数分个位是0和个位不是0讨论即可.

【详解】由题意知集合中且至多只有一个奇数，其余均是偶数.

首先讨论三位数中的偶数，

①当个位为0时，则百位和十位在剩余的9个数字中选择两个进行排列，则这样的偶数有周=72个；

②当个位不为0时，则个位有C：个数字可选，百位有C；=256个数字可选，十位有C；个数字可选，

根据分步乘法这样的偶数共有C；C；C；=256,

最后再加上单独的奇数，所以集合中元素个数的最大值为72+256+1=329个.

故答案为：329.

2.（2024•河南信阳•模拟预测）从0,1,2,5中取三个不同的数字，组成能被5整除的三位数，则不同三

位数有（）

A.12个B.10个C.8个D.7个

【答案】B

【分析】根据能被5整除的数的特征，分类讨论，结合排列组合即可求解.

【详解】能被5整除的三位数末位数字得是0或5,

当末位数字为。时，此时有A；=6个符合条件的三位数，

当末位数字为5时，此时有2x2=4个符合条件的三位数，

因此一共有4+6=10个，

故选：B

3.（2024•安徽合肥•模拟预测）2024届高三某次联考中对尖端生采用屏蔽措施，某校历史方向有

4B、C、D、E五名屏蔽生总分在前9名，现在确定第一、二、五名是A、B、C三位同学，但A不是第一

名，D、E两名同学只知道在6至9名，且。的成绩比E好，则这5位同学总分名次有多少种可能（）

A.6B.12C.24D.48

【答案】C

【分析】先排A,再排8和C,对。进行分类，可排6,7,8位，最后根据。的情况再排E。

【详解】第一步排A有两种可能：第2名或第5名；

第二步排B和C有两种可能；

第三步排D和E,。有6,7,8位三种可能；

当。为第6名时，E有7,8,9名三种可能，

当。为第7名时，E有8,9名两种可能，

当。为第8名时，E只有第9名一种可能，

所以第三步的总数为3+2+1=6种；

根据分类计数原理，所有名次排位的总数=2x2x6=24种。

故选：C

1.（2024•河北•模拟预测）用Q1,2,3,4能组成没有重复数字且比32000小的数字（）个.

A.212B.213C.224D.225

【答案】D

【分析】先对数字位数分类讨论，在对五位数的首位数字进行分类讨论：①首位为1,2；②首位为3.然后

分析千位数的选取，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得结果.

【详解】分数字位数讨论：

一位数5个；

两位数有4x4=16个；

三位数有4x4x3=48个；

四位数有4x4x3x2=96个；

五位数分以下两种情况讨论：

①首位数字为1或2,止匕时共有2A：=2x24=48个；

②首位数字为3,则千位数从。或1中选择一个，其余三个数位任意排列，

此时共有2禺=12个.

综上所述，共有5+16+48+96+48+12=225个比32000小的数.

故选：D.

2.（23-24高二下•广东中山•期末）用数字0,1,2,3,4,5组成的有重复数字的三位数且是偶数的个数

为（）

A.76B.38C.36D.30

【答案】B

【分析】组成有重复数字的三位数，且是偶数，按个位是0和不是0进行分类；个位不是0时要注意选中的数

有0和不是0情况求解.

【详解】由题意可知，这三位数是偶数，则说明其个位数为偶数，即0,2,4,有3种选择，

而由于这是一个三位数，所以百位数不能是0,有5种选择，因为存在重复数字，由此分类讨论：

①当个位数为。时，则百位数有5种选择，十位数有两种情况，

与百位数一样，只有一种选择，

与个位数一样，也只有一种选择；

②当个位数为2时，

如果百位数为2,则十位数有6种选择，

如果百位数不为2,则百位数有4种选择，此时十位数可以与百位数或个位数相同，有2种选择：

当个位数为4时，

如果百位数为4,则十位数有6种选择，

如果百位数不为4,则百位数有4种选择，十位数可以与百位数或个位数相同，有2种选择

综上所述，5x1+5x1+1x6+4x2+1x6+4x2=38.

故选：B.

3.(2023•江苏扬州•仪征中学校考模拟预测)某人从上一层到二层需跨10级台阶，他一步可能跨1级台阶，

称为一阶步，也可能跨2级台阶，称为二阶步，最多能跨3级台阶，称为三阶步，从一层上到二层他总共

跨了6步，而且任何相邻两步均不同阶，则他从一层到二层可能的不同走法共有()种.

A.10B.9C.8D.12

【答案】A

【分析】利用计数原理直接计算即可.

【详解】按题意要求，不难验证这6步中不可能没有三阶步，也不可能有多于1个的三阶步.

因此，只能是1个三阶步，2个二阶步，3个一阶步.

为形象起见，以白、黑、红三种颜色的球来记录从一层到二层跨越10级台阶的过程：

白球表示一阶步，黑球表示二阶步，红球表示三阶步，

每一过程可表为3个白球、2个黑球、1个红球的一种同色球不相邻的排列.

下面分三种情形讨论.

(1)第1、第6球均为白球，则两黑球必分别位于中间白球的两侧，

此时，共有4个黑白球之间的空位放置红球，所以此种情况共有4种可能的不同排列；

(2)第1球不是白球.

(i)第1球为红球，则余下5球只有一种可能的排列；

(ii)若第1球为黑球，则余下5球因红、黑球的位置不同有两种不同的排列，

此种情形共有3种不同排列；

(3)第6球不是白球，同(2),共有3种不同排列.

总之，按题意要求从一层到二层共有4+3+3=10种可能的不同过程.

故选：A

12.好题冲关.

1.(2024•云南大理•模拟预测)现有4个同学站成一排，将甲、乙2个同学加入排列，保持原来4个同学顺

序不变，不同的方法共有()种

A.10B.20C.30D.60

【答案】C

【分析】应用分步乘法原理计算即可.

【详解】4个同学站成一排有5个空，甲加入排列有5种情况，队列变成5个人有6个空，乙加入排列有6

种情况，

由分步计数原理得，共有5x6=30种不同的方法.

故选：c

2.（2024•河南•二模）将甲，乙等5人全部安排到A,民C,。四个工厂实习，每人只去一个工厂，每个工厂至

少安排1人，且甲，乙都不能去A工厂，则不同的安排方法有（）

A.72种B.108种C.126种D.144种

【答案】C

【分析】利用分类加法计数原理，结合分组分配问题和排列组合知识求解.

【详解】由题意可知，分两种情况讨论，

①A工厂安排1人，有驾？颁退种，

②A工厂安排2人，有位旬g种，

所以不同的安排方法有108+18=126种.

故选：C.

3.（2024・陕西商洛•三模）甲、乙、丙、丁、戊5名大学生实习时，有A,B,C三家企业可供选择，若去C

企业最多一人，则不同分配种数是（）

A.112B.80C.64D.32

【答案】A

【分析】根据已知条件及分类分步计数原理即可求解.

【详解】分两类情况，第一类情况，去C企业仅有一人，有C；x24=80种情况；

第二类情况，没有一个去C企业，有2$=32种情况，

所以根据分类加法计数原理共有80+32=112种.

故选：A.

4.（2024•河南濮阳・模拟预测）某班派遣AB,C,O,E五位同学到甲、乙、丙三个街道打扫卫生.每个街道至

少有一位同学去，至多有两位同学去，且A,2两位同学去同一个街道，则不同的派遣方法有（）

A.18B.24C.36D.48

【答案】A

【分析】先安排AB，再将剩余3人分别两组，和两个街道进行全排列，求出答案.

【详解】由题意得，学生的分配人数分别为2,2,1,

由于AB两位同学去同一个街道，故先从3个街道中选择1个安排AB,有C；种，

再将剩余3人分别两组，和两个街道进行全排列，有C；A；=6

故不同的派遣方法有3x6=18种.

故选：A.

5.（23-24高二下•天津北辰•期中）从0,2,4中选一个数字.从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字

的三位数.其中奇数的个数为（）

A.48B.30C.24D.6

【答案】B

【分析】考虑到百位数字非零的限制，将三位奇数分成三类，分别用排列组合数表示方法数，最后运用分

类加法计数原理计算即得.

【详解】依题意，这样的三位奇数分为三类：

①元素0被选中，则应放在十位，从1,3,5中选两个数字排在个位与百位，共有A；=6种方法；

②元素2被选中，则可放在百位或十位，再从1,3,5中选两个数字排在余下的两个数位，有C；A；=12种

方法；

③元素4被选中，与②情况相同，有C；A；=12种方法.

由分类加法计数原理可得，奇数的个数为6+12x2=30个.

故选：B.

6.（23-24高二下•广西桂林•期末）从1,3,5,7中任取2个数字，从2,4中任取1个数字，可以组成没

有重复数字的三位数的个数是（）

A.8B.12C.18D.72

【答案】D

【分析】利用分步计数原理，结合组合数与排列数，即可计算结果.

【详解】从1,3,5,7中任取2个数的方法数有C：=6；

从2,4中任取1个数的方法数有C；=2；

选出的3个数的排列有A；=6；

再利用分步计数乘法原理得：

可以组成没有重复数字的三位数的个数有6x2x6=72.

故选：D.

7.（24-25高三上•北京•阶段练习）某外商计划在5个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资

的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有（）

A.36种B.60种C.120种D.180种

【答案】C

【分析】根据题意，分两种情况讨论，一是在两个城市分别投资1个项目、2个项目，二是在三个城市各投

资1个项目，分别计算其情况数目，进而由加法原理，计算可得答案.

【详解】该外商不同的投资方案分为两类：若1个城市投资2个项目，另外1个城市投资1个项目，有

C；A；=60种投资方案；

若3个城市各投资1个项目，共有A；=60种投资方案，

由分类计数原理知，共有120种不同的投资方案.

故选：C.

8.（24-25高三上•广东•阶段练习）小明去超市从4种功能性提神饮料和5种电解质饮料中选3瓶进行购买，

若每种饮料至多买一瓶，则功能性提神饮料和电解质饮料都至少买1瓶的买法种数为.（用数字作答）

【答案】70

【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理及组合计数问题列式计算即得.

【详解】依题意，两种饮料都至少买1种的买法种数为C；C"C；C；=30+40=70.

故答案为：70

9.（24-25高三上•上海黄浦,阶段练习）若甲、乙两人从6门课程中各选修3门，则甲、乙所选修的课程中至

少有1门相同的选法种数为一.

【答案】380

【分析】分有1门相同、2门相同、3门相同三种情况讨论，利用分步乘法计数原理与分类加法计数原理计

算可得.

【详解】若甲、乙所选的课程有1门相同，则有C：xC；xC；=180种情况；

若甲、乙所选的课程有2门相同，贝U有C：xC；xC；=18。种情况；

若甲、乙所选的课程有3门相同，则有C；=20种情况；

综上可得甲、乙所选修的课程中至少有1门相同的选法种数为180+180+20=380.

故答案为：380

10.（24-25高三上•上海•开学考试）若从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取2个偶数和2个奇数，组成

一个无重复数字的四位数，则不同的四位数的个数是.

【答案】180

【分析】根据特殊元素优先法，按照0是否被取到，先分类再分步即可解决.

【详解】根据题意，可将四位数分成两类：

第一类，数字。被取到，则可从2,4中任选一个，再从1,3,5中任选两个，

接着从除0外的另外三个数中取一个排在首位，剩下的在三个数位上全排，

此时共有C；C；C；A；=108个四位数；

第二类，数字0没被取到，故2,4全被取到，只需从1,3,5中任选两个，

再与2,4共4个数字在四个数位上全排，此时共有C；A：=72个四位数.

根据分类加法计数原理，不同的四位数的个数是108+72=180.

故答案为：180.

1.（2024・河北•模拟预测）用0」,2,3,4能组成没有重复数字且比32000小的数字（）个.

A.212B.213C.224D.225

【答案】D

【分析】先对数字位数分类讨论，在对五位数的首位数字进行分类讨论：①首位为1,2；②首位为3.然后

分析千位数的选取，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得结果.

【详解】分数字位数讨论：

一位数5个；

两位数有4x4=16个；

三位数有4x4x3=48个；

四位数有4x4*3x2=96个；

五位数分以下两种情况讨论：

①首位数字为1或2,此时共有2空=2x24=48个；

②首位数字为3,则千位数从0或1中选择一个，其余三个数位任意排列，

此时共有2阀=12个.

综上所述，共有5+16+48+96+48+12=225个比32000小的数.

故选：D.

2.（2024•广东深圳•模拟预测）已知6件不同的产品中有2件次品，现对它们一一测试，直至找到所有2件

次品为止，若至多测试4次就能找到这2件次品，则共有（）种不同的测试方法.

A.114B.90C.106D.128

【答案】A

【分析】利用分类加法计数原理可求得测试方法的种数.

【详解】解：检测2次可测出2件次品，不同的测试方法有A；种；

检测3次可测出2件次品，不同的测试方法有C；C；A；种；

检测4次测出2件次品；不同的测试方法有C；C；Aj种；

检测4次测出4件正品，不同的测试方法共有A：种，

由分类计数原理，满足条件的不同的测试方法的种数为：

A；+C；C；C；+C；C；A：+A：=114种.

故选：A.

3.（2024・陕西铜川•模拟预测）小张同学喜欢吃4种不同品种的奶糖，她有5个不同颜色的塑料袋，每个袋

子中至少装1种奶糖.小张同学希望任意两个袋子所包含奶糖种类不完全相同，且每一种奶糖均要在两个

袋子中出现，那么不同的方案数为（）

A.3000B.