第12讲 余弦定理、正弦定理的应用（原卷版）

第12讲余弦定理、正弦定理的应用目标导航目标导航课程标准课标解读能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题。1.会用正弦定理、余弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量问题；2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力。知识精讲知识精讲知识点01高度问题类型简图计算方法底部可达测得BC＝a，∠BCA＝C，AB＝.底部不可达点B与C，D共线测得CD＝a及C与∠ADB的度数.先由正弦定理求出或，再解三角形得的值.点B与C，D不共线测得CD＝a及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度数.在△BCD中由正弦定理求得，再解三角形得的值.【即学即练1】如图所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山在西偏北的方向上，行驶后到达B处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度（

）．A． B． C． D．知识点02距离问题类型图形方法两点间不可到达的距离定理两点间可视不可到达的距离定理两个不可到达的点之间的距离先用定理，再用定理【即学即练2】海面上有相距的A，B两个小岛，从A岛望C岛和B岛成的视角，从B岛望C岛和A岛成的视角，则B，C间的距离为（

）A． B． C． D．知识点03角度问题测量角度问题主要是指在海上或空中测量角度的问题，如确定目标的方位，观察某一建筑物的视角等.解决它们的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量.通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形得到所求的量，从而得到实际问题的解。【即学即练3】一艘客船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东方向，之后它以每小时32海里的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测得船与灯塔S相距海里，则灯塔S在B处的（

）A．北偏东 B．北偏东或南偏东C．南偏东 D．以上方位都不对能力拓展能力拓展考法01高度测量问题【典例1】文笔塔，又称慈云塔，位于保山市隆阳区太保山麓，古塔建设于唐代南诏时期．2007年4月在原址拆除重建后的文笔塔新塔与广大市民见面．如图，某同学在测量塔高AB时，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点C和D．测得，在点C测得塔顶A仰角为，已知，，且CD＝56米．(1)求；(2)求塔高AB（结果保留整数）．考法02距离测量问题【典例2】如图所示，我国黄海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛与小岛、小岛相距都为5公里，与小岛相距为公里．已知角为钝角，且．(1)求小岛与小岛之间的距离；(2)记为，为，求的值．分层提分分层提分题组A基础过关练1．在中，，则三角形的形状为（

）A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形C．正三角形 D．等腰三角形2．如图所示，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西方向上，灯塔B在观察站南偏东方向上，则灯塔A在灯塔B的（

）A．北偏东方向上 B．北偏西方向上 C．南偏东方向上 D．南偏西方向上3．如图，两点在河的两岸，在同侧的河岸边选取点，测得的距离，则两点间的距离为（

）A． B． C． D．4．小明在学完《解直角三角形》一章后，利用测角仪和校园旗杆的拉绳测量校园旗杆的高度，如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等，小明先将PB拉到的位置，测得（为水平线），测角仪的高度为1米，则旗杆的高度为（

）A．米 B．米 C．米 D．米5．如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°．若山高AD＝150m，汽车从C点到B点历时25s，则这辆汽车的速度为______m/s．6．如下图所示，为了测量山高MN，分别选择山下平地的A处和另一座山的山顶C处为测量观测点．从A点测得M点的仰角，C点的仰角以及，从C点测得，已知山高米，则山高__________米．7．如图，为测得河对岸塔的高，可在河岸上选取与塔底在同一水平面的两个测量点与，现测得,，，，则塔高度为__________.8．已知飞机从地按北偏东的方向飞行到达地，再从地按南偏东的方向飞行到达地，再从地按西南方向飞行到达地．求地与地之间的距离．9．如图，两座相距60m的建筑物AB，CD的高度分别为20m，50m，BD为水平面，求从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角．10．如图，从A点和B点测得上海东方明珠电视塔塔顶C的仰角分别为38.3°和50°（A，B两点与塔底D点在同一条直线上），，求东方明珠电视塔的高度（精确到1m）．参考数据：题组B能力提升练1．已知的三个内角所对的边分别为.若，则该三角形的形状是（

）A．等边三角形 B．等腰三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．直角三角形2．一帆船要从A处驶向正东方向200海里的B处，当时有自西北方向吹来的风，风速为海里/小时，如果帆船计划在5小时内到达目的地，则船速的大小应为（

）A．海里/小时 B．海里/小时C．海里/小时 D．海里/小时3．圭表（如图甲）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”），当太阳在正午时刻照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图乙是一个根据某地的地理位置设计的主表的示意图，已知某地冬至正午时太阳高度角（即∠ABC）大约为15°，夏至正午时太阳高度角（即∠ADC）大约为60°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为a，则表高（即AC的长）为（注：）（

）A． B． C． D．4．一艘轮船沿北偏东28°方向，以18海里/时的速度沿直线航行，一座灯塔原米在轮船的南偏东32°方向上，经过10分钟的航行，此时轮船与灯塔的距离为海里，则灯塔与轮船原来的距离为（

）A．2海里 B．3海里 C．4海里 D．5海里5．如图，某船在A处看见灯塔P在南偏东15°方向，后来船沿南偏东45°的方向航行30km后，到达B处，看见灯塔P在船的北偏西75°方向，则这时船与灯塔之间的距离是（

）A．10km B．20km C．km D．km6．如图所示，要在两山顶间建一索道，需测量两山顶间的距离.现选择与山脚在同一平面的点为观测点，从点测得点的仰角点的仰角以及，若米，米，则等于__________米.7．圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，距今已有114年的历史，为哈尔滨的标志性建筑.1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的必到景点，其集圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索非亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为米，在它们之间的地面上的点M（B、M、D三点共线）处测得楼顶A和教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为______米.8．如图，某广场有一块不规则的绿地，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为、，经测量，，，．(1)求的长度；(2)若环境标志的底座每平方米造价为5000元，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用较低（请说明理由）？较低造价为多少？9．已知的周长为，且.(1)求边的长；(2)若的面积为，求角的度数.10．2022年北京冬奥会的成功举办激发了人们对冰雪运动的热情．如图是某滑雪场的横截面示意图，雪道分为两部分，小明同学在点测得雪道的坡度，在点测得点的俯角．若雪道长为270m，雪道长为260m．(1)求该滑雪场的高度h；(2)据了解，该滑雪场要用两种不同的造雪设备来满足对于雪量和雪质的不同要求，其中甲设备每小时造雪量比乙设备少，且甲设备造雪所用的时间与乙设备造雪所用的时间相等．求甲、乙两种设备每小时的造雪量．题组C培优拔尖练1．在中，若，则的面积的最大值为（

）A． B． C． D．2．的内角的对边分别为，则下列说法不正确的是（

）A．若，则B．若，则有两解C．若为钝角三角形，则D．若三角形为斜三角形，则3．小明同学学以致用，欲测量学校教学楼的高度，他采用了如图所示的方式来进行测量，小明同学在运动场上选取相距25米的C，D两观测点，且C，D与教学楼底部B在同一水平面上，在C，D两观测点处测得教学楼顶部A的仰角分别为45°，30°，并测得，则教学楼AB的高度是（

）A．20米 B．25米 C．米 D．米24．（多选）在中，内角，，所对的边分别为，，，，内角的平分线交于点且，则下列结论正确的是（

）A． B．的最小值是2C．的最小值是 D．的面积最小值是5．（多选）如图，的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且．若点D在外，，则下列说法中正确的有（

）A．B．C．四边形面积的最大值为D．四边形面积无最大值6．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67，30，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于________m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：，，，，）7．《后汉书·张衡传》：“阳嘉元年，复造候风地动仪．以精铜铸成，员径八尺，合盖隆起，形似酒尊，饰以篆文山龟鸟兽之形．中有都柱，傍行八道，施关发机．外有八龙，首衔铜丸，下有蟾蜍，张口承之．其牙机巧制，皆隐在尊中，覆盖周密无际．如有地动，尊则振龙，机发吐丸，而蟾蜍衔之．振声激扬，伺者因此觉知．虽一龙发机，而七首不动，寻其方面，乃知震之所在．验之以事，合契若神．”如图为张衡地动仪的结构图，现在相距120km的A，B两地各放置一个地动仪，B在A的东偏北75°方向，若A地地动仪正东方向的铜丸落下，B地地动仪东南方向的铜丸落下，则地震的位置距离B地______km8．在中，角所对的边长为，，．(1)若，求的面积；(2)是否存在正整数，使得为钝角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．9．根据指令，机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度（为正时，按逆时针方向旋转；为负时，按顺时针方向旋转），再朝其面对的方向沿直线行走距离r.(1)现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对x轴正方向，试给机器人下一个指令，使其移动到点；