兰州市数学一诊试卷及答案

兰州市数学一诊试卷及答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若函数f(x)=x^2-4x+3，则f(1)的值为（）A.0B.-1C.1D.22.若a,b,c是等差数列，且a+c=10，b=5，则a+b+c的值为（）A.15B.20C.25D.303.已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1（a>0，b>0）的一条渐近线方程为y=√2x，则双曲线的离心率为（）A.√2B.√3C.2D.34.若函数y=f(x)的图象关于点(1,1)对称，则函数y=f(x+1)-1的图象关于点（）A.(0,0)B.(1,0)C.(2,0)D.(0,1)5.已知向量a=(2,-1)，b=(3,2)，则|a+b|的值为（）A.√10B.√13C.√14D.√176.已知函数f(x)=x^3-3x，若f'(x)=0，则x的值为（）A.-1B.0C.1D.27.已知等比数列{an}的前三项和为14，且a1a3=4，则a2的值为（）A.2B.4C.6D.88.若直线y=kx+b与圆x^2+y^2=1相交于两点A和B，则|AB|的最大值为（）A.√2B.√3C.2D.√49.已知函数f(x)=x^2-2x-3，则f(-2)的值为（）A.5B.7C.9D.1110.若a,b,c是等比数列，且a+b+c=14，b^2=ac，则b的值为（）A.2B.4C.6D.811.已知函数f(x)=2^x-1/2^x，若f'(x)>0，则x的取值范围为（）A.(-∞,0)B.(0,+∞)C.(-∞,1)D.(1,+∞)12.若直线y=2x+1与抛物线y=x^2-2x+1相交于点A和B，则|AB|的值为（）A.√2B.√3C.2D.√5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，若f'(x)=0，则x的值为______。14.若直线y=kx+b过点(1,2)且与圆x^2+y^2=4相切，则k的值为______。15.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5=15，S10-S5=20，则a6的值为______。16.若函数f(x)=x^2-4x+3的图象与x轴交于点A和B，则|AB|的值为______。三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本题满分12分）已知函数f(x)=x^2-4x+3，求：（1）函数f(x)的单调区间；（2）函数f(x)的极值。18.（本题满分12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5=15，S10-S5=20，求：（1）数列{an}的通项公式；（2）数列{an}的前n项和Sn。19.（本题满分12分）已知函数f(x)=x^3-3x，求：（1）函数f(x)的导数f'(x)；（2）函数f(x)的单调区间；（3）函数f(x)的极值。20.（本题满分12分）已知等比数列{an}的前三项和为14，且a1a3=4，求：（1）数列{an}的通项公式；（2）数列{an}的前n项和Sn。21.（本题满分12分）已知函数f(x)=2^x-1/2^x，求：（1）函数f(x)的导数f'(x)；（2）函数f(x)的单调区间；（3）函数f(x)的极值。22.（本题满分12分）已知直线y=2x+1与抛物线y=x^2-2x+1相交于点A和B，求：（1）点A和B的坐标；（2）|AB|的值。答案1.B2.A3.A4.A5.C6.C7.B8.C9.B10.B11.B12.D13.1或214.±√315.416.417.解：（1）函数f(x)的导数为f'(x)=2x-4，令f'(x)>0，解得x>2，令f'(x)<0，解得x<2，所以函数f(x)在(-∞,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增。（2）由（1）可知，函数f(x)在x=2处取得极小值，极小值为f(2)=-1，无极大值。18.解：（1）设等差数列{an}的公差为d，由S5=15和S10-S5=20可得5a1+10d=15和5a1+35d=20，解得a1=1，d=1，所以数列{an}的通项公式为an=n。（2）由（1）可知，数列{an}的前n项和Sn=n(n+1)/2。19.解：（1）函数f(x)的导数为f'(x)=3x^2-3。（2）令f'(x)>0，解得x>1或x<-1，令f'(x)<0，解得-1<x<1，所以函数f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增，在(-1,1)上单调递减。（3）由（2）可知，函数f(x)在x=-1处取得极大值，极大值为f(-1)=2，在x=1处取得极小值，极小值为f(1)=-2。20.解：（1）设等比数列{an}的公比为q，由a1a3=4可得a1^2q^2=4，由a1+a1q+a1q^2=14可得a1(1+q+q^2)=14，解得a1=2，q=2或a1=8，q=1/2，所以数列{an}的通项公式为an=2^(n-1)或an=8(1/2)^(n-1)。（2）由（1）可知，数列{an}的前n项和Sn=2(2^n-1)或Sn=8(1-(1/2)^n)/(1-1/2)。21.解：（1）函数f(x)的导数为f'(x)=2^xln2+1/2^x(-1/2^xln2)=2^xln2-1/2^xln2。（2）令f'(x)>0，解得x>0，令f'(x)<0，解得x<0，所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，在(-∞,0)上单调递减。（3）由（2）可知，函数f(x)在x=0处取得极小值，极小值为f(0)=0，无