2025年高考数学第三次模拟考试（新高考Ⅱ卷）（全解全析）

2025年高考数学第三次模拟考试01(新高考II卷)

全解全析

(考试时间：120分钟试卷满分：150分)

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题共58分)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.复数z=0±Dl(i是虚数单位)，则复数彳的虚部为()

1-1

A.iB.-i

C.1D.-1

【答案】C

r、羊版】(1+02(200-02+2，

1-z(l-z)(l-z)2

故答案为C

2.已知集合4=(-2,3],B=[y\y=r,x^A^,则()

A.：,3B.Q,3C.(-力,-2)“8,+司D.(0,3]

【答案】B

【分析】根据指数函数的单调性求值域，再进行集合的交集运算.

【详解】由题知4=(-2,3],

则B=,卜=2\xe(-2,3])={y\2-2<y<23)=Q,8,

所以.

故选：B.

3.已知向量,=(1,加),5=(-2,1),若向量己=1+2彼且1，则同=()

A.V65B.V17C.叵D.4

2

【答案】A

【分析】由向量垂直的坐标表示求得〃，再由向量的模长公式即可求解.

【详解】由题知^=@+23=(1,%)+2(—21)=(一3，加+2),又因为己,3,所以不B=_3X(_2)+〃?+2=0,解

得加二一8,

所以3=(1,-8),所以同=jF+(_8『=屈.

故选：A.

—2x2%>0

4.已知〃x)=：[n则不等式/(x+3)</，+3x)的解集是()

in11xj,x&u,

A.(-3,1)B.(0,1)C.(-oo,-3)U(l,+<»)D.(l,+℃)

【答案】A

【分析】判断在R上的单调性，将不等式等价于x+3>/+3x,由一元二次不等式的解法即可得解.

/、-2X2,X>0,

【详解】/x=।'可得当xVO时，〃x)单调递减，当x>0时，“X)单调递减，且x=0时

ln(l-x),x<0,

函数连续，则/(x)在R上单调递减，

不等式/(x+3)</，+3x),可化为X+3>X2+3X,即/+2x-3<0,

解得：-3<x<l,则原不等式的解集为：(-3,1),

故选：A

5.已知焦点在x轴上的椭圆的长轴长为其短轴长的2倍，若该椭圆经过圆“：(x+2)2+(y-l)2=g的一条

直径的两个端点，则该椭圆的标准方程为()

22222

AA.——1+y2=l1Bn.——%+—V=1C.土+匕=1D

482123-¥卜

【答案】c

【分析】法一：设出椭圆方程和直线方程，直曲联立，由韦达定理和中点坐标公式得到直线的斜率，再由

弦长公式解出b即可得到椭圆方程；

法二：设出椭圆和直线方程，利用点差法求出直线斜率；再直曲联立由弦长公式求出6即可得到椭圆方程;

法三：由点差法得到3B•自"=-：，进而得到心》=；，以下同“一题多解”.

22

【详解】设椭圆的标准方程为云+方=1（。〉6>0）,

由题意知4=26,圆V的圆心为M（—2,1）,

设该椭圆经过圆M的直径48的两个端点，A（xi，yD，8（x2,y2）,

显然直线48的斜率存在，设直线/3:了-1=A（x+2）,即y=fcr+2左+1,

22

与椭圆方程J+乌=1联立，得（1+4左2）/+8左（2左+l）x+4（2左+1）2-4/=0,

4〃b2

△=[8左（2左+1）了一4（1+）[4（2%+1）?—46?]>0,

-8左（2左+1），由再+%=-4,得2纥11=一4,解得％=；

则X]+无2=

1+4后2-1+4左22

则XX.4、+1）2-'

田-1+软2=8-2/，

所以|/同=-即=岛）（%+x?）2一4在=岛限/-2）=11082-2）=2.

22

解得〃=3,所以该椭圆的标准方程为二+匕=1.

123

故选：C.

22

法二：设椭圆的标准方程为］+方=1（°>6>0）,

由题意知。=26,圆M的圆心为M（-2,1）,半径为半，

设该椭圆经过圆M的直径的两个端点，8（%2》2），

则M为直径AB的中点，则再+%=-4，%+%=2,

江+左=1,

由题知不3了2,由0：b\'两式作差，得（士+:）!」一“）+（M）=0,

a

x2JV2_ib

3+%21必+%必一^2=0所以片+匕/45=0,

21

abx1-x2ab

将无1+工2=-4,K+%=2,a=26代入，得人加二；，

则直线的方程为>=g(x+2)+l=；x+2,

22

与椭圆方程二+1=1联立，得f+4x+8-2方2=0,A=16-4(8-2〃=8〃-16>0,

22

4bb17

2

所以西+超二-4,xxx2=8-2b,

所以|/同=«7^.上一切=岛）（%+xj一4守2=岛《8口—2）=J10仅2-2）=屈,

22

解得/=3,所以该椭圆的标准方程为上+匕=1.

123

故选：C.

X2y2

法三:设椭圆的标准方程为斗+=l(q〉b>0),

ab2

由题意知a=2b,圆，的圆心为M（-2,1）,设该椭圆经过圆M的直径45的两个端点，4（%i,yi）,8（久2,及），

LK=i

2

由;二二两式作差得’厅+勺^O'即骁b

因为勺材=一；，所以3B=g.以下同一题多解.

6.已知函数〃幻=长M，则a=/（log°J2）,^=/（0.3°-4）,，=/（0.4。3）的大小关系为（）

A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.a>c>b

【答案】A

【分析】求出〃X）的定义域，得到/'（x）是偶函数，判断X>O时/（X）的单调性，再借助中间值比较大小即

可.

【详解】方法一：由题知“X）的定义域为R,/（-x）=-7^7=/（%）,所以“X）是偶函数,

x

记p=^+片才>0,当尤>0时，y=e-e^>0,所以y=e'+eT在（0,+e）上单调递增，

则〃x）=在（°，+8）上单调递减，

因为logoJ2<0,所以a=/（log。J2）=/（-log。J2）=/（loggJ2）=/（Iog2j2）,

而0<log251.2<log25Vz5=；.

令〃(x)=l^(x>0),则/(x)=l,

XX

当xe(O,e)时，h'(x)>0,所以〃(x)在(0,e)上单调递增，

所以4竽<端即041no.3<0.3In0.4,所以0.3口<。.产，

又因为指数函数>=0.3'在R上单调递减，所以0.3°4>0.34=［得］=噜>；，

所以0<1082,51.2<；<0.3°,<0.4°3,

04

所以/(log251.2)>/(O.3)>/(0.4。3),^a>b>c.

方法二：由题知/(x)的定义域为R,/(_》)=—J=/(x),所以/(x)是偶函数，

e+e

e八一X_e-X

,(")=屋；-x、2，当x>0时，e^x<1<ev,即ef-e，<0,

(e+e)

所以当x>0时,/'(x)<0,则〃x)在(0,+8)上单调递减，

因为log。J2<0,所以。—J2)=/(-log041.2)=/(log04_,1.2)=/(log251.2),

而0<log251.2<log25.

因为指数函数y=0.3"在R上单调递减，

所以0.3。,3>0.3">O.3°-5=f』『=画>L

UOj102

因为幕函数了=x°3在(0,+8)上单调递增，

所以0.3°，3<O,40-3,所以0.3°4<O,403,

所以0<108251.2<；<0.3°"<0.4°3,

所以/'(logzs1.2)>/(0.304)>/(O.403),即a>匕>c.

故选：A.

7.已知三棱锥”-BCD的所有顶点都在球。的球面上，4D_L平面48C,4D=2,AB1AC,若三棱锥

A-BCD(以A为顶点)的侧面积为6,则球。的表面积的最小值为()

A.36兀B.127rC.24兀D.30兀

【答案】B

【分析】将三棱锥4-BCD的外接球，转化为以/3,4C,40为同一顶点出发的三条棱的长方体的外接球,

再令N8=x,AC=y,通过侧面积为6,利用基本不等式准确求出而的取值范围.即可求解；

【详解】由题知平面NBC,AB1AC,所以三棱锥4-BCD的外接球，即为以为同一顶

点出发的三条棱的长方体的外接球，

所以外接球半径7?=此工史且:，其中/。=2,

2

令4B=x,AC=y,则三棱锥(以A为顶点)的侧面积为5掺g+$力加+5力冲=1■中+x+y=6,

所以x+y=6一;肛,

222

=I(上)2-8a+40=|犯T67―24,

又因为x+夕=,即;(7^)+27^-640,

所以g(V^+6)(J^-2)W0,所以-6wJ^W2,

又因为J^>0,所以0<J^V2,当且仅当》=>=2时，y[xy=2,

2

所以当历=2,即孙=4时，7?inin=1^lx(4-16)-24=V3,

此时球。的表面积的取得最小值为S=4兀尺2=12兀.

故选：B.

8.已知函数〃x),g(x)的定义域均为R,y=〃x)的图象关于点(1,0)中心对称，g(l-2x)-g(l+2x)=0,

/(x)-g(l-x)=2,/(4)=-2,则g(2025)=()

A.-2B.2C.-4D.1003

【答案】C

【分析】根据题意，可得=即/(x)是R上的偶函数和以4为周期的周期函数，从而g(x)

也是以4为周期的周期函数，可得解.

【详解】因为y=/(x)的图象关于点(1,0)中心对称，所以〃x)+/(2-x)=0①.

因为g(l-2x)-g(l+2x)=0,所以80-力-80+力为②.

因为/(x)-g(1)=2③,所以/(f)-g(l+」)=2④.

③-④得，/(x)-/(-x)=0,所以〃x)是R上的偶函数，

所以①可变形为〃x)+〃x-2)=0,fj/(x+2)+/(x)=0,

故〃x+4)=-〃x+2)=〃x),所以〃x)是以4为周期的周期函数.

由④可得g(x)=〃l-x)-2=/(x-l)-2,则g(x)也是以4为周期的周期函数.

因为〃0)=/(4)=-2,又/(0)-g⑴=2,

所以g⑴=-4,所以g(2025)=g(l)=-4.

故选：C.

【点睛】方法点睛：求解函数性质综合问题时，往往借助函数奇偶性、对称性、周期性等性质进行推理证

明，结合对称轴、对称中心等实现求和计算即可.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.某研究机构为了探究过量饮酒与患疾病A真否有关，调查了400人，得到如图所示的2x2列联表，其中

参考公式与临界值表：上产溜需E

a0.1000.0500.0100.001

%2.7063.8416.63510.828

A.任意一人不患疾病A的概率为0.9

3

B.任意一人不过量饮酒的概率为?

O

C.任意一人在不过量饮酒的条件下不患疾病A的概率为石

D.依据小概率值a=0.001的独立性检验，认为过量饮酒与患疾病A有关

【答案】ACD

【分析】先求出。=10/=120,利用古典概型概率公式求解判断AB,利用条件概率概念求解判断C,求出

/的观测值，即可判断D.

【详解】由已知得4a+36=400,又6=12〃，所以。=108=120.

Q7

任意一人不患疾病A的概率为大=0.9,所以A正确；

400

任意一人不过量饮酒的概率为二出=：,所以B错误；

4008

任意一人在不过量饮酒的条件下不患疾病A的概率为=，所以C正确；

a+2b25

对于D,2x2列联表如下:

患疾病A不患疾病A合计

过量饮酒30120150

不过量饮酒10240250

合计40360400

则/的观测值/=400X(30X240T20X10)2=独226.67,由于26.67>10.828,

40x360x150x2503

依据小概率值a=0.001的独立性检验，认为过量饮酒与患疾病A有关，所以D正确.

故选：ACD

10.已知函数/'(xhsinZx+nicosZxl加>0)的最大值为2,则()

A.m=V3

B.函数/(x)图象的一个对称中心是点］号,0

C.f(x)在区间上单调递增

D.将/(x)的图象先向右平移;个单位长度后，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的两倍(纵坐

标不变)，得到的图象对应的函数解析式为g(x)=2sin4x

【答案】AB

【分析】先应用辅助角公式化简应用最大值计算求参判断A,再应用正弦函数的对称中心计算或代入检验判

断民根据正弦函数的单调区间计算判断C,应用函数图象的变换得出解析式判断D.

【详解】对于A,因为〃x)=sin2x+加cos2x=VH^sin(2x+0)(其中tan0=加)，且函数/(x)的最大值

为2,所以J1+加2=2，解得加=±百，

又因为机>0,所以加=6，故A正确；

对于B,解法一：由A选项可知，/(x)=sin2x+V3cos2x=2sin,令2x+1=而(左£Z),解得

x=--—(keZ],

26V)

当“=2时，x=^-,所以/'(x)的图象关于点[充,0)中心对称，故B正确；

解法二：由A选项可知，/(x)=sin2x+73COS2X=2sin,将》=,代入/(x)的解析式，得

2sin|2x—+—|=2sin27i=0,

I63)

所以/(X)的图象关于点中心对称，故B正确；

对于C,当T.f，2x+#3小等卜,根据正弦函数的图象得了(x)在鼻切上单

调递减，故c错误；

对于D,将/'(X)的图象先向右平移三个单位长度，得到y=2sin+g=Zsin^x-3的图象，

再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的两倍，得到g(x)=2sin]x-。的图象，故D错误.

故选:AB.

22

H.已知双曲线。：与一]=1(。〉08>0)的一条渐近线4过点尸("1),尸为c的右焦点，则下列关于双

曲线C的结论正确的是()

A.离心率为立

2

B.两条渐近线的夹角的余弦值为:

C.若直线尸尸与双曲线C的一条渐近线垂直，贝心尸。尸的面积为逑

4

D.若尸(6,0),双曲线上一点。到渐近线4的距离为;，则点。到另一条渐近线4的距离为2

【答案】BD

【分析】对于A,根据渐近线4过点尸（亚,1）得到占=：='即可；对于B,设渐近线4的倾斜角为。，则

两条渐近线的夹角为20求解即可；对于C,由题意得到直线尸尸的方程为>=-亚卜-啦）+1=-缶+3或

了=应[-亚）+1=缶-1,求得焦点F,由S=；|。斗力求解即可；对于D,先求得双曲线C的方程

2

/=1,设。（X。,%）,利用点到直线的距离公式求解.

【详解】对于A,根据题意，渐近线4的斜率勺=：=g,则离心率e=?=j++=乎，

故A错误；

1兀

对于B,设渐近线4的倾斜角为0,贝I]tan6=&<l,所以0<e<a，则两条渐近线的夹角为29,

_2tanJ_-s/2_/-.

所以匕112""匚嬴万=C=2"2，所以8$28=工，故B正确；

1----3

2

对于C,若直线尸尸与双曲线C的一条渐近线垂直，则直线尸尸的斜率六=±血，则直线尸尸的方程为

y=-V2^x-V2j+1=_也》+3或y=C,x-也）+1=72X-1,所以产或F—,0,

则APO尸的面积为s=g|o司.力=孚或S=3|O司•力,=J_X也义1=也，故C错误;

224

对于D,由A选项可得，双曲线C的离心率e=46,又c=6,则。=啦，6=1,

2

22

所以双曲线C的方程为设。（%,%）,则£一第=1,即年一2需=2,

双曲线C的两条渐近线方程为=0,则点。到两渐近线的距离之积为

布卜。+河卜。一川=|x；一2y；|=,因为所以4=2,故D正确.

12V3V3333

故选：BD.

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.各项均为正数的等差数列｛%｝的前"项和为S“，若邑=72,则％。$的最大值为

【答案】64

【分析】利用等差数列基本量的关系列出方程，用基本不等式或二次函数性质求最值.

【详解】解法一：因为跖=（"|+；j,9=^2=9）=72,所以%=8,

所以电+6=2牝=16,因为16=%+〃822J%/，

所以出/464,当且仅当。2=%=8时取等号.

解法二：因为S9=（2+"j'=2^=9。72,

所以。5=8,所以出+%=2a5=16,

贝lja2as=A2（16-a2）=-a；+16a2=~（a2-8）"+64,

故当g=8时，a2a8取得最大值64.

解法三：（基本量思想）：设数列｛%｝的公差为d（420）,

9xXd

因为风=9q+^—=9%+36d=72,所以q+4d=8,即％=8-4",

所以出。8=（。|+/）（。]+76/）=（8-41+，）（8-4（7+7"）=（8-31）（8+3"）=64-9屋,

当d=0时，。2a8取得最大值64.

故答案为：64

13.若sin2a=—^,sin(1-a),且ae—，Pe肛；"，贝iJa+^=

510142」L2J

【答案】子77r

【分析】先根据已知角的范围确定三角函数值的正负，再利用两角和的余弦公式求出cos（a+0的值，最后

根据a+£的范围确定其具体值.

兀兀（兀

【详解】因二£二,乃，所以2ae二2兀,Xsin2a=——>0,所以2ae

[4」]2」512.

根据sin2A+cos2/=1,得cos2a--Vl-sin22a=-

因为河--0=噂，匹卜与"匕目，所以尸…I,1

cos(月-a)--^l-sin2^-^)3M

10

所以cos(a+/7)=cos[(/?-a)+2a]=cos(/?-a)cos2々一sin(4一a)sin2a

(3面)r2后］V10453Vi0x2V5VlOxVs6病-病5病后

I10J(5J10510x510x550502

因为ae(彳肛彳，所以二十4苧,2乃).

在这个区间内，cos(6r+尸)=时，a+/3=亨.

、7JT

故答案为：—.

4

14.数学家莱布尼兹是世界上首个提出二进制计数法的人，任意一个十进制正整数均可以用二进制数表示.

若正整数〃=旬-2k+%-2"1+-+%/21+%,其中心=1,。,=0或l(i=l,2,…㈤，贝产可以用化+1)位二进

制数(。0%。2…4.1右)2表示•记"的二进制各个位数和为/(〃)，贝1J/5)=。0+%+…+%+%例如

21

5=1X2+0X2+1X2°=(101)2,因此〃5)=1+0+1=2.已知正整数〃W1024且/'(")=2,则这样的〃有

个；39+3小)+3氏)+…+3虺)+3心)=.

【答案】454095

【分析】第一空：由题意：”是2〜10位二进制数，得到”的前10位中恰有两个1,其余位均为0即可求解;

第二空：63=(111111)2是最大的6位二进制数，从而说明1〜63的二进制数中，/⑺«1,2,3,…,6}-"〃)=1

时共有C：个二进制数，〃")=2时共有C；个二进制数，〃")=3时共有C：个二进制数，…，/(〃)=6时共

有C：个二进制数，进而可求解；

1O

【详解】详解：(1)H<1O24=2=(1OOOOOOOOOO)2,要使〃")=2,

则〃是2~10位二进制数，且〃的前10位中恰好有两个1,

其余位均为0,因为最高位必为1,

所以有C；+C；+C；+C：+c!+C：+C；+C；+C；=9x(；+9)=45个满足题意的«的值.

(2)由于63=64-l=26-l=lx25+lx24+lx23+lx22+lx2i+lx2°=(llllll)2是最大的6位二进制数，故

1~63的二进制数中最少1个1,最多6个1,即当〃e{l,2,3,…,63}时，/⑺e{1,2,3,…,6}.

当/(〃)=1时，1~6位二进制数最高位必为1,其余位为0,

故共有C；=6个二进制数(或者理解为前6位中恰有1个1,其余位均为0)；

当/(〃)=2时，2〜6位二进制数最高位必为1,其余位只有一个1,«WC；+C^+C；+Ci+C；=C^-a

制数(或者理解为前6位中恰有2个1,其余位均为0)；当［(")=3时，3~6位二进制数最高位必为1,

其余位只有2个1,故共有C；+C；+C；+C；=C：个二进制数(或者理解为前6位中恰有3个1,其余位均为

0)；

当/(")=6时，6位二进制数全是1,故共有C：个二进制数,

所以37(1)+3/⑵+…+3/⑹)=31C'+32Cg+---+36C®=

3°C°+3'^+32Cg+---+36C"-l=（l+3）6-l=46-l=212-1=4095.

【点睛】思路点睛：第二空：由63=(111111),是最大的6位二进制数，得到/(〃)e{l,2,3,…,6}；分别讨论

/(«)=1,〃")=2,〃”)=3,…，/(〃)=6时二进制数的个数即可.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（13分）

2

记AABC的内角48,C所对的边分别为a,b<,已知c=2且=sinB+taiL4cos8.

⑴求A；

⑵若也广孚’求调

【答案】(l)g

O

V2+y/6

(-4.

•x~f•

【分析】(1)利用两角和的正弦公式、三角形内角和为兀以及。=2,结合正弦定理得到詈丁=迫7,从

V3SIIL4COSA

而求解出taiM即可求解；

(2)利用三角形面积公式求解出6,结合余弦定理求解出。，再利用三角形面积公式即可求解.

・、小新、(1、♦D,彳„.„siiL4_sin5cos/+siiL4cos5sin(4+5)

【详角车】(1)sm5+taib4cos5=sm5+-------cosB=----------------------------=——---------,

cosAcosAcosA

因为N+B+C=7i,所以sin（4+3）=sin（兀一C）=sinC,

所以sinS+taib4cos5=,..........................................（2分）

cosA

因为所以及2=高，所以由正弦定理可知c高=氤inC1？

c=2,(4分)

~,2.八/八一“一sinCsinC

sin5taiL4cos5

所以Ufa=+等价于^sinA=嬴7

nnsiib4/1W

因为Ce（O,兀），所以sinCwO,所以出BP----=taiL4=-^=—

cosAJ33

又因为/«O,兀），所以N=3.....................（6分）

6

（2）因为工"。=!bcsiiL4=Lb.2.sin¥=^^^,解得b=G+l,.....................（8分）

△”c2262

22

川十022（0+1）+2-tZJ3

由余弦定理得cos/=9十:"~——=芸，解得Q=&,....................（10分）

2bc2（V3+l）x22

由三角形面积公式得以45c=；acsin8=；xV^x2sin5=4l4，....................（12分）

解得sinS=®Y^.....................（13分）

4

16.（15分）

如图，在四棱锥P-28CD中，PAVAB,底面42CD是矩形，且Z2=4,AD=3.侧面P2C是面积为一

2

的直角三角形，其中BCIBP.点旦尸分别为线段尸C的中点，连接

（1）证明：直线E尸〃平面P4D；

（2）求直线即与平面尸3c所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；

（2）半.

【分析】（1）法1,取尸。的中点G,利用线面平行的判断，结合平行四边形性质推理得证.法2,利用垂直

关系证明直线尸4/8,4。两两垂直，以A为原点建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理

即得.

（2）法1,过点E作E0,尸8交依于点。，利用定义法求出线面角的正弦值.法2,由（1）中空间直线坐

标系，求出平面尸BC的法向量，再利用线面角的向量求法求解.

【详解】（1）法1,取尸Z）的中点G,连接G£G4.

由尸为PC的中点，得GF//。。且GP=g。。，由四边形ABC。为矩形，得AB//DC且AB=DC,

则且又为的中点,

G////8G/=g4B,EA8则GF//ZE且G尸=ZE,（3分）

四边形NE尸G为平行四边形，于是EFIIAG,而斯仁平面P4D,NGu平面P4D,

所以斯//平面尸4D（6分）

法2：取尸。的中点G,连接G/,由BC1BP,BC1AB,ABcPB=B,

/民心U平面P48,得3C_L平面尸48,又AD"BC,于是4D_L平面尸48,

而以u平面尸48,则40，R4,又尸/，/民，则直线尸4N8,两两垂直，....................

（2分）

以A为原点，直线尸4N3,/。分别为x/，z轴建立空间直角坐标系,

15

BC=3,则尸2=5,

2

在RtZ\P4B中，48=4,PA=飞PB。-AB?=3，.....................(4分)

3333

则/(0,0,0),8(4,0,0),C(4,3,0),D(0,3,0),P(0,0,3),£(2,0,0),F(2,-,-),G(0,-,-),

----33-.33—

则NG"。,],/），跖=（0亍J^AG=EF，因此即〃4G,.........................................（5分）

又跖①平面尸4D,NGu平面尸40,所以斯//平面尸4D..........................................（6分）

（2）法I：过点E作E0,尸8交网于点。，连接0斤.

由8cl8尸，BCLAB,ABcPB=B,平面尸48,得8C_L平面尸AB..............................................

（8分）

而EQu平面P4B,则EQL2C,又BCCPB=B,3C,P8u平面P3C,则成■平面

PBC,.........................................（10分）

因此/EF。即为直线E尸与平面尸8c所成的角，....................（11分）

在RMP3C中，S^PBC=-BCPB=^,由3。=3,得PB=5,

在中，AB=4,PA£PB。-AB?=3,

而尸/u平面尸48,则2C_LP4,又ADIIBC,于是4D_LP4,

在Rt△尸4D中，P4=AD=3,G为尸D中点，则/G=M=逑，....................（12分）

2

由NPN8=NEQ8=90°,NABP=NQBE,^/\EQB^/^PAB,

则善=鬻，即半=3,解得在RSEQ尸中，sin/跖。=些=逑，....................

EBPB255EF5

（14分）

所以直线环与平面P8C所成角的正弦值为速.....................（15分）

5

—.—.—33

法2：由（1）得8c=（0,3,0）,BP=（-4,0,3）,^=（0,-,-）,.........................................（9分）

n-BC=?>y=0/、

设平面MC的法向量为k=（x,y,z）,贝I]_',令x=3,得元=3,0,4,...................................

n-BP=-4x+3z=0

（12分）

设直线所与平面尸2c所成的角为。，

.a,赤-Xl\EF-n\62V2

贮"=加〈防'小=而同=环=亍，....................（14分）

------5

2

所以直线防与平面尸8C所成角的正弦值为速.....................（15分）

5

17.（15分）

某项团体比赛分为两轮，第一轮由团队队员轮流与AI人工智能进行比赛，若挑战成功，则参加第二轮攻擂

赛，与上任擂主争夺此次团体赛的擂主.现有甲队参加比赛，队中共有3名事先排好顺序的队员.

（1）第一轮与AI对战，比赛的规则如下：若某队员第一关闯关成功，则该队员继续闯第二关，否则该队员结

束闯关并由下一位队员接力去闯第一关，若某队员第二关闯关成功，则该团队接力闯关活动结束，否则该

成员结束闯关并由下一位队员接力去闯第二关；当第二关闯关成功或所有队员全部上场参加了闯关，该队

挑战活动结束.己知甲队每位成员闯过第一关和第二关的概率分别为g，7,且每位成员闯关是否成功互

不影响，每关结果也互不影响用X表示甲队闯关活动结束时上场闯关的成员人数，求X的分布列和期望.

（2）甲队已经顺利进入第二轮，现和擂主乙队1一3号队员进行比赛，规则为：双方先由1号队员比赛，负者

被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛……直到有一方队员全被淘汰，另一方获得胜利.已知甲队三名队员

4,4,4每场比赛的胜率分别为:，7.P,若要求甲队获得擂主的概率大于：，问0=:是否满足？请说

明理由.

【答案】（1）分布列见解析，兴37

1O

⑵满足，理由见解析

【分析】（I）求出X的可能取值和对应的概率，得到分布列，计算出期望值；

（2）分三种情况：①4一人参赛全胜获得擂主，②4,4两人参赛获得擂主，③4,4,4三人参赛获得擂

主，求出相应的概率，从而得到乙＞773,得到不等式，得到结论.

【详解】（1）由题意知，X的所有可能取值为1,2,3,（1分）

21£

则尸（X=l）=1X,=

3

尸（X=2）="212<n1115

X—x—+—x1——X—=-+-=

32312j29618

尸（X=3）=l—P（X=l）_P（X=2）=l_；57

（4分）

1818

所以X的分布列为

X123

J_57

P

31818

.....................（5分）

15737

所以E（X）=lx,+2x运+3x^=谋（7分）

Jiolo1o

2

（2）2=§满足题意，理由如下:

分三种情况:

①4一人参赛全胜获得擂主，该事件发生的概率设为6,则4=d，....................（9分）

②4,4两人参赛获得擂主，该事件发生的概率设为鸟,

119

则巴=XZ___—________（10分）

2-108

③4,4,4三人参赛获得擂主，该事件发生的概率设为A,

X1-%=

若4,4在第一局被淘汰，4淘汰掉乙队三人，概率为

若4在第二局被淘汰，4淘汰掉乙队两人，

概率为:x（l1-1xl1

XX

I。2+H2

若4在第三局被淘汰，4淘汰掉乙队一人，

2

概率为IX

,,13519

故D右/+前2+而°

23

因为1右前

所以要使甲队获胜的概率大于即耳+2+鸟＞g,则

151Q31

即£"+6/+赤。＞百，化简得36/+30/+19°＞31,....................（13分）

j1o1Uo1Uo

当。=!■时，代入可得当＞31,满足题意......................（15分）

33

18.(17分)

X_]

已知/(x)=lnx-Q----,aeR.

⑴当a=1时，求曲线V=在点（1,7（1））处的切线方程.

（2）若/（x）恰有1个极大值点和1个极小值点.

①求极大值与极小值的和；

②判断了（x）零点的个数.

【答案】⑴x-2y-1=0

⑵①0;②3

【分析】（1）根据导函数求出切线的斜率再点斜式得出切线方程