2025高考数学二轮复习：立体几何之空间几何体

专题四立体几何

微专题1空间几何体

［考情分析］表面积和体积是高考的重点与热点，多以选择题、填空题的形式考查，难度中等或偏上.空间

位置关系一是考查命题的真假判断，二是空间线线、线面、面面平行和垂直关系交汇综合命题，一般以选

择题、填空题或解答题的第(1)间的形式考查，属于中档题.

考点一表面积与体积

1.旋转体的侧面积和表面积

(l)s圆柱侧=2兀〃，S圆柱表=2a(r+/)(r为底面半径，/为母线长).

(2)5圆锥侧=71〃，S圆锥表=?ir(r+/)(r为底面半径，/为母线长).

(3)5球表=4兀MR为球的半径).

2.空间几何体的体积公式

⑴丫柱=S/?(S为底面面积，〃为高).

(2)V锥=为〃(5为底面面积，〃为高).

(3)丫合=/S上+J上-S下+S下)7i(S上,S下分别为上、下底面面积，/?为高).

(4)V球=，R3(R为球的半径).

例1(1)(2024•新课标全国I)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为百，则

圆锥的体积为()

A.2V37TB.3V37T

C.6百兀D.98兀

答案B

解析设圆柱的底面半径为r,

则圆锥的母线长为VFF,

而它们的侧面积相等,

所以27lZxV5=7l\X，3+丫2,

艮［12v5=43+72,故r=3,

故圆锥的体积为，x9x^=3日兀

（2）（2024•昆明模拟）某艺术吊灯如图1所示，图2是其几何结构图.底座ABC。是边长为4遮的正方形,

垂直于底座且长度为6的四根吊挂线A4i，BBi，CG，05一头连着底座端点，另一头都连在球。的

表面上（底座厚度忽略不计），若该艺术吊灯总高度为14,则球。的体积为（）

图1

AA.-10-8-1T25611

3B・丁

c500nC86411

C.---D.------

33

答案C

解析如图，作出该艺术吊灯的正视图，由已知得四边形AiBCiDi为正方形，则501=8,

设正方形AbBiGDi的外接圆圆心为01,连接0。并延长交球面于点E,如图所示，则00i±B|Di,

所以Z）i0i=Bi0i=4,

因为该艺术吊灯总高度为14,DDi=BBi=6,所以0i£=8,

设球。的半径为R,则001=8-7?,

在RtAOOiBi中,(8-2?)2+42=7?2,解得R=5,

所以球。的体积为刎夕53=等

［规律方法］空间几何体的表面积与体积的求法

(1)公式法：对于规则的几何体直接利用公式进行求解.

(2)割补法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，或把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几

何体补成熟悉的几何体.

(3)等体积法：选择合适的底面来求体积.

跟踪演练1(1)(2024•天津)一个五面体ABCOEE已知曰且两两之间距离为1,AD=1,

BE=2,CF=3,则该五面体的体积为()

A4B』

642

「V3

CD,^-l

-T42

答案C

解析用一个完全相同的五面体”〃-LWN(顶点与五面体A3C-DE/一一对应)与该五面体相嵌,

使得D,N,E,M；F,L重合，

因为AD//BE//CF,且两两之间距离为1,

AD=1,BE=2,CF=3,

则形成的新组合体为一个三棱柱,

该三棱柱的直截面OGK(与侧棱垂直的截面)为边长为1的等边三角形，

侧棱长/=1+3=2+2=3+1=4,

1

V五面体A8C-QE产5V三棱柱

lo.11..xV3x,V3

=-5ADG/C-Z=-X-X1X1—4=—.

(2)(2024.河南TOP20名校联考)如图是一个水平放置在某地的三棱台型集雨器，已知上、下底的面积分

别为4cm2和9cm2,高为3cm.现在收集到的雨水平面与上、下底面的距离相等，则该地的降雨量为

mm.(降雨量等于集雨器中积水体积除以集雨器口的面积)

套案455

解析如图所示，将三棱台补成三棱锥O-A山Ci,设三棱锥0-A3C的高为h,

所以三棱锥0-A5C的体积为］x4x6=8(cm3),

再设O-AoBoCo,O-A/iCi的体积分别为Vo,Vi,

所以%若cm?,同理》(总I，,

所以Vi=(|)3x8=27(cm3),

所以该地的降雨量为勺金(cm)=誓(mm).

43216

考点二空间点、线、面的位置关系

平行关系及垂直关系的转化

例2(1)(2024.石家庄质检)设a,万，y是三个不同的平面,加，/是两条不同的直线，则下列命题为真

命题的是()

A.若7〃ua,l.L/3,则加〃/

B.若〃?ua,/u夕，a//P，贝!]，〃〃/

C.若a_L尸，aC\/3=m,l^m,则/J_£

D.若aA£=/,m//1,mVy,贝!JaJ_y

答案D

解析对于A选项，若a邛,mua,l_L/3,则I//a或Zea,无法确定m与/的关系，错误；

对于B选项，根据面面平行的性质定理，缺少条件，/uy,则机与/可能平行或异面，错误；

对于C选项，根据面面垂直的性质定理，缺少条件Zea,则I，夕平行、相交或上日均有可能，错误；

对于D选项，若aClQ=/,m//1,m.Ly,则/±y,由面面垂直的判定定理可得a_Ly,正确.

⑵（多选）（2024.聊城模拟）已知四棱锥P-ABCD的底面ABC。是正方形，则下列关系能同时成立的是

（）

A.“AB=PB”与"PB=BD"

B.“PA_LPC”与“PBLPD”

C.aPBLCD,'与"PCLAB”

D.“平面P43_L平面与“平面PCD_L平面尸8。”

答案BC

解析对于A,若AB=PB,而底面ABCD是正方形，AB^BD,所以PB=BD不成立，故A错误；

对于B，设底面正方形中心为。，当尸在以。为球心，Q4为半径的球面上时可符合题意，故B正确；

对于C,当平面尸3C_L底面A3CD时，由面面垂直的性质可知A3,平面PBC,DC,平面P8C,显然符合

题意，故C正确；

对于D,先证两相交平面同时垂直于第三平面，则交线垂直第三平面，

erD/?=l,aC\Y=a,/?ny=b,

如图，有•a_Ly,

B”，

取AC?,作,AC±b,

垂足分别为B,C,由面面垂直的性质可知AB,a,AC±]3,

由线面垂直的性质及Zea，/u夕可知，AC，/,ABU,

又A3aAC=A,AB,ACcy,由线面垂直的判定可知l±y,

若“平面平面PBD”与“平面PC。，平面PBD”同时成立，

易知PC平面PABC平面PCD,可设平面PABC平面PCD=l,则PCI,

则L平面PBD,

易知CO,A加平面PCD,所以A3〃平面PCD,则1//AB,则有A3_L平面PBD,显然不成

立，故D错误.

［规律方法］(1)证明线线平行的常用方法

①三角形的中位线定理；②平行公理；③线面平行的性质定理；④面面平行的性质定理.

(2)证明线线垂直的常用方法

①等腰三角形三线合一；②勾股定理的逆定理；③利用线面垂直的性质定理.

跟踪演练2(1)(2024•金华模拟)已知〃?，〃为异面直线，机J_平面a,〃_1_平面直线/满足/_!_〃?，Z±

n,Ka,贝U()

A.a//夕且/〃a

B.a,4且/，用

C.a与夕相交，且交线垂直于/

D.a与a相交，且交线平行于/

答案D

解析由《i_L平面a,直线/满足/L”，且加，所以l//a,又〃_L平面p,Z±n,耶,所以1//13,由直线

m,”为异面直线，且加_1_平面a,平面夕，贝Ia与少相交，否则，若a//夕，则推出m//〃，与相，"异

面矛盾，所以a与£相交，且交线平行于/,故选D.

(2)(多选)(2024•秦皇岛模拟)如图，在圆柱010中，轴截面A3CD为正方形，点E是加上一点，M为

与轴5。的交点.E为的中点，N为A在。尸上的射影，且〃平面AMN,则下列选项正确的

有()

A.CF〃平面AMN

B.AN_L平面DBF

C.DB1,平面AMN

D/是血的中点

答案BCD

解析由题意可知，点/是3。的中点，所以点A,M,C三点共线，

所以点CCAMu平面AMN,所以Cfn平面AMN=C,

则直线CP与平面AMN不平行，故A错误；

因为AD_L平面ABF,5R=平面ABF,所以ADLBF,

因为BF±AF,ADHAF=A，且A。，APu平面ADF,

所以8尸，平面ADF,因为BFu平面DBF,

所以平面平面DBF,

又因为平面ADPn平面DBF=DF,ANu平面ADF,ANLDF,

所以AAU平面DBF,故B正确；

因为AN_L平面DBF,£)3u平面DBF,所以ANLDB,

因为轴截面A8CD为正方形，点”是3。的中点，所以AAfLDB,

又因为AMHAN=A，且AM,ANu平面AMN,所以£>3_L平面AMN,故C正确；

连接M网图略)，因为3f!_平面ADF,u平面ADF,所以BFLDF,

因为£)8,平面AMN,MNu平面AMN,所以DBLMN,且点M是的中点，

因为EF〃平面AMN,EPu平面DEF,平面TI平面AMN=MN,所以EF//MN,所以DBLEF，且E是

MB的中点，

所以BF=MF=^BD,且BD=y[2AB,所以BF=^-AB,所以AF=BF=^-AB,

所以点P是脑的中点，故D正确.

考点三折叠与展开问题

空间几何体的侧面展开图

(1)圆柱的侧面展开图是矩形.

(2)圆锥的侧面展开图是扇形.

(3)圆台的侧面展开图是扇环.

例3(1)(多选)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法中正确的是()

CA

A.CGGH

BCD与所是共面直线

C.AB//EF

D.GH与EF是异面直线

答案ABD

解析由图可知，还原正方体后，点C与G重合，即CCGH,又可知CD与取是平行直线，即CO与

Eb是共面直线，AB与所是相交直线(点3与点/重合)，G”与历是异面直线，故A,B,D正确，C错

误.

(2)(多选)如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动,

当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则()

A.圆锥的母线长为3

B.圆锥的表面积为36兀

C.圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为60°

D.若一只蚂蚁从点A出发沿圆锥的侧面爬行一周回到点A,则爬行的最短距离为9V3

答案BD

解析设圆锥的母线长为I,则以S为圆心，SA为半径的圆的面积为兀Z2,

圆锥的侧面积为兀”=3兀/,

因为圆锥在平面内转到原位置时，圆锥本身滚动了3周，

所以圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为（券）。=120。，故C错误；

兀P=3x3或，解得1=9,所以圆锥的母线长为9,故A错误；

圆锥的表面积为3><7ix9+7rx32=367i,故B正确；

如图为圆锥沿必展开的侧面展开图，连接A4，，则△AS4为等腰三角形，

所以蚂蚁爬行的最短距离为A4'=2x9xsin60°=9A/3,故D正确.

［规律方法］空间几何体最短距离问题，一般是将空间几何体展开成平面图形，转化成求平面中两点间的

最短距离问题，注意展开后对应的顶点和边.

跟踪演练3（1）将一块边长为2的正三角形铁皮沿各边的中位线折叠成一个正四面体，则这个正四面

体某顶点到其相对面的距离是（）

A.在B.匹

33

C.-D.-

33

答案A

解析依题意可得如图所示正三棱锥S-ABC,且棱锥的所有棱长均为1,取A3的中点。，连接CZ）,设S

在底面ABC的射影为点。，根据正三棱锥的性质可知。为△A3C的重心，所以

B

所以SO=y/SC2-CO2=J12-（y）2=y.

⑵（多选）（2024・长沙模拟）如图，与3c分别为圆台上、下底面直径，AD//BC,若A3=3,AD=2,

BC=4,贝ij（）

o

A.圆台的表面积为1471

B.圆台的体积为14V2TI

C.圆台的中截面（过圆台高的中点且平行于底面的截面）面积为:

D.从点A经过圆台的侧面到点C的最短距离为3V3

答案AD

解析对于A选项，圆台的表面积包括上、下底面面积及侧面积，上、下底面面积和为兀x-+兀义22=5兀，

根据圆台侧面积公式可得其侧面积为7ix（l+2）x3=97t,所以圆台的表面积为14兀，故A正确；

对于B选项，易知圆台的高为J32—（2—1尸=2鱼,

根据台体体积公式可得圆台的体积为刎xy+兀x22+兀xVI药不）义2&=手，故B错误；

对于C选项，易知圆台的轴截面A5CD为等腰梯形，其中位线为中截面圆的直径，

所以中截面圆的半径长为牛，所以中截面圆的面积为TTX仔，故c错误；

42\2/4

对于D选项，将圆台沿着轴截面A5CD切开，将圆台的侧面的一半展开，延长8A,C。交于点M,如图所

小.

在圆台的轴截面等腰梯形ABC。中，AD//BC,AD=^BC,

根据台体性质易知A,。分别为BM,CM的中点，所以AM=OW=A8=3,

1S.ZAMD=6,则疝=38=9271X1,

则管，

在△ACM中，AM=3,CM=6,ZAMD=^,

由余弦定理可得

AC=JAM2+CM2-2AM-CM-cos^-J32+62-2x3x6x|=3V3,

因此，从点A经过圆台的侧面到点C的最短距离为3V3，故D正确.

专题强化练

（分值:84分）

IE素养提升

一、单项选择题（每小题5分，共40分）

1.（2024•天津）若相，〃为两条直线，a为一个平面，则下列结论中正确的是（）

A.若加〃a,n//a,则m

B.若加〃a,n//a,则相〃〃

C.若加〃a,n,La,贝（J根

D.若根〃a,ri-La,则M与〃相交

答案C

解析对于A,B,若m//a,n//a,

则相与〃可能平行，相交或异面，故A,B错误；

对于C,D,若m//a,n,La,

则m.Ln，且用与〃可能相交，也可能异面,故C正确，D错误.

2.（2024.来宾模拟）已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为1,2,体积为3,则该正四棱台的高为（）

A.lB.-

3

c-D-

答案D

解析设该正四棱台的高为h,

又其上、下底面边长分别为1,2,体积为3,

则V=|/?（12+22+Vl2x22）=y=3,所以吟

3.（2024.宁波模拟）已知平面a,夕，y,aC\£=l,则"/J_y"是“a_Ly且夕_Ly"的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案C

解析由于aC/i=l,所以/ua，/u£,

若Z±y,则a_Ly,pLy,故充分性成立；

若a_l_y,B工y,设aC\y=m,/3C\y=n,

则存在直线auy,使得aVm,所以a_La,由于lua,故,

同理存在直线buy,使得b±n,所以b邛，由于仁万，故6」，

由于。，6不平行，所以a,6是平面y内两条相交直线，所以Z±y,故必要性成立.

4.（2024•晋城模拟）已知圆锥的侧面积为12兀，它的侧面展开图是圆心角为亨的扇形，则此圆锥的体积为

（）

A.6缶

C.6V37ID.

答案B

解析设圆锥的底面半径为r,母线长为I,

（nrl—12TC,

由题意可得;2Tlz解得/=3r=6,

则圆锥的高h=y/l2—r2=4V2,

所以此圆锥的体积为4X兀产=竺回.

33

5.（2024.衡水模拟）生活中有很多常见的工具有独特的几何体结构特征，例如用来收运垃圾的畚箕，其结构

为如图所示的五面体AOEBCF其中四边形A3正与OCbE都为等腰梯形，A3CD为平行四边形，若

，平面MEF=2AB=2AE=2BF,记三棱锥O-A5厂的体积为％,则该五面体的体积为（）

E

A.8V1B.5V1

C.4V1D.3V1

答案c

解析因为四边形A8CD为平行四边形，所以SAABD=SABCD,所以VF-BCD=VF-ABD=Vi.

记梯形A5PE的高为〃，因为EF=2AB,

所以SAAEF=~EF-h—^x2AB-h=2SAABF,

所以VD-AEF=2VD-ABF=2V\,

所以该五面体的体积V—VD-AEF+VD-ABF~^VF-BCD=2VI+VJ+VI=4VI.

6.（2024・武汉模拟）如图所示是一个以A3为直径，点S为圆心的半圆，其半径为4,产为线段AS的中点，

其中C,D,E是半圆圆周上的三个点，且把半圆的圆周分成了弧长相等的四段，若将该半圆围成一个以S

为顶点的圆锥的侧面，则在该圆锥中下列选项正确的是（）

从△CEP为正三角形

BSA_L平面CEF

C.SD〃平面CEF

D.点D到平面CEF的距离为2取

答案C

解析该半圆围成的圆锥的侧面，如图所示，

S

选项A,设圆锥底面半径为r,则2兀尸4兀,.,.r=2,CE=4,

为AS的中点，。为的中点、：,

且FO=2=-CE,

2

ZCFE=90°,由题意得CF=EF,

.•.△CEF为等腰直角三角形，选项A错误；

选项B，假设SAL平面CEF,易得/APO=90。，

在△AFO中，A0=F0=AF=2,

NAR9=60。，假设不成立，选项B错误；

选项C,'：FO//SD,POu平面CEF,SIX平面CEF,

...SO〃平面CEF,选项C正确；

选项D,

:CELAD,CELSO,A£>riSO=O,AD,SOu平面SAD,

平面SAD,又CEu平面CEF,

二平面CEHL平面SAD,

二点D到直线FO的距离即为点D到平面CEF的距离，

又\-FO//SD，，点D到直线FO的距离等于点O到直线SD的距离，为旧，选项D错误.

7.（2024•揭阳模拟）如图，正四棱台容器ABCD-A/iCQi的高为12cm,AB=10cm,4向=2cm,容器中水的

高度为6cm.现将57个大小相同、质地均匀的小铁球放入容器中（57个小铁球均被淹没），水位上升了3cm,

若忽略该容器壁的厚度，则小铁球的半径为（）

C,

AB

A35n3反

A.-cmB.-cm

\TT\Tl

c3回n3届

C.-cmD.-cm

\IT771

答案A

解析正四棱台容器A3ax41SG9的高为12cm,AB=10cm,AiBi=2cm,

4B,

EH

正四棱台容器内水的高度为6cm,由梯形中位线的性质可知水面正方形的边长为9(2+10)=6(cm),

其体积为VI=|X(62+102+V62x102)x6=392(cm3);

放入铁球后，水位高9cm,沿4囱作纵截面，从4,5分别向底面引垂线，如图，

其中£尸是底面边长为10cm,BiH是容器的高为12cm,是水的高为9cm,

由截面图中比例线段的性质知，

—GN=—BiG=1-,HF=4.cm,

HFB1H4''

可得GN=1cm,此时水面边长为4cm,

22223

此时水和放入的57个球的体积和为V2=|X(4+10+V4x10)x9=468(cm),

放入的57个球的体积为468-392=76(cm3),

设小铁球的半径为r,则57x,产=76,解得不cm.

8.(2024.临汾模拟)在平行四边形中，AB=2AD=4,ZBAD=^,E,〃分别为AB,CD的中点，将4

ADE沿直线OE折起，构成如图所示的四棱锥4-5CDE,厂为4c的中点，则下列说法不正确的是()

A.平面3fH〃平面A'DE

B.四棱锥A'-BCDE体积的最大值为3

C.无论如何折叠都无法满足

D.三棱锥4-DE”表面积的最大值为2旧+4

答案C

解析选项A,连接BF,BH,FH,由平行四边形ABCD,知BE//DH,又AB=2AD=4,E,H分别为AB,

C。的中点，所以BE=DH,即四边形3即”为平行四边形，所以BH//DE,又即殂平面A'DE,DEu平面

A,DE,所以平面A'DE,又尸是AC的中点，所以FH//A'D,又F小:平面A'DE,ADu平面A'DE,

所以山〃平面A'DE,又FHC\BH=H,FH,3”u平面BFH,所以平面8尸"〃平面A'DE,故A正确；

A'

选项B,当平面ADEJ_平面BCDE时，四棱锥的体积最大，因为，AD=AE=2,所以点

4到平面3CDE的距离为8,梯形3CDE的高为百，

所以最大值为用夫旧义经等=3，故B正确；

选项C,连接DB,根据题意可得BC±DB,

当BC±A'B时，因为A'BCDB=B,A'B,£>gu平面A,DB,所以BC_L平面A'DB,又4£>u平面A'DB,即

BCLA'D,故C错误；

选项D,连接AH,EH,当时，根据对称性可得DHlA'D,此时△小£"，的面积最大，

因此二棱锥ALDE/f的表面积最大，最大值为5=SAA,DE+5AA,DH+5ADEH+SAA,EH=|X2X-\/3X2+|X2X2X2=2V3+4,

选项D正确.

二、多项选择题（每小题6分，共18分）

9.（2024•深圳模拟）已知万,“是异面直线，a,£是两个不同的平面，mua,始u夕,那么（）

A.当用_1_夕或"_La时，a上B

B.当加〃少且〃〃a时，a〃夕

C.当a_LQ时，机_1_夕或

D.当a,万不平行时，机与用不平行，且〃与a不平行

答案AB

解析当机_1_夕，mua时，a_L£；

当n±a,nu0时，a_1_夕，故A正确；

当m〃0,n//a时，又m,〃为异面直线，加ua,nufj,

所以a〃丑,故B正确；

当aLB时，由mua,得m//夕或a与夕相交；

当aJ_A时，由"或，得n//a或〃与a相交，故C错误；

当a,用不平行时，可能m〃3或m与小相交，n〃a或n与a相交，故D错误.

10.（2024•浙江强基联盟5月联考）如图1,在等腰梯形ABC。中，AB//CD,EF1AB,CF=EF=2DF=2,

AE=3,EB=4,将四边形AE/D沿EP进行折叠，使到达4。位置，且平面AD7茁，平面8cpE,连接

A'B,D'C,如图2,则（）

A.BE±A'D'

B.平面4E3〃平面D'FC

C.多面体4E3CD户为三棱台

D.直线4。与平面5CPE所成的角为；

答案ABD

解析对于A,因为平面AD7茁，平面BCFE,

平面ADEEC平面BCFE=EF,BELEF,BEu平面BCFE,

所以平面A'D'FE,又AD'u平面A'D'FE,

所以3E_LAD,A正确；

对于B,因为A'E//D'F,AEC平面D'FC,OEu平面D'FC,

则AE〃平面D'FC,

又BE//CF,BEC平面D'FC,CPu平面D'FC,

则BE〃平面D'FC,

又A'EClBE=E,A'E,3Eu平面A'EB,所以平面〃平面D'FC,B正确；

对于c,因为第=3Ml,则襄瑞，

所以多面体4EBC。斤不是三棱台，C错误；

对于D,分别延长4D,E/相交于点G,

因为平面平面BCFE,平面4。户EC平面BCFE=EF,AEu平面A'D'FE,A'E±EF,

所以4EJ_平面BCFE,则N4GE为直线4D与平面BC/E所成的角.

因为A'E//D'F,所以型=呆：，

A'EGF+FE

解得GF=\,GE=3,tanNA'GE=%=l,

则NA,GEJ,D正确.

4

11.(2024•徐州适应性测试)已知圆台的上、下底面直径分别为2,6,高为2百，贝|()

A.该圆台的体积为26V37T

B.该圆台外接球的表面积为警

C.用过任意两条母线的平面截该圆台所得截面周长的最大值为16

D.挖去以该圆台上底面为底，高为次的圆柱后所得几何体的表面积为(16+26)兀

答案BC

解析由已知得圆台的上、下底面半径分别为1,3,

对于A,圆台的体积为)(12+32+五百标尺8上噤，A错误；

对于B,如图是圆台的轴截面A3CD,外接球球心为O,设外接球半径为R,

当球心在梯形ABC。内时，V/?2-12+V/?2-32=2V3,解得R2=g,

当球心在梯形ABC。外时，y/R2-12-V/?2-32=2V3,方程无解，

所以外接球的表面积为

4兀肥=等，B正确；

对于C,用过任意两条母线的平面截该圆台所得截面周长，其中轴截面的周长最大，

又母线长为/(2V3)2+(3—1)2=4,则最大周长为4+4+2+6=16,C正确；

对于D,如图，挖去以该圆台上底面为底，高为次的圆柱后所得几何体的表面积为

7T(3+1)X4+27TX1XV3+7tX(32+12)=26K+2V37I,D错误.

三、填空题（每小题5分，共15分）

12.由斜二测画法得到的一个水平放置的三角形的直观图是等腰三角形，底角为30。，腰长为2,如图，那

么它在原平面图形中，顶点3到x轴的距离是_________.

答案2A/2

解析过点3作3c〃y轴，交/轴于点。，如图,

在中,NB'OC=3U：

/3'。'0'=135。，O'B'=2,

由正弦定理

BrCrO'B'

sin30°sinl35°

2x-

于是得B'C'=^-=^2,

2

由斜二测画法规则知，

在原平面图形中，顶点B到x轴的距离是2迈

13.（2024.全国甲卷）已知圆台甲、乙的上底面半径均为八，下底面半径均为「2,圆台母线长分别为2（r2力）,

3（r2-n）,则圆台甲与乙的体积之比为

答案在

4

解析由题可得两个圆台的高分别为

h甲=/[2（「2-二）]2-（r2-二）2=75（力力）,

h乙=/[3（「2—厂1）]2—（厂2—二）2=27^（小八）,

）"甲

V乙衿上+s下+Js上S下）九乙

h甲_6g-「1）

九乙2四（丁2-丁1）4

14.将3个6cmx6cm的正方形都沿其中的一对邻边的中点剪开，每个正方形均分成两个部分，如图（1）所示,

将这6个部分接入一个边长为3vlem的正六边形上，如图⑵所示.若该平面图沿着正六边形的边折起，围

成一个七面体，则该七面体的体积为cm3.

图（1）图⑵

答案108

解析将平面图形折叠并补形得到如图所示的正方体，

该七面体为正方体沿着图中的六边形截面截去一部分后剩下的另一部分，由对称性知其体积为正方体体积

的一半，即963=108（加3）.

ID思维创新

15题5分，16题6分，共11分

15.（2024•郑州模拟）如图，正方形A3CD的中心为O,边长为4,将其沿对角线AC折成直二面角，设“为

AD的中点，N为8C的中点，则三角形沿直线旋转一周得到的旋转体的体积为（）

A2V2H

A.-------B.—

33

C2aln4历1

•3D.----3---

答案C

解析由题意可得OM=ON=^Cr）=2,

过点M作MPVAO于点P,连接PN,

由二面角。-AC-B为直二面角，故平面D4C,平面AC3,

又平面DACn平面ACB=AC,MPu平面DAC,

故MP_L平面ACB,又PNu平面ACB,故MP±PN,

贝ljMP[CD他,CP=V2CE>-yCD=3V2,CN=^BC=2,

在△CNP中，利用余弦定理得

NP=J(3V2)2+22-2x3V2x2xy=V10,

在△MPN中，MN=J(V10)2+(V2)2=2V3,

在△MON中，0M=0N=2,MN=2W，取MN的中点为“，

则点O到MN的距离为。居卜一律j=],

根据圆锥的定义知，三角形MON沿直线脑V旋转一周得到的旋转体为两个相同圆锥的组合体，

故圆锥的底面半径为,所以旋转体的体积为

与X也谆等

16.(多选)[椭圆柱]把底面为椭圆且母线与底面都垂直的柱体称为“椭圆柱”.如图，椭圆柱0。中椭圆长轴

AB=4,短轴CD=2V5,FI，八为下底面椭圆的左、右焦点，B为上底面椭圆的右焦点，AA'=4,P为线段

89上的动点，E为线段A5上的动点，MN为过点B的下底面的一条动弦(不与A3重合)，则下列选项正

确的是()