2025高考数学二轮复习：解析几何之直线与圆

专题六解析几何

微专题1直线与圆

［考情分析］考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系（特别是弦

长问题），此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现.

考点一直线的方程

1.已知直线/i：Aix+Biy+Ci=O,直线h：Aix+B2y+C2=0,则h//,且A1C2-A2G/）（或SC2-

&CirO）,li-L12<^AIAT.+B\BT.=0.

2.点P（xo,刈）到直线I：Ax+By+C=Q（A,3不同时为零）的距离

3.两条平彳丁直线hAx+By+C\=0,hAx+By+C2=0（A,B不同时为零）间的距离

例1（1）（多选）（2024・安庆模拟）下列说法正确的是（）

A.直线xsina+y+2=0的倾斜角。的取值范围是［。，U洋，底）

B.“a=-l”是“直线〃龙一产1=。与直线4冲一2=0互相垂直”的充要条件

C.过点P（l,2）且在x轴、y轴截距相等的直线方程为x+y-3=0

D.经过平面内任意相异两点（X1，%）,（X2，m）的直线都可以用方程（%2-Xl）Cy-yi）=Cy2-yi）（X-Xl）表示

答案AD

解析对于A,直线的倾斜角为6,则tan0=-sinaG［-l,1］,

因为0<6<兀，所以昨［0,驷［乎，n）,故A正确；

对于B,当a=-l时，直线x-y+l=O与直线尤+广2=0斜率分别为1,-1,斜率之积为-1,故两直线相互垂直，

所以充分性成立，

若“直线/x-y+lR与直线x-qy-2=0互相垂直”,贝ijcr+a=O,

故"=0或斫一1,所以得不到所一1,故必要性不成立，故B错误；

对于C,当截距为0时，设直线方程为y=kx,又直线过点P(1,2),

代入直线方程可得;2,所以直线方程为y=2x,

当截距不为。时，设直线方程为,又直线过点P(1,2),

aa

代入直线方程可得斫3,所以直线方程为x+y-3=0,

所以过点P(1,2)且在％轴、y轴截距相等的直线方程为x+y-3=0或产2x，故C错误；

对于D,经过平面内任意相异两点(%i,yi),(处,竺)的直线，

当斜率等于0时,yi-y2,%i#2,方程为y=yi,能用方程(x2-xi)(y-yi)=(y2-yD(x-xD表示；

当斜率不存在时，》分2,xi=x2,方程为x=xi,能用方程(x2-即)8%)=。2-丁1)(%-沏)表示；

当斜率不为。且斜率存在时，直线方程为二红,也能用方程3-%1)。平)心2平)(%-即)表示，故D正确.

y2-y1比2一比1

(2)已知y=(x-a)2+(xlnx-a+3)2(a£R),则y的最小值为.

答案2

解析设点P(x,%lnx)是函数4x)=jdnx图象上的点，点Q(〃,a-3)是直线Iy=x-3上的点，

贝|J|PQ|=J(%—a)2+(%ln%-a+3》,所以y二|PQ/

因为/(x)=lnx+l,设曲线产/(x)在点M(xo,泗)处的切线/i与直线/平行,则八%0)=11140+1=1,解得的=1,

则点颂1,0),所以|尸0|的最小值为点颂1,0)到直线/的距离I=止守=&,

所以y=(x-a)2+(xlnx-a+3)2的最小值为2.

［易错提醒］解决直线方程问题的三个注意点

(1)利用4&-431=0后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性.

⑵要注意直线方程每种形式的局限性.

(3)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在.

跟踪演练1(1)(多选)已知直线/：V3x-j+l=0,下列四个说法中正确的是()

A.直线/的倾斜角为3

B.若直线m：x-V3y+l=0,则/_L〃z

C.点(遍，0)到直线/的距离为2

D.过点(2H，2),并且与直线/平行的直线方程为限乎4=0

答案CD

解析直线/的斜率h=W，倾斜角为三，A不正确；

直线m的斜率k?粤，倾斜角为！,与直线/不垂直，B不正确；

点(遮，0)到直线/的距离

步|氏氏0+11=2c正确；

2

过点(2b,2),与直线/平行的直线方程为y-2=V3(x-2V3),即信-y-4=0,D正确.

(2)(2024.遂宁模拟)若点A(a,a),B(b,eb)(a,beR),则A,3两点间距离|A8|的最小值

为.

答案f

解析点A(q,°)在直线y=x上,点B(b,e^)在曲线产e，'.上,

即求的最小值等价于求直线产尤上的点到曲线产砂上的点的距离的最小值.

过y=e*上的点(m,e171)作产e*的切线，

则切线方程为y-em=e"'(x-m),

令em=l,可得m=0,故该切线为y=x+\,

则直线产元+1与产尤的距离即为|AB|的最小值，

此时,fiP|AB|min=-y.

考点二圆的方程

1.圆的标准方程

当圆心为(a,b),半径为r时,其标准方程为(尤-a)2+(y-6)2=，.

2.圆的一般方程

x^+y^Dx+Ey+F^,其中D2+E2-4F>0,表示以(g,-|)为圆心，也在尹为半径的圆.

例2(1)(2024.浙江金丽衢十二校联考)圆C：/+,2_2彳+4产0的圆心c坐标和半径r分别为()

A.C(1,-2),T-V5B.C(1,-2),r=5

C.C(-1,2),r=V5D.C(-1,2),r=5

答案A

解析圆C：x2+y2-2x+4j=0，即C：(尤-l)2+(y+2)2=5,

它的圆心C坐标和半径r分别为C(1,-2),r=瓜

(2)(2024.晋中模拟)已知直线/：y=x与圆T：(%-2fc)2+(y-k+1)2=1(A：GR),下列说法正确的是()

A.所有圆厂均不经过点(1,1)

B.若「关于/对称，则上-2

C.若/与广相交于A,B两点,且|43|=鱼，则仁-2

D.存在与x轴和y轴均相切的圆r

答案A

解析对于A,若圆厂经过点(1,1),贝U(1-2/C)2+(1-k+1)2=1,化简整理得5%8%+4=0,

因为/=64-4x5x4=64-80=-16<0,所以方程无解，

所以所有圆〃均不经过点(1,1),所以A正确；

对于B,圆广：(％—2/c)2+(y-k+1)2=1的圆心坐标为(2左，hl),

若「关于/对称，则直线/过圆心，所以2gh1,得仁1,所以B错误；

对于C,因为/与厂相交于A,3两点，fi|AB|=V2,所以圆心到直线的距离为仁小2_考，

又上呸出,解得卜2或k=。,所以C错误；

对于D,若存在与x轴和y轴均相切的圆〃，则12kl=|k—1|=1,此方程组无解，

所以不存在与x轴和y轴均相切的圆厂，所以D错误.

［规律方法］解决圆的方程问题一般有两种方法

(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程.

(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.

跟踪演练2(1)(多选)已知实数x,y满足/+/4产3=0,贝】」()

A.当今0时，2的最小值是-旧

X

B：的最大值是今

Cyx的最小值是2-V2

D.d+y2的最小值是1

答案BCD

解析由f+)/-4y+3=0,得f+Q-Zyul.该方程表示圆心为C(0,2),半径r=l的圆.

设上4算0),则上表示圆上的点(除去点(0,1)和(0,3))与原点0(0,0)连线的斜率，

X

由产质(*0),则专〉1，解得上力百或kW-W,

V一fcz+(，-l)z

由题意，y一定不等于0,

所以可以为0),

3yK3

即当中0时，^无最小值，2的最大值是"，故A错误，B正确；

xy3

设y-x=Z?,贝I]y=x+Z?，力表示当直线尸工+〃与圆有公共点时，直线在y轴上的截距，

则浮产1，解得2-7^^2+金,即小的最小值是2-鱼，故C正确；

因为f+y2表示圆上的点到原点的距离的平方，又圆心在y轴上，

所以当x=0,y=l时，V+y2取得最小值，且最小值为1,故D正确.

(2)已知M(-l,1),若坐标原点0(0,0)在动直线/：mx+〃y-2m+2〃=0上的投影为点N,则|MN|的取值范

围是()

A.[V2,2VliB.[V2,3Vli

C.[l,3V2]D.[2V2,3V2]

答案B

解析直线/：mx+ny-2m+2n=0,即(x-2)加+(y+2)"=0,

；2：X：-2,

所以动直线/恒过定点P(2,-2).

因为坐标原点0(0,0)在动直线/上的投影为点N,

故NONP=90。，所以N在以。尸为直径的圆上,

则圆的圆心为2(1,-1),半径J(2_0)2+(—2_0)2=/.

又—1)2+(1+1)2=2企,

所以|MQ卜rW|AW|W|MQ|+r,即71可跖\忸3迎，

即的取值范围是[VL3V2].

考点三直线、圆的位置关系

1.直线与圆的位置关系：相交、相切和相离.

其判断方法为：

(1)点线距离法.

22

(2)判别式法：设圆C：(XF)2+Q-6)2=，，直线I：Ax+By+C=Q(A+B^,联立方程组

(Ax+By+C=0,

1(%—a)2+(y—b)2=r2,

消去y,得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为/,则直线与圆相离=/<0,直线与圆相切=j=0,

直线与圆相交=/>0.

2.圆与圆的位置关系，即内含、内切、相交、外切、外离.

考向1直线与圆的位置关系

例3(多选)(2024.金华模拟)已知圆C：01)2+0-2)2=25,直线/：(2m+l)x+(m+l)y-7m-4=0,则下列命

题正确的有()

A.直线/恒过定点(3,1)

B.圆C被y轴截得的弦长为2遍

C.直线/与圆C恒相交

D.直线/被圆C截得的弦长最短时，直线/的方程为2x-y-5=0

答案ACD

解析对于A,由已知可得，圆心C(1,2),半径-5,

直线方程可化为I:/w(2x+y-7)+x+y-4=0,

2%+y-7=0,(x-3,

由B

X+y-4=0,=1,

所以直线/恒过定点尸(3,1),A正确；

对于B,将x=0代入圆的方程有1+。-2)2=25,解得产2±2e，

弦长为J(0-0)2+(2+276-2+2遍)2=4伤,B错误；

因为点P(3,1)到圆心C(1,2)的距离为J(1一3>+(2-1)2=花<5=厂,

所以点尸在圆内，直线/与圆C恒相交，C正确；

当圆心C与定点尸的连线恰好与/垂直时，圆心到直线的距离最大，直线/被圆C截得的弦长最短，又

71-21

kpc=ka1

则I的斜率左应满足kpc-k=-l,所以k=2,

代入点斜式方程有y-l=2(x-3),

即2x-y-5=0,D正确.

考向2圆与圆的位置关系

例4(1)(2024・聊城模拟)若圆G：/+9=1与圆。2：O〃)2+(y-〃)2=4恰有一条公切线，则下列直线一定

不经过点(。，A)的是()

A.2x+y-V^=0B.2x-y+2=0

C.x+y-y/2=0D.x-y+2=0

答案D

解析圆Ci:f+y2=l的圆心Ci(0,0),半径-1,圆G：(x-a)2+(y-b)2=4的圆心Q(〃,b),半径r?=2,

若圆G与圆G恰有一条公切线，则两圆内切，

所以|。1。21二岛—Ql，fiPVa2+b2=l,所以点(Q,Z?)的轨迹为0d+y2=i,

对于A,圆心(0,0)到直线2x+y-鱼=0的距离为吗四=半<1,则该直线与圆相交，过点(a"),故A不

V55

符合；

对于B,圆心(0,0)到直线2x-j+2=0的距离为^^=等<1,则该直线与圆相交，过点(a,6),故B不符合；

对于C,圆心(0,0)到直线x+y-鱼=0的距离为号g=1,则该直线与圆相切,过点5,V)，故C不符合；

对于D,圆心(0,0)到直线尤->2=0的距离为此詈=e>1,则该直线与圆相离，不过点(a,加，故D符合.

(2)(多选)已知圆Ci：(x-l)2+(y-2a)2=9,圆C?：x2'+y2-8x+2ay+a2+12=0,a6R,则下列选项正确的是

()

A.直线CC2恒过定点(3,0)

B.当圆C1和圆C2外切时，若P,。分别是圆Cl,C2上的动点，则|PQmax=10

C.若圆Cl和圆C2共有2条公切线，则

D.当时，圆G与圆C2相交弦的弦长为呼

答案ABD

解析对于A,由圆G：(X-1)2+(J-2«)2=9，0C2：x1+y1-8x+2ay+a2+12=0,,

可知G(1,2a),半径n=3,Q(4,-a),半径归2,

故直线的方程为丁+。=-。(%-4),

即y=-a(x-3),所以直线GQ恒过定点(3,0),A正确;

对于B,当圆G和圆C2外切时，

|CiC2|=n+r2,即J(1-4/+(2a+a)2=3+2,

解得。=±1,

当时，如图所示，当尸，C1,C2,。共线时，

22

|PeU=|CiC2|+n+r2=J(l-4)+(|+1)+5=10；

同理求得当。=q时，|PQ|max=10,B正确；

对于C,若圆G和圆C2共有2条公切线，则两圆相交，

贝U历-r21Vlec2|〈门+―2,

即1<，(1-4)2+(2a+a)2<5,解得-[<〃<],C错误；

对于D,当时，两圆相交，

Cl:(x-l)2+(y-1)=9,

C2：(x-4)2+(y+=4,

将两方程相减可得公共弦方程6尤-2y-g=0,

则G(l,|国6x-2理=0的距离为工广手，则圆G与圆C?相交弦的弦长为2小-(铛之考，D

正确.

［规律方法］(1)与圆的弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r,圆心到直线的距离d,及半弦长J

构成直角三角形的三边，利用其关系来处理.

(2)两圆相交公共弦的方程可通过两圆方程相减求得，进而在一个圆内，利用垂径定理求公共弦长.

跟踪演练3(1)(2024•娄底模拟)已知圆C：(『1户+。+2)2=16,过点。(0,1)的动直线/与圆C相交于",

N两点，当1MM=2A/正时，直线/的方程为()

A.4x+3y-3=0

B.3x-4y+4=0

C.x=0或4x+3y-3=0

D.4x+3y-3=0或3x-4y+4=0

答案c

解析当直线/与X轴垂直时，易知直线/的方程为x=0,

C:(x-1)2+0+2)2=16中，令x=0得(y+2)2=15,解得y=±屁-2,

故此时也0|=底2(-6耳2)=2e，符合题意；

当直线/与x轴不垂直时，设直线/的斜率为左，则直线/的方程为产丘+1,

即fcr-y+l=0,又圆心C(1,-2),半径/-4,

则圆心(1,-2)到直线/的距离为♦=需答,X\MN\=2<r2-d2=2V16-d2=2V15,

.•"弋|券=1,解得仁.则直线/的方程为y=A+l,即4元+3y-3=0.

综上可知，直线/的方程为x=0或4尤+3y-3=0.

(2)(多选)(2024・泉州模拟)已知直线/：fcr+y+2hl=0与圆C：f+y2-6y-7=0相交于A,3两点，下列说法

正确的是()

A.若圆C关于直线/对称，则上1

B.|AB|的最小值为4V2

C.当；3时，对任意见©R,曲线W：炉+'2+3a+(九6)尹5”7=0恒过直线/与圆C的交点

D.若A,B,C,0(0为坐标原点)四点共圆，则上］

答案BCD

解析对于A,若圆C关于直线/对称，则直线/过圆C的圆心(0,3),即3+2hl=0,得k=-l,故A错误；

对于B,I:kx+y+2k-l=0,整理得依计2)+y-l=0,不管人为何值,直线/始终过点。(-2,1),当点。是线段

A3的中点时，此时弦长|A8|最短，

圆C:V+(y-3)2=16,圆心C(0,3),半径r=4,

圆心C和点D的距离是2段，所以最短弦长|43|=2,是-(2/)2=4/，故B正确；

对于C,当k=3时，直线I:3x+y+5=0,

22

曲线W:f+y2+3Ax+(%-6)y+52-7=0,即x+y-6>y-7+A(3x+y+5)=0,

所以曲线卬为过直线/与圆。交点的曲线方程，故C正确；

对于D，若A,3,C,。四点共圆,设此圆为圆石,圆心石(〃,b),

OC的中点为(0,|),所以OC的垂直平分线方程为h:y=|,所以6=|,

3

-

2

圆E的方程为(尤-a)2+(y—|)=〃+[,整理得一+了2-20%-3、=0,

因为直线A3是圆C与圆E的交线，将圆C与圆E的方程相减得2ax-3y-7=0,

所以直线A3的方程是2ax-3y-l=0,

将直线/所过的定点。(-2,1)代入上式得-4小3-7=0,得。=微，

所以直线A8,即直线/的斜率为吆=金,§P-k=--，则,故D正确.

3333

专题强化练

(分值：84分)

10素养提升

一、单项选择题(每小题5分，共40分)

1.已知直线/倾斜角的余弦值为-E，且经过点(2,1),则直线/的方程为()

A.2x+y-5=0B.2x-y-3=0

C.x-2y=0D.x+2y-4=0

答案A

解析设直线/的倾斜角为06[0,兀），

由cos，可得sin0=71-cos20=受,

则直线/的斜率Qtan。=吗=-2,

且直线/经过点（2,1）,

所以直线I的方程为y-l=-2（x-2）,即2x+y-5=0.

2.（2024・新乡模拟）已知直线A：2x+my-l=0,（m+l）x+3y+l=0,则“根=2"是的（

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案C

解析当m=2时，直线Zi：2x+2y-l=Q,h:3%+3y+l=0,则/i〃/2,

当/i〃/2时，高专好,解得m=2,

所以“加=2”是“八〃/2”的充要条件.

3.（2024.北京）圆x2+y2-2x+6y=0的圆心到直线x-y+2=0的距离为（）

A.V2B.2

C.3D.3V2

答案D

解析将圆的方程化为标准方程，

得01）2+6+3）2=10,

所以该圆的圆心（1,-3）到直线x-y+2=0的距离为^^^=/=3加.

4.直线y=«x-5）-2（左GR）与圆（尤-3）2+（丫+1）2=6的位置关系为（）

A.相离B.相交

C.相切D.无法确定

答案B

解析直线产%(x-5)-2恒过定点(5,-2),将定点(5,-2)代入圆的方程，

发现(5-3)2+(-2+1)2=5<6,则定点(5,-2)在圆(.*3)2+8+1)2=6的内部,

所以直线与圆必相交.

5.(2024.聊城模拟)已知圆C与两坐标轴及直线x+y-2=0都相切，且圆心在第二象限，则圆C的方程为(

2

A.(x+V2)2+(y—V2)=V2

B.(x-V2)2+(y+V2)=2

C.(x-V2)2+(y+V2)=V2

D.(x+V2)2+(y-V2)=2

答案D

解析由题意设所求圆的方程为(无也)2+纣6)2=/(°<0,6>0),

[\a\=\b\=r,(b——a=r,

则(|a+b-2|即2

(b=V2,

解得，a=—V2,

Ir=V2,

所以圆C的方程为(x+V2)2+(y-V2)2=2.

6.(2024.苏锡常镇调研)莱莫恩(Lemoine)定理指出：过△ABC的三个顶点A,B,C作它的外接圆的切线，

分别和3C,CA,A3所在直线交于点尸，Q,R,则P,Q,R三点在同一条直线上，这条直线被称为三角

形的Lemoine线.在平面直角坐标系。孙中，若三角形的三个顶点坐标分别为A(0,1),3(2,0),C(0,

-4),则该三角形的Lemoine线的方程为()

A.2x-3y-2=0B.2x+3y-8=0

C.3x+2y-22=0D.2x-3y-32=0

答案B

解析设/XABC的外接圆方程为.F+V+Dx+Ey+QO,D2+E2-4F>0,

1+E+F=0,(0=0,

二4+2。+F=0,解得E=3,

,16—4E+F=0,kF=-4,

2

外接圆方程为f+y2+3y-4=0,即f+(y+|)=/.

易知外接圆在A(0,1)处的切线方程为产1,

又BC:|+^=1,令y=l,得%=|,

.•・仁1）.

在C（0,-4）处的切线方程为y=-4,

又AB:|+y=l,令y=-4,得x=10,

.\7?（10,-4）.

则三角形的Lemoine线的方程为昔，芸募,即2x+3y-8=0.

2

7.（2024•全国甲卷）已知》是a,c的等差中项，直线ax+6y+c=0与圆f+/+4”=0交于A,8两点，贝U|A3|的

最小值为（）

A.lB.2

C.4D.2V5

答案C

解析因为。是a,c的等差中项，

所以2b=a+c,c=2b-a,

代入直线方程ax+by+c=0得ax+by+2b-a=0,

即a(x-l)+Z?(y+2)=0,

八.-1=0,彳口俨=1,

吨+2=0以y=—2,

故直线恒过(1,-2),设P(1,-2),

圆化为标准方程得/+(尹2)2=5,

设圆心为C,画出直线与圆的图形，如图，

由图可知，当PCLAB,|AB|最小,

又|PC|=1,|AC|=JI,

止匕时|AB|=2HP|=2jMC|2-

=2V5-1=4.

8.已知圆O：/+尸=4上两点+（用,yD，3（x2，"）满足沏忿+92=0,则昆+V5yl+6|+昆+遮丫2+6|的最

小值为（）

A.3V2-2B.6-2V2

C.6V2-4D.12-4V2

答案D

解析由制为+%竺=0得01•加=0,即35,而,贝IIOA±OB,|AB|=V2|OA|=2V2,

因为|久1+b月+6|+|久2+V3y2+6|=2与丝辿+氏产+61

\J1+(V3)2J1+CV3)2

所以由点到直线的距离公式，可知|久1+V3yx+6|+|久2+V3y2+6|表示A,B两点到直线I：x+V3y+6=0的

距离之和的2倍.

如图所示，过A,8分别作直线/的垂线，垂足分别为D,F,

设AB,。尸的中点分别为M,E,则ME是梯形AO尸3的中位线，可得HD|+|3R=2|ME|,

则忸++6|+|%2+V3y2+6|=2（|AD|+|BF］）=4|ME|,即点M到直线/的距离的4倍.

因为△AOB是直角三角形，所以［0河］=引8|=，2&,

则点M在圆^+/=2上运动，半径r=<2.

由图可知，当O,M,E三点共线时，|ME|最小，

又原点。到直线/的距离d=1°+0+61=3,\ME\^d-r=3-y/2,

jl+(V3)2

所以氏1++6|+|%2+V3y2+6|=4|ME|的最小值为4(3-V2)=l2-472.

二、多项选择题（每小题6分，共18分）

9.下列说法正确的是（）

A.直线y=ax-2a+4（aCR）必过定点（2,4）

B.直线y+l=3尤在y轴上的截距为1

C.直线昌+3y+5=0的倾斜角为120°

D.过点G2,3）且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为2x+y+l=0

答案AD

解析对于A选项，直线方程可化为«(x-2)+(4-y)=0，由《二j二轲得仁Z4

所以直线产QX-2Q+4(〃£R)必过定点(2,4),A正确；

对于B选项，直线方程可化为产3/1,故直线尹1二3%在〉轴上的截距为-1,B错误；

对于C选项，直线、&+3y+5=0的斜率为-苧,该直线的倾斜角为150。，C错误；

对于D选项，过点(-2,3)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程可设为2x+y+c=0,

则2x(-2)+3+c=0，可得c=l,

所以过点(-2,3)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为2x+y+l=0,D正确.

10.(2024•哈尔滨模拟)已知圆C：(x-2)2+;/=4,直线/：(加+1)尤+2y-3=0gGR),贝!J()

A.直线/恒过定点(1,1)

B.存在实数相，使得直线/与圆C没有公共点

C.当〃--3时，圆C上恰有两个点到直线/的距离等于1

D.圆C与圆炉+/2%+8>1=0恰有两条公切线

答案ACD

解析对于A,直线/的方程可化为m(x-l)+x+2y-3=0,由｛:"=。得仁二:

直线/过定点(1,1),A正确；

对于B,又(1-2)2+12=2<4,即定点(1,1)在圆C内，则直线/与圆C相交，有两个交点，B错误；

对于C,当m=-3时，直线/：x-y=0,圆心CQ,0)到直线/的距离为d聿著短,

而圆C半径为2,且2-鱼<1,因此恰有2个点到直线/的距离等于1,C正确；

对于D,圆C的半径n=2,圆x2+y2-2x+8y+l=0(x-l)2+(y+4)2^16,

圆心为(1,-4),半径々=4,

两圆圆心距为d'=J(l—2乃+(—4-0)2=g,

,

贝r2-ri<6?<r2+ri,

两圆相交，因此它们有两条公切线，D正确.

11.在平面直角坐标系O孙中，方程d+|y|=2对应的曲线为E,贝U()

A.曲线E是封闭图形，其围成的面积小于8鱼

B.曲线E关于原点中心对称

C.曲线E上的点到直线x+y=4距离的最小值为平

8

D.曲线E上的点到原点距离的最小值为四

答案ABC

解析当y>0时，y=-f+2,当y<0时，y=f-2,当y=0时，x=±V2,

所以曲线E的图象如图所示，其中%e[-V2,V2],

对于A,分别过A,C作x轴的垂线，过B,。作y轴的垂线，则围成矩形EFG”,

因为A(-V2,0),C(V2,0),B(0,-2),£)(0,2),所以|EF|=|4C|=2a,\EH\=\BD\=4,

所以矩形EFGH的面积为2岳4=8五,

由图可知，曲线E是封闭图形，且在矩形EFGH内，

所以曲线E围成的面积小于8企，所以A正确；

对于B,因为点(x,y)和点(-x,-y)均满足方程./+加=2,

所以曲线E关于原点中心对称，所以B正确；

对于C,由图可知,曲线E上到直线x+y=4距离最小的点位于第一象限,

此时y>0,则y=-x2+2,设(x,y)为y=-xi+2上任意一点，

则此点到直线x+y=4的距离为

冷空部=上山=『=喧云2公，当且仅当X』时取等号，

V2V2V2V282

所以曲线E上的点到直线x+y=4距离的最小值为新，所以C正确；

对于D,设(x,y)为曲线E上任意一点，则其到原点的距离为勤发+产,

V%2+y2=V2-lyl+y2=J(lyl+|y>当且仅当回三时取等号，

所以曲线E上的点到原点距离的最小值为了，所以D错误.

三、填空题(每小题5分，共15分)

12.(2024.杭州质检)写出与圆r+/=l相切且方向向量为(1,遮)的一条直线的方程.

答案y=VWx+2或产乃x-2(写出一个即可)

解析因为切线的方向向量为(1,遍)，

所以切线的斜率为百,

故可设切线方程为y=y/3x+b.

因为直线y=V3x+b与圆x2+y2=l相切，

又圆丁+产1的圆心坐标为(0,0),半径为1,

圆心(0,0)到直线y=VIx+6的距离为产°-°+川粤

J(V3)2+(-l)2

所以3=1,解得b=2或b=-2.

所以与圆^+^=1相切且方向向量为(1,V5)的直线方程为y=J9x+2或y=«x-2(写出一"^即可).

13.(2024•海口调研)已知圆C：/+纣2)2=16,点P在直线/：x+2y+6=0上，过点尸作C的两条切线，切点分

别为A,A当NAP8最大时，cosZAPB=

答案-|

解析如图所示，易知/AP3=2NAPC,若NAP8最大时，则/APC最大.

由题意知圆C的圆心C(0,2),半径『4,

在Rt^APC中，sinZAPC=^~,则当/APC最大时，|PC|取得最小值，

显然由点到直线的距离公式，

可知|PC|min」)：2%=2Z,

则此时sinNAPC=e,

贝ljcosZAPB=1-2sin2ZAPC=-|.

14」曼哈顿距离］人脸识别在现今生活中应用非常广泛，主要是测量面部五官之间的距离，称为“曼哈顿距

离”.其定义如下：设A=(xi，%),3=(x2，及)，则A,B两点间的曼哈顿距离"(A,B)=\xr-x2\+\y±-y2\-

已知M=(l,2),若点尸满