2025届高考数学二轮复习专练：双曲线（含解析）

2025届高考数学二轮复习专题训练8.4双曲线

本试卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。

答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后,

再选涂其它答案标号。

2.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

22

1.已知双曲线C:二—3=1（。〉0/〉0）的右焦点为反过尸的直线4x+3y+m=0（机为常数）

ab

与。在第一象限交于点P.若|O尸|=|O/]（。为原点），则。的离心率是（）

V357/r

A.----B.-C.V5D.5

55

22

2.已知片（―c,0）,耳（c,0）分别是双曲线C：2匕=1（〃>0/>0）的左、右焦点，过月的直线与圆

a2b2

（X—；c）2+y2=02相切，与C在第一象限交于点尸,且PF21X轴，则C的离心率为（）

A.3B.2君C.2D.由

22

3.已知双曲线二—与=1（。〉°力〉0）的左，右焦点分别为耳，F2,过点耳的直线与双曲线的左

支相交于P,Q两点，若尸。工尸工，且41P9=3归闾，则双曲线的离心率为（）

A也B.lC.叵D亚

3333

22

4.已知耳，K分别为双曲线C：q_1=1（。〉0/〉0）的左,右焦点，过歹2作c的两条渐近线的平行

线，与两条渐近线分别交于A,B两点.若tan幺刍0=则c的离心率为（）

23

A.3B忑DV2

5.设A、8分别为双曲线C:♦—==1（。〉0］〉0）的左、右顶点，P,。是双曲线C上关于x轴

cib

r\ii

对称的不同两点，设直线A。、3。的斜率分别为小小则一+@+1~^InWI+ln同取得最小

ab2\mn\1111

值时，双曲线C的离心率为（）

A.72B,V3C.—D.—

22

22

6.如图，已知双曲线C:三-3=1（。〉01〉0）的左、右焦点分别为耳，居，过歹2作渐近线

atr

3

l:bx-ay=Q的垂线交I于点M连接M8交C于点N,若cos/4”=—1,则C的离心率为（）

7.已知双曲线C的左、右焦点分别为《，F2,过月的直线I与C的左支交于M,N两点，若

\MF2\=\MN\,则C的离心率为（）

近yfliV14S

A.—B.--C.--D.—

3322

22

8.c：=_.=

设双曲线i（a〉o,6〉o）的左、右焦点分别为耳，F2>左、右顶点为4，4，P

为双曲线一条渐近线上一点，若/=3—4%=]•则双曲线C的离心率e=（）

A-V13B-2V3C.而D.M

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选

项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0

分.

9.下列双曲线中，以直线'=±2%为渐近线的是（）

2222

2_/=1_%2=1

A.X-^=1B./_土=1C.土D.匕

444-4

10.已知点P是圆加:（x+3）2+y2=16上一动点，点N（3,0%线段PN的中垂线/交直线于点

。，若点。的轨迹为曲线C^J（）

22

A.曲线C的方程为工—匕=iB.线段.中点的轨迹方程为V+y2=4

45

C.|QV|的最小值为5D.直线/与曲线C只有一个公共点

11.已知曲线。：.小|+了3=1,下列结论正确的是（）

A.曲线。关于y=x对称

B.曲线。刚好经过2个整点（即横、纵坐标均为整数的点）

C.若点A（x,y）在曲线Q上，则4—-4|<4

D.曲线。与直线x+y+0=0有且只有一个交点

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

22

12.已知耳，工是双曲线0：9__匕=1（。〉0]〉0）的左、右焦点，过百的直线与C的左、右两支

分别交于48两点.若以C的中心为圆心，耳工的长为直径的圆与C的右支的一个交点恰为8,若

\AB\，\BF^闾成等差数列，则C的渐近线方程为.

13.已知双曲线。：必―/=i,则点(2,0)到C的渐近线的距离为.

14.已知P,。分别为双曲线必―2L=1右支与渐近线上的动点，/为左焦点，则|PQ|+|PF|的最

4

小值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

2222

15.已知椭圆当+与=1(。〉6〉0)与双曲线二—1=1.

ab~b~a

(1)若椭圆与双曲线的离心率分别为G,e2,双曲线的渐近线的斜率小于3,求6和02的取值范围;

(2)若椭圆的长轴长为8,短轴长为4,双曲线与直线/:丁=辰+m(左。±2)有唯一的公共点过点

M且与/垂直的直线分别交x轴，y轴于点A(x,0),8(0,y)两点.当点M运动时，求点尸(x,y)的轨

迹方程.

16.已知双曲线后:/一/=1(。〉0］〉0)的一条渐近线方程为＞='x，左、右顶点分别为4

B,且|的=4.

⑴求E的方程；

(2)若点尸为直线X=-1上的一点，直线交石于另外一点M(不同于点3).

13

①记△B45,的面积分别为豆，邑，且S］=仃S2,求点尸的坐标；

②若直线交E于另外一点N,点G是直线上的一点，且OGLMN,其中O为坐标原点，

试判断|AG|是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由.

17.已知双曲线C:f—/=m，点片(5,4)在C上，上为常数，0(人＜1,按照如下公

式依次构造点月，(〃=2,3,…)；过点匕t作斜率为左的直线与C的左支交于点Q“T，令月为Q,i关

于y轴的对称点，记月的坐标为(七,％).

(1)求双曲线C的方程；

1+k

(2)证明：数列｛尤“—”｝是公比为--的等比数列；

1—k

⑶设s，为△匕匕+］匕+2的面积，证明：对任意正整数%s“=sn+l,

18.已知双曲线C:=—>2=1(。〉0)的焦距为2&且左右顶点分别为a，4,过点T(4,0)的直

a

线/与双曲线C的右支交于N两点.

(1)求双曲线的方程；

⑵若直线的斜率为手，求弦长|MN|；

⑶记直线a/，4N的斜率分别为占，k2,证明：2是定值.

h

22_

19.已知双曲线c：工―2T=1(4〉0］〉0)过点。(2,3)，右焦点尸到渐近线的距离为6・

a2b2

(1)求双曲线C的标准方程；

⑵若直线/过双曲线C的右焦点尸，与双曲线C交于A,8两点，满足|AB|=6，求直线/的方程.

参考答案

1.答案：D

解析：

2.答案：D

解析：设圆心为M直线与圆相切于点N,

则=由M|=c+gc=|c,故忻州=，山"|2_闪"|2=与。

*、,212

由于PF,_Lx,所以马=c，故^-一二=1=|调=巴

a2b~a

b2

\pp

因此在Rt^PH与，由tan/「耳耳一号_a

—2c亚，

——c

2

故'■Jib2-4ac=0，即A/5C2—4ac-非a'=0=>V5e2—4e—y/5=0=>e=亚-

故选:D

3.答案：A

解析:因为4|P@=3|P闾，设闸=3加，|叫=4”

又PQLPB，所以|。闾=5加,

la

由双曲线的定义得|P闾+|°闻—|尸。=4加+5m—3m=4a，m=——

3

=4m=——»从而|尸身|=|尸6|—2a="^，

再由PQ，P工得（细y+（M）2=（2C）2,即U=1Z,

33a29

所以离心率为e=£='亘

a3

故选：A.

4.答案：D

解析：如图，连接.交x轴于肱

根据题意易知点A,B关于％轴对称，所以四边形AOBF2为菱形，且NA耳O=NBFQ,

故tan=tanAAFXO=；，且|。河|=|.

双曲线C的渐近线AO方程为)=2%,令工=€,得

a2112a

be

在RtAAMf；中,tanNA耳O=也斗=孕=L解得2=i,

1|阿3c30

2

所以e=£万

a

故选:D.

5.答案：D

解析：设则。(%,—%),

A(-6Z,O),B(tz,O)

222222

-a咚，即b

aba2bjQ-a7

n一%

m=kAP=——一=^BQ

x0+ax0-a

।Iy：b2

加=汴=滔

2ba1a1

-----1-----1--------|+ln|m|+ln|n|=-+一+y+ln|mn

ab2\mn\b2\mn\I

lba

二------1—+二+/

ab2b2a2

lbaf+21/,

=一+—+

ab2ba

b

设一二%,则x>0,

a

lba/…b>11…

fr/(x)x------1-----1-----+2In——2xH----1------+2Inx,

ablb2ax2x2

r(%)=2-4-12(X+1)(2X2-1)

7+二二

xxxx3

0<%<工-时，f\x)<0,/(x)递减,

/y

x>时,f\x)>0,f(x)递增,

所以％=J时,/(x)取得最小值,

2

Un』6四c_a2+b2

此时一=—,

a2aa222

故选：D.

6.答案：A

解析：设怩闾=2c,则|“用=半£二里=^=b,\OM\=J\OF2f-\MF2f=a,

yjal+blc'

从而sinNNF2F1=-，由正弦定理，得当=回

c4a

5c

所以加耳|夸,|叫|=加周-2。=（由余弦定理,

，口，225a2al5aa3

得4<r=------+------2---------x，化简得c=J^z,所以e=£=JL

4422a

故选：A.

7.答案：B

解析：由题可知|年|—|峥|=2a,

又因为|明所以|g|=2a,|峥|=a

\MF^=\MN\=3a,\NF2\^4a

rsr\

在/\MNF?中，cosNMNF2=—=—,

一3a3

+上加片「+|叫「—|耳工「

在△NK工中，cosZMNF,=J一J__LJ_^_

2阿阿

即—6f

316/

27[

化简可得三=’,则6=匕

a233

故选：B

8.答案：A

解析：由题双曲线一条渐近线为y=2%,

a

不妨设P（Xo，%）在该渐近线上，则可得，

因为3/AP4=巴即NRPA=—>所以tanNAP4=史也.=即=43=>%=2，5a，

26%为3

所以l"5所以=

故选：A.

9.答案：AD

解析：由y=±2x得2九±y=0,

九y

因此以2x±y=0为渐近线的双曲线方程为4炉—丁二机A。）,即获一福二1（机，0）

2

当m=4时,方程为4x2*4—y2=4，即—2L—1;

4

2

当加=T时,方程为4f_y2=_4，即匕_%2=i；

4

故选：AD.

10.答案：ABD

解析：对于A,。是PN的中垂线/上的点，则|QN|=|P@,

||2^|-|M2||=||Pe|-|W||=\PM\=4<|A^|=6,

所以点°的轨迹C是以〃(—3,0)，N(3,0)为焦点的双曲线，其中a=2，c=3,6=J5,

22

二曲线c的方程为土=1,故A正确;

对于B,设pg。,为)，线段尸N中点E(x,y),则x0-2x-3,y0-2y,

所以［（2x—3）+3丁+（2才=16，即化简为所+y2=4，故B正确;

22，2、

对于C,设则?—2_=1，则网22,〃2=51?—1

|2?/|=^(m-3)2+n2=J(m-3)2+54——1=m2-6m+4.

当加=2时，|QN1mm=1,故C不正确;

22

对于D,曲线C的方程为二一匕=>

45

设N%Ng是圆加的两条切线，切点分别为P1,P2,

当尸与4（或鸟）重合时,PN的中垂线/经过点。，且U/PM，

直线/的方程为:v=土近％,直线/为曲线c・£—£=1的渐近线;

）一2-45

当尸不与《，舄重合时,

由选项B知，线段PN中点的轨迹方程为f+/=4,

故可设PN中点£(2coso,2sin&),

若2sincz=0,则2cosa=±2，

当E(—2,0),即P(—7,0)时,

22

此时中垂线/-X=—2,与土-L=l相切，即直线/与曲线c只有一个公共点;

45

当E(2,0),即尸(1,0)时,

22

此时中垂线/：%二2,与±-±=1相切，即直线/与曲线。只有一个公共点;

/.I:y-2sma=_?COS6Z―-(x-2cosa),

2sinor

2cos。一34-6coscif

即y=_------------x-\--------------

2sin。2sin。

若4—6cosa=0,即2—3cosa=0,此时直线/过原点，则尸与4(或鸟)重合,

故2-3cosa

2coscr-34-6cosa

y=--------------x+2cos。一34-6cosof

2sina2sina------------x-\--------------

联立4，即

22sinasina

5x2-4y2=20

145

汨「2（3-2COS6Z4-6coscifY”

传5x-------------x+-------------二20，

IsinasinaJ

化简得（3cosa-2）2x2+4（2coscr-3）（3coscr-2）x+4（2coscr-3）2=0，

则F（3COS1-2）x+2（2cos1一3）丁=0,即此时A=0，解得x=―2cosa）

3cosa—2

2cosa-34-6cosa

所以,2sine2sina只有一组实数解,

22

JJ

145

故选:ABD.

11.答案：ABC

解析：因为曲线。的方程为％N+y|y|=l,

当1之0,y\0时，曲线。的方程为％2+y2=1,

当X>0,y<0时，曲线。的方程为=1,

是焦点在x轴上的等轴双曲线右支的一部分.

当％<0,y>0时，曲线。的方程为尸一％2=1,

是焦点在y轴上的等轴双曲线上支的一部分.

作出曲线C的图像如图：

-1oJ]\A'xx

设点M（x,y）为曲线O上的点，

则点M（x,y）关于y=%对称的点为b（y,%）,代入方程成立，

所以曲线。关于y=%对称，A正确；

显然曲线。上有点（0,1）,（1,0）2个整点，

除此之外任意两个整数的平方差都不可能等于1,B正确；

由上可知直线1％+》=0为曲线0中双曲线部分的渐近线，

设曲线O中圆的部分切线为,2：>=一%+女，即无+y—左=0,

\k\

则d=7^=1,解得左=0或左=一0（舍），

即/2：x+y=J5，曲线。位于直线4与1之间，

所以若点A（x,y）在曲线。上，则

所以—4<%+y—4S&-4,即4—后封龙+y—4]<4,C正确;

由于直线％+丁+&=0在（下方，所以与曲线。无交点，D错误.

故选：ABC

12・答案：y=±2

如图所示，由已知以C的中心为圆心，片工的长为直径的圆过点3,

可知/458=90。，再由|AB|，忸闾，|伍|成等差数列，

得2|巡|=|例|+|回卜

由双曲线定义可知|伍|=|A耳|+2a，忸耳|=|%|+2a，

则2忸闾=|+|AB|=|+|+2a=忸4|+2a=忸闾+4a，

即忸周=4a，忸耳|=|%|+2a=6a，又N£3==90。，

则忸耳「+忸闾2=|广阊2,即36a2+16储=4c2=4〃+4"，

则〃=121,即渐近线方程为>=±2几，

故答案为：y=±2yf3x-

13.答案：V2

解析：双曲线C：X2—V=1渐近线方程为丁=±%,

根据对称性不妨取渐近线方程为x-y=O,

2r-

则点（2,0）到渐近线x—y=0的距离为双=

故答案为：V2.

14.答案：4

2

解析：设双曲线/一号=1的右焦点为广，则|P可一|?F[=2a=2,所以|依|=|尸/[+2,所以

12。1+|/‘用=1八21+|/斤|+29尸。|+29+2=4,当且仅当。尸，尸三点共线且P在线段Q尸

上时，等号成立.

15.答案：（1）g的取值范围为]o,半j

22

xy.

(2)-------二1

10025

解析：（1）由题意可得：双曲线的渐近线的为y=±3%,则1<@<3,

bb

设椭圆的半焦距为cr双曲线的半焦距为。2,

则cf=a2—b2,=b2a2,

a2-b2

所以1=乌.J

aa2

22

因为i<@<3,所以1<£<9,1b,1b,

b3a9a2

,b2f0,—I,所以0,24T

所以G=1—7

a

2°；tZ2+/72〃2

6=蕾=丁=1+记e（2/。），

所以026（形,JIU）,

（2）根据题意可得：2。=8,2b=4,

22

所以。=4,b=2,双曲线工—匕=1.

416

双曲线的渐近线为y=±,x=±2x,

因为左w±2,所以双曲线与直线/:y=履+m（左w±2）有唯一的公共点M,

只能是直线与双曲线相切,

对工-亡=i两边求关于x的导数得在-型Lo,

416416

所以y=—,

y

设切点4（5,%）,则上=y'=d%,

直线AB的方程为y—%=—（x—X。）,

k

令％=0，则y=手

k4

令y=0,则x—XQ+ky。—5%。,

1

%

所以《

4

%=5

222

代入卜却得志y2

1,

25

所以点P(x,y)的轨迹方程是A5一/=1・

16.答案：(1)———=1

43

⑵①(-1,2)或(-1,-2)

②是，2

'2a=4

解析：(1)由题意知＜0不

2

解得a=2,b=£,

所以E的方程为土-汇=1

43

⑵由题意可知，4(—2,0),5(2,0),

设P(—1,m)，因为直线E4交E于另外一点M(不同于点B),

所以机*0,又双曲线的渐近线为y=±日x,

,,m-0J3J3

故-----w±—,解得土—,

-1+222

所以直线必竟=含

即y=m(x+2),

22

乙-乙=1

由＜43

y=m(x+2)

消y得（3-4川）12-16m2x-16m2-12=0,

c—16m2—12

所以一2,x--------------

“M3-4m2

解得知=泞1

3-4m

（8m2+6Q12m

所以加=m

--------?+22

、3-4加,?3-4m,

①因为S]=gx4x帆=|2询,

12m24m

S=—x4x

923-W3-W

ia1324m

又S]=；S2,所以|2时二万x

123-4m2

解得加=2或加二一2,

即点P的坐标为(-1,2)或(-1,-2).

②直线1=三即」"),

22

土-匕=1

由＜43

>=-V）

22

消y得（27—4加2）尤2+i6mx-i6m-108=0,

27-4m2^0,

nn,3百-16疗_]08

即加，土亏‘所以2327—4疗

,—Stn"-54

触z得x=-----------

N27-4m2

mf-8m2-54、36m

所以yv=—-2

3127-4m~27—4疗

7

36m12m

所以直线MV的斜率k=27;痴-3-申7?-=6"?,

一8病—548疗+69-4m2

27—4m23—4m2

(2

〜，，土，a12m6m8m"+6

所以直线肱V的方程为y----------=---------龙----------y

"3-4m29-4加213-4m2

z2、

.八,口12m6m8m+6

令y=0,得--------y=--------x----------y，

3-4m29-4加之?(3-4m2J

施,日8疗+62(9-4/叫16疗_12彳

解得x=---------------=-------厂=-4,

3-4/w3-4/n23-4/n2

所以直线MV恒过定点-4,0),

又OG工MN,即OG，G〃，

又点A是〃。的中点，所以|AG|=g|"O|=2,

所以|AG|是定值，且定值为2.

17.答案：(l)x2-y2=9

(2)证明见解析

(3)证明见解析

解析：⑴

由已知有机=52—42=9,

故C的方程为必―y2=9.

（2）方法一：由于过匕（尤“,力）且斜率为k的直线为丁=左（％—七）+%,

与好一/=9联立，得到方程f—%）+%）2=9.

展开即得（1—2左（”—您）%—（%—"）2—9=0,

由于匕（七，K）已经是直线y=—%）+"和必一V=9的公共点，

故方程必有一根x=xn.

从而根据韦达定理，另一根X=2.（%-2M-2轨f丁，,

相应的y=左(%一%)+%=%+一”2代,.

’2妙“一七,一十%笫+左2y厂2K

所以该直线与C的不同于匕的交点为2

、l~k21-k2,

一（/一例J-9

而注意到Q”的横坐标亦可通过韦达定理表示为

（1-父）天

故。“一定在C的左支上.

/弓+在一2双,%+k2ys

所以

、1-1-k2,

乙+新%―、，_y+k~y-2kx„

这就得到x„nn

+11-k2%+1—；^r2

司+新乙―2双,

所以X,+i-笫+i

1-k21-k2

%+左■〃+2kx”%+公力+2ky“

1-k21-k2

1+k~+2.k/、1+4/、

=J?(…〃)=/"〃)

再由x；-y；=9,就知道占一%/0,

i_i_k

所以数列｛xn-xj是公比为一-的等比数列.

1—k

方法二：因为月(乙,%)，2(—乙也”+1)，左=一2?

X〃+l+X〃

则1±^=%,+1+。一%+1+%,

、+x„+

l-kxn+1yn+l-yn'

由于FU=9,

作差得(当+1—%+i)(/+1+”+i)=(七一%)(%+”),

x„-y„_

+1+1xn+yn

%+i+%+i'

%-yn

利用合比性质知二出二^辿=％—

1+%+i

x„-yn玉+

=七，+i_y，，+i+%，+%1+4，

xn-yn+xn+l+yn+l1-k'

1_Lk

因此｛%—%｝是公比为上勺的等比数列•

1—k

(3)方法一：先证明一个结论：

对平面上三个点U,V,W,若UV=(〃,b),LW=(c,d),

则S^t/vw-人c|.(若。，V,卬在同一条直线上，约定S^uvw=O)

证明：S^uvw=^\uv[\uw\sm(uv,uw)

=||LV|-|LW|J—COS2(而,UW)

(、2

4K-M/-u[vSuw)

=g](a?+/)6+屋)一(呢+4).

=-V«2c2+a2d-+b2c2+b-d2-a-c2-b-d2-labcd

2

——Ja2d2+/c2_2abcd

证毕，回到原题.

nJn

由于上一小问已经得到X.+1

1-k2

%+%安—2仪।y„+k~y„-2kxn

故当+i+yi=

n+1-k2’i-k2

l+k2-2k(…)=目

1-k2

再由x；-y；=9,就知道%+%。0,

1_k

所以数列｛%+为｝是公比为—的等比数歹!L

所以对任意的正整数如都有毛%

二3((当%+加—笫%+加)+(乙％+相—笫%+加))—3((Z乙+加—%笫+利)一(%笫+加—笫匕+加))

—5(“〃—，")(*〃+加+%+.)—；(%+y„)(^„+m-yn+m)

lfl-k\(v、1门+左

2[l+k|(当一%)(%+%)—4^7^

\

77

而又有=（一（%"+1一%），一（％+1一%）），

%+2-％+1)'

号+闺+2=(%,+2—%+1，

故利用前面已经证明的结论即得

s

n=S△p.p”,F“a=Q卜(x"+i—x〃)("+2—yn+l)+(yn+i-y„)(xn+2-xn+l

=-|(x〃+i-x,)(yn+2-y„+1)-(%+i-%)(x.+2—xn+i)|

=g|(x,+i%+2—笫+i%+2)+(七笫+i-y„x„+1)-(xnyn+2-%x,+2)|

19(\~k1+ky9(l-k1+h9%1—左丫n+左Y'

22^1+1T^)+2[i^~T^)~2\[T+k),

这就表明S“的取值是与n无关的定值，所以S“=Sn+i.

方法二：由于上一小问已经得到4十1匚云―y«+11-k2

2份y,,+k、-2kx“

故可

1-k21-k2

l+k2-2k

1-k2（…七

再由片一y；=9,就知道％+%w0,

i_k

所以数列｛x“+为｝是公比为一的等比数列.

1+左

所以对任意的正整数处都有

—2（（*〃*〃+加—yn^yn+m）+（n+m-yn+m））一]（（%天+加—%笫+帆）一（'〃笫+加—yn+m））

—5（一丁〃）（九八+加+yn+m）-5（X"+”）（玉+恒-yn+m）

11-kl（l+k

21+k21-k

、、w/日云।9（1—k1+A^]

这就得到加小一5%二万17r=笫％,

9

以及4+1%+3-%+14+3=万=xy2-%当

U+小Unn++2-

两式相减，即得（玉+2%+3一%+2%+3）一（玉+1%+3一%+1%+3）

移项得到xn+2yn+3-ynxn+2-xn+1yn+3+ynxn+1

xxx

=yn+2n+3-„yn+2-券+S+3+„yn+i

故（”+3—yn）（%+2—七+1）=（%+2—%+l）（玉+3一天）

而£E+3=（x“+3-%，%+3一％），£+1与+2=（%+2-Z+i,%+2-%+i）・

所以月£+3和e+£,+2平行，

这就得到s△尸pp=S△尸pp，即S=s+].

ZA/«/n+l/n+2ZAZn+l/n+2/n+3n〃十】

方法三：由于

作差得

%+1—K.+4七+1+%+1+X"y“

变形得用P