2025届高考数学二轮复习：双曲线（含解析）

2025届高考数学二轮复习专题卷双曲线

本试卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。

答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦

2.擦干净后，再选涂其它答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

22

1.已知双曲线二一4=1（。〉0］〉0）的左、右焦点分别为位于第一象限的P为该双曲线的

a1b2

一条渐近线I上一点，直线Pg为该双曲线的左支上一点，若的周长的最小值为

|尸制+3。,则该双曲线的离心率为（）

A.若B.小C.夜D.2T2

2.已知双曲线C：%2_y2=1的左、右焦点分别为耳，工,〃为C的右支上一点,N为M耳的中点，尸为

线段N4上一点，若|ON|=|PN］（o为坐标原点），则归司=（）

A.4B.2C.lD.1

2

3.已知双曲线C:布-/=1的左、右焦点分别为耳，工，以耳心为直径的圆与曲线C的右支交

于一点尸，直线/平分/耳「鸟，过点片，g作直线/的垂线，垂足分别为A,B,。为坐标原点，

则ZvlC出的面积为（）

A.10B.12C.16D.8

2

4.双曲线土_乙=1的实轴长为（)

616

院屈B.4C.2nD.8

22

5.已知网0,4）为双曲线与—卞=1.〉0力〉0）的一个焦点，且点P（6,—4）在该双曲线上，则双

曲线的渐近线方程为（）

仁丫=±与D.—旦

A.y=土也xB.y=±2x

-3-2

y2x222

6.若双曲线匕1的焦点与椭圆二+乙=1的焦点重合,则m的值为（）

2m49

A.2B.3C.6D.7

V2

7.若耳，B是双曲线C：——211的两个焦点，尸，。为C上关于坐标原点对称的两点，且

416

|P0=|甲讣设四边形的面积为加，四边形的外接圆的面积为邑，则工=（）

$2

7

A.兀C.—

5兀

LX2y2

8.已知双曲线的虚轴长是实轴长的G倍，且与椭圆一+（=1有公共焦点，则该双曲线的标准方

9

程为（）

2222

A/上一lxy1xy1

B.--/=1C.=ID.-=1

332662

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选

项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0

分.

9.已知耳，工分别是双曲线C：—-3=1的左、右焦点，经过点耳且倾斜角为钝角的直线/与C

的两条渐近线分别交于A,8两点，点尸为C上第二象限内一点，贝ij（）

22

A.若双曲线E与C有相同的渐近线，且E的焦距为8,则E的方程为土-）-=1

412

B.若M（-2,2）,则|咫|+归叫的最小值是26-2

C.若心内切圆的半径为1,则点P的坐标为（—2,3）

D.若线段A3的中垂线过点工，则直线/的斜率为一半

22

10.已知双曲线C的方程为X+」—=1，则（）

9—m25—m

A.9v根v25

B.C的焦点可能在％轴上

C.C的焦距一定为8

D.C的渐近线方程可以为y=±6%

22

11.设尸为双曲线C：=—4=1（。〉0力〉0）的右焦点,。为坐标原点，以o尸为直径的圆M与圆

a2b2'

0：必+丁2=/交于p,Q两点，若归@=|0月，则下列选项正确的是（）

A.曲线C的离心率为

B.圆心/到双曲线C的渐近线的距离为伍

c.PQ所在直线方程为X=叵

~2

D.直线PQ被双曲线的渐近线截得的线段长为缶

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

22

12.已知尸为双曲线E：9--二=1（。〉0力〉0）的左焦点，A是£的右顶点，P是E上一点，且

a2b2

PFl.PA>ZPFA=60°,则E的离心率为.

13.若双曲线用：工―乙=1与双曲线N:2——匚=1（机〉0）的焦距相等，则N的离心率为

79mm+8

14.若方程」—+。^=1表示双曲线，则实数机的取值范围是________.

2-m|m|—3

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

2

15.设a>0，加>0，F「工分别是双曲线「二―>2=1的左、右焦点，直线/：X-阳一2=0经

一a2

过点8与r的右支交于A、8两点，点。是坐标原点.

⑴若点M是r上的一点，|5|=2，求的值；

⑵设;I、4eR，点尸在直线x=6上，若点。、A、尸、B满足：OA=ABP'OB=^iAP'求点2

的坐标;

（3）设AO的延长线与r交于G点，若向量方与3月满足：OAOB^ll,求△GAB的面积S的

取值范围.

16.在平面直角坐标系x0y中，若在曲线E1的方程/（左,m=0中，以（4龙,4y）（%为正实数）代

替（％,y）得到曲线E?的方程网加,外）=0，则称曲线反、62关于原点“伸缩”，变换

（苍y）.（/U,4y）称为“伸缩变换”，尤称为伸缩比.

221

（1）己知双曲线用的方程为亍_g=l，伸缩比;1=；,求用关于原点伸缩变换后所得双曲线石2的

方程；

2

⑵己知椭圆g:工+9=1经“伸缩变换"后得至I］椭圆石2,若射线/：y=0%（尤20）与椭圆E1、E2

分别交于两点A、B,且=走

求椭圆E2的方程;

⑶已知抛物线g:犬=2pu作“伸缩变换”（4苍4丹得到片+1：­=28+沙，对62作变

换（x,y）f（4x，4y），得抛物线用：/=2°3＞；如此进行下去，对抛物线纥：/=2%y作变换

（x,y）f（4乂右），得抛物线纥+i：2=2pQ，其中，=1,2,……,n，若巧=1，4=2"，求

数列｛〃“｝的通项公式.

17.如图所示，某中心。接到其正西、正东、正北方向三个观测点A,B,C的报告：A,C两个观测

点同时听到了一声巨响，B观测点听到的时间比A观测点晚4秒，假定当时声音传播的速度为v米/

秒，各观测点到该中心的距离都是3V米，设发出巨响的位置为点P,且A,B,C,O,P均在同一平

面内.请你确定该巨响发生的点P的位置.

C

AOB

22

is.已知双曲线E：---R"=1（。〉0］〉0）与《―必=1有相同的渐近线，且过点M（2,-

ab

⑴求E的方程；

（2）己知。为坐标原点，直线%-丁+m=0与£交于尸，。两点，且丽•而=4,求相的值.

22

19.已知双曲线c：,_2r=I,＞0］＞0）的渐近线方程为y=+y/3x，焦距长为4.

(I)求C的标准方程；

⑵点A(x0,y0)(x0>0)在C上，点P的坐标为(2,4),0为原点，求△AOP面积的最小值；

⑶过C的右焦点F的直线与C交于D,E两点，以DE为直径的圆与直线％=交于M,N两点，若

2

|MN|=3百，求直线DE的方程•

参考答案

1.答案：C

解析：由题耳(―c,0)，片(c,0)，渐近线I的方程为y=-x,

则点F2到渐近线/的距离d==b,

yJa-+b2

则由题|P闾=b,

由双曲线的定义|Q闾-|QK|=2a,所以|Q&|=|QK|+2a,

所以△PQ工的周长为|P0|+|QE|+|P闾=|尸。|+|Q耳|+2a+bN|P4|+2a+A,

当且仅当P,Q,&三点共线时等号成立,

又△PQE的周长的最小值为|产盟+3。,

所以归制+3a=归周+2。+0,所以a="

所以该双曲线的离心率6=i+与=立

Va2

故选:C.

2.答案：C

解析：如图，连接咽，

由题意可知|M£I—|知己|=2,

因为。为坐标原点,N为加耳的中点,

所以|ON|=；|M8|，|片N|=；|M4|,

则|^|=|£NHPN|=忸N|—|ON|=1(|^|-|M^|)=1.

故选:c

3.答案：D

jr

所以ZAPM=ZAPF^=ZAMP=ZA^P=-,

且A，8分别为耳M,KN的中点，

所以。4//PM,OB//PN,

TT

所以AOAFX="MR=ZOBA=ZF^PB=-,

jr

所以NOA3=—,所以△AO5为等腰直角三角形.

4

因为I。同=3闺N|=；(|w|—|PN|)=3(W|TP闾)=4,

所以△A05的面积为工x42=8.

2

故选：D

4.答案：C

解析：由双曲线方程知.=则实轴长为2a=2遍.

故选：C

5.答案：C

解析：依题意，双曲线的另一个焦点为（0,-4），

则点P（6,T）到两个焦点的距离分别为J?+（-4+4）2=6,

/2+（—4-4）2=10,

于是2。=10—6=4,解得。=2,则］="2_22=2技

所以双曲线的渐近线方程为y=±且％.

-3

故选:C.

6.答案：B

22

解析：因为椭圆5+=1的焦点为（0,有），（0，—J可

所以双曲线的焦点为（0,、后），（0,-75）,

故2+m=5,解得加=3.

故选：B.

7.答案：D

解析：依题意，点P与。耳与尸2都关于原点。对称，

且归。|=由闾，因此四边形尸耳。鸟是矩形，如图,

得：归a=。阊=2|。2|=244+16=4右,

||咫|-|「乙||=4,

于是"明.|叫」「"呷;（附卜附『

|单/一（附卜附区（4囱2_42

=--------------=-------=JZ,

22

显然四边形PROF2的外接圆半径为。工，

因此S?=兀|『=兀x（26>=2071，

所以旦=卫=§.

S220兀5兀

Q

故答案为：—

5兀

8.答案：A

解析：由题知，椭圆焦点为（2,0）,（-2,0）

22

设该双曲线方程为3-1=1,半焦距为C,

ab

则c=2,2b=A/3x2a,即Z?=y/3a,

又"+廿二/,解得〃2=],/=3,

所以双曲线方程为—亡=1.

3

故选：A

9.答案：BCD

222

解析：对于A,依题意设双曲线匕=彳（几W0且几wl）,即乙—匕=1,

3232

又E的焦距为8,所以|44=42,2=±4,

2222

所以E的方程为----？-=1或^------=1,故A错误；

412124

对于B,因为图—|P£|=2a=2,

所以归制=忸闾-2,

|PM|+|P^|=|PM|+|P^|-2>|A^|-2=2A/5-2,

当且仅当M,P,工三点共线时等号成立，故B正确;

对于C,设内切圆圆心为/,

则|P0|=|P4|Q周=|印小|叫|=|即讣

所以归闾-归耳|=|叫|-|S|=2a=2,

电|+|咽=2c=4,

解得|町|=1,|印4=3,

连接耳/,印，则内切圆半径r=|町|=1,

|jrIT

tanZHF,I=-=l,ZHF,I=-,ZPF,O=2ZHF,I=-,

1114112

所以轴，点P在第二象限，坐标为（—2,3）,故C正确;

对于D,设A3的中点为。，两渐近线可写成#-匕=0,

3

设A（X，K）,B（x2,y2）,

则”与

犬才_0

13

且2,

宕-&=0

作差可得（%+々）（玉_%）=-%）,

整理得（3+%）（%—%）—3,

（%+%）（%-々）

即koD.^AB=3(*)

在Rt△耳。耳中，|OD|=；闺阊=|。6则NDO£=2ND《O,

故tanZDOF,=tan(2ZDF.O)=2tanf。,。-

712

'1-tanZDFtO

即-a=三＞

1KAB

2k2

将此式代入（*）得，上*=3,

一女

1KAB

3

解得k；B=]，由直线/的倾斜角为钝角知左加＜°，

J15

则做8=一号，故D正确.

故选：BCD.

10.答案：ACD

解析：由题意得（9-加）（25-加）＜0,解得9＜相＜25,故A正确;

22

由前可得双曲线c的标准方程为二______匚=1，故双曲线C的焦点一定在y轴上，故B错误;

25—mm—9

双曲线C的焦距为2425—m+m—9=8，所以C正确;

22—

当帆=13时,双曲线C的标准方程为匕—土=1，其渐近线方程为y=+J3x，故D正确.

124-

故选:ACD.

11.答案：ACD

解析：依题意，以OF为直径的圆M：（x—=[J与圆O：好+了2=/联立得,

=xQ=—，故由|PQ|=|。同知,PQ垂直x轴,也是圆M的一条直径，过圆心底,0）,即且=£，故

2

e2=1=2，即£=，5，故人正确;

a2-

由c二y/2ci，b=a知，双曲线的渐近线为九±y=0,

圆心M到双曲线C的渐近线的距离为1，故B错误;

二一CL

A/22

X=X=《=巨.，PQ垂直X轴,故PQ所在直线方程为％=叵，故C正确；

PQc22

由X=叵代入双曲线的渐近线x土、=0得丫=土叵，故截得的线段长为4红乂2=缶，故D正

222

确.

故选：ACD.

12.答案：2

解析：

设双曲线的右焦点为歹，，因为尸为双曲线的左焦点，尸是双曲线上一点,

根据双曲线的定义知归尸卜归耳=20，|即［=20，

因为A是双曲线的右顶点，所以|AF|=c+a，

又PF上PA，NPE4=60。，所以|「耳=当1=£?,

所以|%1=2。+m=合，

在中’根据余弦定理得|P尸「=归/「+但尸「一2|"H"［・COSNP"'，

即（合J=［皇］+（2C）2—2•亨•2c・；，整理得_这_2储=0，

等式两边同时除以后得，e2_e_2=0,解得e=_i（舍）或e=2，

所以E的离心率为2.

故答案为：2.

13.答案：2

解析：由题设机+m+8=7+9=16,

22

可得机=4,则N：2-——=1,

412

所以a=2,c=4,即离心率为2.

故答案为：2

14.答案：（―3,2）U（3,4W）

22

解析：因为方程」一+U—=1表示双曲线，

2-m|m|-3

所以（2—m）（帆—3）<0,

m-2<0fm-2>0

即〈।或41।，

|m|-3<0Jm|-3>0

解得一3V机v2或机>3,

所以实数机的取值范围是（一3,2）U（3,M）.

故答案为：（―3,2）U（3,”）.

15.答案：⑴引=2/+2；

⑵（6,2）；

（3）△GAB的面积S的取值范围为[12,+QO）

解析：（1）双曲线£_一>2=1的右焦点工的坐标为（五2+],0

因为％—“y—2=0过点F2，

所以”?+1—2=0,所以。=石，

因为|吗|=2<〃+，，+1=6+2,

丫2

所以点M在双曲线2>2=1的左支上，

a2

由双曲线定义知眼闾―眼耳|=26，又|上阴|=2,

所以眼耳|=2g+2.

丫2

（2）由（1）知，a=b则双曲线「工一y2=i，

3

联立<：冲22°,消去X得（加2—3）y2+4阳+1=0，

y

则A=16m2—4m2+12=12//+12>0，

设4(%，%)，则%+

m—3m—3

_12

所以石+々=，孙1+2+my+2=m(y+y)+4=—；，

212m-3

2m

=(mj]+2)(my,+2)=m%y2+2〃z(%+%)+4=3、———

''.「一「m—3

又所以加之<3，

因为点。、A、尸、B满足：OA=^BP>OB=JUAP>

所以QV/3P，OB//AP所以四边形。IPfi为平行四边形，

故OP与AB互相平分，点P在直线％=6上，

所以%+x2_=3，又加>0，所以机=1，

2疗-3

所以点P的纵坐标为"+必=二土=2，

121-3

所以点P的坐标为(6,2卜

⑶因为汉•赤217,

gepi_3tn~-121

所以卒2+%％=不/+-217'

所以加2^2，又加2V3，所以2Km之<3,

由双曲线的对称性可得G（—%,—%），S》G5=2S》OB，

所以％AGB=2S〜0B=2xg><|0Mx|%—yJ=2|%—x|，

所以S/=2j（%+X『-=473??'

5—m

令t=d后+1,，e[G,2），即加2=j_],

4®4石

所以、AAGB=匚3=4一,

t

因为y=3—/在区间[6,2）上单调递减，当fe[G,2）时，y=--t>Q，

4^/3「L\4也

所以一在[6,2）上单调递增，所以2--12

所以△GAB的面积S的取值范围为[12,+8）.

1612

⑵x2+4y2=l或E+l£=l；

99

，5-1)

⑶P“

22

解析：（1）由条件得，整理得__2L=i，

1612

22

所以纥的方程为工_2L=1；

1612

（2）因为E],石2关于原点“伸缩变换”,

022

对片作变换(羽y)f(Ax,2y)(2>0).得&:+22/=b

y=6x(x>0)、万）

联立4X221,解得点A的坐标为

—+y=1\337

4-

y=垃x(x>0)

22日

联立互解得点B的坐标为

7T~

2_2_=2,所以.卷[或》绘1

所以|AB|="7^

3-32一丁3

所以；1=2或丸=2；

3

因此椭圆E,的方程为k+4丫2=1或上+空=「

'99

2

⑶对En:x=2pny作变换(x,y)f(4rx，

得抛物线纥小（4耳2=2%%》得一=子^，

又因为/=2%+[＞，所以0+1=庄，即P”+i.

当九之2时，,

Pn-lP.-3P3P2Pl12J

—n(n-l)

Pl=1适用上式,

—n(n-l)

所以数列｛p“｝的通项公式2=

17.答案：答案见解析

解析：如图，以接报中心为原点。，正东、正北方向为无轴、y轴正向,

建立直角坐标系.

则A（-3%0）,B（3v,0）,C（0,3v），

设P（x,y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|刚=|?。|,

故尸在AC的垂直平分线0P上，0P的方程为丁=—x,

因8点比A点晚4s听到爆炸声，

22

ik\PB\-\PA\=4v,由双曲线定义知P点在以A、8为焦点的双曲线二―3=1上,

ab

依题意得Q=2V,c=3vf

b2=c2-a2=（3v）2—（2vf=5V2,

故双曲线方程为V91

4V25V2

将y=-x代入上式，得x=±2A/5V,

-,-\PB\>\PA\,:.x^-2y[5v,y=2#v,即网—2后,2底)

故P0=2JIUv.

故巨响发生在接报中心的西偏北45。距中心2，而v米处.

22

18.答案：(1)-----=1

36

（2）加=4或加二-4

2

解析：（1）由题意，设E的方程为三―炉=2（彳70）,

又£过点“（2,—

2

所以3-2」,解得」3.

2

22

所以E的方程为j-当=L

36

⑵设P(%，K),Q(x2,y2),

(22

土-匕=L

由＜36

%—y+m=0

得x2-2mx-nr-6—Q,

因为A=(-2m)2+4(m2+6)>0,

所以石+%=2m,玉%2=-6-m2,

所以X%=(石+^)(A:2+m)=x,x2+m(xj+/)+4

=—6—m2+2m2+m2=2m2—6,

222

所以OP-OQ=^x2+yry2=-6-m+2m-6=m-12=4,

解得加=4或加=T.

3

⑵1；

⑶x+y-2=0或x—y-2=0或x=2一

22

解析：（1）由双曲线C：=l（a〉o,b