2025高考二轮模拟冲刺数学试卷3（新高考Ⅰ卷）（试卷+答案解析）

2025年高考第二次模拟考试

高三数学(新高考I卷)

(考试时间：120分钟试卷满分：150分)

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题共58分)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.已知集合4=卜1y=Jx_2},B=^x\x2-4^+3<0},则AB=()

A.{x|2<x<3}B.{x|x>2}

C.{x|x<l,或xN2}D.{x|x>1)

2.复数z满足(l-i)z=|2i],则复数z的虚部为()

A.—1B.—C.gD.1

22

3.已知向量°,°满足”=2,卜-2*2,且(a-b)_La,则卜卜()

A.2B.72C.1D.日

4.若ae(无，个)，tan«=C°StZ,则sina=()

I2)sin-1

A.--B.一变C.一立D.--

2223

IT

5.在正三棱台ABC-中，AB=4,A瓦=2,与平面ABC所成角为:，则该三棱台的体积为()

4

52「28「14_7

A.—B.—C.—D.一

3333

e-x,x<2,

6.已知函数〃x)=存在最小值，则实数。的取值范围是()

+a,x>2

A.(-oo,-e2]B.(-e2,+oo)C.(-00,e-2]D.(e-2,+oo)

7.将函数g(x)=cos［s+^J(0eN*)的图象上所有点的横坐标变为原来的,纵坐标变为原来的2倍，

得到函数的图象，若/(x)在上只有一个极大值点，则。的最大值为()

A.2B.3C.4D.5

8.己知函数“X)的定义域为R,函数*x)=/(l+x)-(1+x)为偶函数，函数G(x)=〃2+3x)-1为奇函数,

则下列说法错误的是()

A.函数〃x)的一个对称中心为(2,1)B./(0)=-1

C.函数“X)为周期函数，且一个周期为4D./(1)+/(2)+/(3)+/(4)=6

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.下列选项正确的是()

,14

A.若随机变量X~8(6,7,则。(X)=§

B.若随机变量X~N(6,4),则E(X)=6

C.若随机变量X服从01分布，且尸(X=l)=；,则。(X)=g

「k02-k2

D.若随机变量X满足尸(X=k)=J=，左=o』,2,则E(X)=§

10.设函数+依一1,则()

A.当4=-1时，“X)的极大值大于0

B.当。2：时，〃x)无极值点

C.BAGR,使在R上是减函数

D.VaeR,曲线y=/(x)的对称中心的横坐标为定值

11.中国结是一种手工编制工艺品，它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原(成单纯的二维线条，其中的数

字“8”对应着数学曲线中的双纽线.在尤Oy平面上，把与定点M(-a,0),N(a,0)距离之积等于"(«>0)的动

点的轨迹称为双纽线.曲线C是当a=2时的双纽线，尸是曲线C上的一个动点，则下列结论正确的是()

A.点P的横坐标的取值范围是［-2,2］B.|0P|的最大值是20

C.PMN面积的最大值为2口.|尸闾+怛叫的取值范围是［4,4夜］

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。其中14题第一空2分，第二空3分。

22

12.椭圆二+与=1（。＞人＞0）的右顶点为A,上顶点为8,右焦点为产，若直线所与以A为圆心半径

ab

为1人的圆相切，则椭圆离心率等于.

13.若直线＞=履（左为常数）与曲线〃x）=lnx,曲线g（x）=ae'均相切，贝壮=.

14.在甲、乙、丙、丁四人踢毯子游戏中，第一次由甲踢出，并且每次踢出都等可能踢给另外三人中的任何一

人，若第二次踢出后恰好踢给丙，则此理子是由乙踢出的概率为；第〃次踢出后，建子恰好踢给乙

的概率为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

15.（13分）

在VABC中，内角A,B,C所对的边分别为a，0，c.已知$出2（"32+。34）=。侬（2-野.

（1）求角8的大小；

（2）若/ABC的角平分线与边AC相交于点。，BD二号,b=币,求VABC的周长.

16.（15分）

22

已知双曲线C:=1（。＞0,6＞0）的离心率为2,实轴的左、右顶点分别为4,4,虚轴的上、下顶点分别

为稣凡，且四边形4片&刍的面积为2石.

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）已知直线/:丫=履+根（而-0）与C交于P,Q两点，若忸/=|g0,求实数小的取值范围.

17.（15分）

已知：斜三棱柱中，BB.X.AC,与面A3C所成角正切值为2,AAl=45,

AB=BC=〕gAC=20,点E为棱AG的中点，且点E向平面ABC所作投影在VABC内.

2

(1)求证：AC1EB；

AF

(2)歹为棱AA上一点，且二面角A-3C-产为30°,求工了的值.

18.(17分)

已知函数/(X)=ln----+m(x-l)

2-x

(1)判断曲线y=f(x)是否具有对称性，若是，求出相应的对称轴或对称中心，并加以说明;

⑵若了("在定义域内单调递增，求机的取值范围；

2

(2x)X+12

⑶若函数g(无)=/|—^卜”—j■有两个零点尤1，々，证明：^X2>e.

yA-十1j-I\1

19.(17分)

在平面直角坐标系中，。是坐标原点.若点列｛4｝中的3个相邻的点4,4申，4+2满足

OA,1+2=POA,l+1-qO\(weN*),则称关于x的方程d="_q是｛凡｝的特征方程，将方程V=px-q的实数

根称为｛4｝的特征根.已知4(1，。)，4(。/)，点列｛4｝的特征根为1和

2,。邛=04+；-。4，。6=04+；-23，.

⑴求点B“，C”的坐标；

43

⑵设fn=(n+4n-6rr+4«-l)OBnOC„,求数列｛4｝的前”项和S“；

(3)若｛%｝是公差为d(d/0)的等差数列，且各项都为正整数，卬和d是已知的常数，求点歹U｛A0J的特征根.

2025年高考第二次模拟考试

高三数学(新高考I卷)•全解全析

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题共58分)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.已知集合4={*y=Jx_2卜3={x|尤2-4X+3<0},则AB=()

A.{x|2<x<3}B.{x|x>2}

C.{x|x<l,或尤22}D.{x|x>1}

1.【答案】D

【分析】求出集合A,集合再利用并集定义求出AB.

【详解】因为集合4=卜1y==无22},集合3={x|尤2_4X+34O}={X|14尤43},

所以AB={x\x>\}.

故选：D.

2.复数z满足(l-i)z=|2i],则复数z的虚部为()

A.—1B.——C.—D.1

2.【答案】D

【分析】由复数的除法计算可得；

【详解】因为(1-i)z=|2i|,即(l-i)z=2,所以2=口=心([4=1+1,所以复数z的虚部为1.

故选：D.

3.已知向量“，6满足"=2,卜-20=2,且(a-b)_La,则1|=()

A.2B.&C.1口.日

3.【答案】A

【分析】将卜-2*2两边平方，由可得k-6）辿=0,根据数量积的运算计算可得.

【详解】因为同=2,*2*2,且0,2,

(a-2b)=a2-4a-b+4b2=4

所以\,即0%=卜［=4,22-4x4+4,=4,

(a-b)-a=a2-a-b=0

解得卜|=2（负值已舍去）.

故选：A

4.若tana二期。，则sina=()

V2)sin(7-1

A.--B.-克C.-立

222

4.【答案】A

【分析】利用同角三角函数的关系求解即可.

,,cosasina/口0、

【详斛】由tanor=—--------=-------得cos?a=sin?二一sina,

sma-1cosa

sin2a+cos2tz=1,

Zsin2a-sina-l=0,即(2sina+l)(sina—l)=。，

解得sina=-g或sina=l,

f3兀)

aeI7i,—I,/.-l<sincr<0,/.sincr=

2

故选：A.

IT

5.在正三棱台A-4G中，AB=4,A4=2,用与平面ABC所成角为“则该三棱台的体积为（）

5.【答案】C

【分析】将棱台补全为棱锥，结合已知条件求出大小棱锥的高，利用V=%-ABC-/_MG及棱锥体积公式求

棱台的体积.

【详解】由题设，将棱台补全为正棱锥尸-MC,如下图，且均为正三角形,

其中0为底面ABC中心，连接尸。，则POL面ABC,而AOu面ABC,即尸OLAO,

B

所以A]A与平面ABC所成角为NPAO='，而AB=4,则AO=2xAB.sin60。=迪，所以PO=AO=生8,

4333

令尸-AB©的高为〃，结合棱台的结构特征，知-L=M=/,=££=空，

POAB23

所以棱台体积f=；xg(42x丫一2?x竿)尖.

故选：C

,、\e~x,x<2,

6.已知函数〃x)=,、/己存在最小值，则实数。的取值范围是()

(x-l)(x-2y+a,x>2

A.(-oo,-e2]B.(-e2,+oojC.(«,屋]D.(e-2,+co)

6.【答案】C

【分析】根据分段函数分别应用复合函数单调性及导数求解单调性，分段求解函数值范围及最值再比较列

不等式关系即可.

【详解】当x<2时，函数/(x)=eT单调递减，f(x)>e-2无最小值；

当天22时，函数/(X)=(x-l)(x-2)2+〃，

当2时，函数—(尤)=(X-2)2+2(X-2)(X-1)=(X-2)(3X-4),

所以xe[2,+co),f'(x)N0,/(x)单调递增，当x=2时/(x)^=(2-1)(2-2)2+a=a,

要使函数存在最小值，即aWe三

故选：C.

7.将函数8⑴二^妙+言即网的图象上所有点的横坐标变为原来的,纵坐标变为原来的2倍，

得到函数/（X）的图象，若/（X）在!ogj上只有一个极大值点，则。的最大值为（）

A.2B.3C.4D.5

7.【答案】B

【分析】根据伸缩变换规则可得/（x）=2cos12ox+A）（0eN*）,再由余弦函数图象性质以及极值点个数解

不等式可得结果.

【详解】由题可知/（x）=2cos［28+g］（0eN*）,

71_7171

当0<%<]时,----<~\------<CDTtH-------

121212

若/（X）在（0胃］上只有一个极大值点,

7T

则由y=2cos尤的图像可得2兀——<4?t,

12

解得2言347

因为oeN*，所以。的最大值为3.

故选：B.

8.已知函数的定义域为R,函数仪x）=/（l+x）-（1+x）为偶函数，函数G（x）=〃2+3x）-1为奇函数,

则下列说法错误的是（）

A.函数〃x）的一个对称中心为（2,1）B./（0）=-1

C.函数〃x）为周期函数，且一个周期为4D./（1）+/（2）+/（3）+/（4）=6

8.【答案】C

【分析】对于A,由G（x）为奇函数，贝|G（T）=-G（X）,再将G（x）=/（2+3x）-1代入化简可求出对称中心;

对于B,由选项A可得"2）=1,再由f（x）为偶函数可得/（1+x）-/（I-尤）=2x,令x=l可求出/（0）；对于

C,由〃x）的图象关于点（2,1）对称，结合〃。）=-1求出〃4）进行判断；对于D,利用赋值法求解判断.

【详解】对于A,因为G（x）=:（2+3x）-1为奇函数,

所以G(-x)=-G(x),gp/(2-3%)-1=-[f(2+3x)-1],

所以f(2-3x)+〃2+3x)=2,所以f(2-x)+/(2+x)=2,

所以函数的图象关于点(2,1)对称，所以A正确，

对于B,在/(2-x)+f(2+元)=2中，令x=0,得2〃2)=2,得/(2)=1,

因为函数“x)=/(l+尤)一。+力为偶函数，所以尸(-无)=产(无)，

所以/(1一力一(1一力=〃1+尤)一(1+“，

所以“l+x)-f(l-x)=2x,

令x=l,贝l]/(2)-/(0)=2,所以1一/(0)=2,得/(0)=-1,所以B正确,

对于C,因为函数“X)的图象关于点(2,1)对称，/(0)=-1,

所以"4)=3,所以〃0)2/(4),

所以4不是的周期，所以C错误，

对于D,在『(2-尤)+/(2+x)=2中令彳=1,贝⑴+/(3)=2,

令x=2,则f(0)+/(4)=2,因为/(0)=-1,所以"4)=3,

因为/(2)=1,所以/⑴+〃2)+〃3)+〃4)=6,所以D正确，

故选：C

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.下列选项正确的是()

14

A.若随机变量X~5(6,§),则。(X)=]

B.若随机变量X~N(6,4),则召(X)=6

若随机变量X服从01分布，且P(X=l)=g,则£>(X)=；

C.

若随机变量X满足「(乂二左卜生算小二。/？，则E(X)=：

D.

3

9.【答案】ABD

【分析】A.由随机变量服从二项分布求解；B.由随机变量服从正态分布求解；C.由随机变量X服从01分

布求解；D.由随机变量X服从超几何分布求解；

【详解】A.若随机变量X~2(6,；),则£»(X)=6x；x[l-g]=g,故正确；

B.若随机变量X~N(6,4),则E(X)=6,故正确；

C.若随机变量X服从01分布，且尸(X=l)=g,则D(X)=3[1-：=故错误;

D.由随机变量X满足尸(X=左)=，左=0,1,2,则

P(X=0)J，P(X=l)=等=*P(X=2)$,

所以E(X)=0xglxg2xT=g,故正确；

故选：ABD

10.设函数/(X)=d-尤2+依_],则()

A.当a=-1时，“X)的极大值大于0

B.当•时，〃x)无极值点

C.maeR,使/(x)在R上是减函数

D.VaeR,曲线y=/(x)的对称中心的横坐标为定值

10.【答案】BD

【分析】对于A,利用导数求出函数的单调区间，再根据极大值即可判断；对于B,由f，(x)20恒成立即可

判断；对于C,由/'(力=3/-2尤+aW0解集能否为R即可判断；对于D,求出图象的对称中心即可

判断D.

【详解】对于A,当a=—l时，/(^)=x3-x2-x-l,求导得/'(力=3/—2x—l,

11

令r(%)=o得§或%=1,由F(X)>o,得或%>i,

由f，(x)<0,得一g<x<l,于是“外在(i,+8)上单调递增，

在上单调递减，〃尤)在x=-g处取得极大值，

极大值为+°,故A错误；

对于B,7'(%)=3%2-2%+〃，当〃2；时，A=4—12(7<0,即f，(x)20恒成立，

函数/■（*）在R上单调递增，/（X）无极值点，故B正确；

对于C,要使在R上是减函数，则尸（x）=3尤2-2x+a<0恒成立，

而不等式3尤2-2元+.40的解集不可能为R，故C错误；

对于D,由/（g—无）+/（"=1*|一龙）+。［：_彳）_］+彳3_尤2+依=,

得曲线y=f（x）的对称中心的坐标为故D正确.

故选：BD.

11.中国结是■种手工编制工艺品，它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原（成单纯的二维线条，其中的数

字“8”对应着数学曲线中的双纽线.在xOy平面上，把与定点M（-a,0）,N（a,0）距离之积等于a2（a>0）的动

点的轨迹称为双纽线.曲线C是当a=2时的双纽线，尸是曲线C上的一个动点，则下列结论正确的是（）

A.点P的横坐标的取值范围是［-2,2］B.|OP|的最大值是20

C.PAW面积的最大值为2口.|尸闾+怛叫的取值范围是［4,4夜］

11.【答案】BCD

【分析】根据双纽线的定义求出曲线的方程，逐一判断各选项的真假即可.

2222

【详解】设尸（匕乃是曲线上任意一点，根据双纽线的定义可得：^x+a）+y^（x-ay+y=a,

当。=2时，曲线的方程为4>+2）2+；/力（彳一2）2+仁=22,

22

对于A：整理可得：%+/+4=716+16X>则y2=J16+16x2-x2—4N0,

可得解得-204xV2近，故A错误；

对于B,|OP|=Jf+y2=Jji6+而-4,

因为一2a4x420，所以一84尤2«8，所以16+161416+16x8=144=122,

所以|。尸|=&。=20,即曲线上任意一点到坐标原点。的距离的最大值为2夜，故B正确；

对于C：y2=716+16x2-x2-4>0»令/=。16+16fe［4,12］，贝产―1,

所以J7。—3=-%（/—16/）-3=-7（7—8尸+1,

161616

所以当t=8时，（V）111ax=1,所以PMN面积的最大值为:x4xl=2,故C正确；

对于D：J（x+2r+y2+7（x-2）2+y2>2^（x+2）2+-2）2+7=2万=4，

当且仅当J(x+2y+y2=&彳-2)2+y,即x=0,y=0时取等号，

(J(尤+2)2+y~+J(x-2)~+丁)~=(尤+2)~+y2+(*—2)2+y~+2J(x+2)~+y2(尤—2)~+y-

=2(x2+/)+8+2x22<2(272)2+8+2x22=32,

所以(J(x+2)2+y2+J(x—2)2+y2)2<40,

所以1PMl+|PN|的取值范围是[4,40],故D正确.

故选：BCD.

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。其中14题第一空2分，第二空3分。

22

12.椭圆二+与=1(。>6>0)的右顶点为A,上顶点为3,右焦点为尸，若直线所与以A为圆心半径

ab

为gb的圆相切，则椭圆离心率等于.

2

12.【答案】j

【分析】求出直线所的方程为：bx+cy-bc=O,根据点到直线距离得到方程，求出9/-18e+8=0,求出

离心率.

【详解】依题意，A(a,O),3(0,6),F(c,0),所以直线BF的方程为：bx+cy-bc=Q,

11\ab—bc\

又直线即与以A为圆心半径为的圆相切，故三6='?,

33y/b2+c2

即9/-18ac+9c2^b2+c2,8a2-1Sac+9c?=0，

24

方程两边同除以/得9/-氏+8=0,解得0=：或6=可，

又椭圆的离心率0<e<l,所以e=q.

故答案为：!2

13.若直线>=履(左为常数)与曲线/(x)=lnx,曲线g(x)=ae"均相切，贝!|。=.

13.【答案】—

e

【分析】设出切点，求导，根据点斜式求解切线方程，根据两直线相等，列方程可得%=eM='，进而代

e

入（Xo，qe"。）在直线y=,%上，求解.

【详解】因为〃x）=lnx,x«0,+8）,所以/'（x）=J

设直线>=区与f（x）=Inx的切点为（石，皿），则切线方程为yT叫=：（x-xj,BPy=^-x+lwci-1,

一=k,11

又因为>=玄，所以%解得玉=e/=-,所以切线方程为y=-X,

3P

」叫-1=0,

因为g（x）=ae",所以g〈x）=（ae*）=ae',

设直线y=，x与g（x）=ae"的切点为（x（）,ae"。），所以，（%）=ae*。=:①，

又因为切点（七,加*。）在直线y上，所以ae&②，

由①和②可得毛=1,所以ae=L解得。=±.

ee

故答案为：

e-

14.在甲、乙、丙、丁四人踢犍子游戏中，第一次由甲踢出，并且每次踢出都等可能踢给另外三人中的任何一

人，若第二次踢出后恰好踢给丙，则此键子是由乙踢出的概率为;第〃次踢出后，建子恰好踢给乙

的概率为.

1

14.【答案】1/0.5-+—-f--1-

24123J

【分析】根据条件概率公式之积可得第二次毯子由乙踢出的概率，再由若第〃次踢出后，建子恰好踢给乙,

则第1次踢出后，建子恰好不踢给乙，再由其踢给乙，即可得概率的递推公式，进而可得概率.

【详解】由已知接到前两次踢出的毯子的情况有（乙，甲），（乙，丙），（乙，丁），（丙，甲），（丙，乙）,

（丙，丁），（T,甲），（丁，乙），（T，丙），共9种,

设事件A：第二次的毯子由丙接到，事件8：第二次的毯子由乙踢出，丙接到,

71

贝1尸（4）=§，P（A2）=§，

1

则「（则=制—4

9

设第"次踢出后，建子恰好踢给乙的概率为匕,

易知若第〃次踢出后，建子恰好踢给乙，则第〃-1次踢出后，建子恰好不踢给乙，再由其踢给乙,

即n>2,且

即｛Pn-[｝是以6一：=4为首项,一；为公比的等比数歹U，

故答案为：y

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

15.(13分)

在VABC中，内角A,民C所对的边分别为。,4c.已知sinB(acosB+bcosA)=CCOS]B-£

(1)求角8的大小；

(2)若/ABC的角平分线8£>与边AC相交于点D,BD=雪,b=币,求VABC的周长.

71

15.【答案】⑴]

(2)5+近

【分析】(1)利用正弦定理将边化角，在由三角恒等变换公式化简，即可求出tanB,从而得解;

(2)根据等面积法得到ac=g(a+c),再由余弦定理得到7=(a+c)2-3ac,即可求出a+c,从而求出周长.

【详解】(1)因为sin5(acos5+bcosA)=ccosB--\,

I6J

由正弦定理可得sinB(sinAcosB+sinBcosA)=sinCcos13-弓)，(1分)

sinBsin(A+B)=sinBsinC=sinCcos(B-1),(2分)

Ce(O,7r),

.•.sinC>0,(3分)

JI兀

/.sinB=cosB--,即sinB=cosBcos—+sinBsin—,(4分)

I666

即也cosB=—sinB，

22

**•tanB.（5分）

又Be

=（6分，不写B的范围扣1分）

（2）因为/ABC的角平分线8D与边AC相交于点。,

所以SvABC（7分）

即gacsin]=；(a+c)5£)sin£,(8分)

所以gacsin]=；(a+c)5£)sinE,所以QC=[(〃+C)

（9分）

232

又由余弦定理廿=〃2+一2〃ccosNA3C,即7=4+/一=（々+。了_3。。，（10分）

91Q

所以7=(Q+C)——+C),(11分)

7

解得a+c=5或〃(舍去)，(12分)

所以CABC=Q+〃+C=5+4-(13分)

16.（15分）

22

已知双曲线C:=l（a>Q,b>0）的离心率为2,实轴的左、右顶点分别为4，4,虚轴的上、下顶点分别

ab

为耳，与，且四边形A再&乡的面积为2道.

（1）求双曲线C的标准方程；

⑵已知直线/：y=H+7"（.w°）与C交于P，Q两点，若忸0=|40,求实数机的取值范围.

2

16.【答案】⑴♦-匕=1

3

（4石）f3君）

（2）一-—u0,—

【分析】（1）由双曲线的性质确定四边形4月&星是菱形，结合a,b,c的关系，解方程可得。，b,

进而得到双曲线方程;

（2）由国尸|=国0,得到与联立直线方程与双曲线方程，结合韦达定理、斜率公式即可求解.

【详解】（1）由双曲线的几何性质可知，四边形A耳4鸟是菱形，且A4=2a,片层=26,（1分）

•••四边形4片4星的面积为Jx2ax26=2出，①（2分）

又离心率为e=£=2,/+b2=c2,②（3分）

a

联立①②可得a=l,6=6,c=2,（4分）

2

，双曲线c的标准方程为d-2L=i.（5分）

3

（2）设“尤”％）,0（%,%）,耳（0,百），线段尸。中点/（%%）,

工2_yJ1_1

联立3-'消去丁整理可得仔-3）f+2fom：+/+3=0,（6分）

y=kx+m,

上2_320

A=4^2m2-4（^2-3）（m2+3）＞0，

即机2T2+3＞0且心土石①，（7分）

2kmm2+3

•.•玉+工2二三平，%"2=.（8分）

E一3

km73m

,•x°二3-k2，%=5+根=3-k2（9分）

14H=忸@,.•.用（10分）

,k:,（11分）

一八4Mkm

3-k2

「.3—%2=拽加②，（12分）

3

又k2=3—逑相＞。③，（13分）

3

由①②③得根或0＜7〃＜包1,

3

实数班的取值范围是—oo9—.（15分）

17.（15分）

已知：斜三棱柱ABC-ABIG中，BB}1AC,AA1与面ABC所成角正切值为2,9=布,

AB=BC=1gAC=20,点E为棱AG的中点，且点E向平面ABC所作投影在VABC内.

2

C,

Ab

（1）求证：ACLEB；

AF

（2）F为棱A4上一点，且二面角A-3C-尸为30。，求7T的值.

17.【答案】（1）证明见解析

AF8A/6-4

"有一2S-

【分析】（1）取线段AC的中点M，连接四、BM,证明出AC_L平面曲，利用线面垂直的性质可证得

结论成立；

（2）过点E在平面内作EO_La0,垂足为点0,证明出EO_L平面ABC,可知直线声与平面ABC

所成的角为根据已知条件求出OE、。4的长，然后以点。为坐标原点，CA、OB、OE的方向分

别为X、＞、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设诙=几用，其中0W/W1,利用空间向量法可得出关

于九的等式，解出2的值，即可得出结论.

【详解】（1）证明：取线段AC的中点连接项f、BM,

在斜三棱柱A2C-A与G中，44.//CG且AA=CG，则四边形A4CC为平行四边形，

所以，AC〃A£且AC=AG，（1分）

因为E、M分别为AG、AC的中点，所以，四边形的四为平行四边形，

所以，EM//AA，（2分）

又因为四〃班―贝因为则ACLEM,（3分）

因为AB=3C,M为AC的中点，则BMLAC,（4分）

因为=EM,BMu平面BEM,所以，ACJ_平面BEM,（5分）

因为£Bu平面BEM,所以，£BJ_AC.（6分）

（2）解：由（1）可知，AC_L平面现£84，

过点E在平面BB、EM内作EOJL3M,垂足为点0,

因为AC,平面BqEM,EOu平面3片EM,则屈9LAC,

又因为EO_L3M,BMr>AC=M,BM、ACu平面ABC,则EO_L平面ABC,（7分）

所以，直线AA与平面ABC所成的角为NEMO,

EO

所以，UnZEMO=——=2,则£O=2OM,

OM

因为EM=JEO°+OM2=#>OM=#>，可得OM=1,£0=2,

因为AB=3C=5AC=2应，则A3=BC=2及，AC=4,

所以，AB-+BC2=AC2,则AB_L.BC,（8分）

因为M为AC的中点，所以，MB=\AC^2,

2

以点。为坐标原点，Ox、08、0E的方向分别为X、y、Z轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系,

则4（2,-1,0）、3（0,1,0）、M（0,-l,0）,C（-2,-1,0）、E（0,0,2）,

ME=（0,1,2）,则侬=OA+A4,=OA+ME=（2,-1,0）+（0,1,2）=（2,0,2）,

即点4（2,0,2）,同理可得点4（0,2,2）、G（-2,0,2）,（9分）

设4歹=九44=2（0,1,2）=（0,2,22）,其中0W4W1,

则CF=G4+AF=（4,O,O）+（CU,2/1）=（4,Z2X）,且CB=（2,2,0）,

设平面BCF的法向量为m=(x,y,z),

m-CB=2x+2y=0

则■取x=2X,则>=—24,z=4—4,

m-CF=4%+Ay+22z=0

所以，平面3b的一个法向量为m=(24—4),(H分)

易知平面ABC的一个法向量为"=(0,0,1),(12分)

因为二面角A-3C-b为30°,

I..1\m-n\1/1-4|山

则…”而=而—"]了，⑴分)

整理可得23外+82-16=0,(14分)

因为0W4W1,解得4=舅1二1,即当="(15分)

23AA,23

18.(17分)

已知函数/(犬)=111不2—+根(x-1)

(1)判断曲线y=f("是否具有对称性，若是，求出相应的对称轴或对称中心，并加以说明;

(2)若在定义域内单调递增，求机的取值范围；

2

(2x、x+12

⑶若函数g(尤)=/|—^卜”—j■有两个零点玉，尤2，证明：V2>e•

yJL十1Ji1

18.【答案】⑴y=f(x)具有中心对称,对称中心为点(1,0)

(2)[-2,+co)

(3)证明见详解

【分析】(1)先求函数定义域，结合对称性的定义分析证明；

(2)分析可知f'(x)20在(0,2)内恒成立，根据恒成立问题结合二次函数最值分析求解；

(3)根据题意可得g(x)=lnx+m,x>0,分析可得石砧>e?等价于,构建

/<r)=(r+l)ln?-2(r-l),r>l,利用导数分析分析证明即可.

【详解】(1)令人>°，等价于x(2-x)>0,解得0<x<2,

可知〃x)的定义域为(0,2),(1分)

Y_Y

因为+-x)=ln----Fm(x-l)+ln-----Fm(l-x)=0,(2分)

2-xx

可知/(X)具有中心对称，对称中心为点(1,0),

显然/(x)不为常函数，可知/(x)不具有轴对称,

所以y=f(x)具有中心对称,对称中心为点(1,0).(3分)

(2)因为〃x)=ln/+m(x-1)=lnx-ln(2-x)+m(x-l),

ii7

贝I/'(%)=一+---+m=-------2+m'(4分)

x2—x2x-x

若/'(X)在定义域内单调递增，则f，(x)20在(0,2)内恒成立，(5分)

又因为尤e(O,2),则0<2x-x*l,当且仅当x=l时，等号成立，(6分)

2

可得/'(%)=------+m>2+m>0,解得加之一2,

2x-x

所以机的取值范围为［-2,+«).(7分)

2x

(3)由题意可得：=+土=.=+机+机.士?=inx+mx,(8分)

72x

'1%+Ux+12(x+1/x+1

x+1

2九

令。<---<2,解得x>0,

x+1

可知g(x)=lnx+mr,x>0,

令g(x)=lnx+mx=0,则一加二^^,

x

构建*x)=F，x>0,则/'(x)=1,

令尸'(x)>0,解得o<x<e；令b'(x)<o,解得了>e；(9分)

可知F(x)在(o,e)内单调递增，在(e,+8)内单调递减，则汽司4/仁)=:,(10分)

且当尤趋近于0时，F(x)趋近于-8,当x趋近于+8时，F(x)趋近于0,

若函数g(无)有两个零点无”起,可知y=-加与丁=尸(力有两个交点,

则0<—m<—,BP--<m<0；（11分）

e

In石+mx=0Inx-In玉

又因为x两式相减可得一加-