2025高考数学专项复习：立体几何综合（五大考向）学生版

第十四讲更体几何除合(五大考向)

一^考情分析

命题解读考向考查统计

1.高考对立体几何综合的考查，重点是2023•新高考I卷，18(1)

(1)了解空间向量的概念，了解空间向量的基本平行关系2024•新高考I卷，17(1)

定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐2022.新高考n卷,20(1)

标表不O2023•新高考n卷,20(1)

垂直关系

(2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌2024•新高考II卷，17(1)

握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的

点到面的距离2022•新高考I卷，19(1)

数量积判断向量的共线和垂直。

2022•新高考I卷，19(2)

(3)用几何法进行平行、垂直关系的证明，以及能

2022•新高考II卷,20(2)

用向量法证明立体几何中有关线面位置关系的求二面角

2023•新高考II卷,20(2)

一些简单定理。

2024.新高考II卷，17(2)

(4)能用向量法解决异面直线、直线与平面、平面

与平面的夹角问题,并能描述解决这一类问题的2023•新高考I卷，18(2)

已知二面角求其他量

程序，体会向量法在研究空间角问题中的作用。2024.新高考I卷,17(2)

二:2024高考命题分析

2024年高考新高考I卷考查了线面平行关系的证明和已知二面角求长度问题。II卷考查了线线垂直关

系的证明和二面角正弦值的求解。难度适中，不过解题的证明方法还是比较少见的，大家要注意。例如I卷

是利用垂直关系的性质来考查平行，二面角既可以用定义法也可以建系解决。预计2025年高考第(1)问还

是主要考查平行与垂直的判定与性质，第(2)问主要考查利用空间向量的相关知识解决空间角的问题。

三：试题精讲

一、解答题

[题1](2024新高考I卷47)如图，四棱锥P—中，P4_L底面ABCD,PA=AC=2,BC=1,48=

A/3.

(1)若证明：AD〃平面PBC；

(2)若4D_LDC,且二面角A-CP—。的正弦值为42,求AD

【题2】（2024新高考n卷J7）如图，平面四边形4BCD中，48=8,CD=3,AD=5Vi,AADC=90,

ABAD=30°,点E,F满足毋=4AD,AF=-J-AB，将AAEF沿EF对折至△PEE，使得FC=473.

⑴证明：EF_LPD；

（2）求面PCD与面PBF所成的二面角的正弦值.

高考真题练

一、解答题

【题3】（2022新高考I卷」9）如图，直三棱柱ABC—ABC的体积为4,△ABC的面积为22.

⑴求A到平面的距离；

（2）设。为A.C的中点，44i=4B,平面A.BC，平面ABBXAX,求二面角A——C的正弦值.

]（2023新高考I卷•18）如图，在正四棱柱ABCD-45G2中，AB=2,44]=4.点A2,B2,C2,D2分别

在棱yLAi,BBiCG.DDi上，AA.2=1,BB2=DD2=2,。。?=3.

⑴证明：星。2〃42;

（2）点P在棱鹿1上，当二面角P—A2G2—。2为150°时，求B2P.

15］（2022新高考n卷・20）如图，PO是三棱锥P-ABC的高，24=,AB_LAC,E是PB的中点.

⑴证明：OE〃平面P4C；

（2）若乙480=/。80=30°,。0=3,24=5,求二面角。一AE—B的正弦值.

:］（2023新高考n卷-20）如图，三棱锥A-BCD中，DA=DB=DC,BD_LCD,NADB=AADC

（2）点F满足=求二面角。一4B—F的正弦值.

知识点总结

一、直线的方向向量

1、直线的方向向量

如图8—153所示，/为经过已知点4且平行于已知非零向量4的直线.对空间任意一点。，点P在直线/上

的充要条件是存在实数t,使罚=01+应①，其中向量H叫做直线/的方向向量，在/上取翁=4,则式①

可化为OP=OA+tAB=OA+t{OB-OA）=（l-t）OA+tOB®

①和②都称为空间直线的向量表达式，当t=/，即点P是线段AB的中点时，OP=方（01+宿），此式叫做

线段AB的中点公式.

2、共面向量

如图8—154所示，已知平面a与向量4,作。4=4,如果直线OA平行于平面a或在平面a内，则说明向量G

平行于平面a.平行于同一平面的向量，叫做共面向量.

3、共面向量定理

如果两个向量a,b不共线，那么向量力与向量4,日共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x,y），使我=

xa+yb.

推论:①空间一点P位于平面ABC内的充妥条件是存在有序实数对（立,切,使标=xAB+yAC;或对空间

任意一点。，有赤—苏=2；存+沙前,该式称为空间平面ABC的向量表达式.

②已知空间任意一点。和不共线的三点4。，满足向量关系式标=双刃+,而+z沅5（其中c+y+z

=1）的点P与点A,B,。共面；反之也成立.

二、空间向量的数量积运算

1、两向量夹角

已知两个非零向量蜃兀在空间任取一点。，作01=4,加=兀则乙4OB叫做向量4,1的夹角，记作

（a,b^，通常规定04&兀，如果仅商=合,那么向量4,b互相垂直，记作a_L6.

2、数量积定义

已知两个非零向量b,则|a||&|cos^a,6^叫做4,b的数量积，记作&,即a-b=|a||&|cos^a,6y零向量与任

何向量的数量积为0,特别地，a-a^|a|2.

3、空间向量的数量积满足的运算律：

（位）了=/1（小丹，小广=隹式交换律）；

之.（1+。=4.，+4亮（分配律）.

三、空间向量的坐标运算及应用

1、设4=（%,02,禽）,b—（瓦，瓯3），则a+b=（^a1+b1,a2+b2,a3+b3）;

a-b=（。1一瓦,电-62,03-63）；

Ad—/ltZ-2,^0,3）;

a・b=+a262+。3匕3；

aIIb（bW0）=>Qi=Ablta2=4b2,。3—加3；

QJ_bna®+a2b2+劭a=0-

J,&）,=（a?-

2、设A（g,yi,々BQ,V2,则AB=OB-OA2xlf仍一",右一为）.

这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标.

3、两个向量的夹角及两点间的距离公式.

①已知日=（如,电,。3）,K=（瓦也&）,则|s|=y/al+al+al;

忖=后=/忧+4+£;

a-b=。1瓦+a2b2+a3b3；

/一云如仇+电庆+恁区

cos（a,b）='/i--------;

J萧+a[+aU忧+稻+昭

②已知4（21，%21）,8（劣2，仍，石）,则J31—22）2+（%一92丫+（.一石）2,

或者d(AB)=|命其中矶4B)表示4与B两点间的距离，这就是空间两点的距离公式.

4、向量日在向量日上的投影为|a|cos(a,b)=a.

吼

四、法向量的求解与简单应用

1、平面的法向量：

如果表示向量方的有向线段所在直线垂直于平面a,则称这个向量垂直于平面a,记作nJ_a,如果ftJ_a,那

么向量方叫做平面a的法向量.

几点注意：

①法向量一定是非零向量;②一个平面的所有法向量都互相平行;③向量方是平面的法向量，向量由是与平

面平行或在平面内，则有云•日=0.

第一步：写出平面内两个不平行的向4=(比！%,为),广=(22,92,22)；

第二步：那么平面法向量方=3?,z),满足K£=00严='

2、判定直线、平面间的位置关系

①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线a,b的方向向量分别为a,b.

若云〃1，即不=Ab,则a//b;

若&_L即G•广=0,则a.Lb.

②直线与平面的位置关系：直线/的方向向量为4,平面a的法向量为五，且Z_La.

若江〃方，即4=/(日，贝ZJ_a;

若江J_4，即4•日=0,则alla.

3、平面与平面的位置关系

平面a的法向量为洒，平面§的法向量为由.

若落〃n2，即亦=状2，则a〃£;若落_L汝,即落•日2=0,则a_L£.

五、空间角公式

1、异面直线所成角公式:设4,征分别为异面直线，2上的方向向量，夕为异面直线所成角的大小，则COS0=

2、线面角公式:设/为平面。的斜线，江为，的方向向量，方为平面a的法向量，夕为

/与a所成角的大小，则sin。=cos，

3、二面角公式：

设?11,为分别为平面a,B的法向量，二面角的大小为仇贝寸0=伉，房）或兀一伉，元）（需要根据具体情况判断

相等或互补），其中|cosJ|=3熟.

六、空间中的距离

求解空间中的距离

1、异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直接计算.

如图，设两条异面直线a,b的公垂线的方向向量为沆这时分别在a,b上任取A,8两点，则向量在日上的正

射影长就是两条异面直线a,6的距离.则4=AB--=以之也即两异面直线间的距离，等于两异面直线

1«11«1

上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值.

2、点到平面的距离

A为平面a外一点（如图）,n为平面a的法向量，过A作平面a的斜线48及垂线AH.

\AB-n\_\AB-n\

\AH\=\AB\-sin。=|AB|•|cos<AB,n>\=\AB\

\AB\-\n\|n|

\AB-n\

同

名校模拟练

一、解答题

【冷7】（2024•江西九江•三模）如图，已知四棱锥P—ABCD的底面ABCD为直角梯形，AB〃CD,AB_L

BC,/BAD=^-,AB=ADAPAD为等边三角形.

o

⑴证明：PB_LAD；

⑵若二面角P—4D—8的大小为冬，求二面角A—PB—C的正弦值.

O

[«8]（2024•安徽芜湖•三模）如图，三棱锥ABCD中，平面ABD，平面ACD,平面ABD，平面BCD,平

面力CD_L平面BCD,

⑴求证：AD,BD,CD两两垂直；

出若。4=1,。0=2,。。=3,。为人8中点，口为4。中点，求_8口与平面。。。所成角的正弦值.

9](2024・四川成都・三模)如图，三棱柱AB。—所有棱长都为2,4&BC=60°,。为4。与AC,

(1)证明：平面BCD,平面ABiG；

(2)若。注=节■，求二面角4—CB1—G的余弦值.

U(2024•江西南昌•三模)如图1,四边形ABCD为菱形，ZABC=看，E,F分别为A。，OC的中点，如

图2.将△ABC沿AC向上折叠，使得平面ABC_L平面ACFE,将ADEF沿EF向上折叠.使得平面

DEF_L平面ACFE,连接BD.

(1)求证：A,B,D,E四点共面：

(2)求平面AEDB与平面FDBC所成角的余弦值.

159

（2024•北京顺义•三模）如图在几何体ABCDEE中，底面ABCD为菱形，乙4BC=60°,AE//DF,

AE±AD,AB=AE=2DF=^.

（1）判断AO是否平行于平面CEF,并证明；

（2）若面EAB_L面4BCD；求：

⑴平面ABCD与平面CEF所成角的大小；

（ii）求点A到平面CEF的距离.

（2024•安徽合肥•三模）如图一：等腰直角44BC中AC,且47=2,分别沿三角形三边向外作

等腰梯形ABB2A2,BCG83,CAA3G使得442=B3=CG=1,/。443="442=合，沿三边AB,

O

BO,CA折叠，使得A2A3,B2B3,C2C3,重合于4,B1,G，如图二

图一图二

⑴求证：44i，BQr

（2）求直线CG与平面AA.B.B所成角6的正弦值.

【题13】（2024•河北秦皇岛•三模）如图，在三棱柱ABC—ABG中，C4=CB,四边形ABBA为菱形,

（1）证明：

（2）已知平面ABC，平面ABB.A,,求二面角B—CC「A的正弦值.

（2024・河南・三模）如图，在直三棱柱ABC—AB©中，。是棱BC上一点（点。与点。不重合），且

4。_L。。，过4作平面BCCiBi的垂线I.

（1）证明：/〃A。；

⑵若47=CG=2,当三棱锥G—ACD的体积最大时，求AC与平面ADC,所成角的正弦值.

(2024•江苏宿迁•三模)如图所示的几何体是由等高的直三棱柱和半个圆柱组合而成，瓦。1为半个圆

柱上底面的直径，AACB=90°,AC=BC=2,点E,F分别为AC,AB的中点，点。为瓦心的中点.

⑴证明：平面BCD〃平面GEF；

(2)若P是线段GF上一个动点，当CG=2时，求直线4P与平面BCD所成角的正弦值的最大值.

。：(2024•广东汕头•三模)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，A4_L平面

ABCD,24=2,M是BC中点，N是PD中点.

⑴证明：直线〃平面上4B；

(2)若户苕=3GC,求平面PCD与平面GMN的夹角的余弦值.

162

（2024•浙江绍兴•三模）如图，在直三棱柱ABC—ABQi中，AB_LB。，AB=BC=BB1二6,D、E

分别为AC,BBi的中点，设平面AQE交棱BC于点F.

⑴求BF;

（2）求二面角G—。?一。的平面角的正切值.

1$（2024•湖南长沙•三模）如图，在四棱台ABCD-中，AD//BC,

AB_LDDi,CD=2,AD=3,BC=4,/ADB=30°.

⑴证明：平面ADD,A}_L平面ABCD；

⑵若441±AD,四棱台ABCD—的体积为3等=2,求平面ABCD与平面CDDG

夹角的余弦值.

（2024・山东烟台•三模）如图，在直三棱柱ABC-ABQi中，AB=BC=BB[=2,M,N分别为BBV,

AC中点，且GM_L48.

⑴证明：GM_LAN；

⑵若。为棱45上的动点，当ON与平面ABC所成角最大时，求二面角A—DM-N的余弦值.

（2024•四川成都•三模）中国是风筝的故乡，南方称“鸽”，北方称“育”.如图，某种风筝的骨架模型是四

棱锥P—4BCD,其中4B=4D=AP=2,CB=CD=CP=4,AC交BD于点、O.

（2）若力。=2/5,且二面角P—AC—B为等,求直线PB与平面PZLD所成角的正弦值.

O

（2024•山东青岛•三模）如图所示，多面体ABCDEF,底面ABCD是正方形，点。为底面的中心，点”

为EF的中点，侧面4DEF与BCEF是全等的等腰梯形，EF=4,其余棱长均为2.

⑴证明:MO_L平面ABCD；

（2）若点P在棱CE上，直线BP与平面所成角的正弦值为2署，求EP.

（2024•新疆喀什•三模）如图，在正四棱台ABCD—4mGOi中，AB.BA=60°,AB==4,S

是CD的中点.

（1）求证:直线AC_L平面BDDB；

（2）求直线ED］与平面ABB/i所成角的正弦值

(2024・浙江・三模)如图，在三棱柱ABC—ABC中，底面43。是边长为2的正三角形，平面

ACC.A,，底面4BC,/从力。=看，人4=2,E,F分别是力。，BQ的中点，P是线段EF上的动点.

O

(1)当P是线段EF的中点时，求点P到平面ABB,Ar的距离；

(2)当平面PCC］与平面BBGC的夹角的余弦值为时，求EP.

145

【题24】(2024•湖南邵阳•三模)如图所示，四棱锥P—ABCD中，B4_L平面ABCD,AB//CD,AB.LAD,

AP=AB=2AO=2CD,E为棱PC上的动点.

(1)求证：BCLAE；

(2)若屋=2病,求直线DE与平面PBC所成角的正弦值.

(2024•江西新余•二模)如图，在