2025高考数学考点巩固卷：集合与常用逻辑用语（7大考点）（解析版）

考点巩固卷01集合与常用逻辑用语（七大考点）

窿考量先竞

考点01：集合元素的特征

考点01:集合元素的特征

集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.

①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这

个集合中就确定了.给定集合A={1,2,3,4,5},可知leA,在该集合中，6eA,不在该集合中；

②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的.

集合A={a,6,c}应满足axAHc.

③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合&={12,3,4,5}和3={1,3,524}是同一个集合.

1,若1e{。,加，疗一2根+1},则加=.

【答案】2

【分析】分类讨论结合互异性即可得出答案.

【详解】因为lw{0,/n,苏-2m+1},

所以m=1或加—2〃?+1=1,

若m=1,m2-2m+1=0,不满足互异性；

若疗-2m+1=Inm=0或2,又wiwO,所以m=2,

故答案为：2.

2.若集合中的三个元素分别为2,尤,--尤,则元素x应满足的条件是.

【答案】x#2且XW-1且xwO

【分析】根据元素的互异性，列出不等式组，求解即可.

【详解】解：由元素的互异性，可知［xl,

解得:且且XwO.

故答案为：％w2且xw-1且xw0

3.集合4=卜卜7(尤2-4x+a)=0,aeR)中恰好有两个元素，则实数0满足的条件是.

【答案】。=3或4

【分析】根据一元二次方程求解，结合集合元素的特征，可得答案.

【详解】由方程(％-1)任一以+。)=0,贝鼠=1或f-4x+a=0,

当％2-4x+a=0存在两个相等的实数根时，△=(-4)2—4xlxa=0,解得a=4,

此时方程f-4x+4=0的解为x=22l,符合题意；

当_?-4尤+a=0存在两个不相等的实数根且其中一个根为1时，F_4xl+a=0,解得“=3,

此时△=(-4)2-4xlx3=4>0,则方程另一个解为3,符合题意.

综上所述，当a=4或3时，集合A中恰有两个元素.

故答案为：。=3或4.

4.已知集合4={2,3},8={1,加},若3-meA,则实数机=.

【答案】0

【分析】讨论3-相=2、3-机=3求参数，结合集合的性质确定参数值.

【详解】若3=2,则m=1,而3={1,加},不满足集合元素的互异性；

若3=3,则m=0,故3={1,0},满足题设，

所以根=0.

故答案为：0

5.若“,={0,/,°+人},则4+6=.

【答案】-1

【分析】利用集合的列举法、元素与集合的关系、集合中元素的特性、集合间的关系分析运算即可得解.

【详解】解：由题意，•..集合［1,。,刀中有元素2,

Iaja

・二aw0,

又;［1，。,一j={o,/,a+b},

b

/.—=0,则6=0,

a

••a+b=a,

a2=19解得：々=1或。=—1,

当a=l时，={1,1,0）,不满足集合中元素的互异性，故舍去a=l；

当Q=—1时，［1,〃,一j={1,—1,0},{（J,a'a+b}={0,1,—1},

满足。,一}={o,/,q+A},

/.a=—l则a+b=a=—1.

故答案为：-1.

考点02:集合与集合之间的关系

集合间的基本关系

（1）子集：一般地，对于两个集合A、B,如果集合A中任意一个元素都是集合5中的元素，我们就

说这两个集合有包含关系，称集合A为集合3的子集，记作4=8（或824）,读作“A包含于8”（或“3

包含A”）.

（2）真子集：如果集合A=3,但存在元素xe3,且x箔A,我们称集合A是集合B的真子集,记作AUB

（或8艮A）.读作“A真包含于8”或“8真包含A

（3）相等：如果集合A是集合8的子集（4=8,且集合8是集合A的子集（3=4）,此时，集合A

与集合3中的元素是一样的，因此，集合A与集合3相等，记作A=8

（4）空集的性质：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作0；0是任何集合的子集，是任何非

空集合的真子集.

注意：1、注意子集和真子集的联系与区别.2、判断集合之间关系的两大技巧：（1）定义法进行判断（2）

数形结合法进行判断

结论：若有限集A中有〃个元素，则A的子集有2"个，真子集有2"-1个，非空子集有2”-1个，非空真子

集有2"-2个.

6.已知集合A=",5,l1，2={』+"。},若A=B,贝i」x+y=.

【答案】-1

【分析】根据集合相等求得苍八从而求得正确答案.

【详解】依题意可知XKO,由于A=5,

所以丫=。，此时A={x,0,l},3={x2,x,0},

所以x?=l，解得x=—1或x=l（舍去）,

所以x+y=-l.

故答案为：T.

7.已知集合A={1,3,4},B-[a,a+\\,若4（"|8=8,贝!|。=.

【答案】3

【分析】根据给定条件，利用交集的结果直接列式计算即得.

【详解】集合A={1，3,4},B={a,a+\],由=得3勺4,Xa+l-a=l,

[A+1=4

因此{、,所以。=3.

=3

故答案为：3

8.已知集合4={刈：=°,4,6€11},8=",/1,412,则。的取值集合为.

【答案】{0』,/}

【分析】本题根据集合之间的关系，对参数分类讨论，即可确定参数的取值.

【详解】由题意可知：x^O,b^O,b^±l,

因为所以当A=0时，。=0；

b

当AX0时，贝|x=—e2,

a

则2b=6或b巳=1；,解得。=1或〃=凡

aab

综上得，a的取值集合是也』6}.

故答案为：{。,1万}

9.已知集合4={1,2,3},B=|XGR|x2-ax+b=O,aGA,beA^,则4仆台=5的概率为

【答案】I

【分析】根据给定条件，利用列举法写出样本空间的所有样本点，再结合一元二次方程解集确定事件发生

的样本点即得.

【详解】=3等价于3勺4,记该事件为D,

由于aeA,beA,因而（a,6）取值情况如表所示.

ba123

1(1,1)。，2）。，3）

2（2」）（2,2）（2,3）

3（3，1）（3,2）（3,3）

样本空间共有9个样本点，

方程/-赤+6=0的判别式△=4-46,

2

当（a,6）取（1,1）,（1,2）,（1,3）,（2,2）,（2,3）,（3,3）时，^=a-4b<0,则8=0,BcA-,

当（a,6）取（2,1）时，△=/—46=0,8={1},BcA-,

当（“/）取（3,1）时，A=/一4。=5>o,但方程有两个无理根，不符合题意；

2

当（a,6）取（3,2）时，A=a-4b=l>0,B={1,2},BcA,

Q

因此事件。有8个样本点，那么所求概率尸（。）=、

故答案为：[

10.已知集合知={即11（5-另>1},N=[xeZ2*>g},则McN的子集个数.

【答案】8

【分析】解不等式可得集合M与N,进而可得MCN及其子集个数.

【详解】由已知M={Mln（5-x）>l}=（-巩5-e）,N={xeZ2*>口={xeZ|x>-1},

所以McN={0』,2},

所以McN的子集个数为8,

故答案为：8.

考点03:集合交并补运算

集合的基本运算

(1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与8的交集，记作AAB,

即A[yB={x\x&A,且xeB].

(2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与8的并集，记作AU3,

即A\jB={x\x^A,eB].

(3)补集：对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的

补集，简称为集合A的补集，记作C°A,即QA={x|xeU,小eA}.

集合的运算性质

⑴Ar\A=A,An0=0,Ar>B-Br\A.

(2)A<JA-A,A<J0=A,A'UB=B<JA.

(3)An(Cc/A)=0,Au(CuA)=U,Cc/(C[/A)=A.

结论：(1)空集是任何集合A的子集，是任何非空集合8的真子集.

(2)A^B^A^B=A^A\JB=B^CUB^CUA.

(3)Q(An3)=(QA)U(Q3),Q(AUB)=(QA)QCQB).

11.已知全集"=1i,集合A={x--尤-2<0},2={成尤+1)(5-无)>0},贝"(«4)八3=.(结果用

区间表示)

【答案】[2,5)

【分析】根据题意结合一元二次不等式可得集合A3,再根据集合的交集和补集运算求解.

【详解】因为4={尤k2一》_2<0}={司-1<无<2},则2A={;t|xW-l或xN2},

又因为2={尤[x+l)(5-x)>0}={x|-1<5},

所以(eA)n8=[2,5).

故答案为：[2,5).

12.已知集合4={x|y=ln(l_2x)},B=^<x\,则&A)c8=.

【答案】

【分析】求得A=(-8,；),B=[O,1],进而可求&A)ns.

【详解】由1—2x>0,可得所以A=(—°°,/),4A=15，+8)，

由尤2wx,解得B=[O,U,(^A)nB=[1,+»)n[O,l]=[1,l].

故答案为：弓』].

13.已知U=R,T=卜卜=JY+元-2b5==3',xeR^,贝！|(dA)u_B=.

【答案】(-2,小)

【分析】根据根号下大于等于。得到集合A,再根据指数函数值域得到集合8,再结合集合交并补运算即可.

【详解】由题意可得A={小+无一220}={小W-2或x21}=(7,一2]口[1,+动,

8=}小>0}=(0,+功,所以24=(一2,1),所以@A)u3=(—2,+“).

故答案为：(-2,+8).

14.已知集合A={x|/-2x-3V0},B={x|y=ln(2-x)},贝i](4A)cB=.

【答案】{x|x<T}

【分析】根据条件，求出集合A,3,再利用集合的运算，即可求出结果.

【详解】由/一2*-340,得至U-LVx<3,所以A={x|—lWx43},"A={尤|x<—l或x>3},

又易知>=ln(2-x)的定义域为{x|x<2},所以B={x|x<2},

所以低A)c3={x[x<-1},

故答案为：{x|x<-l}.

15.已知集合与={x|y=Jx+2},B={x|x2+3x-4<0),则外(Ac3)=.

【答案】{小<-2或x>l}

【分析】由定义域可得A,由一元二次不等式的解法可得8,利用交集、补集运算求解即可.

[详解]由题，A={%|y=\Jx+2]=[-2,+cc>),5={x|%2+3X-4<0}=[-4,1],

所以4(Ac3)={x|x<_2或x>l}.

故答案为：{x|x<-2或x>l}

考点04:充分条件与必要条件的判定

1、判断充要条件，首先必须分清谁是条件、谁是结论，然后利用定义法、转换法和集合法来判断。

如：命题p是命题q成立的xx条件，则命题P是条件，命题4是结论。

又如，命题P成立的XX条件是命题q,则命题4是条件，命题P是结论。

又如：记条件P，4对应的集合分别为A,B则则P是4的充分不必要条件；AnB,则，是4的

必要不充分条件。

2、“n”读作“推出”、“等价于"。P=q,即P成立，,则4一定成立。

3、充要条件

已知命题p是条件，命题q是结论

(1)充分条件：若pnq,则P是q的充分条件.

所谓“充分”，意思是说，只要这个条件就够了，就很充分了，不要其它条件了。

如：X<3是尤<4的充分条件。

(2)必要条件：若qnp,则P是q的必要条件.

所谓“必要”，意思是说，这个条件是必须的，必要的，当然，还有可能需要其它条件。

如：某个函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。函数要具有奇偶性首先必须定义域关

于原点对称，否则一定是非奇非偶。但是定义域关于原点对称并不就一定是奇偶函数，还必须满足

/(-%)=/(x)才是偶函数，满足f(-%)=-/(%)是奇函数。

(3)充要条件：若pnq,且q=p,则p是q充要条件.

技巧：对于充分条件，可以看作是小推大，即若p是q的充分条件(q是p的必要不充分条件)，则即可

认为p是q的子集.若是充分不必要条件，可以认为p是q的真子集，即在判定充要条件的时候只要认准谁

是谁的子集即可.

16.已知向量入b，贝『'伍+方){"5)=0"是'或£的()条件.

A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件

C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据向量数量积分析可知.+孙(万-5)=。等价于同=瓦结合充分、必要条件分析判断.

【详解】因为,+4(万一丹=不一52=0,可得蓝=片，即同=网，

可知(n+孙(万-5)=0等价于同=问，

若2=1或Z=可得同=M，即仅+孙("5)=0,可知必要性成立；

若卜+孙(万一5)=0,即同=网，无法得出£=石或K,

例如方=(1,0)/=(0,1),满足同=忖，但且iR,可知充分性不成立；

综上所述，“伍+孙("5)=0”是“Z力且看〜石”的必要不充分条件.

故选：A.

17.在"RC中，角A在C所对的边分别为a,6,c.则“a,6,c成等比数列”是sinBM3的()

2

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】A

【分析】先将〃=改代入余弦定理，利用基本不等式得到cosB»1,从而得到sinBw",接着根据

22

sinBW也得到2可能为钝角，不满足d6,c成等比数列，从而得答案.

2

【详解】当。涉,c成等比数列时，b2=ac,

所以COSBJ+I"22alc=L当且仅当a=c时等号成立，

laclac2

又8«0,兀)，所以84方，所以sinBW咚，充分性满足；

当sinBW3时，

213」3J

而当56彳，兀J时，人为最长的边，不满足。涉，。成等比数列，必要性不满足.

贝成等比数歹『'是sinBW立的充分不必要条件.

2

故选：A.

18.设a,夕为两个不同的平面，相，"为两条相交的直线，亘知灯/a,〃//。，则“加〃尸,〃//6”是"a//夕”

的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条

件

【答案】A

【分析】先根据空间公理确定平面7;再根据面面平行的判定定理和性质可得出充分性成立；最后根据面面

平行的性质及线面位置关系可得出必要性不成立.

【详解】设两条相交的直线"?，"确定一个平面7,

因为m//a,nlla,直线加，"相交，muy,nuy,

所以根据面面平行的判定定理可得：a//y,

又因为加〃£,nllp,直线机，〃相交，muy,nuy,

所以根据面面平行的判定定理可得：p//y,

所以a〃6，充分性成立；

由a〃尸，mlla,〃//e可的：ml1(3,nl10或mu/3,nu(3,必要性不成立，

所以“血/£,"//月”是“a〃”的充分不必要条件.

故选：A.

19.命题命题4：函数/(x)=log“(2-axXa>0且aW1)在(-oo,3)上单调，则P是4的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据对数复合型函数的单调性，由命题q求出。的取值范围，再判断充分性和必要性即可.

【详解】设t=2-办，则〃x)=loga(2-ax)(a>o,awl)可化为y=log/.

充分性：当0<。<1时，函数y=log/在上单调递减，r=2-at在(-8,3)上单调递减，

2

且当0<a时，/>0,/(元)=108。(2-")(4>0,々。1)在(一00,3)上单调递增，

2

当时，^<0,此时/(x)没有意义，故充分性不成立.

必要性：若丁=1奥/在(-8,3)上单调递减，贝所以，=2-依在(F,3)上单调递减，

且，=2—依>0在(—℃,3)上恒成立，所以2—3々>0,得〃<§,

所以当0<〃<§时，/⑺在(e,3)上单调递增；

若y=log/在(o,3)上单调递增，贝必>1,所以，=2-⑪在(0,3)上单调递减，

且，=2-依>0在(-°0,3)上恒成立，所以2-3〃>0,得。<§,不符合题意，舍去.

综上可知，当函数/(%)在(—,3)上单调时，因此必要性成立.

所以〃是q的必要不充分条件.

故选:B.

20.“TVM<6”是直线/：x+y—m=0和圆。：(％—iy+(y+iy=8相交的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】先求出直线与圆相交时机的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.

【详解】圆C:（尤—l）2+（y+l）2=8的圆心C（1,T）,半径为2&，

若直线/：x+y-机=0和圆C：（尤-17+（y+l）2=8相交,

|1-1—m|

则<2近,解得-4<m<4,

5/1+1

所以是直线/和圆C相交的必要不充分条件.

故选：B.

考点05:根据充分（必要）条件求参数范围

利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围；一般可按照如下步骤：

（1）化简p,q两命题；

（2）根据p与q的关系（充分、必要、充要条件）转化为集合间的关系；

（3）利用集合间的关系建立不等式；

（4）求解参数范围.

根据充要条件求解参数范围的方法及注意点：

（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的

不等式（组）求解；

（2）注意点：区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能

够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的错误；

21.关于尤的一元二次方程Y+工+m=0有实数解的一个必要不充分条件的是（）

1111

A.m<—B.m<—C.m<——D.m<—

2424

【答案】A

【分析】由A20可得根〈J,根据充分、必要条件的定义，结合选项即可求解.

4

【详解】因为一元二次方程/+工+加=。有实根，

所以A=l-4加之0,解得机工!.

4

11

又（-8,7］是（-8玄）的真子集，

42

所以“(-叫3”是“(-鬼!”的必要不充分条件.

24

故选：A

22.已知命题P：函数/(x)=2x3+x-a在(1,2］内有零点，则命题。成立的一个必要不充分条件是()

A.3<tz<18B.3<tz<18C.a<18D.a>3

【答案】D

【分析】判断函数的单调性，再利用零点存在性定理列式求出〃的取值范围，结合必要不充分条件的意义判

断即得.

【详解】函数/(x)=2Y+x-a在R上单调递增，由函数/(x)=2尤3+x-a在(1,2］内有零点，

得［二、八，解得3<a418,即命题P成立的充要条件是3<aW18,

显然3<a418成立，不等式3Va<18、3<a<18、a<18都不一定成立，

而3<aW18成立，不等式恒成立，反之，当时，3<a418不一定成立，

所以命题P成立的一个必要不充分条件是a>3.

故选：D

23.已知关于了的不等式必一2*一3<0成立的一个必要不充分条件是a<x<3,贝心的取值范围是()

A.(―℃,—1)B.(—℃,—1］C.(—1,3)D.［—1,3)

【答案】A

【分析】由尤2-2X-3<0,得-1<X<3,由必要不充分条件可得a的取值范围.

【详解】由尤2-2%-3<0,M-1<%<3,

因为不等式/一2彳一3<0成立的一个必要不充分条件是。<X<3,

所以a<—1.

故选：A

24.已知集合A=的一个必要条件是xta,则实数。的取值范围为()

A.a<0B.a>2C.a<~\D.a>-1

【答案】C

【分析】解分式不等式求集合，根据必要条件有A是+8)的子集，即可求参数范围.

【详解】解不等式表|<0,即(x+l)(x-2)<0,得一1〈尤<2,故4={》|-1<》<2},

所以冗GA的一个必要条件是x>a,

对于A,a=-g<0,A=｛x|-l<:v<2｝不是[”,《»）的子集，故A错误；

对于B,aN2,A=｛x[-l<x<2｝不是,,+0））的子集，故B错误；

对于C,。4一1,4=｛团-1<%<2｝是|0,+00）的子集，故C正确；

对于D,a=—万2—1,A=｛x|—1<x<2｝不是[a,+℃）的子集，故D错误；

故选：C

25.集合4=以一1<了<2｝,8=｛尤|一2<了<根｝,若的充分条件是xeA,则实数机的取值范围是（）

A.（-1,2）B.[2,+a））C.（-2,2]D.（2,+oo）

【答案】B

【分析】根据题意A是B的子集，从而求解.

【详解】A=｛x\-l<x<2],B=｛x\-2<x<m],

因为了右5的充分条件是xeA,所以

则加22,

故选：B.

考点06:存在（全称）量词命题中有关参数的取值范围

由特称命题的真假确定参数的取值范围

解题方法：（等价转化，分离参数）

（1）对于命题p,lce/,p（x,a）（a为参数）为真,通过分离参数的方法求得参数的取值范围

（2）对于命题p,土e/,p（x,a）（a为参数）为真，通过否定"Vxe/「p（x,a）（a为参数）为假转化

为恒成立问题，确定出a的取值范围A,最后取A的补集

（3）对于命题p,为参数）为假,通过否定Vxe/「p（x,a）（a为参数）为假转化

为恒成立问题，确定出a的取值范围

（4）对于命题p,为参数）为假,通过分离参数的方法求得参数的取值范围

由全称命题的真假确定参数的取值范围

解题方法：此类型的题目主要把握全称命题为真时和恒成立问题的联系，最终转化成恒成立问题求参数的

取值范围

26.若“土«0,口），使尤2一6+4<0”是假命题，则实数。的取值范围为.

【答案】（一双4]

【分析】将问题转化为“aWx+3在（0,+8）上恒成立”，再利用对勾函数的单调性求得最值，从而得解.

X

【详解】因为“三了6（0,+力），使d一办+4<0”是假命题，

所以“Vx£（0,+a?）,J-依+4>0"为真命题，

其等价于+—在（0,+力）上恒成立，

4

又因为对勾函数“X）=X+；在（0,2］上单调递减，在［2,4W）上单调递增，

所以"4™="2）=4,

所以aW4,即实数。的取值范围为（-8,4］.

故答案为：（-e,4］.

27.已知命题“对于Vxe（O,心），e，>6+1”为真命题，写出符合条件的。的一个值：.

【答案】-1（答案不唯一）

【分析】当xe（O,+e）时，e，>l,当心0时，可得。可取任意负数，即可求解.

【详解】对于Vxe（O,+e）,e，>l,

当a<0时，对于X/xe（O,+8）,ax+l<l,贝I］。可取任意负数，如-1；

故答案为：-L

28.若命题“玉目-1,2］,使得了2+〃比-加-520”是假命题，则的取值范围是.

【答案】（-2,1）

【分析】由题意知原命题的否定为真，将问题转换成立二次不等式在定区间上的恒成立问题了，对对称轴

的位置进行讨论即可求解.

【详解】由题意原命题的否定“Vxe［T,2］,使得d+尔-根-5<0”是真命题，

不妨设=X?+M-机-5=+）其开口向上，对称轴方程为x=-

则只需广（X）在［T,2］上的最大值［./•（同］^<0即可，我们分以下三种情形来讨论：

情形一：当-葭WT即加22时，/（元）在［-1,2］上单调递增，

此时有［〃x）Lx=〃2）=能-1<0,解得加<1,

故此时满足题意的实数加不存在；

情形二：当-1〈-£<2即T<2时，〃x)在-1,--上单调递减，在一万,2上单调递增，

此时有卜(x)L=a{〃2)J(_l)}<。,只需倨卷::L，

解不等式组得-2〈机<1,

故此时满足题意的实数加的范围为-2<m<1；

情形三：当-即〃?WT时，在［-L2］上单调递减，

此时有［/(%)］_=〃-1)=-2m-4<0,解得加>-2,

故此时满足题意的实数加不存在；

综上所述：机的取值范围是

故答案为：(-2,1).

29.若命题：“玉。©R,使如:-mx。+1V0”是假命题，则实数式的取值范围为.

【答案】［0,4)

【分析】根据特称命题的否定，结合二次函数的性质，可得答案.

【详解】由题意可知：命题：VxeR,g：2一如:+1>0.是真命题，

①当机=0时，结论显然成立；

…,fm>0

②当小。0时，贝日2,解得0〈根<4；

故答案为：［0,4).

30.已知命题p:*e(0,3),x2-a-21nxW0.若P为假命题，则。的取值范围为.

【答案】(力,1)

【分析】首先写出命题P的否命题，根据P为假命题即可得出力为真命题，从而转化为“<Y-21n元恒成

立，利用导数研究最值，即可求出。的取值范围.

【详解】为假命题

—ip:Vxe(0,3),x_—a—21nx>0为真命题,故avx?—21nx,

令〃x）=^-21nx,xe（O,3）,则广⑴=2x—2=乂士二1,了（0,3），

XX

令制x）>0解得1<X<3,令/'（x）<0解得0<x<l,

所以〃x）在（。，1）上单调递减，在。,3）上单调递增，

所以/（EL"（1）=1，

所以a<1.

故答案为：（-oo,l）.

考点07:你中有我，我中有你（Venn图）

一般地，若给定的集合元素离散或者是抽象集合，则用Ve〃"图求解

31.高一A5班共有28名同学非常喜欢数学，有15人学习必修一，有8人学习必修二，有14人学习选修一，

同时学习必修一和必修二的有3人，同时学习必修一和选修一的有3人，没有人同时学习三本书.同时学习

必修二和选修一的有（）人，只学习必修一的有（）人.

A.9,3B.11,3C.9,12D.3,9

【答案】D

【分析】利用韦恩图法即可快速求解.

【详解】设同时学习必修二和选修一的有x