2025届新疆昌吉市第九中学高三下学期第二次调研模拟数学试题

2025届新疆昌吉市第九中学高三下学期第二次调研模拟数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为，则该三棱锥外接球的表面积为（）A． B． C． D．2．设复数满足（为虚数单位），则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．设双曲线（，）的一条渐近线与抛物线有且只有一个公共点，且椭圆的焦距为2，则双曲线的标准方程为（）A． B． C． D．4．若的展开式中的系数为-45，则实数的值为（）A． B．2 C． D．5．已知复数z满足i•z＝2+i，则z的共轭复数是（）A．﹣1﹣2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．1+2i6．设函数，当时，，则（）A． B． C．1 D．7．己知四棱锥中，四边形为等腰梯形，，，是等边三角形，且；若点在四棱锥的外接球面上运动，记点到平面的距离为，若平面平面，则的最大值为（）A． B．C． D．8．已知集合A，则集合（）A． B． C． D．9．设，，是非零向量.若，则（）A． B． C． D．10．已知函数，集合，，则（）A． B．C． D．11．已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次（假定费用只可能为、、元）．甲、乙租车费用为元的概率分别是、，甲、乙租车费用为元的概率分别是、，则甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为（）A． B． C． D．12．已知集合，，则A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知向量，，若，则______.14．已知数列满足，则________．15．（5分）已知为实数，向量，，且，则____________．16．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现按年级采用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的高三年级为12人，则抽取的样本容量为________人.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.若问题中的正整数存在，求的值；若不存在，说明理由.设正数等比数列的前项和为，是等差数列，__________，，，，是否存在正整数，使得成立？18．（12分）已知（1）当时，判断函数的极值点的个数；（2）记，若存在实数，使直线与函数的图象交于不同的两点，求证：．19．（12分）已知等腰梯形中（如图1），，，为线段的中点，、为线段上的点，，现将四边形沿折起（如图2）（1）求证：平面；（2）在图2中，若，求直线与平面所成角的正弦值.20．（12分）已知函数f(x)=ex-x2-kx（其中e为自然对数的底，k为常数）有一个极大值点和一个极小值点．（1）求实数k的取值范围；（2）证明：f(x)的极大值不小于1．21．（12分）为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念和提高生态环境的保护意识，高二年级准备成立一个环境保护兴趣小组.该年级理科班有男生400人，女生200人；文科班有男生100人，女生300人.现按男、女用分层抽样从理科生中抽取6人，按男、女分层抽样从文科生中抽取4人，组成环境保护兴趣小组，再从这10人的兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛.（1）设事件为“选出的这4个人中要求有两个男生两个女生，而且这两个男生必须文、理科生都有”，求事件发生的概率；（2）用表示抽取的4人中文科女生的人数，求的分布列和数学期望.22．（10分）如图,四棱锥中,平面平面,底面为梯形.，且与均为正三角形.为的中点为重心,与相交于点.(1)求证:平面；(2)求三棱锥的体积.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．C【解析】

作出三棱锥的实物图，然后补成直四棱锥，且底面为矩形，可得知三棱锥的外接球和直四棱锥的外接球为同一个球，然后计算出矩形的外接圆直径，利用公式可计算出外接球的直径，再利用球体的表面积公式即可得出该三棱锥的外接球的表面积.【详解】三棱锥的实物图如下图所示：将其补成直四棱锥，底面，可知四边形为矩形，且，.矩形的外接圆直径，且.所以，三棱锥外接球的直径为，因此，该三棱锥的外接球的表面积为.故选：C.【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积，解题时要结合三视图作出三棱锥的实物图，并分析三棱锥的结构，选择合适的模型进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.2．D【解析】

先把变形为，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出，得到其坐标可得答案.【详解】解：由，得，所以，其在复平面内对应的点为，在第四象限故选：D【点睛】此题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.3．B【解析】

设双曲线的渐近线方程为，与抛物线方程联立，利用，求出的值，得到的值，求出关系，进而判断大小，结合椭圆的焦距为2，即可求出结论.【详解】设双曲线的渐近线方程为，代入抛物线方程得，依题意，，椭圆的焦距，，双曲线的标准方程为.故选:B.【点睛】本题考查椭圆和双曲线的标准方程、双曲线的简单几何性质，要注意双曲线焦点位置，属于中档题.4．D【解析】

将多项式的乘法式展开，结合二项式定理展开式通项，即可求得的值.【详解】∵所以展开式中的系数为，∴解得.故选：D.【点睛】本题考查了二项式定理展开式通项的简单应用，指定项系数的求法，属于基础题.5．D【解析】

两边同乘-i，化简即可得出答案．【详解】i•z＝2+i两边同乘-i得z=1-2i,共轭复数为1+2i，选D.【点睛】的共轭复数为6．A【解析】

由降幂公式，两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求得参数值．【详解】，时，，，∴，由题意，∴．故选：A．【点睛】本题考查二倍角公式，考查两角和的正弦公式，考查正弦函数性质，掌握正弦函数性质是解题关键．7．A【解析】

根据平面平面，四边形为等腰梯形，则球心在过的中点的面的垂线上，又是等边三角形，所以球心也在过的外心面的垂线上，从而找到球心，再根据已知量求解即可.【详解】依题意如图所示：取的中点，则是等腰梯形外接圆的圆心，取是的外心，作平面平面，则是四棱锥的外接球球心，且，设四棱锥的外接球半径为，则，而，所以，故选：A.【点睛】本题考查组合体、球，还考查空间想象能力以及数形结合的思想，属于难题.8．A【解析】

化简集合,，按交集定义，即可求解.【详解】集合，，则.故选:A.【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题.9．D【解析】试题分析：由题意得：若，则；若，则由可知，，故也成立，故选D.考点：平面向量数量积.【思路点睛】几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点，作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识，又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题，实有其合理之处.解决此类问题的常用方法是：①利用已知条件，结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易)；②将条件通过向量的线性运算进行转化，再利用①求解(较难)；③建系，借助向量的坐标运算，此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果.10．C【解析】

分别求解不等式得到集合,再利用集合的交集定义求解即可.【详解】,，∴．故选C．【点睛】本题主要考查了集合的基本运算,难度容易.11．B【解析】

甲、乙两人所扣租车费用相同即同为1元，或同为2元，或同为3元，由独立事件的概率公式计算即得．【详解】由题意甲、乙租车费用为3元的概率分别是，∴甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为．故选：B．【点睛】本题考查独立性事件的概率．掌握独立事件的概率乘法公式是解题基础．12．C【解析】分析：根据集合可直接求解.详解：,,故选C点睛：集合题也是每年高考的必考内容，一般以客观题形式出现，一般解决此类问题时要先将参与运算的集合化为最简形式，如果是“离散型”集合可采用Venn图法解决，若是“连续型”集合则可借助不等式进行运算.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．1【解析】

根据向量加法和减法的坐标运算,先分别求得与,再结合向量的模长公式即可求得的值.【详解】向量,则,则因为即,化简可得解得故答案为:【点睛】本题考查了向量坐标加法和减法的运算,向量模长的求法,属于基础题.14．【解析】

项和转化可得，讨论是否满足，分段表示即得解【详解】当时，由已知，可得，∵，①故，②由①-②得，∴．显然当时不满足上式，∴故答案为：【点睛】本题考查了利用求，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算，分类讨论的能力，属于中档题.15．5【解析】

由，，且，得，解得，则，则．16．【解析】

根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论.【详解】设抽取的样本为，则由题意得，解得.故答案为：【点睛】本题考查了分层抽样的知识，算出抽样比是解题的关键，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．见解析【解析】

根据等差数列性质及、，可求得等差数列的通项公式，由即可求得的值；根据等式，变形可得，分别讨论取①②③中的一个，结合等比数列通项公式代入化简，检验是否存在正整数的值即可.【详解】∵在等差数列中，，∴，∴公差，∴，∴，若存在正整数，使得成立，即成立，设正数等比数列的公比为的公比为，若选①，∵，∴，∴，∴，∴当时，满足成立.若选②，∵，∴，∴，∴，∴方程无正整数解，∴不存在正整数使得成立.若选③，∵，∴，∴，∴，∴解得或（舍去），∴，∴当时，满足成立.【点睛】本题考查了等差数列通项公式的求法，等比数列通项公式及前n项和公式的应用，递推公式的简单应用，补充条件后求参数的值，属于中档题.18．（1）没有极值点；（2）证明见解析【解析】

（1）求导可得,再求导可得,则在递增,则,从而在递增,即可判断；（2）转化问题为存在且,使,可得,由（1）可知,即,则,整理可得,则,设,则可整理为,设,利用导函数可得,即可求证.【详解】（1）当时,,,所以在递增,所以,所以在递增,所以函数没有极值点.（2）由题,,若存在实数,使直线与函数的图象交于不同的两点,即存在且,使.由可得,,由（1）可知,可得．,所以,即,下面证明,只需证明：,令,则证,即．设,那么,所以,所以,即【点睛】本题考查利用导函数求函数的极值点,考查利用导函数解决双变量问题,考查运算能力与推理论证能力.19．（1）见解析；（2）.【解析】

（1）先连接，根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立；（2）在图2中，过点作，垂足为，连接，，证明平面平面，得到点在底面上的投影必落在直线上，记为点在底面上的投影，连接，，得出即是直线与平面所成角，再由题中数据求解，即可得出结果.【详解】（1）连接，因为等腰梯形中（如图1），，，所以与平行且相等，即四边形为平行四边形；所以；又为线段的中点，为中点，易得：四边形也为平行四边形，所以；将四边形沿折起后，平行关系没有变化，仍有：，且，所以翻折后四边形也为平行四边形；故；因为平面，平面，所以平面；（2）在图2中，过点作，垂足为，连接，，因为，，翻折前梯形的高为，所以，则，；所以；又，，所以，即，所以；又，且平面，平面，所以平面；因此，平面平面；所以点在底面上的投影必落在直线上；记为点在底面上的投影，连接，，则平面；所以即是直线与平面所成角，因为，所以，因此，，故；因为，所以，因此，故，所以.即直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题主要考查证明线面平行，以及求直线与平面所成的角，熟记线面平行的判定定理，以及线面角的求法即可，属于常考题型.20．（1）；（2）见解析【解析】

（1）求出，记，问题转化为方程有两个不同解，求导，研究极值即可得结果；（2）由（1）知，在区间上存在极大值点，且，则可求出极大值，记，求导，求单调性，求出极值即可.【详解】（1），由，记，，由，且时，，单调递减，，时，，单调递增，，由题意，方程有两个不同解，所以；（2）解法一：由（1）知，在区间上存在极大值点，且，所以的极大值为，记，则，因为，所以，所以时，，单调递减，时，，单调递增，所以，即函数的极大值不小于1.解法二：由（1）知，在区间上存在极大值点，且，所以的极大值为，因为，，所以.即函数的极大值不小于1.【点睛】本题考查导数研究函数的单调性，极值，考查学生综合分析能力与转化能力，是一道中档题.21．（1）；（2）见解析【解析】

（1）按分层抽样得抽取了理科男生4人，女生2人，文科男生1人，女生3人，再利用古典概型求解即可（2）由超几何分布求解即可【详解】（1）因为学生总数为1000人，该年级分文、理科按男女用分层抽样抽取10人，则抽取了理科男生4人，女生2人，文科男生1人，女生3人.所以.（2）的可能取值为0,1,2,3，，，，，的分布列为0123.【点睛】本题考查分层抽样，考查超几何分布及期望，考查运算求解能力，是基础题22．（1）见解析（2）【解析】

（1）第（1）问，连交于,连接.证明//，即证平面.(2)第(2)问，主要是利用体积变换，,求得三棱锥的体积.【详解】（1）方法一：连交于,连接.由梯形，且，知又为的中点，为的重心，∴在中