2025年高考数学三轮复习之常用逻辑用语

第37页（共37页）2025年高考数学三轮复习之常用逻辑用语一．选择题（共8小题）1．（2025•咸阳模拟）设x∈R，则“x＝﹣1”是“复数z＝（x+1）+（x2﹣1）i为实数”的（）A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2025•咸阳模拟）已知命题p：∃x＞0，x3＞x，则命题p的否定为（）A．∃x＞0，x3≤x B．∃x≤0，x3＞x C．∀x＞0，x3≤x D．∀x＞0，x3＞x3．（2024秋•师宗县校级期末）命题“∃n∈N，n3+1＞3n”的否定是（）A．∃n∈N，n3+1⩽3n B．∀n∈N，n3+1⩽3n C．∃n∈N，n3+1＝3n D．∀n∈N，n3+1＞3n4．（2025•广东模拟）“x＞2”是“x2﹣2x＞0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．（2025•菏泽一模）已知{an}是无穷数列，a1＝3，则“对任意的m，n∈N*，都有am+n＝am+an”是“{an}是等差数列”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．（2024秋•双清区校级期末）命题“∀x∈R，x3＞x”的否定是（）A．∀x∈R，x3≤x B．∀x∈R，x3＜x C．∃x∈R，x3≤x D．∃x∈R，x3＜x7．（2024秋•山西期末）设命题p：∃x＜0，x2+1＝0，则命题p的否定是（）A．∃x≥0，x2+1≠0 B．∃x＜0，x2+1≠0 C．∀x≥0，x2+1≠0 D．∀x＜0，x2+1≠08．（2024秋•许昌期末）已知a，b是实数，则“a＞b”成立的一个充分不必要条件是（）A．a＞b B．a2＞b2 C．|a|＞|b| D．a3＞二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025•重庆模拟）下列说法正确的是（）A．数据1，2，2，5，5，5，7，9，11的众数和第60百分位数都为5 B．样本相关系数r越大，成对样本数据的线性相关程度也越强 C．若随机变量ξ服从二项分布B(6，3D．若随机变量X服从正态分布N（0，1），则P（多选）10．（2024秋•仁寿县校级期末）下列四个命题中是真命题的是（）A．一切实数均有相反数 B．∃x∈N，使得方程ax+1＝0无实数根 C．梯形的对角线相等 D．有些三角形不是等腰三角形（多选）11．（2024秋•郴州期末）下列说法正确的是（）A．命题“∀x＞0，x2﹣x≥1”的否定形式是“∃x≤0，x2﹣x＜1” B．函数y＝2loga（3﹣x）+1（a＞0且a≠1）的图象过定点（2，1） C．方程(12)D．若命题“∀x∈R，x2+2ax+a+2≥0恒成立”为假命题，则“a＜﹣1或a＞2”（多选）12．（2024秋•景德镇期末）下列说法正确的有（）A．函数f(xB．函数f(xC．函数y=x(4-x)D．函数f(x)=log三．填空题（共4小题）13．（2024秋•广东校级期末）已知命题p：∃x∈R，x2+x﹣1＜0，则命题p的否定是．14．（2024秋•丰满区校级期末）命题：“∀x∈R，x2≤x﹣1”的否定是．15．（2024秋•梅河口市校级期末）已知命题：“∀x∈R，m2﹣1＝（m+m2）x”为真命题，则m的取值为．16．（2024秋•阜阳校级期末）命题“∃x＞1，x2﹣ax+2＜0”的否定是．四．解答题（共4小题）17．（2024秋•蚌埠期末）已知集合A＝{x|4﹣m≤x≤2m+1}，集合B＝{x|x2﹣x﹣2≤0}．（1）若m＝4，求A∪B；（2）设p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．18．（2024秋•龙岗区校级期末）已知命题p：∃x0∈[﹣2，1]，x0（1）记实数m取值范围的集合为A，求集合A；（2）关于x的不等式ln（x+n）≤0的解集为B，且x∈A是x∈B的必要条件，求实数n的取值范围．19．（2024秋•玉溪期末）写出下列命题的否定，并判断其否定的真假：（1）∀m∈N，m2（2）存在一个六边形ABCDEF，其内角和不等于720°．20．（2024秋•仁寿县校级期末）已知集合A＝{x|a﹣1≤x≤2a+3}，B＝{x|﹣1≤x≤4}，全集U＝R．（1）当a＝1时，求（∁UA）∩B；（2）若“x∈B”是“x∈A”的必要条件，求实数a的取值范围．

2025年高考数学三轮复习之常用逻辑用语参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案CCBAACDA二．多选题（共4小题）题号9101112答案ACABDBCDAD一．选择题（共8小题）1．（2025•咸阳模拟）设x∈R，则“x＝﹣1”是“复数z＝（x+1）+（x2﹣1）i为实数”的（）A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】充分条件必要条件的判断．【专题】整体思想；综合法；简易逻辑；运算求解．【答案】C【分析】结合复数的概念检验充分必要性即可求解．【解答】解：若复数z＝（x+1）+（x2﹣1）i为实数，则x2﹣1＝0，即x＝1或x＝﹣1．故“x＝﹣1”是“复数z＝（x+1）+（x2﹣1）i为实数”的充分不必要条件．故选：C．【点评】本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题．2．（2025•咸阳模拟）已知命题p：∃x＞0，x3＞x，则命题p的否定为（）A．∃x＞0，x3≤x B．∃x≤0，x3＞x C．∀x＞0，x3≤x D．∀x＞0，x3＞x【考点】求存在量词命题的否定．【专题】转化思想；转化法；简易逻辑；运算求解．【答案】C【分析】存在改任意，将结论取反，即可求解．【解答】解：命题p：∃x＞0，x3＞x，则命题p的否定为：∀x＞0，x3≤x．故选：C．【点评】本题主要考查存在量词命题的否定，属于基础题．3．（2024秋•师宗县校级期末）命题“∃n∈N，n3+1＞3n”的否定是（）A．∃n∈N，n3+1⩽3n B．∀n∈N，n3+1⩽3n C．∃n∈N，n3+1＝3n D．∀n∈N，n3+1＞3n【考点】求存在量词命题的否定．【专题】转化思想；综合法；简易逻辑；运算求解．【答案】B【分析】根据存在量词命题的否定形式，直接判断选项．【解答】解：原命题为存在量词命题，其否定为全称量词命题，所以原命题的否命题为：“∀n∈N，n3+1≤3n”．故选：B．【点评】本题考查了存在量词命题的否定为全称量词命题，是基础题．4．（2025•广东模拟）“x＞2”是“x2﹣2x＞0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】充分条件必要条件的判断．【专题】方程思想；综合法；简易逻辑；运算求解．【答案】A【分析】可先求解不等式“x2﹣2x＞0”，再由充要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由题，解不等式x2﹣2x＞0，可得x＞2或x＜0，因为{x|x＞2}是{x|x＞2或x＜0}的真子集，所以“x＞2”是“x2﹣2x＞0”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题考查了充分条件，必要条件，充要条件，属于基础题．5．（2025•菏泽一模）已知{an}是无穷数列，a1＝3，则“对任意的m，n∈N*，都有am+n＝am+an”是“{an}是等差数列”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】充要条件的判断．【专题】整体思想；综合法；简易逻辑；数学抽象．【答案】A【分析】根据充分性和必要性的判断，直接论证即可．【解答】解：对任意的m，n∈N*，都有am+n＝am+an，令m＝1，可以得到an+1＝an+a1，因此{an}是公差为a1＝2的等差数列；若an＝2n+1，则a3＝7，a2＝5，a1＝3，可得a2+1≠a1+a2，故“对任意的m，n∈N*，都有am+n＝am+an”是“{an}是等差数列”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题．6．（2024秋•双清区校级期末）命题“∀x∈R，x3＞x”的否定是（）A．∀x∈R，x3≤x B．∀x∈R，x3＜x C．∃x∈R，x3≤x D．∃x∈R，x3＜x【考点】求全称量词命题的否定．【专题】函数思想；定义法；简易逻辑；逻辑思维．【答案】C【分析】利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，求解即可．【解答】解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，命题“∀x∈R，x3＞x”的否定是：∃x∈R，x3≤x．故选：C．【点评】本题考查了含有量词的命题的否定，要掌握其否定方法：先改变量词，然后再否定结论，属于基础题．7．（2024秋•山西期末）设命题p：∃x＜0，x2+1＝0，则命题p的否定是（）A．∃x≥0，x2+1≠0 B．∃x＜0，x2+1≠0 C．∀x≥0，x2+1≠0 D．∀x＜0，x2+1≠0【考点】存在量词命题的否定．【专题】转化思想；转化法；简易逻辑；运算求解．【答案】D【分析】存在改任意，将结论取反，即可求解．【解答】解：命题p：∃x＜0，x2+1＝0，则命题p的否定是：∀x＜0，x2+1≠0．故选：D．【点评】本题主要考查特称命题的否定，是基础题．8．（2024秋•许昌期末）已知a，b是实数，则“a＞b”成立的一个充分不必要条件是（）A．a＞b B．a2＞b2 C．|a|＞|b| D．a3＞【考点】充分不必要条件的应用；等式与不等式的性质．【专题】整体思想；综合法；简易逻辑；运算求解．【答案】A【分析】利用充分不必要条件的定义，结合不等式的性质逐项判断．【解答】解：对于A，由a＞b，得a＞b，当a＝﹣1，b＝﹣2时，a＞b，但a，b没有意义，即由a＞b推不出a＞对于BC，取a＝﹣2，b＝1，满足a2＞b2，|a|＞|b|，而a＜b，BC不是；对于D，a3＞b3⇔a＞b，D不是．故选：A．【点评】本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题．二．多选题（共4小题）（多选）9．（2025•重庆模拟）下列说法正确的是（）A．数据1，2，2，5，5，5，7，9，11的众数和第60百分位数都为5 B．样本相关系数r越大，成对样本数据的线性相关程度也越强 C．若随机变量ξ服从二项分布B(6，3D．若随机变量X服从正态分布N（0，1），则P【考点】命题的真假判断与应用；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；百分位数；样本相关系数．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】AC【分析】利用众数和第60百分位数的定义判断A，利用相关系数的意义判断B，利用方差的性质判断C，利用正态曲线的性质判断D即可求解．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，数据中，5出现的次数最多，则数据的众数为5，由于9×60%＝5.4，所以第60百分位数为第6个数据5，A正确；对于B，当r＜0时，r越大成对样本数据的线性相关程度越弱，B错误；对于C，ξ∼B(6对于D，X∼N(0故选：AC．【点评】本题考查数据百分位数的计算，涉及二项分布、正态分布的性质，属于基础题．（多选）10．（2024秋•仁寿县校级期末）下列四个命题中是真命题的是（）A．一切实数均有相反数 B．∃x∈N，使得方程ax+1＝0无实数根 C．梯形的对角线相等 D．有些三角形不是等腰三角形【考点】存在量词命题的真假判断；全称量词命题的真假判断．【专题】对应思想；定义法；简易逻辑；运算求解．【答案】ABD【分析】根据全称量词、存在量词命题真假判断方法可逐一判断．【解答】解：对于A，一切实数均有相反数，故A正确；对于B，当x＝0时，方程ax+1＝0无实数根，故B正确；对于C，只有等腰梯形的对角线相等，故C错误；对于D，至少有两条边相等的三角形才是等腰三角形，故D正确．故选：ABD．【点评】本题考查全称量词、存在量词命题真假判断方法，属于基础题．（多选）11．（2024秋•郴州期末）下列说法正确的是（）A．命题“∀x＞0，x2﹣x≥1”的否定形式是“∃x≤0，x2﹣x＜1” B．函数y＝2loga（3﹣x）+1（a＞0且a≠1）的图象过定点（2，1） C．方程(12)D．若命题“∀x∈R，x2+2ax+a+2≥0恒成立”为假命题，则“a＜﹣1或a＞2”【考点】命题的真假判断与应用；求解函数零点所在区间；全称量词命题的否定．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；简易逻辑；运算求解．【答案】BCD【分析】A选项，全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定，A错误；B选项，由对数函数的特征得到图象过定点（2，1），B正确；C选项，由零点存在性定理和函数单调性得到C正确；D选项，先得到∃x∈R，x2+2ax+a+2＜0成立为真命题，由根的判别式得到不等式，求出答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，命题“∀x＞0，x2﹣x≥1”的否定形式是“∃x＞0，x2﹣x＜1”，A错误；对于B，函数y＝2loga（3﹣x）+1，令3﹣x＝1，故x＝2，此时y＝1，故该函数的图象过定点（2，1），B正确；对于C，令h(x)=又h（﹣1）＝2+1﹣2＝1＞0，h(故h(x)=故方程(12)x-对于D，命题“∀x∈R，x2+2ax+a+2≥0恒成立”为假命题，则命题“∃x∈R，x2+2ax+a+2＜0成立”为真命题，故Δ＝4a2﹣4（a+2）＞0，解得a＜﹣1或a＞2，D正确．故选：BCD．【点评】本题考查命题真假的判断，涉及对数函数的性质，属于基础题．（多选）12．（2024秋•景德镇期末）下列说法正确的有（）A．函数f(xB．函数f(xC．函数y=x(4-x)D．函数f(x)=log【考点】命题的真假判断与应用；复合函数的值域；奇函数偶函数的判断．【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】AD【分析】判断函数的奇偶性首先判断函数的定义域，再结合函数奇偶性的定义，即可判断．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，函数f(x)=1-x2+x2-1，有1此时f（x）＝0，既满足f（﹣x）＝f（x），也满足f（﹣x）＝﹣f（x），所以函数既是奇函数也是偶函数，故A正确；对于B，函数f(x)=(x-1)1+x1-x，有1+x1-x函数的定义域不关于原点对称，所以函数不是偶函数，故B错误；对于C，函数y=有f（0）＝0，设x＞0，﹣x＜0，f（﹣x）＝﹣x（4﹣x）＝﹣f（x），设x＜0，﹣x＞0，f（﹣x）＝﹣x（4+x）＝﹣f（x），对于任意实数x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），则函数是奇函数，当x＞0时，y＝x（4﹣x）＝﹣（x﹣2）2+4≤4，当x＜0时，y＝x（4+x）＝（x+2）2﹣4≥﹣4，所以函数的值域为R，无最大值，故C错误；对于D，函数f(x)=log2|2y=当x＞0时，y＞1，当x＜0时，y＜﹣1，所以t=|2x+12x-1|f(-x)=log2故选：AD．【点评】本题考查函数奇偶性的判断，注意函数的定义域，属于基础题．三．填空题（共4小题）13．（2024秋•广东校级期末）已知命题p：∃x∈R，x2+x﹣1＜0，则命题p的否定是∀x∈R，x2+x﹣1≥0．【考点】求存在量词命题的否定．【专题】整体思想；综合法；简易逻辑；逻辑思维．【答案】∀x∈R，x2+x﹣1≥0．【分析】否定命题的结论，把存在量词改为全称量词．【解答】解：命题p的否定是∀x∈R，x2+x﹣1≥0．故答案为：∀x∈R，x2+x﹣1≥0．【点评】本题考查命题的否定．注意命题的否定是否定命题的结论，同时把全称量词与存在量词互换．14．（2024秋•丰满区校级期末）命题：“∀x∈R，x2≤x﹣1”的否定是∃x∈R，x2＞x﹣1．【考点】求全称量词命题的否定．【专题】对应思想；数学模型法；简易逻辑；逻辑思维．【答案】∃x∈R，x2＞x﹣1．【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题判断即可．【解答】解：全称命题：“∀x∈R，x2≤x﹣1”的否定为特称命题，即：∃x∈R，x2＞x﹣1．故答案为：∃x∈R，x2＞x﹣1．【点评】本题考查命题的否定，是基础题．15．（2024秋•梅河口市校级期末）已知命题：“∀x∈R，m2﹣1＝（m+m2）x”为真命题，则m的取值为﹣1．【考点】全称量词命题真假的应用．【专题】转化思想；综合法；简易逻辑；运算求解．【答案】﹣1．【分析】由命题为真命题可知等式恒成立，进而列方程，解方程即可．【解答】解：由题意可知等式m2﹣1＝（m+m2）x恒成立，此时与x的取值无关，则只需m2-1=0m+m2=0，解得故答案为：﹣1．【点评】本题考查了全称量词命题的真假应用，涉及到恒成立问题，属于基础题．16．（2024秋•阜阳校级期末）命题“∃x＞1，x2﹣ax+2＜0”的否定是∀x＞1，x2﹣ax+2≥0．【考点】求存在量词命题的否定．【专题】转化思想；转化法；简易逻辑；运算求解．【答案】∀x＞1，x2﹣ax+2≥0．【分析】根称特称命题的否定，否定结论，存在量词换成全称量词即可．【解答】解：由命题否定的定义可知，存在改任意，将结论取反，则命题“∃x＞1，x2﹣ax+2＜0”的否定是“∀x＞1，x2﹣ax+2≥0”．故答案为：∀x＞1，x2﹣ax+2≥0．【点评】本题主要考查命题的否定，属于基础题．四．解答题（共4小题）17．（2024秋•蚌埠期末）已知集合A＝{x|4﹣m≤x≤2m+1}，集合B＝{x|x2﹣x﹣2≤0}．（1）若m＝4，求A∪B；（2）设p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【考点】必要不充分条件的应用；解一元二次不等式；求集合的并集．【专题】对应思想；定义法；集合；运算求解．【答案】（1）A∪B＝{x|﹣1≤x≤9}；（2）[5，+∞）．【分析】（1）根据题意化简集合A，B，进而求并集；（2）分析可知集合B是集合A的真子集，根据包含关系列式求解即可．【解答】解：（1）已知集合A＝{x|4﹣m≤x≤2m+1}，集合B＝{x|x2﹣x﹣2≤0}．则B＝{x|x2﹣x﹣2≤0}＝{x|﹣1≤x≤2}，当m＝4时，A＝{x|0≤x≤9}，所以A∪B＝{x|﹣1≤x≤9}．（2）因为p是q的必要不充分条件，可知集合B是集合A的真子集，则4-m≤-12所以实数m的取值范围为[5，+∞）．【点评】本题考查集合间的运算相关知识，属于基础题．18．（2024秋•龙岗区校级期末）已知命题p：∃x0∈[﹣2，1]，x0（1）记实数m取值范围的集合为A，求集合A；（2）关于x的不等式ln（x+n）≤0的解集为B，且x∈A是x∈B的必要条件，求实数n的取值范围．【考点】存在量词命题真假的应用；解一元二次不等式．【专题】整体思想；综合法；简易逻辑；运算求解．【答案】（1）A＝{m|m≤3}；（2）{n|n≥﹣2}．【分析】（1）由已知结合存在性量词命题与最值关系的转化即可求解；（2）结合充分必要条件与集合包含关系的转化即可求解．【解答】解：（1）命题p：∃x0∈[﹣2，1]，x0所以∃x0∈[﹣2，1]，使得m≤x所以x0∈[﹣2，1]时，m≤（x02+2根据二次函数的性质可得，当x0＝1时，（x02+2x0故m≤3，所以A＝{m|m≤3}；（2）由不等式ln（x+n）≤0可得0＜x+n≤1，解得﹣n＜x≤1﹣n，即B＝{x|﹣n＜x≤1﹣n}，若x∈A是x∈B的必要条件，则B⊆A，所以1﹣n≤3，即n≥﹣2，故实数n的取值范围为{n|n≥﹣2}．【点评】本题主要考查了存在性量词命题的真假关系应用，还考查了充分必要条件与集合包含关系的应用，属于基础题．19．（2024秋•玉溪期末）写出下列命题的否定，并判断其否定的真假：（1）∀m∈N，m2（2）存在一个六边形ABCDEF，其内角和不等于720°．【考点】求全称量词命题的否定；求存在量词命题的否定；存在量词命题的真假判断．【专题】转化思想；转化法；简易逻辑；运算求解．【答案】（1）∃m∈N，m2（2）任意六边形ABCDEF，其内角和等于720°，真命题．【分析】（1）由全称命题的否定是把存在改为存在，并否定原结论，进而判断真假；（2）由特称命题的否定是把存在改为任意，并否定原结论，进而判断真假．【解答】解：（1）∀m∈N，m2+1∉N的否定为∃m∈因为m＝0∈N时，02（2）存在一个六边形ABCDEF，其内角和不等于720°，则原命题的否定为任意六边形ABCDEF，其内角和等于720°，易知其为真命题．【点评】本题主要考查命题的否定，属于基础题．20．（2024秋•仁寿县校级期末）已知集合A＝{x|a﹣1≤x≤2a+3}，B＝{x|﹣1≤x≤4}，全集U＝R．（1）当a＝1时，求（∁UA）∩B；（2）若“x∈B”是“x∈A”的必要条件，求实数a的取值范围．【考点】充分条件与必要条件；交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合思想；综合法；集合；运算求解．【答案】（1）{x|﹣1≤x＜0}．（2）（﹣∞，﹣4）∪[0，12]【分析】（1）利用集合的补集、交集运算求解．（2）由题意可知A⊆B，再对A分A＝∅和A≠∅两种情况讨论，分别求出a的取值范围，最后取并集即可．【解答】解：（1）当a＝1时，集合A＝{x|0≤x≤5}，B＝{x|﹣1≤x≤4}，∴∁UA＝{x|x＜0或x＞5}，∴（∁UA）∩B＝{x|﹣1≤x＜0}．（2）∵“x∈B”是“x∈A”的必要条件，∴A⊆B，①若A＝∅，则a﹣1＞2a+3，∴a＜﹣4，②若A≠∅，则a-1≤2综上所述，实数a的取值范围为（﹣∞，﹣4）∪[0，12]【点评】本题主要考查了集合的基本元素，考查了集合间的包含关系，属于基础题．

考点卡片1．求集合的并集【知识点的认识】由所有属于集合A或属于集合B的元素的组成的集合叫做A与B的并集，记作A∪B．符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．A∪B实际理解为：①x仅是A中元素；②x仅是B中的元素；③x是A且是B中的元素．运算性质：①A∪B＝B∪A．②A∪∅＝A．③A∪A＝A．④A∪B⊇A，A∪B⊇B．【解题方法点拨】定义并集：集合A和集合B的并集是所有属于A或属于B的元素组成的集合，记为A∪B．元素合并：将A和B的所有元素合并，去重，得到并集．【命题方向】已知集合A={x∈N|-12≤x＜52}，B＝解：依题意，A={x∈所以A∪B＝{﹣1，0，1，2}．2．交、并、补集的混合运算【知识点的认识】集合交换律A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．集合结合律（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．集合分配律A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．集合的摩根律∁U（A∩B）＝∁UA∪∁UB，∁U（A∪B）＝∁UA∩∁UB．集合吸收律A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．集合求补律A∪∁UA＝U，A∩∁UA＝∅．【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．【命题方向】理解交集、并集、补集的混合运算，每年高考一般都是单独命题，一道选择题或填空题，属于基础题．3．充分条件与必要条件【知识点的认识】1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．4．充分条件必要条件的判断【知识点的认识】1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．5．充要条件的判断【知识点的认识】充要条件是指条件P和条件Q之间互为充分必要条件．即若P成立，则Q成立，若Q成立，则P也成立．用符号表示为P⇔Q．充要条件在数学中非常重要，因为它们表示两个条件是等价的．【解题方法点拨】要判断一个条件是否为充要条件，需要分别验证P⇒Q和Q⇒P．如果两者都成立，则P和Q互为充要条件．通常可以通过逻辑推理和实例验证来进行判断．对于复杂问题，可以分步骤进行验证，确保每一步推理的正确性．【命题方向】充要条件的命题方向包括几何图形的判定条件、函数的性质等．例如，矩形的对角线相等且互相平分是矩形的充要条件．“方程x2﹣2x+m＝0至多有一个实数解”的一个充要条件是（）A．m≥1B．m≤1C．m≥2D．m≥0解：“方程x2﹣2x+m＝0至多有一个实数解”的充要条件为“（﹣2）2﹣4m≤0”即“m≥1”．故选：A．6．充分不必要条件的应用【知识点的认识】充分不必要条件是指如果条件P成立，则条件Q必然成立，但条件Q成立时，条件P不一定成立．用符号表示为P⇒Q，但Q⇏P．这种条件在数学中表明某个条件足以保证结果成立，但不是唯一条件．【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．集合A＝{x|x2+（a+2）x+2a＜0}，B＝{x|x2+2x﹣3＜0}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（）A．{a|﹣1≤a≤3}B．{a|﹣1≤a＜2或2＜a≤3}C．{a|2＜a≤3}D．{a|a≥2}解：因为A＝{x|x2+（a+2）x+2a＜0}＝{x|（x+2）（x+a）＜0}，B＝{x|x2+2x﹣3＜0}＝{x|﹣3＜x＜1}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则A⫋B且A≠∅，当﹣a＜﹣2时，A＝{x|﹣a＜x＜﹣2}，B＝{x|﹣3＜x＜1}，则﹣a≥﹣3，解得2＜a≤3，当﹣a＞﹣2时，A＝{x|﹣2＜x＜﹣a}，B＝{x|﹣3＜x＜1}，则﹣a≤1，解得﹣1≤a＜2，所以﹣1≤a＜2或2＜a≤3．故选：B．7．必要不充分条件的应用【知识点的认识】必要不充分条件是指如果条件Q成立，则条件P必然成立，但条件P成立时，条件Q不一定成立．用符号表示为Q⇒P，但P⇏Q．这种条件在数学中表明某个条件必须满足才能保证结果成立，但单靠这个条件不能完全保证结果成立．【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．设p：12≤x≤1；q：a≤x≤a+1，若A．B.(0C.[0D.[0解：p：12≤x≤1，q：a≤x≤a又∵p的必要不充分条件是q，∴p⇒q，反之则不能，∴1≤a+1，a≤1∴0≤a≤1当a＝0时，q：0≤x≤1，满足p的必要不充分条件是q，当a=12时，q：12≤x≤3∴0≤a≤1故选：D．8．全称量词命题的真假判断【知识点的认识】全称量词：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词．符号：∀应熟练掌握全称命题的判定方法全称量词：对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，用符号“∀”表示．含有全称量词的命题．“对任意一个x∈M，有p（x）成立”简记成“∀x∈M，p（x）”．命题全称命题∀x∈M，p（x）表述方法①所有的x∈M，使p（x）成立②对一切x∈M，使p（x）成立③对每一个x∈M，使p（x）成立④对任给一个x∈M，使p（x）成立⑤若x∈M，则p（x）成立﹣【解题方法点拨】判断全称量词命题的真假时，可以从反例入手，寻找一个使得命题不成立的例子．例如，要判断“所有奇数都是质数”是否为真，只需找到一个奇数不是质数（如9）即可证明该命题为假．【命题方向】全称量词命题的真假判断常见于代数和几何性质的判定．例如，判断一个数列的全称性质是否成立，或判断几何图形的某个性质是否对所有相关对象成立．这类题型要求学生能够灵活应用定义和性质进行验证．判断下列全称量词命题的真假：（1）所有素数都是奇数；（2）∀x∈R，|x|+1≥1；（3）对任意一个无理数x，x2也是无理数．解：（1）2是素数，但2不是奇数，∴所有素数都是奇数是假命题；（2）∀x∈R，总有|x|≥0，∴|x|+1≥1，∴∀x∈R，|x|+1≥1是真命题；（3）2是无理数，但（2）2＝2是有理数，∴全称量词命题“对每一个无理数x，x2也是无理数”是假命题．9．全称量词命题真假的应用【知识点的认识】全称量词：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词．符号：∀应熟练掌握全称命题的判定方法全称量词：对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，用符号“∀”表示．含有全称量词的命题．“对任意一个x∈M，有p（x）成立”简记成“∀x∈M，p（x）”．命题全称命题∀x∈M，p（x）表述方法①所有的x∈M，使p（x）成立②对一切x∈M，使p（x）成立③对每一个x∈M，使p（x）成立④对任给一个x∈M，使p（x）成立⑤若x∈M，则p（x）成立﹣【解题方法点拨】在应用全称量词命题时，首先要准确判断命题的真假，然后根据判断结果进行推理．例如，在证明几何命题时，可以先验证全称量词命题的真假，然后根据真假性进行相应的几何推理和计算．【命题方向】全称量词命题真假的应用在代数和几何题中广泛存在．例如，利用全称量词命题的真假来推导数的整除性、代数式的恒等关系，或几何图形的某些性质．这类题型要求学生具备扎实的基础知识和逻辑推理能力．若命题“∀x∈[1，3]，ax2﹣x+a≥0为真命题，则a的最小值为_____．解：∀x∈[1，3]，ax2﹣x+a≥0，则a≥当x∈[1，3]时，xx2+1=1故a≥所以实数a的最小值为12故答案为：1210．存在量词命题的真假判断【知识点的认识】存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“∃”表示．特称命题：含有存在量词的命题．“∃x0∈M，有p（x0）成立”简记成“∃x0∈M，p（x0）”．“存在一个”，“至少有一个”叫做存在量词．命题特称命题∃x0∈M，p（x0）表述方法①存在x0∈M，使p（x0）成立②至少有一个x0∈M，使p（x0）成立③某些x∈M，使p（x）成立④存在某一个x0∈M，使p（x0）成立⑤有一个x0∈M，使p（x0）成立﹣【解题方法点拨】判断存在量词命题的真假时，可以通过具体实例来验证．例如，要判断“存在一个数是3的倍数”是否为真，只需找到一个3的倍数（如6）即可证明该命题为真．如果无法找到任何一个符合条件的对象，则命题为假．【命题方向】存在量词命题的真假判断常见于代数和几何性质的判定．例如，判断一个方程是否有解，或判断几何图形的某个性质是否对某些对象成立．这类题型要求学生能够灵活应用定义和性质进行验证．下列存在量词命题中，为真命题的是（）A．∃x∈Z，x2﹣2x﹣3＝0B．至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除C．∃x∈R，|x|＜0D．有些自然数是偶数解：选项A：因为方程x2﹣2x﹣3＝0的两根为3和﹣1，所以x∈Z，故A正确；选项B：因为6能同时被2和3整除，且6∈Z，故B正确；选项C：根据绝对值的意义可得|x|≥0恒成立，不存在x满足|x|＜0，故C错误；选项D：2，4等既是自然数又是偶数，故D正确；故选：ABD．11．存在量词命题真假的应用【知识点的认识】存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“∃”表示．特称命题：含有存在量词的命题．“∃x0∈M，有p（x0）成立”简记成“∃x0∈M，p（x0）”．“存在一个”，“至少有一个”叫做存在量词．命题特称命题∃x0∈M，p（x0）表述方法①存在x0∈M，使p（x0）成立②至少有一个x0∈M，使p（x0）成立③某些x∈M，使p（x）成立④存在某一个x0∈M，使p（x0）成立⑤有一个x0∈M，使p（x0）成立﹣【解题方法点拨】在应用存在量词命题时，首先要准确判断命题的真假，然后根据判断结果进行推理．例如，在解决代数问题时，可以先验证存在量词命题的真假，然后根据真假性进行相应的计算和推导．【命题方向】存在量词命题真假的应用在代数和几何题中广泛存在．例如，利用存在量词命题的真假来推导方程的解的存在性、几何图形的某些特性．这类题型要求学生具备扎实的基础知识和逻辑推理能力．若命题“∃x0∈[﹣1，2]，x0﹣a＞0”为假命题，则实数a的取值范围是_____．解：“∃x0∈[﹣1，2]，x0﹣a＞0”是假命题，则它的否定命题：“∀x∈[﹣1，2]，x﹣a≤0”是真命题；所以x∈[﹣1，2]，a≥x恒成立，所以a≥2，即实数a的取值范围是[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．12．全称量词命题的否定【知识点的认识】一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题p：∀x∈M，p（x）它的否命题¬p：∃x0∈M，¬p（x0）．【解题方法点拨】写全称命题的否定的方法：（1）更换量词，将全称量词换为存在量词，即将“任意”改为“存在”；（2）将结论否定，比如将“＞”改为“≤”．值得注意的是，全称命题的否定的特称命题．【命题方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现．难度一般不大，从考查的数学知识上看，能涉及高中数学的全部知识．13．求全称量词命题的否定【知识点的认识】一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题p：∀x∈M，p（x）它的否命题¬p：∃x0∈M，¬p（x0）．【解题方法点拨】写全称命题的否定的方法：（1）更换量词，将全称量词换为存在量词，即将“任意”改为“存在”；（2）将结论否定，比如将“＞”改为“≤”．值得注意的是，全称命题的否定的特称命题．【命题方向】全称量词命题否定的求解在代数和几何中广泛存在．例如，代数中关于实数性质的全称命题的否定，几何中关于图形性质的全称命题的否定等．这类题型要求学生能够灵活运用逻辑思维进行否定命题的改写和判断．写出命题“∀x∈Z，|x|∈N”的否定：_____．解：因为特称命题的否定为全称命题，所以命题“∀x∈Z，|x|∈N”的否定是“∃x∈Z，|x|∉N”，故答案为：∃x∈Z，|x|∉N．14．存在量词命题的否定【知识点的认识】一般地，对于含有一个量词的特称命题的否定，有下面的结论：特称命题p：∃x0∈M，p（x0）它的否命题¬p：∀x∈M，¬p（x）．【解题方法点拨】写特称命题的否定的方法：（1）更换量词，将存在量词换为全称量词，即将“存在”改为“任意”；（2）将结论否定，比如将“＞”改为“≤”．值得注意的是，特称命题的否定的全称命题．【命题方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现．难度一般不大，从考查的数学知识上看，能涉及高中数学的全部知识．15．求存在量词命题的否定【知识点的认识】一般地，对于含有一个量词的特称命题的否定，有下面的结论：特称命题p：∃x0∈M，p（x0）它的否命题¬p：∀x∈M，¬p（x）．【解题方法点拨】写特称命题的否定的方法：（1）更换量词，将存在量词换为全称量词，即将“存在”改为“任意”；（2）将结论否定，比如将“＞”改为“≤”．值得注意的是，特称命题的否定的全称命题．【命题方向】存在量词命题否定的求解在代数和几何中广泛存在．例如，代数中关于方程解的存在性命题的否定，几何中关于图形性质的存在性命题的否定等．这类题型要求学生能够灵活运用逻辑思维进行否定命题的改写和判断．写出下列存在量词命题的否定：（1）某箱产品中至少有一件次品；（2）方程x2﹣8x+15＝0有一个根是偶数；（3）∃x∈R，使x2+x+1≤0．解：（1）某箱产品中都是正品；（2）方程x2﹣8x+15＝0每一个根都不是偶数；（3）∀x∈R，使x2+x+1＞0．16．命题的真假判断与应用【知识点的认识】判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假．注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1＝0的两根都不是实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．【解题方法点拨】1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假．2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“pq”，则“若p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断．【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．17．等式与不等式的性质【知识点的认识】1．不等式的基本性质（1）对于任意两个实数a，b，有且只有以下三种情况之一成立：①a＞b⇔a﹣b＞0；②a＜b⇔a﹣b＜0；③a＝b⇔a﹣b＝0．（2）不等式的基本性质①对称性：a＞b⇔b＜a；②传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；③可加性：a＞b⇒a+c＞b+c．④同向可加性：a＞b，c＞d⇒a+c＞b+d；⑤可积性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；⑥同向整数可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；⑦平方法则：a＞b＞0⇒an＞bn（n∈N，且n＞1）；⑧开方法则：a＞b＞0⇒na＞nb（n∈N，且18．解一元二次不等式【知识点的认识】含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．特征当△＝b2﹣4ac＞0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）（x﹣x2）当△＝b2﹣4ac＝0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）2．当△＝b2﹣4ac＜0时．一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．【解题方法点拨】例1：一元二次不等式x2＜x+6的解集为．解：原不等式可变形为（x﹣3）（x+2）＜0所以，﹣2＜x＜3故答案为：（﹣2，3）．这个题的特点是首先它把题干变了形，在这里我们必须要移项写成ax2+bx+c＜0的形式；然后应用了特征当中的第一条，把它写成两个一元一次函数的乘积，所用的方法是十字相乘法；最后结合其图象便可求解．【命题方向】一元二次不等式ax2+bx+c＞0﹣将不等式转化为ax2+bx+c＝0形式，求出根．﹣根据根的位置，将数轴分为多个区间．﹣在各区间内选择测试点，确定不等式在每个区间内的取值情况．﹣综合各区间的解，写出最终解集．不等式x2﹣2x＞0的解集是（）解：不等式x2﹣2x＞0整理可得x（x﹣2）＞0，可得x＞2或x＜0，{x|x＜0或x＞2}19．复合函数的值域【知识点的认识】函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．A是函数的定义域．【解题方法点拨】（1）求函数的值域此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等．无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域．（2）函数的综合性题目此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目．此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力．在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强．（3）运用函数的值域解决实际问题此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决．此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力．【命题方向】复合函数的值域是内层函数和外层函数值域的共同部分．复合函数形式如f（g（x））．﹣分析内层函数g（x）的值域．﹣将内层函数的值域代入外层函数，求出外层函数的值域．﹣综合内层和外层函数的值域，确定复合函数的值域．求函数y＝2|3﹣x|的值域．解：|x﹣3|≥0，则y＝2|3﹣x|≥20＝1，故函数y的值域为[1，+∞）．20．奇函数偶函数的判断【知识点的认识】奇函数如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．偶函数如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．【解题方法点拨】①如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；②若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③已知奇函数大于0的部分的函数表达式，求它的小于0的函数表达式，如奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＝x2+x那么当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）＝（﹣x）2+（﹣x）⇒﹣f（x）＝x2﹣x⇒f（x）＝﹣x2+x①运用f（x）＝f（﹣x）求相关参数，如y＝ax3+bx2+cx+d，那么a+c是多少？②结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数f（﹣2）＝0，周期为2，那么在区间（﹣2，8）函数与x轴至少有几个交点．【命题方向】奇函数是函数里很重要的一个知识点，同学们一定要熟悉奇函数的概念和常用的解题方法，它的考查形式主要也就是上面提到的这两种情况﹣﹣求参数或者求函数的表达式．与奇函数雷同，熟悉偶函数的性质，高考中主要还是以选择题或者填空题的形式考查对偶函数性质的灵活运用．21．求解函数零点所在区间【知识点的认识】1、函数零点存在性定理：一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．特别提醒：（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．【解题方法点拨】函数零点个数的判断方法：（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；②函数的零点是实数而不是数轴上的点．（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．函数f(A.(B．（1，e）C．（e，e2）D．（e2，e3）解：因为函数f(在（0，+∞）上为单调递增函数，又因为f（e）＝1-3e＜0，f（e2）＝2所以f（x）的零点位于（e，e2）．故选：C．22．正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【知识点的认识】1．正态曲线及性质（1）正态曲线的定义函数φμ，σ（x）=12πσe-(x-μ)22σ2，x∈（﹣∞，+∞），其中实数（2）正态曲线的解析式①指数的自变量是x定义域是R，即x∈（﹣∞，+∞）．②解析式中含有两个常数：π和e，这是两个无理数．③解析式中含有两个参数：μ和σ，其中μ可取任意实数，σ＞0这是正态分布的两个特征数．④解析式前面有一个系数为12πσ，后面是一个以e为底数的指数函数的形式，幂2．正态分布（1）正态分布的定义及表示如果对于任何实数a，b（a＜b），随机变量X满足P（a＜X≤b）=abφμ，σ（x）dx，则称X的分布为正态分布，记作N（μ，（2）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．3．正态曲线的性质正态曲线φμ，σ（x）=12πσe（1）曲线位于x轴上方，与x轴不相交；（2）曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；（3）曲线在x＝μ处达到峰值12（4）曲线与x轴围成的图形的面积为1；（5）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．4．三个邻域会用正态总体在三个特殊区间内取值的概率值结合正态曲线求随机变量的概率．落在三个邻域之外是小概率事件，这也是对产品进行质量检测的理论依据．【解题方法点拨】正态分布是高中阶段唯一连续型随机变量的分布，这个考点虽然不是高考的重点，但在近几年新课标高考中多次出现，其中数值计算是考查的一个热点，考生往往不注意对这些数值的记忆而导致解题无从下手或计算错误．对正态分布N（μ，σ2）中两个参数对应的数值及其意义应该理解透彻并记住，且注意第二个数值应该为σ2而不是σ，同时，记住正态密度曲线的六条性质．【命题方向】题型一：概率密度曲线基础考察典例1：设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f（x）的图象，且f（x）=18πA．10与8B．10与2C．8与10D．2与10解析：由18πe-(x-10)答案：B．典例2：已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）＝0.8，则P（0＜ξ＜2）等于（）A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2解析：由P（ξ＜4）＝0.8知P（ξ＞4）＝P（ξ＜0）＝0.2，故P（0＜ξ＜2）＝0.3．故选C．典例3：已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（2≤X≤4）＝0.6826，则P（X＞4）等于（）A．0.1588B．0.1587C．0.1586D．0.1585解析由正态曲线性质知，其图象关于直线x＝3对称，∴P（X＞4）＝0.5﹣12P（2≤X≤4）＝0.5-12×0.6826＝题型二：正态曲线的性质典例1：若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为14（1）求该正态分布的概率密度函数的解析式；（2）求正态总体在（﹣4，4]的概率．分析：要确定一个正态分布的概率密度函数的解析式，关键是求解析式中的两个参数μ，σ的值，其中μ决定曲线的对称轴的位置，σ则与曲线的形状和最大值有关．解（1）由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0．由12πσ=1φμ，σ（x）=142πe-（2）P（﹣4＜X≤4）＝P（0﹣4＜X≤0+4）＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826．点评：解决此类问题的关键是正确理解函数解析式与正态曲线的关系，掌握函数解析式中参数的取值变化对曲线的影响．典例2：设两个正态分布N（μ1，σ12）（σ1＞0）和N（μ2，σ22）（σ2＞0A．μ1＜μ2，σ1＜σ2B．μ1＜μ2，σ1＞σ2C．μ1＞μ2，σ1＜σ2D．μ1＞μ2，σ1＞σ2解析：根据正态分布N（μ，σ2）函数的性质：正态分布曲线是一条关于直线x＝μ对称，在x＝μ处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线的最高点越低且较平缓；反过来，σ越小，曲线的最高点越高且较陡峭，故选A．答案：A．题型三：服从正态分布的概率计算典例1：设X～N（1，22），试求（1）P（﹣1＜X≤3）；（2）P（3＜X≤5）；（3）P（X≥5）．分析：将所求概率转化到（μ﹣σ，μ+σ]．（μ﹣2σ，μ+2σ]或[μ﹣3σ，μ+3σ]上的概率，并利用