2024-2025学年广东省广州市思源学校高一（下）月考数学试卷（3月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省广州市思源学校高一（下）3月月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知空间中三个不同的点A、B、C，则下列等式成立的是(

)A.AB+AC=BC B.AB−AC2.在△ABC中，a2−c2+bA.30° B.45° C.60° D.120°3.下列各命题中，正确的是(

)A.若|a|=|b|，则a=b或a=−b

B.与非零向量a共线的单位向量是a|4.已知向量a=(12,−1)，b=(2,1)，则与向量A.(−3,1) B.(−8,3) C.(−9,4) D.(3,−2)5.设非零向量a，b满足|a+b|=|A.a⊥b B.|a→|=|b6.在非钝角△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知3a=23bsinA，且cosA=cosC，则△ABC的形状为A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形7.如图，塔垂直于水平面，他们选择了与灵运塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得AB=50米，在A，B两点观察塔顶C点，仰角分别为45°和30°，∠ADB=30°，则灵运塔的高度CD是(

)A.45米 B.50米 C.55米 D.60米8.在平行四边形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AE=3ED，DF=FC，AF与BE相交于点G，记BC=a，BA=b，则AGA.311a−611bB.−二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设e1，e2是平面内两个不共线的向量，则以下a，b可作为该平面内一组基底的(

)A.a=e1+e2，b=e1 B.a=2e110.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，A=30°，若三角形有唯一解，则整数b可以为(

)A.1 B.2 C.3 D.411.下列说法正确的是(

)A.若非零向量a，b满足|a+b|=|a|+|b|，则a//b

B.若非零向量a，b满足|a+b|=|a−b|，则a⊥b

C.已知P是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知点A(1,−1)，B(−2,3)，则与向量AB方向相同的单位向量为______．13.已知e1，e2是夹角为2π3的两个单位向量，若a=e1−14.如图，在梯形ABCD中，∠B=45°，AB=32，BC=6，且AD=16BC，若M，N是线段BC上的动点，且|四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

设a,b是不共线的两个非零向量．

(1)若OA=4a−2b,OB=6a+2b,OC=2a−6b，求证：A16.(本小题15分)

已知向量a=(−1,0),b=(m,1)，且a与b的夹角为π4．

(1)求m及|a+2b|；

(2)17.(本小题15分)

已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且向量m=(a,−b)与n=(3cosA,sinB)平行．

(1)求A；

(2)若a=18.(本小题17分)

如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M．

(1)求∠EMF的余弦值；

(2)若点P自A点逆时针沿正方形的边运动到C点，在这个过程中，是否存在这样的点P，使得EF⊥MP？若存在，求出MP的长度，若不存在，请说明理由．19.(本小题17分)记△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2=ac，点D在边AC上，BD(1)证明：BD=b;(2)若AD=2DC，求cos∠ABC．

参考答案1.B

2.C

3.C

4.A

5.A

6.A

7.B

8.C

9.ACD

10.ABD

11.ABD

12.(−313.−3

14.[3515.解：(1)证明：由OA=4a−2b,OB=6a+2b,OC=2a−6b，

得AB=OB−OA=6a+2b−(4a−2b)=2a+4b，

BC=16.解：(1)因为a=(−1,0),b=(m,1)，且a与b的夹角为π4，

所以cos<a,b>=cosπ4=−m1×m2+1=22,−2m=m2+1，解得m=−1，

则a=(−1,0),b=(−1,1),a+2b=(−1,0)+(−2,2)=(−3,2)，17.解：(1)由题意得：m//n，所以asinB+3bcosA=0，

由正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R得：sinAsinB+3sinBcosA=0，

又因为sinB≠0，则有tanA=−3，

又0<A<π，所以A=2π3．

(2)由余弦定理得：a2=18.解：(1)如图所示，建立以点A为原点的平面直角坐标系．

则D(0,6)，E(3,0)，A(0,0)，F(6,2)，∴DE=(3,−6),AF=(6,2)．

由于∠EMF就是DE,AF的夹角．

∴cos∠EMF=18−129+36⋅36+4=210．

∴∠EMF的余弦值为210．

(2)设M(x,y)，∴DM=(x,y−6)，

∵DM//DE，∴3(y−6)+6x=0，

∴2x+y−6=0．

∵AM=(x,y),AF=(6,2),AM//AF，∴2x−6y=0，∴x=3y，∴7y=6，∴y=67．

∴x=187，∴M(187,67)．

由题得EF=(3,2)．

①当点P在AB上时，设P(x,0)(0≤x≤6)，∴MP=(x−187,−67)，

∴3x−547−127=0，∴x=227，∴P(227,0)，19.解：(1)证明：由正弦定理知，bsin∠ABC=csin∠ACB=2R，

∴b=2Rsin∠ABC，c=2Rsin∠ACB，

∵b2=ac，

∴b⋅2Rsin∠ABC=a⋅2Rsin∠ACB，

即bsin∠ABC=asinC，

∵B