高中数学分层练习（中档题）05：函数与导数（30题）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page66页，共=sectionpages66页函数与导数一、单选题1．已知函数在处取得极值0，则（

）A．6 B．12 C．24 D．12或242．定义在上的函数满足，若在区间上单调递增，，，，则（

）A． B． C． D．3．已知是定义在R上的奇函数，是函数的导函数且在上，若，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．4．已知函数满足对任意恒成立，又函数的图象关于点对称，且，则（

）A．2024 B． C．2025 D．5．函数的图象大致是（

）A． B． C． D．6．函数，若，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．7．已知曲线与曲线只有一个公共点，则（

）A． B．1 C．e D．8．已知函数，，若有一个零点，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．9．碳14具有放射性.活体生物组织内的碳14含量大致不变，当生物死亡后，其组织内的碳14开始衰减.已知碳14的半衰期约为5730年，即生物死亡年后，碳14含量，其中为活体生物组织内碳14的含量.科学家一般利用碳14这一特性测定生物死亡年代.2025年科学家在我国发现的某生物遗体中碳14的含量约为原始含量的0.92，已知，则根据所给的数据可推断该生物死亡的朝代为（

）A．宋（公元年） B．元（公元年）C．明（公元年） D．清（公元年）10．是平面直角坐标系内一点，我们以轴正半轴为始边，射线为终边构成角，的长度作为的函数，若其解析式为：，则的轨迹可能为：（

）.A． B．C． D．二、多选题11．设函数则下列说法正确的有（

）A．函数仅有1个零点B．是的极小值点C．函数的对称中心为D．过可以作三条直线与的图象相切12．已知函数，为的导函数，则（

）A．曲线在处的切线方程为B．在区间上单调递增C．在区间上有极小值D．在区间上有两个零点13．设函数，则（

）A．是的极大值点B．C．的解集为D．当时，14．湖南矮寨特大悬索桥，创造了4个世界第一，堪称世界建桥史上的经典之作.它的两个主塔之间的悬索可近似看作一条“悬链线”，通过适当建立坐标系，悬链线可以为双曲余弦函数的图象，相应的双曲正弦函数为.则下列说法正确的是（

）A．B．是偶函数C．函数的值域为，D．当直线与和共有3个交点时，15．若m，n分别是函数，的零点，且，则称与互为“零点相邻函数”.已知与互为“零点相邻函数”，则a的取值可能是（

）A． B． C． D．16．已知，，则下列说法正确的是（

）A．曲线与有公共点B．曲线关于直线对称的曲线是C．曲线关于直线对称的曲线是D．直线与曲线、的交点分别是A、B，则的最小值为17．已知是定义在上的奇函数，且满足，若当时，，则下列选项正确的是（

）A．图象关于点中心对称B．8为的周期C．D．方程在上共有1526个不同的实数解18．下列说法中正确的有（

）A．已知在上是增函数，若，则B．“”是“”的必要条件C．若命题“”是真命题，则的取值范围为D．函数的减区间是19．已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则（

）A．B．的图象关于点对称C．D．20．已知函数的图象关于直线对称，且对都有，当时，.则下列结论正确的是（

）A．B．在区间上单调递减C．的图像关于点对称D．函数有2个零点三、填空题21．已知函数，若，则的取值范围是.22．已知函数在定义域上单调递增，则的取值范围为．23．已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，则．24．已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为．25．定义在上的函数的导函数为，当时，且，则不等式的解集为．26．已知函数，函数，其中，若函数恰有3个零点，则m的取值范围是．27．已知定义在上的函数，则关于的不等式的解集为．28．若过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围是．29．已知函数，若函数与的图象有且仅有三个交点，则实数的取值范围是.30．已知函数是定义在R上的函数，，且曲线在点处的切线斜率为，则.关注公众号《品数学》，获取更多实用性资料！答案第=page2525页，共=sectionpages1919页《函数与导数》参考答案题号12345678910答案CDBDCBBCBB题号11121314151617181920答案ACDBCABDACABCBCDACACACDABD1．C【分析】根据在处取得极值0可得，解出即可.【解析】由题意知，，又在处取得极值0，则，解得或，当时，，函数在R上单调递增，无极值，不符合题意；当时，，令或，，所以在、上单调递增，在上单调递减，故在处取得极小值，符合题意，所以，，则.故选：C.2．D【分析】依题意可得，再根据对数函数的性质得到，结合函数的单调性判断即可.【解析】因为在上的函数满足，所以.因为，又，，所以.因为在上单调递增，所以，即，即.故选：D.3．B【分析】构造函数，根据条件判断的单调性，奇偶性进而解不等式即可.【解析】设，则，又上，，则，即函数在上单调递减，又是定义在R上的奇函数，则函数为R上的奇函数，故在R上单调递减，又，即，可得，解得．故选：B.4．D【分析】由，令，可得，的图象关于直线对称，又由的图象关于点对称可得8是函数的一个周期，据此可得答案.【解析】因为对任意，都有，令，得，解得，则，即，所以函数的图象关于直线对称．又函数的图象关于点对称，则函数的图象关于点对称，即函数为奇函数，所以，所以，所以8是函数的一个周期，所以．故选：D5．C【分析】应用奇偶性定义判断的奇偶性，结合对应函数值符号及排除法，即可得答案.【解析】由题意，函数定义域为R，且，所以为偶函数，排除A、B；当，则恒成立，排除D.故选：C6．B【分析】先应用奇函数定义及单调性判断，再转化恒成立问题为最值问题，最后应用基本不等式求最小值，计算一元二次不等式即可.【解析】因为函数，为减函数；又因为所以为奇函数，若，不等式恒成立，则不等式，因为为奇函数，所以，因为为减函数，所以恒成立，所以恒成立，所以，，当且仅当时取最小值3，所以，所以，所以实数m的取值范围是.故选：B.7．B【分析】方法一：把两曲线与有一个公共点，转化为方程只有一个实数解，通过分离常数求出值；方法二：把两曲线与有一个公共点，转化成两曲线只有一个公切点，再利用几何意义求解；方法三：利用原函数和反函数图像关于对称，且两函数图像都与相切于点，巧妙求出值.【解析】方法一：由已知曲线与曲线只有一个公共点，方程只有一个实数解，而，则只考虑，即，令，则，而在单调递增，且，所以时，单调递减，时，单调递增，而时，；时，，所以．方法二：由已知曲线与曲线只有一个公共点，则曲线与曲线只有一个公切点，设其坐标为，根据函数的图像与函数的图像之间的关系，所以有，即，所以，设，则在单调递减，而，所以，所以．方法三：由于函数的反函数为，两函数关于对称，由于，令，则，即函数与函数相切于点，同理，，令，即函数．与函数也相切于点，于是函数与函数相切于点，由选项可知，．故选：B.8．C【分析】根据给定条件，利用零点的意义将问题转化为函数的图象与直线交点，再利用数形结合求出范围.【解析】由，得，因此有一个零点，当且仅当函数的图象与直线有且仅有一个公共点，函数在上单调递增，函数值集合为，在上单调递增，函数值集合为R，在同一坐标系内作出函数的图象与直线的图象，观察图象知，当时，函数的图象与直线有两个交点，当时，函数的图象与直线有1个交点，所以m的取值范围是.故选：C9．B【分析】根据碳14含量的计算公式列出方程，然后结合已知条件求解出生物死亡的时间，进而判断该生物死亡的朝代.【解析】已知碳14含量公式，某生物遗体中碳14的含量约为原始含量的0，92，即，代入公式可得，因为，两边同时除以，得到，对两边取以为底的对数，可得，则，因为，，即，所以，将代入，可得（年），已知是在2025年发现该生物遗体，那么该生物死亡的时间约为（年），因为，所以该生物死亡的朝代为元（公元年）.故选：B10．B【分析】证明得到是以为周期的函数，排除C、D.再研究的函数性质，借助导数即可.【解析】，，可以得到是以为周期的函数，所以的轨迹在四个象限内应相似，故排除C、D.由于A、B项均关于对称，所以仅研究，此时，令

，，令，则，解得(负数根舍去)，则

在单调递减，单调递增，即在单调递增，在有且仅有一个极值点，所以不会一直增大，B正确.

（注：本题在A、B当中选择亦可使用特殊值法，，选B）故选：B11．ACD【分析】先求导函数，根据导函数正负得出函数的单调性得出极值进而得出零点判断A，B；应用对称性定义计算判断C，先设切点再得出切线方程代入计算求参即可得出三个根判断D.【解析】对AB，，，当或时，，当时，，所以函数在，上单调递增，在上单调递减，所以，，又，所以函数仅有1个零点，且该零点在区间上，故A正确，B错误；对C，由，得，所以函数的图象关于对称，故C正确；对D，设切点为，则，故切线方程为，又过点，所以，整理得，即，解得或或，所以过可以作三条直线与的图象相切，故D正确．故选：ACD．12．BC【分析】求出函数，再利用导数的几何意义求解判断A；结合单调性、极小值意义判断BC；求出零点个数判断D.【解析】依题意，，对于A，，，所求切线方程为，A错误；对于B，当时，，在区间上单调递增，B正确；对于C，在上都单调递增，则函数在上单调递增，，，则存在唯一，使得，当时，；当时，，因此在处取得极小值，C正确；对于D，由选项C知，在上有唯一零点，又，当时，，即，，因此在区间上有1零点，D错误.故选：BC13．ABD【分析】先由导数求出函数的单调区间，再结合函数的单调性逐一判断即可．【解析】对于选项A：因为的定义域为，且，当时，，当或时，，可知在，上单调递增，在上单调递减，所以是函数的极大值点，故A正确对于选项B：因为，故B正确；对于选项C：对于不等式，因为，即为不等式的解，但，所以不等式的解集不为，故C错误对于选项D：因为，则，且，可得，因为函数在上单调递增，所以，故D正确；故选：ABD14．AC【分析】利用指数运算即可判断A选项；利用函数的奇偶性即可判断B选项；利用指数函数的值域即可判断C选项；利用导数求出双曲余弦函数的单调区间，结合函数的单调性即可判断D选项.【解析】A选项，，故A正确；B选项，由于双曲余弦函数为偶函数，双曲正弦函数为奇函数，则为奇函数，故B错误；C选项，由，又，所以，则，故C正确；D选项，，令得，当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以在处取得最小值1.在上单调递增，且当，；当，.所以，当直线与和共有3个交点时，，故D错误.故选：AC15．ABC【分析】求出函数的零点为，根据题中定义可得出函数的零点为，令，可知，直线与函数在上的图象有公共点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数a的取值范围.【解析】易证是上的增函数，且，则.因为与互为“零点相邻函数”，所以，即，解得.因为，所以，所以在上有解，即在上有解.设，则.由，得，由，得，则在上单调递减，在上单调递增.因为当时，，且，如下图，所以，即，解得.故选：ABC16．BCD【分析】对于A，设，利用导数判断的零点是否存在；对于B，求函数的反函数即可判断；对于C，设曲线关于直线对称的曲线是，设是曲线上任意一点，则关于直线的对称点在曲线上，代入可求解析式；利用A选项的结论可得D选项的结果.【解析】已知，，对于A，设，函数定义域为，，解得，解得，则在上单调递减，在上单调递增，的最小值为，恒成立，无解，所以曲线与没有公共点，A选项错误；对于B，函数的反函数为，所以关于直线对称的曲线是，B选项正确；对于C，设曲线关于直线对称的曲线是，设是曲线上任意一点，则关于直线的对称点为，代入中，得，即，所以曲线关于直线对称的曲线是，C选项正确；对于D，由A选项可知，当时，的最小值为，D选项正确.故选：BCD.17．AC【分析】利用奇函数和中心对称性可得A正确；由可得B错误；由可得C正确；设，由周期性可得D错误.【解析】对于A，因为，所以，又是定义在上的奇函数，所以，即，所以图象关于点中心对称，故A正确；对于B，，所以，所以，又是定义在上的奇函数，所以，所以，所以，所以8不为的周期，故B错误；对于C，因为，所以，又当时，，所以，所以，故C正确；对于D，因为，设，则所以4为的周期，又是定义在上的奇函数，所以，所以方程等价于在上共有507个不同的实数解.故选：AC.18．AC【解析】结合全称命题真假求参数、充分必要条件，函数单调性问题等逐项判断即可.【分析】对于A，由，得，由在R上是增函数，得，因此，A正确；对于B，不能推出，例如，但；也不能推出，例如，而；因此“”是“”的既不充分也不必要条件，B错误；对于C，，因此，即的取值范围为，C正确；对于D，解不等式，得，函数的定义域为，开口向下，对称轴为，则函数的减区间是，D错误.故选：AC19．ACD【分析】根据函数的奇偶性结合“赋值法”可求，判断A的真假，根据奇函数的性质，可判断B的真假；根据函数满足的条件，递推可判断C的真假，再结合奇函数的性质，可判断D的真假.【解析】对A：因为为奇函数，所以，令，则，A正确．对B：由，得，则，即的图象关于点对称，B错误．对C：当时，，则，，，故C正确；对D：根据C选项，递推可得：，因为，所以，则，得，故D正确．故选：ACD20．ABD【分析】A选项，根据对称性得到，再结合得到，即可得到的周期，然后利用周期求函数值即可；B选项，利用对称性求解析式，然后判断单调性；C选项，根据得到对称中心；D选项，将函数的零点个数转化为与图象的交点个数，然后结合图象求零点个数.【解析】因为的图象关于对称，所以，又，所以，则，所以，所以，所以的周期为8，所以，故A正确；当时，，所以，所以，当时，，所以，所以，所以在上单调递减，故B正确；由得的图象关于点对称，故C错；函数的零点个数可以转化为与图象的交点个数，由题意得与的图象如下：由此可得与的图象有2个交点，所以有2个零点，故D正确.故选：ABD.21．【分析】画出草图，借助对数性质，得到范围.【解析】根据题意画出图象，得到，，则，即，则，则，则.故答案为：.22．【分析】由单调递增得出所满足的不等式组，求解即可.【解析】分段函数要是单调递增函数，必须每一段都是单调递增函数，且左边一段的最大值小于等于右边一段的最小值.所以，解得.所以的取值范围为.故答案为：.23．【分析】根据奇偶性得到，进而推导出是周期为4的函数，利用周期性求函数值即可.【解析】由为偶函数，，即，由为奇函数，，即，所以，即，即，所以，即是周期为4的函数，所以，又，所以.故答案为：24．或【分析】由题意构造，进而在上是增函数，根据奇偶函数的定义判断的奇偶性，原不等式等价于，结合函数的奇偶性和单调性解不等式即可.【解析】令，则，由当时，，所以，即在上是增函数，由题意是定义在上的偶函数，所以，所以，所以是偶函数，在递减，所以，，即不等式等价为，所以，解得或．故答案为：或25．【分析】构造，求导得出函数的单调性，利用单调性解不等式即可．【解析】解：令则，，当时，，所以当时，，，故在上为减函数，令，则，所以，故不等式的解集为故答案为：26．【分析】要使函数恰有3个零点，即与的图象有3个