专题1　几何探究开放型问题

数学

贵州专版2025第二部分

贵州中考专题突破专题一几何探究开放型问题栏目导航分类探究型问题类型一类比探究型问题类型二对于图形不明确的问题，我们要分情况讨论图形会出现哪些可能的情况：当面对点的位置时，我们需要确定点在线段上还是在线段的延长线上；当面对直角三角形时，我们需要确定哪个角是直角，并据此展开不同情况的讨论；分类探究型问题(8年1考：2024·25)类型一核心技法对于等腰三角形，我们需要辨别给定的边是腰还是底边，并相应地分析角是顶角还是底角，以此为基础进行分类讨论；如果题目中涉及两个相似三角形，我们需要细致地探讨它们各边之间的对应关系，以进行分类讨论；在圆的讨论中，对于非直径的弦，我们常根据其对应的优弧和劣弧来分情况进行探讨；另外，在求圆中两条平行弦的距离时，我们还需要考虑这两条弦是在圆心的同侧还是两侧，以便进行分类讨论.例1(2024烟台)在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为直线BC上任意一点，连接AD.将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°得线段ED，连接BE.典例精析典例精析【尝试发现】(1)如图1，当点D在线段BC上时，线段BE与CD的数量关系为______________；过点E作EM⊥CB延长线于点M，利用一线三垂直全等模型证明△ACD≌△DME，再证明BM＝EM即可；

【类比探究】(2)当点D在线段BC的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段BE与D的数量关系并证明；

同(1)中方法证明△ACD≌△DME，再证明BM＝EM即可；【联系拓广】(3)若AC＝BC＝1，CD＝2，请直接写出sin∠ECD的值.

分两种情况：当点D在线段CB延长线上时，当点D在线段BC延长线上时.分别画出图形，求出sin∠ECD.

针对训练A2.如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，AO＝BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，求AP的长.

类比法是将两个相似对象对比，发现它们的共同属性，从而推断出一个对象可能具有的另一属性.在初中数学中，运用类比法可助于理解新概念或解决新问题，先对相关问题提出可能的结论或解决策略的猜想，随后努力证明或反驳这些猜想，从而达到解决数学问题的目的.类比探究型问题(8年1考：2017·24)类型二核心技法例2(1)如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为G.求证：△ADE∽△DCF；典例精析典例精析证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADE＝∠C＝90°.∴∠CDF＋∠DFC＝90°.∵AE⊥DF，∴∠DGE＝90°.∴∠CDF＋∠AED＝90°.∴∠AED＝∠DFC.∴△ADE∽△DCF.∠ADE＝∠DCF＝90°，进而得到∠CDF＋∠DFC＝90°，再结合题意即可得到∠AED＝∠DFC，进而根据相似三角形的判定即可求解；【问题解决】(2)如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC到点H，使CH＝DE，连接DH.求证：∠ADF＝∠H；证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，AD∥BC，∠ADE＝∠DCF＝90°.∵AE＝DF，∴Rt△ADE≌Rt△DCF(HL).∴DE＝CF.又∵CH＝DE，∴CF＝CH.∵点H在BC的延长线上，∴∠DCH＝∠DCF＝90°.∵DC＝DC，∴△DCF≌△DCH(SAS).∴∠H＝∠DFC.∵AD∥BC，∴∠ADF＝∠DFC＝∠H.可先根据正方形的性质得到AD＝DC，AD∥BC，∠ADE＝∠DCF＝90°，再根据三角形全等的判定证明Rt△ADE≌Rt△DCF(HL)即可得到DE＝CF，进而得到CF＝CH，再结合题意证△DCF≌△DCH(SAS)即可得到∠H＝∠DFC，进而运用平行线的性质即可求解；【类比迁移】(3)如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长.解：如图，延长BC到点G，使CG＝DE＝8，连接DG，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝DC，AD∥BC.∴∠ADE＝∠DCG.∴△ADE≌△DCG(SAS).∴∠DGC＝∠AED＝60°，DG＝AE.∵AE＝DF，∴DG＝DF.∴△DFG是等边三角形.∴FG＝FC＋CG＝DF＝11.∴FC＝11－CG＝11－8＝3.延长BC到点G，使CG＝DE＝8，连接DG，类比第2问中的思路，证明△ADE≌△DCG(SAS)，进而得到