《高考备考指南 理科数学》课件-第8章 第5讲

第八章第5讲[A级基础达标]1．在空间直角坐标系中，A(1,1，－2)，B(1,2，－3)，C(－1,3,0)，D(x，y，z)(x，y，z∈R)，若四点A，B，C，D共面，则()A．2x＋y＋z＝1 B．x＋y＋z＝0C．x－y＋z＝－4 D．x＋y－z＝0【答案】A【解析】∵A(1,1，－2)，B(1,2，－3)，C(－1,3,0)，D(x，y，z)(x，y，z∈R)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝(0,1，－1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2,2,2)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(x－1，y－1，z＋2)．∵四点A，B，C，D共面，∴存在实数λ，μ使得，eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，∴(x－1，y－1，z＋2)＝λ(0,1，－1)＋μ(－2,2,2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＝－2μ，,y－1＝λ＋2μ，,z＋2＝－λ＋2μ，))解得2x＋y＋z＝1，故选A．2．已知a＝(2,1，－3)，b＝(－1,2,3)，c＝(7,6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ＝()A．9 B．－9C．－3 D．3【答案】B【解析】由题意知c＝xa＋yb，即(7,6，λ)＝x(2,1，－3)＋y(－1,2,3)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＝7，,x＋2y＝6，,－3x＋3y＝λ，))解得λ＝－9.3．若向量c垂直于不共线的向量a和b，d＝λa＋μb(λ，μ∈R，且λμ≠0)，则()A．c∥d B．c⊥dC．c不平行于d，c也不垂直于dD．以上三种情况均有可能【答案】B【解析】由题意得，c垂直于由a，b确定的平面．∵d＝λa＋μb，∴d与a，b共面．∴c⊥d.4．(2017年云南模拟)已知a＝(－3,2,5)，b＝(1，x－1)，且a·b＝2，则x的值为()A．3 B．4C．5 D．6【答案】C【解析】∵a＝(－3,2,5)，b＝(1，x，－1)，∴a·b＝－3＋2x－5＝2，解得x＝5故选C．5．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，下列命题①(eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(A1B1,\s\up6(→)))2＝3eq\o(A1B1,\s\up6(→))2；②eq\o(A1C,\s\up6(→))·(eq\o(A1B1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→)))＝0；③向量eq\o(AD1,\s\up6(→))与eq\o(A1B,\s\up6(→))向量的夹角为60°；④正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为|eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))|.其中正确命题序号是()A．①② B．①②③C．①④ D．①②④【答案】A【解析】建立空间直角坐标系，如图．eq\o(A1A,\s\up6(→))＝(0,0,1)，eq\o(A1D,\s\up6(→))＝(1,0,0)，eq\o(A1B1,\s\up6(→))＝(0,1,0)，eq\o(A1C,\s\up6(→))＝(1,1,1)，eq\o(AD1,\s\up6(→))＝(1,0，－1)，所以对于①(eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(A1B1,\s\up6(→)))2＝(1,1,1)2＝3＝3eq\o(A1B1,\s\up6(→))2，故①正确；对于②eq\o(A1C,\s\up6(→))·(eq\o(A1B1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→)))＝(1,1,1)·(0,1，－1)＝0；故②正确；对于③，因为eq\o(AD1,\s\up6(→))·eq\o(A1B,\s\up6(→))＝(1,0，－1)·(0,1,1)＝－1，向量eq\o(AD1,\s\up6(→))与向量eq\o(A1B,\s\up6(→))的夹角为120°；故③错误；④正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AA1,\s\up6(→))||eq\o(AD,\s\up6(→))|，但是|eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))|＝0，故④错误．故选A．6．已知点A(1，－2,0)和向量a＝(－3,4,12)，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a，则点B的坐标为________．【答案】(－5,6,24)【解析】∵向量a＝(－3,4,12)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－6,8,24)．∵点A(1，－2,0)，∴B(－6＋1,8－2,24－0)＝(－5,6,24)．7．如图所示，三棱锥A－BCD中，所有棱长都为2，点E、F分别是AB，AD的中点，则eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝________.【答案】1【解析】∵三棱锥A－BCD中，所有棱长都为2，点E，F分别是AB，AD中点，∴EF∥BD且EF＝eq\f(1,2)BD＝1，∠DBC＝60°，∴eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝|eq\o(EF,\s\up6(→))|·|eq\o(BC,\s\up6(→))|·cos〈eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＝1×2×cos60°＝1.[B级能力提升]8．(2016年马山县测试)已知点A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C为线段AB上一点，且3|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|，则点C的坐标是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，－\f(1,2)，\f(5,2))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,8)，－3，2))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,3)，－1，\f(7,3))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，－\f(7,2)，\f(3,2)))【答案】C【解析】∵C为线段AB上一点，且3|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→)).∴eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝(4,1,3)＋eq\f(1,3)(－2，－6，－2)，＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,3)，－1，\f(7,3))).故选C．9．已知eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1,2,3)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(2,1,2)，eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当eq\o(QA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))取得最小值时，点Q的坐标为()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,4)，\f(1,3))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2)，\f(3,4)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(4,3)，\f(8,3))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(4,3)，\f(7,3)))【解析】C【解析】设Q(x，y，z)，由点Q在直线OP上可得存在实数λ，使得eq\o(OQ,\s\up6(→))＝λeq\o(OP,\s\up6(→))，则有Q(λ，λ，2λ)，eq\o(QA,\s\up6(→))＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，eq\o(QB,\s\up6(→))＝(2－λ，1－λ，2－2λ)．当eq\o(QA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝2(3λ2－8λ＋5)，根据二次函数的性质可得当λ＝eq\f(4,3)时，取得最小值－eq\f(2,3)，此时Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(4,3)，\f(8,3)))，故选C．10．已知A，B，C三点不共线，若点M与A，B，C四点共面，对平面ABC外一点O，给出下列表达式：eq\o(OM,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))，其中x，y是实数，则x＋y＝________.【答案】eq\f(2,3)【解析】A、B、C三点不共线，点M与A、B、C四点共面，则对平面ABC外一点O，满足eq\o(OM,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))，所以x＋y＋eq\f(1,3)＝1.所以x＋y＝eq\f(2,3).11．(2016年济南二模)如图，四棱锥O－ABCD中，AC垂直平分BD，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝2，|eq\o(OD,\s\up6(→))|＝1，则(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))·(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→)))的值是________．【答案】3【解析】如图所示，四棱锥O－ABCD中，设AC、BD交于点E，由题意AC⊥BD，DE＝BE，∴eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝2eq\o(OE,\s\up6(→))，eq\o(EA,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(EC,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))＝0.又|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝2，|eq\o(OD,\s\up6(→))|＝1，∴(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))·(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→)))＝(eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→)))·(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→)))＝(2eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→)))·(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→)))