2024-2025学年高中数学第一章数列4数列在日常经济生活中的应用巩固提升训练含解析北师大版必修5

PAGEPAGE14数列在日常经济生活中的应用[A基础达标]1．某工厂总产值月平均增长率为p，则年平均增长率为()A．p B．12pC．(1＋p)12 D．(1＋p)12－1解析：选D.设原有总产值为a，年平均增长率为r，则a(1＋p)12＝a(1＋r)，解得r＝(1＋p)12－1，故选D.2．某种产品安排每年降低成本q%，若三年后的成本是a元，则现在的成本是()A．a3q% B．a·(q%)3C．a(1－q%)3 D．eq\f(a,（1－q%）3)解析：选D.设现在的成本为x元，则x(1－q%)3＝a，所以x＝eq\f(a,（1－q%）3)，故选D.3．某工厂2012年年底制订生产安排，要使工厂的总产值到2024年年底在原有基础上翻两番，则总产值年平均增长率为()A．2eq\s\up6(\f(1,4))－1 B．2eq\s\up6(\f(1,5))－1C．3eq\s\up6(\f(1,4))－1 D．3eq\s\up6(\f(1,5))－1解析：选A.设2012年年底总产值为a，年平均增长率为x，则a(1＋x)8＝4a，得x＝2eq\s\up6(\f(1,4))－1，故选A.4．某企业2015年12月份产值是这年1月份产值的p倍，则该企业2015年度的产值月平均增长率为()A.eq\r(12,p) B．eq\r(12,p)－1C.eq\r(11,p)－1 D．eq\r(11,p)解析：选C.设2015年1月份产值为a，则12月份的产值为pa，假设月平均增长率为r，则a(1＋r)11＝pa，所以r＝eq\r(11,p)－1.故选C.5．某人为了观看2014世界杯，从2007年起，每年5月10日到银行存入a元定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2014年将全部的存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数(元)为()A．a(1＋p)7B．a(1＋p)8C.eq\f(a,p)[(1＋p)7－(1＋p)]D.eq\f(a,p)[(1＋p)8－(1＋p)]解析：选D.2007年存入的a元到2014年所得的本息和为a(1＋p)7，2008年存入的a元到2014年所得的本息和为a(1＋p)6，依次类推，则2013年存入的a元到2014年的本息和为a(1＋p)，每年所得的本息和构成一个以a(1＋p)为首项，1＋p为公比的等比数列，则到2014年取回的总额为a(1＋p)＋a(1＋p)2＋…＋a(1＋p)7＝eq\f(a（1＋p）[1－（1＋p）7],1－（1＋p）)＝eq\f(a,p)[(1＋p)8－(1＋p)]．6．小王每月除去全部日常开支，大约结余a元．小王确定采纳零存整取的方式把余钱积蓄起来，每月初存入银行a元，存期1年(存12次)，到期取出本金和利息．假设一年期零存整取的月利率为r，每期存款按单利计息．那么，小王存款到期利息为________元．解析：由题意知，小王存款到期利息为12ar＋11ar＋10ar＋…＋2ar＋ar＝eq\f(12（12＋1）,2)ar＝78ar.答案：78ar7．某人买了一辆价值10万元的新车，专家预料这种车每年按10%的速度折旧，n年后这辆车的价值为an元，则an＝________，若他准备用满4年时卖掉这辆车，他大约能得到________元．解析：n年后这辆车的价值构成等比数列{an}，其中，a1＝100000×(1－10%)，q＝1－10%，所以an＝100000×(1－10%)n，所以a4＝100000×(1－10%)4＝65610(元)．答案：100000×(1－10%)n656108．有这样一首诗：“有个学生资性好，一部《孟子》三日了，每日添增一倍多，问君每日读多少？”(注：《孟子》全书约34685字，“一倍多”指一倍)，由此诗知该君其次日读了________字．解析：设第一日读的字数为a，由“每日添增一倍多”得此数列是以a为首项，公比为2的等比数列，可求得三日共读的字数为eq\f(a（1－23）,1－2)＝7a＝34685，解得a＝4955，则2a＝9910，即该君其次日读的字数为9910.答案：99109．某银行设立了教化助学贷款，其中规定一年期以上贷款月均等额还本付息(利息按月以复利计算)．假如贷款10000元，两年还清，月利率为0.4575%，那么每月应还多少钱呢？解：贷款10000元两年到期时本金与利息之和为：10000×(1＋0.4575%)24＝10000×1.00457524(元)．设每月还x元，则到期时总共还x＋1.004575x＋…＋1.00457523x＝x·eq\f(1－1.00457524,1－1.004575).于是x·eq\f(1－1.00457524,1－1.004575)＝10000×1.00457524.所以x≈440.91(元)．即每月应还440.91元．10．甲、乙两超市同时开业，第一年的全年销售额为a万元，由于经营方式不同，甲超市前n年的总销售额为eq\f(a,2)(n2－n＋2)万元，乙超市第n年的销售额比前一年销售额多aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(n－1)万元．(1)求甲、乙两超市第n年销售额的表达式；(2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，推断哪一超市有可能被收购？假如有这种状况，将会出现在第几年？解：(1)设甲、乙两超市第n年的销售额分别为an，bn.则有a1＝a，当n≥2时，an＝eq\f(a,2)(n2－n＋2)－eq\f(a,2)[(n－1)2－(n－1)＋2]＝(n－1)a，所以an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，n＝1，,（n－1）a，n≥2.))bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3－2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))\s\up12(n－1)))a(n∈N＋)．(2)易知bn＜3a，所以乙超市将被甲超市收购，由bn＜eq\f(1,2)an，得eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3－2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))\s\up12(n－1)))a＜eq\f(1,2)(n－1)a.所以n＋4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(n－1)＞7，所以n≥7，即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购．[B实力提升]11．某商场今年销售计算机5000台，假如平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约多少年可以使总销售量达到30000台？(结果保留到个位)(参考数据：lg1.1≈0.041，lg1.6≈0.204)()A．3年 B．4年C．5年 D．6年解析：选C.设大约n年可使总销售量达到30000台，由题意知：每年销售量构成一个等比数列，首项为a1＝5000台，公比q＝1.1，Sn＝30000，所以由30000＝eq\f(5000（1－1.1n）,1－1.1)⇒1.1n＝1.6⇒n＝eq\f(lg1.6,lg1.1)≈5，故选C.12．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即依据商品的最低销售限价a，最高销售价b(b>a)以及实数x(0<x<1)确定实际销售价格c＝a＋x(b－a)．这里，x被称为乐观系数．阅历表明，最佳乐观系数x恰好使得(c－a)是(b－c)和(b－a)的等比中项．据此可得，最佳乐观系数x的值等于________．解析：由已知(c－a)是(b－c)和(b－a)的等比中项，即(c－a)2＝(b－c)(b－a)，把c＝a＋x(b－a)代入上式，得x2(b－a)2＝[b－a－x(b－a)](b－a)，即x2(b－a)2＝(1－x)(b－a)2，因为b>a，b－a≠0，所以x2＝1－x，即x2＋x－1＝0，解得x＝eq\f(－1±\r(5),2)，因为0<x<1，所以最佳乐观系数x的值等于eq\f(－1＋\r(5),2).答案：eq\f(－1＋\r(5),2)13．某商人到一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元，设f(n)表示前n年的纯收入．求从第几年起先获得纯利润？(f(n)＝前n年的总收入－前n年的总支出－投资额)解：由题意，知每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列．设纯利润与年数的关系为f(n)，则f(n)＝50n－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12n＋\f(n（n－1）,2)×4))－72＝－2n2＋40n－72.获得纯利润就是要求f(n)>0，故有－2n2＋40n－72>0，解得2<n<18.又n∈N＋，知从第三年起先获利．14．(选做题)某林场为了爱护生态环境，制定了植树造林的两个五年安排，第一年植树16a亩，以后每年植树面积都比上一年增加50%，但从第六年起先，每年植树面积都比上一年削减a亩．(1)求该林场第六年植树的面积；(2)设前n(1≤n≤10且n∈N＋)年林场植树的总面积为Sn亩，求Sn的表达式．解：(1)该林场前五年的植树面积分别为16a，24a，36a，54a，81a.所以该林场第六年植树面积为80a亩．(2)设第n年林场植树的面积为an亩，则an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(n－1)×16a，1≤n≤5，n∈N＋，,（86－n）a，6≤n≤10，n∈N＋.))所以当1≤n≤5时，Sn＝16a＋24a＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(n－1)×16a＝eq\f(16a\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(n))),1－\f(3,2))＝32aeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(n)－1)).当6≤n≤10时，Sn＝16a＋24a＋36a＋54a＋81a＋80a＋…＋(86－n)a＝211a＋80a＋…＋(86－n)