基于GeoGebra软件的高中数学可视化教学实践研究

摘"要：GeoGebra软件在数学教学中应用十分广泛，其功能丰富，包括代数运算、数据处理、几何作图等。在多元表征视角下应用GeoGebra软件进行教学，可以帮助学生在图形表征中形象直观理解数学，在操作表征中活动体验促进内化，在情境表征中动态演示发现规律，在符号表征中流程再造认识本质。将GeoGebra软件引入高中数学课堂教学，做到课程、教材、教学统一，融入数学概念、方法、思想，有效提升学生的数学学科核心素养。关键词：高中数学；GeoGebra；多元表征；可视化教学；核心素养0"引言新课改以来，数学教学将“掌握数学本质，开发思维，改进教学”作为一个重要理念，从数学问题的本质出发，通过适当的教学设计促进学生对知识的理解掌握。然而在目前的数学教学中，学生学习大多只是停留在表面，而不是进行深层次的本质研究和真正的动手操作。《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》强调，重视信息技术运用，实现信息技术与数学课程的深度融合[1]。随着互联网覆盖范围的扩大，信息技术在教育领域的应用愈发深入，传统的教学模式逐渐被颠覆，信息技术不仅提供了大量的教学资源，也为师生、生生之间的沟通与交流创造了良好的条件。1"GeoGebra软件的功能GeoGebra软件是数学教学中广泛应用的工具之一，其功能十分丰富，包括代数运算、数据处理、几何作图等，可以将原本抽象的数学知识直观、准确地呈现出来，加深学生对数学知识的理解，促进学生数学思维的形成。该软件的代数与几何功能尤为突出。就代数功能而言，左侧为代数区，主要负责显示各个图元的信息，包括坐标、方程等；右侧为作图区，一旦图形发生改变，左侧代数区中的信息也会随之发生相应的变化[2]。就几何功能而言，在绘图区可以根据实际需求绘制函数曲线、圆锥曲线、立体几何图形等[2]。2"GeoGebra软件的优势2.1"动态演绎与静态作图相结合数学中的动态立体几何问题渗透着运动变化的观点，对学生有着很高的空间想象要求。GeoGebra软件通过直观、准确、合适的表征形式将原本抽象、笼统的问题呈现出来，将动态演绎与静态作图相结合，有利于学生直观地认识和理解图形形象。2.2"适度性和整体性相结合解析几何的核心思想是数形结合，如果能将数和形这两个维度的属性同时显示出来，可以提升学生的抽象思维能力。GeoGebra软件做到了图形与代数方程的同步变化，在适度性和整体性原则下创设发现数学本质的情境。2.3"实验归纳和演绎推理相结合数列递推和函数迭代是数学中的两个重要方法，借助GeoGebra软件进行实验归纳和演绎推理，从函数迭代的角度思考数列敛散性的本源，从而生成求解数列问题的新思路，帮助学生理解数学知识、发现方法，从而推动学生思维发展。3"GeoGebra软件应用于高中数学教学的必要性思维在数学学习中至关重要，如果学生仅仅满足于记住某个结论而没有进一步地理解和思考，则无法获得数学学习的积极体验。特别是数学固有的抽象性和严格的数量关系、几何关系、运动与变化中的数学规律等，这是普适性的技术所无法表现的，借助能深入学科内部、充分体现数学特点的专业软件，学生对数学的认识和理解会更上一层楼。技术与数学学科需要从整合走向融合，实现使用技术学习和研究数学。应用GeoGebra软件可以呈现数学概念的背景，帮助学生抽象与归纳；可以直观地演绎空间形式的变化过程；可以与课堂教学相融合，在数学建模中实现函数拟合、模型构建和分析推断；可以进行数据分析。将GeoGebra软件与高中数学课堂教学进行融合，与课程、教材、教学相统一，融入数学概念、方法、思想，提升学生的数学学科核心素养[3]。将GeoGebra软件运用于数学教与学中，系统地考虑信息技术与数学课程融合的问题，加强信息技术的运用，实现信息技术与数学教学的深度融合。4"多元表征视角下基于GeoGebra软件的可视化教学策略理解是学好数学的关键，从某种角度来看，理解实际上就是将内部表征化的知识有效地衔接在一起的过程。因此，表征和可视化是理解数学的核心。借助可视化工具，完成外在表征到内在表征的转变，从而加深对知识的理解与认识，发展高阶思维，最终落实数学核心素养。所谓可视化教学，简单来说，就是借助图形的作用将数学知识呈现出来，帮助学生加深对数学知识的理解。多元表征视角下基于GeoGebra软件的可视化教学如图1所示。4.1"图形表征，形象直观理解数学图形表征就是几何化数学对象，通过构造图形转化条件，将抽象问题直观化。GeoGebra软件通过构建多元联系表征学习情境，以直观的图形表征形式呈现数学知识，进而降低学生理解数学知识的难度。案例1：正方体截面的探究（图2）。在立体几何教学中，作几何体的截面尤为重要，也具有比较大的难度，对于学生的空间想象力、动手能力有着比较高的要求。在准确判断截面形状时，平面与几何体的各个面相交的位置、形状十分关键。通过解答这一问题，学生的空间想象力得到增强，深入理解了直线和平面的有关性质，有效地形成空间概念。通过GeoGebra软件可快速作出各种截面形状，通过动态演示快速发现图形规律特征。4.2"操作表征，活动体验中促进内化数学学习具有动态性特征，若仅仅沿用已经固化的教学模式教授数学知识，忽视学生体验感，那么教学效果往往不会理想。要想提升学生的体验感，就一定要多组织学生开展数学实验，观察数学现象，从而加深对数学知识的认识，增强数学教学效果。案例2：超几何分布下的数据统计（图3）。概率统计数据复杂，如果利用传统计算数据，课堂呈现效果不佳且耗时耗力。利用GeoGebra软件进行数学实验，通过改变各参数的值，引导学生对此题进行深度思考，观察超几何分布和二项分布的变化情况，思考二项分布和超几何分布的区别与联系，从而提高学生的数学模型识别能力和问题解决能力。4.3"情境表征，动态演示中发现规律数学学习的一个重要特征是由静态走入动态，复杂的数形关系和多变的几何位置关系成为教与学的难点。对此，要建立一个动态化的视觉情境，利用动态演示的方式帮助学生总结规律。案例3：一元三次函数的图像与性质（图4）。通过GeoGebra软件实现三次函数绕着一个点旋转180°后依然和本身重合，通过图像直观感受一元三次函数的对称情况。在此过程中突出几何直观与代数表达之间的融合，让学生体会一元三次函数对称情况的合理性，提升直观想象、数学抽象的核心素养。4.4"符号表征，流程再造中认识本质数学的基本特征就是符号化，因此，符号表征是数学问题最普遍的表征形式。符号表征就是将待解决的问题中的有关术语和关系借助相关公式、定理转化为字母或数学符号，实现问题的数学化、符号化，从而促进问题的解决。案例4：抛物线中的阿基米德三角形（图5）。阿基米德三角形指的是曲线的弦与过弦端点的两条切线所构成的三角形，其具有诸多特征，主要包括：若弦AB过定点E，则阿基米德三角形ABM的定点M的轨迹为直线；特别是当AB恒过焦点F，M点轨迹为准线时，三角形为直角三角形。利用GeoGebra软件可以将这些性质直观展现，实现更高抽象层次上的思考与探究。5"基于GeoGebra软件的教学实践思考与其他学科相比，数学学科有其自身的特殊性，形式化、抽象化是其最为显著的特征，主要表现为复杂的演算步骤、多变的几何位置关系、深刻的数学定理等，传统的教学模式难以将其直观、清晰地呈现出来，导致教学效果不甚理想。将GeoGebra软件应用于数学教学，可以有效弥补传统教学模式过于注重形式定义而忽视意向表征的不足，实现信息技术与数学教学的深度融合。在此过程中，要借助图形、情境、符号等方式构建多元表征联系，用严谨、准确的语言表述数学活动，构建与数学研究相适应的探索性认知环境。5.1"情境创设：可视化中理解数学通过对传统教学实践经验的总结，不难发现，过于形式化的表达难以将数学知识的内涵清晰、准确地呈现出来，导致学生无法了解这些知识，学习效果自然也就不会很理想，因此，理解是增强数学学习效果的重中之重。GeoGebra软件的功能十分丰富，将图形、方程、模型、算法等有效地衔接在一起，实现几何、代数、算法等各个数学分支的深度融合。此外，它还构建了一个多元联系表征的情境，能够引导学生加深对数学知识的认知，找到解决问题的具体方法。5.2"实验探究：数学活动中提升思维水平数学教学不单单是为了让学生加深对所学数学知识的认识，还要帮助其掌握学习数学的方法，总结数学规律。实验教学是实现这一目标的有效手段，借助实验的方式，引导学生通过假设、总结、验证、完善等理解数学知识，获得积极的学习体验。GeoGebra软件具备演示、验证、探究的功能，可以有效弥补传统数学教学模式过于静态的不足，实现动态的转变，帮助学生既发现数学的外在美，又感受数学的内在美，不仅可以加深对数学知识的理解，还能够收获积极的情感体验，在潜移默化中提升思维水平。5.3"流程再造：互动环境中变革学习方式数学教学不单单是为了帮助学生掌握数学知识，更重要的是改善学生的学习方式。丰富深刻的数学活动是帮助学生积累数学学习经验的有效途径，因此，借助先进的信息技术开展数学学习活动尤为关键。GeoGebra软件中嵌有符号代数系统，能够快速完成符号计算，