人教版数学第九单元专题05矩形的性质和判定题型专练（含解析）苏科版八年级下册

专题05矩形的性质和判定（五大类型）【题型1矩形的概念和性质】【题型2矩形和垂直平分线的综合应用】【题型3直角三角形斜边上的中线】【题型4矩形的判定】【题型5矩形的性质与判定综合】【题型1矩形的概念和性质】（2022秋•礼泉县期末）1．在矩形中，对角线，交于点，若，则长为（）A． B． C． D．（2022秋•衡南县期末）2．如图，分别在长方形ABCD的边DC，BC上取两点E，F，使得AE平分∠DAF，若∠BAF＝60°，则∠DAE＝()A．45° B．30° C．15° D．60°（2023春•东昌府区期末）3．如图，矩形的两条对角线相交于点，，，则矩形的边长BC的长是()A．2 B．4 C． D．（2022•兴平市模拟）4．如图，矩形ABCD中，，，则AC的长是A．2 B． C．4 D．8（2022春•通许县期末）5．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE，则△DCE的面积为（）A． B． C．2 D．1（2022春•海口期末）6．如图，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，若AB=3，AC=6，则∠AOD等于（

）

A．90° B．100° C．110° D．120°（2022秋•六盘水期中）7．如图，四边形和四边形都是矩形．若，则等于（

）A． B． C． D．（2022春•大余县期末）8．如图，矩形中，于，且：：，则的度数为（

）A． B． C． D．（2022•漳州模拟）9．如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，则重叠部分的面积为（）A．12 B．10 C．8 D．6（2023春•武胜县校级期末）10．如图，矩形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点E、F，AB=2，BC=4，则图中阴影部分的面积为．【题型2矩形和垂直平分线的综合应用】（2023春•庐江县期中）11．如图，在矩形中，，，对角线的垂直平分线分别交、于点，，则的长为（）

A． B． C． D．（2022春•增城区期末）12．如图，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC、BC于点E、O、F，若AB＝3，BC＝4，则BF的长为（

）A． B． C． D．1（2023春•江源区期末）13．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，，如果，则．（2023•深圳模拟）14．如图，在矩形中，作的垂直平分线分别与交于点M、N，连接．若．则矩形的周长为．（2022春•博兴县期末）15．如图，在矩形ABCD中，EF为对角线BD的垂直平分线，分别交AD、BC于点E、F，连接AO，若，，则．【题型3直角三角形斜边上的中线】（2022秋•西安期末）16．如图，在中，，点是的中点，若，则的度数是（

）A． B． C． D．（2022秋•新华区校级期末）17．如图，在中，，是的中线，，则的长等于（

）A．5 B．4 C．8 D．6（2022秋•裕华区期末）18．如图，中，，，平分交于点，点为的中点，连接，则的周长是（

）A．20 B．12 C．16 D．13（2023春•清江浦区期末）19．在中，，点D是斜边的中点，若，则．【题型4矩形的判定】（2023•张店区校级自主招生）20．要判断一个四边形的窗框是否为矩形，可行的测量方案是（）A．测量两组对边是否相等B．测量对角线是否相等C．测量对角线是否互相平分D．测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等（2023春•青山区期中）21．如图，在中，对角线与相交于点，添加下列条件不能判定为矩形的是（

）A． B．C． D．（2022秋•牡丹区期末）22．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且互相平分．若添加下列条件，不能判定四边形ABCD为矩形的是（

）A．AC＝BD B．∠DAB＝90°C．AB＝AD D．∠ADC+∠ABC＝180°（2023•灞桥区校级四模）23．下列说法中正确的是（

）A．有一个角是直角的四边形是矩形B．两条对角线相等的四边形是矩形C．两条对角线互相垂直的四边形是矩形D．有三个角是直角的四边形是矩形（2023•雁塔区一模）24．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是(

)

A．AB=BC B．AC垂直BD C．∠A=∠C D．AC=BD（2023春•莲池区校级期末）25．依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（

）A．

B．

C．

D．

（2023•雁塔区校级模拟）26．如图，在中，，点D、E分别为中点，连接并延长至点F，使得，连接．求证：四边形为矩形．

（2023秋•昌乐县期末）27．如图，在中，点E是的中点，连接，、的延长线相交于点F，连接、．

(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，求证：四边形是矩形．【题型5矩形的性质与判定综合】（2023•同心县校级二模）28．如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝3，若要使平行四边形ABCD为矩形，则OB的长度为（）A．4 B．3 C．2 D．1（2023春•裕华区校级期中）29．如图，点P是中斜边（不与A，C重合）上一动点，分别作于点M，作于点N，点O是的中点，若，当点P在上运动时，则的最小值是（）A．3 B． C． D．4（2023春•兴城市期中）30．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为．（2023春•台山市校级期中）31．如图，在平行四边形中，，(1)求证：平行四边形是矩形；(2)若，求的长．（2023春•北京期末）32．如图，在中，对角线，交于点，．(1)求证：四边形是矩形；(2)若，，作的平分线交于点，求的长．（2023春•台山市校级期中）33．如图，在平行四边形中，，(1)求证：平行四边形是矩形；(2)若，求的长．（2023春•北京期末）34．如图，在中，对角线，交于点，．(1)求证：四边形是矩形；(2)若，，作的平分线交于点，求的长．（2023秋•青白江区期末）35．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，，，且∠ABC=90°．

（1）求证：四边形ABCD是矩形．（2）若∠ACB=30°，AB=1，求①∠AOB的度数；②四边形ABCD的面积．（2023秋•辽阳期末）36．已知：如图1，在中，，点是的中点．求证：．下面是两位同学添加辅助线的方法：小刚：如图2，延长到点，使得，连接，．小红：如图3，取的中点，连接．请你选择一位同学的方法，并进行证明．（2022秋•射阳县期末）37．如图，已知等腰，，点D是边的中点，是外角的平分线，过点C作，垂足为E．

(1)求证：四边形是矩形；(2)连接，若矩形的周长是28，，求四边形的面积．（2023春•新余期末）38．如图，在中，对角线交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接．

(1)求证：四边形是矩形；(2)连接，若，求的长度．参考答案：1．A【分析】根据矩形性质可得，，即可得出结果．【详解】解：如图：

四边形为矩形，，，故选：．【点睛】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解答本题的关键．2．C【分析】长方形内角为90°，已知∠BAF=60°，所以可以得到∠DAF，又因为AE平分∠DAF，所以∠DAE便可求出．【详解】在长方形ABCD中，∠BAD＝90°∵∠BAF＝60°∴∠DAF＝90°﹣∠BAF＝30°又AE平分∠DAF所以∠DAE＝∠DAF＝15°故选C．【点睛】运用了长方形的四个角都是直角以及角平分线的概念即可解决．3．C【分析】根据矩形的性质得出∠ABC=90°，AC=BD，AC=2AO，BD=2BO，求出AO=BO，得出等边三角形AOB，求出AC=2AO=4，根据勾股定理求出BC即可．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，AC=BD，AC=2AO，BD=2BO，∴AO=BO，∵∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴AO=AB=2，∴AC=2AO=4，在Rt△ABC中，由勾股定理得：；故选：C．【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据矩形的性质和等边三角形的性质求出AC的长，注意：矩形的四个角都是直角，矩形的对角线互相平分且相等．4．D【分析】由矩形的性质得出OA＝OB，再证明△AOB是等边三角形，得出OA＝AB＝4，由AC＝2OA，即可得出结果．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝AC，OB＝BD，AC＝BD，∴OA＝OB，∵∠BOC＝120°，∴∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴OA＝AB＝4，∴AC＝2OA＝8；故选D．【点睛】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．5．B【分析】由EF垂直平分AC可得AE=CE，设CE＝x，则ED＝AD﹣AE＝4﹣x，在Rt△CDE中，利用勾股定理求出x的长，继而根据三角形的面积公式进行求解即可.【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝2，AD＝BC＝4，∠D=90°，∵EO是AC的垂直平分线，∴AE＝CE，设CE＝x，则ED＝AD﹣AE＝4﹣x，在Rt△CDE中，CE2＝CD2+ED2，即x2＝22+(4﹣x)2，解得：x＝，即CE的长为，DE＝4﹣＝，所以△DCE的面积＝××2＝，故选B．【点睛】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理的应用等，熟练掌握相关知识是解题的关键.6．D【分析】先根据矩形的对角线相等且互相平分得出OA=OB=AC=3=AB，那么△OAB是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠AOB=60°，进而由邻补角定义求得∠AOD=120°．【详解】解：∵在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，AC=6，∴OA=OB=AC=3，∵AB=3，∴OA=OB=AB，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠AOD=180°-∠AOB=120°．故选：D．【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，邻补角定义，难度适中．得出△OAB是等边三角形是解题的关键．7．A【分析】由题意可得∠AGF=∠DAB=90°，由平行线的性质可得，即可得∠DGF=70°．【详解】解：∵四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形∴∠AGF=∠DAB=90°，DC//AB∴∴故选：A．【点睛】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是本题的关键．8．C【分析】利用矩形的性质结合：：，求解再求解再利用角的和差即可得到答案．【详解】解：∵矩形中，∴∵：：，∴∵，∴∵∴∴故选C．【点睛】本题考查的是矩形的性质，等腰三角形的性质，掌握“矩形的对角线相等且互相平分”是解本题的关键．9．B【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质；证明，可得，设，则，在中，由勾股定理构建方程求出，可得的长，然后利用三角形面积公式计算即可．【详解】解：由折叠得：，，在矩形中，，，∴，，又∵，∴，∴，设，则，在中，由勾股定理得：，∴，解得，∴，∴的面积．故选：B．10．4【分析】根据矩形的性质可得阴影部分的面积等于矩形面积的一半，即可求得结果.【详解】由图可知，阴影部分的面积故答案为：4考点：本题考查的是矩形的性质点评：解答本题的关键是根据矩形的性质得到△DOE的面积等于△BOF的面积，从而可以判断阴影部分的面积等于矩形面积的一半.11．A【分析】连接，根据矩形的性质可得，，，根据线段垂直平分线的性质可得，设，在中，根据勾股定理列方程，求出的值，即可确定的长．【详解】解：连接，如图所示：在矩形中，，，，对角线的垂直平分线分别交、于点，，，设，则，在中，根据勾股定理，得，解得，，故选：A．

【点睛】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．12．B【分析】根据矩形的性质，线段垂直平分线的性质，以及勾股定理即可得到结论．【详解】解：连接，是的垂直平分线，，设，则在中，．解得：，，故选：B．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．13．【分析】本题考查矩形的性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质等知识，首先证明四边形是菱形，在根据菱形的对角线平分一组对角进行求解是解决问题的关键．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，，∴，∵，∴，∴，∴四边形是平行四边形，∵垂直平分线段，∴，∴四边形是菱形，∵，∴，∴，∴，故答案为：．14．【分析】证，得，再证平行四边形是菱形，得，则，然后由勾股定理得，即可得出结论．【详解】解：如图，设交于点O，∵四边形是矩形，∴，∴，∵是的垂直平分线，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴四边形是平行四边形．又∵，∴平行四边形是菱形，∴，∴，在中，由勾股定理得：，∴矩形的周长，故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．15．4.8【分析】连接BE，由矩形的性质可求BD，OD的长，利用ASA证明△EDO≌△FBO可得OE=OF，利用勾股定理可求解BE=DE=5，设AE=x，利用勾股定理列方程可解答．【详解】解：如图，连接BE，∵EF为矩形ABCD的对角线BD的垂直平分线，AO=4，∴BD=2DO=2AO=8，BE=DE，∠DOE=90°，∴DO=4，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EDO=∠FBO，∵OB=OD，∠EOD=∠FOB，∴△EOD≌△FOB（ASA），∴EO=OF，∵EF=6，∴EO=3，设AE=x，在中，在和中，，∴，解得：，∴．故答案为：4.8【点睛】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，灵活运用勾股定理求解线段长是解题的关键．16．D【分析】利用直角三角形斜边中线的性质求得，再证明是等边三角形，据此即可求解．【详解】解：∵在中，，点是的中点，∴，∵，∴，∴是等边三角形，∴，故选：D．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是解题的关键．17．D【分析】根据直角三角形斜边中线定理可进行求解．【详解】解：∵，是的中线，，∴；故选D．【点睛】本题主要考查直角三角形斜边中线定理，熟练掌握直角三角形斜边中线定理是解题的关键．18．C【分析】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形斜边的中线性质；根据等腰三角形三线合一求出的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长，根据三角形的周长公式计算得到答案．【详解】，平分，，，，点为的中点，，∴的周长，故选：C．19．6【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到结论．【详解】解：在中，点D是斜边的中点，，∴，故答案为：6．20．D【分析】根据矩形的判定定理判定即可．【详解】A.测量两组对边是否相等，能判定平行四边形，故A错误；B.对角线相等的四边形不一定是矩形，不能判定四边形的形状，故B错误；C.测量对角线是否互相平分，能判定平行四边形，故C错误；D.根据对角线相等且互相平分四边形是矩形，可知量出对角线的交点到四个顶点的距离，看是否相等，可判断是否是矩形．故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了矩形的判定定理，矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．21．D【分析】根据矩形的判定方法进行分析即可．【详解】A、，由一个角为直角的平行四边形是矩形知，为矩形，故此选项不符合题意；B、∵在中，，又，则，则为矩形，故此选项不符合题意；C、∵，∴，又，则，根据对角线相等的平行四边形是矩形知，为矩形，故此选项不符合题意；D、能判定平行四边形为菱形，不能判定它为矩形，故此选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形与菱形的判定，掌握矩形的判定方法是关键．22．C【分析】首先证出四边形ABCD是平行四边形，再分别对各个选项分别进行判定是不是矩形即可．【详解】解：∵四边形ABCD的对角线相交于点O，且互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，若AC=BD，则四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；若∠DAB=90°，则四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；若AB=AD，则四边形ABCD是菱形，故选项C符合题意；∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC=∠ABC，若∠ADC+∠ABC=180°，∴∠ADC=∠ABC=90°，则四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意；故选：C．【点睛】此题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质，关键是熟练掌握矩形的判定定理．23．D【分析】利用矩形的判定定理及矩形的定义进行判断后即可确定本题的答案．【详解】解：A、有一个直角的平行四边形是矩形，故错误；B、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故错误；C、两条对角线互相垂直的四边形可能是梯形等，故错误；D、四个角都是直角的四边形是矩形，正确，故选：D．【点睛】本题考查了矩形的判定，牢记有关矩形的判定定理及定义是解答本题的关键，属于基础概念题，难度不大．24．D【分析】由四边形ABCD的对角线互相平分，可得四边形ABCD是平行四边形，再添加AC=BD，可根据对角线相等的平行四边形是矩形证明四边形ABCD是矩形．【详解】结合选项可知，添加AC=BD，∵四边形ABCD的对角线互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC=BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，∴四边形ABCD是矩形，故选D．【点睛】此题主要考查了矩形的判定，关键是掌握矩形的判定定理：①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形．25．A【分析】根据矩形的判定方法“有三个角是直角的四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形”即可求解．【详解】解：A、∵，，∴四边形是平行四边形，但不能说明四边形是矩形，故该选项符合题意；B、有三个角是直角的四边形是矩形，故该选项不符合题意；C、∵，∴，又，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是矩形，故该选项不符合题意；D、∵，，∴四边形是平行四边形，∵，∴是直角三角形，且，∴四边形是矩形，故该选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了矩形的判定方法，熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键．26．见解析【分析】根据中点的意义及三角形中位线性质可得，再利用平行四边形的判定定理及矩形的判定定理证明即可．【详解】∵点D、E分别为中点，∴，∵，∴四边形为平行四边形，∵，∴，∴四边形为矩形．【点睛】本题考查了中点的意义及三角形中位线性质，平行四边形的判定定理及矩形的判定定理，熟练掌握知识点是解题的关键．27．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）通过证明可得，然后由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形；（2）利用三角形外角的性质和角的倍数关系求得，然后求得，从而可得平行四边形是矩形．【详解】（1）证明：在中，，∴，∵点E是的中点，∴，又∵，∴，∴，∴四边形是平行四边形；（2）证明：∵四边形是平行四边形；∴，又由（1）可得，四边形是平行四边形，∴，∵，，∴，又∵∴，∴，∴，即四边形是矩形．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键．28．B【详解】试题解析：假如平行四边形ABCD是矩形，OA=OC，OB=OD，AC=BD，∴OA=OB=3．故选B．点睛：对角线相等的平行四边形是矩形.29．B【分析】证四边形是矩形，得，由勾股定理求出，当时，最小，然后由面积法求出的最小值，即可解决问题．【详解】解：连接，如图所示：∵于点M，于点N，∴四边形是矩形，，∴，与互相平分，∵点O是的中点，∴，当时，最小，∴，∴，故选：B．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、垂线段最短、勾股定理以及面积法等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．30．【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定以及性质，由平行四边形的性质得出，，得出，即可证明四边形是矩形，根据矩形的性质得出，进一步即可求出．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，，∵，∴，∴四边形是矩形，∴，∵，∴，故答案为：．31．(1)见解析(2)【分析】（1）根据对角线相等的平行四边形是矩形，证明即可；（2）先根据直角三角形中30度角所对直角边等于斜边的一半求出的长，再利用勾股定理即可求出的长．【详解】（1）证明：，，四边形是平行四边形，，，平行四边形是矩形；（2）在矩形中，，是直角三角形，∵，，．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，矩形的判定，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟记相关知识点是解题的关键．32．(1)见解析(2)【分析】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，角平分线的定义，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键．（1）根据平行四边形的性质得到，，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）如图，根据矩形的性质得到，，根据角平分线的定义得到，根据勾股定理得到，根据直角三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，，．，，平行四边形为矩形；（2）如图，四边形是矩形，，．为的平分线，．，，，，，，，，．33．(1)见解析(2)【分析】（1）根据对角线相等的平行四边形是矩形，证明即可；（2）先根据直角三角形中30度角所对直角边等于斜边的一半求出的长，再利用勾股定理即可求出的长．【详解】（1）证明：，，四边形是平行四边形，，，平行四边形是矩形；（2）在矩形中，，是直角三角形，∵，，．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，矩形的判定，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟记相关知识点是解题的关键．34．(1)见解析(2)【分析】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，角平分线的定义，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键．（1）根据平行四边形的性质得到，，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）如图，根据矩形的性质得到，，根据角平分线的定义得到，根据勾股定理得到，根据直角三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，，．，，平行四边形为矩形；（2）如图，四边形是矩形，，．为的平分线，．，，，，，，，，．35．（1）见解析；（2）①60°，②.【分析】（1）根据AO=CO，BO=DO可知四边形ABCD是平行四边形，又∠ABC=90°，可证四边形ABCD是矩形（2）利用直角△ABC中∠ABC=90°，∠ACB=300，可得∠BAC=60°，AC=2，BC=，即可求得四边形ABCD的面积，同时利用矩形的性质，对角线相等且互