云南省昆明市师大附中2025届高三3月高考模拟数学试题含解析

云南省昆明市师大附中2025届高三3月高考模拟数学试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在的展开式中，的系数为()A．-120 B．120 C．-15 D．152．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在中，角所对的边分别为，则的面积.根据此公式，若，且，则的面积为（）A． B． C． D．3．已知平面平面，且是正方形，在正方形内部有一点，满足与平面所成的角相等，则点的轨迹长度为（）A． B．16 C． D．4．如图，已知三棱锥中，平面平面，记二面角的平面角为，直线与平面所成角为，直线与平面所成角为，则（）A． B． C． D．5．设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=AB，则集合中的元素共有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个6．3本不同的语文书，2本不同的数学书，从中任意取出2本，取出的书恰好都是数学书的概率是（）A． B． C． D．7．若复数满足（是虚数单位），则（）A． B． C． D．8．设直线过点，且与圆：相切于点，那么（）A． B．3 C． D．19．在直角坐标平面上，点的坐标满足方程，点的坐标满足方程则的取值范围是（）A． B． C． D．10．在空间直角坐标系中，四面体各顶点坐标分别为：．假设蚂蚁窝在点，一只蚂蚁从点出发，需要在，上分别任意选择一点留下信息，然后再返回点．那么完成这个工作所需要走的最短路径长度是（）A． B． C． D．11．已知集合，，若，则的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．412．在函数：①；②；③；④中，最小正周期为的所有函数为（）A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知“在中，”，类比以上正弦定理，“在三棱锥中，侧棱与平面所成的角为、与平面所成的角为，则________．14．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件抽到一等品，事件抽到二等品，事件抽到三等品，且已知，，，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为________15．函数的值域为_____.16．设集合，，则____________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求B；（2）若的面积为，周长为8，求b.18．（12分）在中，内角的对边分别为，且（1）求；（2）若，且面积的最大值为，求周长的取值范围.19．（12分）在中，角所对的边分别是，且.（1）求；（2）若，求.20．（12分）已知函数，.（1）若对于任意实数，恒成立，求实数的范围；（2）当时，是否存在实数，使曲线：在点处的切线与轴垂直？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.21．（12分）在三棱柱中，，，，且.（1）求证：平面平面；（2）设二面角的大小为，求的值.22．（10分）甲、乙两班各派三名同学参加知识竞赛，每人回答一个问题，答对得10分，答错得0分，假设甲班三名同学答对的概率都是，乙班三名同学答对的概率分别是，，，且这六名同学答题正确与否相互之间没有影响．（1）记“甲、乙两班总得分之和是60分”为事件，求事件发生的概率；（2）用表示甲班总得分，求随机变量的概率分布和数学期望．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．C【解析】

写出展开式的通项公式，令，即，则可求系数．【详解】的展开式的通项公式为，令，即时，系数为．故选C本题考查二项式展开的通项公式，属基础题．2．A【解析】

根据，利用正弦定理边化为角得，整理为，根据，得，再由余弦定理得，又，代入公式求解.【详解】由得，即，即，因为，所以，由余弦定理，所以，由的面积公式得故选：A本题主要考查正弦定理和余弦定理以及类比推理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.3．C【解析】

根据与平面所成的角相等，判断出，建立平面直角坐标系，求得点的轨迹方程，由此求得点的轨迹长度.【详解】由于平面平面，且交线为，，所以平面，平面.所以和分别是直线与平面所成的角，所以，所以，即，所以.以为原点建立平面直角坐标系如下图所示，则，，设（点在第一象限内），由得，即，化简得，由于点在第一象限内，所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆在第一象限的部分.令代入原的方程，解得，故，由于，所以，所以点的轨迹长度为.故选：C本小题主要考查线面角的概念和运用，考查动点轨迹方程的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.4．A【解析】

作于,于,分析可得,,再根据正弦的大小关系判断分析得,再根据线面角的最小性判定即可.【详解】作于,于.因为平面平面,平面.故,故平面.故二面角为.又直线与平面所成角为,因为,故.故,当且仅当重合时取等号.又直线与平面所成角为,且为直线与平面内的直线所成角,故,当且仅当平面时取等号.故.故选：A本题主要考查了线面角与线线角的大小判断,需要根据题意确定角度的正弦的关系,同时运用线面角的最小性进行判定.属于中档题.5．A【解析】试题分析：,,所以，即集合中共有3个元素，故选A．考点：集合的运算．6．D【解析】

把5本书编号，然后用列举法列出所有基本事件．计数后可求得概率．【详解】3本不同的语文书编号为，2本不同的数学书编号为，从中任意取出2本，所有的可能为：共10个，恰好都是数学书的只有一种，∴所求概率为．故选：D.本题考查古典概型，解题方法是列举法，用列举法写出所有的基本事件，然后计数计算概率．7．B【解析】

利用复数乘法运算化简，由此求得.【详解】依题意，所以.故选：B本小题主要考查复数的乘法运算，考查复数模的计算，属于基础题.8．B【解析】

过点的直线与圆：相切于点，可得.因此，即可得出.【详解】由圆：配方为，，半径.∵过点的直线与圆：相切于点，∴；∴；故选：B.本小题主要考查向量数量积的计算，考查圆的方程，属于基础题.9．B【解析】

由点的坐标满足方程，可得在圆上，由坐标满足方程，可得在圆上，则求出两圆内公切线的斜率，利用数形结合可得结果.【详解】点的坐标满足方程，在圆上，在坐标满足方程，在圆上，则作出两圆的图象如图，设两圆内公切线为与，由图可知，设两圆内公切线方程为，则，圆心在内公切线两侧，，可得，，化为，，即，，的取值范围，故选B.本题主要考查直线的斜率、直线与圆的位置关系以及数形结合思想的应用，属于综合题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，尤其在解决选择题、填空题时发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出曲线图象，充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.10．C【解析】

将四面体沿着劈开，展开后最短路径就是的边，在中，利用余弦定理即可求解.【详解】将四面体沿着劈开，展开后如下图所示：最短路径就是的边．易求得，由，知，由余弦定理知其中，∴故选：C本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理的内容，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.11．B【解析】

解出,分别代入选项中的值进行验证.【详解】解：，.当时,，此时不成立.当时,，此时成立，符合题意.故选:B.本题考查了不等式的解法,考查了集合的关系.12．A【解析】逐一考查所给的函数：，该函数为偶函数，周期；将函数图象x轴下方的图象向上翻折即可得到的图象，该函数的周期为；函数的最小正周期为；函数的最小正周期为；综上可得最小正周期为的所有函数为①②③.本题选择A选项.点睛：求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数的式子，否则很容易出现错误．一般地，经过恒等变形成“y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)”的形式，再利用周期公式即可．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【解析】

类比，三角形边长类比三棱锥各面的面积，三角形内角类比三棱锥中侧棱与面所成角．【详解】，故，本题考查类比推理．类比正弦定理可得，类比时有结构类比，方法类比等．14．0.35【解析】

根据对立事件的概率和为1，结合题意，即可求出结果来．【详解】解：由题意知本题是一个对立事件的概率，抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，，抽到不是一等品的概率是，故答案为：．本题考查了求互斥事件与对立事件的概率的应用问题，属于基础题．15．【解析】

利用配方法化简式子，可得，然后根据观察法，可得结果.【详解】函数的定义域为所以函数的值域为故答案为：本题考查的是用配方法求函数的值域问题，属基础题。16．【解析】

先解不等式,再求交集的定义求解即可.【详解】由题,因为,解得,即,则,故答案为:本题考查集合的交集运算,考查解一元二次不等式.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）；（2）【解析】

（1）通过正弦定理和内角和定理化简，再通过二倍角公式即可求出；（2）通过三角形面积公式和三角形的周长为8，求出b的表达式后即可求出b的值.【详解】（1）由三角形内角和定理及诱导公式，得，结合正弦定理，得，由及二倍角公式，得，即，故；（2）由题设，得，从而，由余弦定理，得，即，又，所以，解得.本题综合考查了正余弦定理，倍角公式，三角形面积公式，属于基础题.18．（1）（2）【解析】

（1）利用二倍角公式及三角形内角和定理，将化简为，求出的值，结合，求出A的值；（2）写出三角形的面积公式，由其最大值为求出.由余弦定理，结合，，求出的范围，注意.进而求出周长的范围.【详解】解：（1）整理得解得或(舍去)又；（2）由题意知，又，，又周长的取值范围是本题考查了二倍角余弦公式，三角形面积公式，余弦定理的应用，求三角形的周长的范围问题.属于中档题.19．（1）（2）【解析】

（1）根据正弦定理到，得到答案.（2）计算，再利用余弦定理计算得到答案.【详解】（1）由，可得,因为，所以，所以.（2），又因为，所以.因为，所以，即.本题考查了正弦定理和余弦定理，意在考查学生的计算能力.20．（1）；（2）不存在实数，使曲线在点处的切线与轴垂直.【解析】

（1）分类时，恒成立，时，分离参数为，引入新函数，利用导数求得函数最值即可；（2），导出导函数，问题转化为在上有解．再用导数研究的性质可得．【详解】解：（1）因为当时，恒成立，所以，若，为任意实数，恒成立.若，恒成立，即当时，，设，，当时，，则在上单调递增，当时，，则在上单调递减，所以当时，取得最大值.，所以，要使时，恒成立，的取值范围为.（2）由题意，曲线为：.令，所以，设，则，当时，，故在上为增函数，因此在区间上的最小值，所以，当时，，，所以，曲线在点处的切线与轴垂直等价于方程在上有实数解.而，即方程无实数解.故不存在实数，使曲线在点处的切线与轴垂直.本题考查不等式恒成立，考查用导数的几何意义，由导数几何把问题进行转化是解题关键．本题属于困难题．21．（1）证明见解析；（2）.【解析】

（1）要证明平面平面，只需证明平面即可；（2）取的中点D，连接BD，以B为原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，分别计算平面的法向量为与平面的法向量为，利用夹角公式计算即可.【详解】（1）在中，，所以，即.因为，，，所以.所以，即.又，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）由题意知，四边形为菱形，且，则为正三角形，取的中点D，连接BD，则.以B为原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，.设平面的法向量为，且，.由得取.由四边形为菱形，得；又平面，所以；又，所以平面，所以平面的法向量为.所以.故.本题考查面面垂直的判定定理以及利用向量法求二面角正弦值的问题，在利用向量法时，关键是点的坐标要写准确，本题是一道中