第一章 反比例函数 综合素质评价卷（含答案）鲁教版五四制九年级上册数学

第一章反比例函数综合素质评价一、选择题(每题3分，共30分)1．在下列函数中，y是x的反比例函数的是()A．y＝2xB．y＝eq\f(x,2)C．y＝eq\f(2,x)D．y＝eq\f(2,x－1)2．已知双曲线y＝eq\f(k,x)经过点(1，－2)，则下列说法错误的是()A．该双曲线的表达式为y＝－eq\f(2,x)B．点(－1，2)在该双曲线上C．该双曲线位于第二、四象限D．当x<0时，y随x增大而减小3．已知反比例函数y＝eq\f(k＋1,x)，当x>0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是()A．k>－1B．k≥－1C．k<－1D．k≤－14．若点A(x1，－2)，B(x2，1)，C(x3，4)都在反比例函数y＝eq\f(k2＋1,x)的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是()A．x1<x2<x3B．x2<x3<x1C．x1<x3<x2D．x2<x1<x35．如图，一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数y＝eq\f(k,x)的图象交于点A(2，3)，B(m，－2)，则不等式ax＋b>eq\f(k,x)的解集是()A．－3＜x＜0或x＞2B．x＜－3或0＜x＜2C．－2＜x＜0或x＞2D．－3＜x＜0或x＞36．如图是反比例函数y＝eq\f(1,x)的图象，点A(x，y)是反比例函数图象上任意一点，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△AOB的面积是()A．1B．eq\f(1,2)C．2D．eq\f(3,2)7．[2025·济南历下区月考]如图，直线y＝－x与双曲线y＝eq\f(k,x)(k≠0)交于A，B两点，已知OA＝3eq\r(2)，则双曲线的表达式为()A．y＝eq\f(3,x)B．y＝－eq\f(3,x)C．y＝eq\f(9,x)D．y＝－eq\f(9,x)8．[2025·济南市中区月考]函数y＝kx－k和y＝－eq\f(k2＋1,x)(k≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是()9.某种玻璃原材料需在0℃环境保存，取出后匀速加热至600℃高温后，停止加热，玻璃原材料的温度会逐渐降低至室温(30℃)，加热和降温过程中可以对玻璃原材料进行加工，且加工的温度要求不低于480℃.玻璃原材料的温度y(℃)与时间x(min)的函数图象如图所示，降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，以下判断正确的是()A．玻璃原材料的加热速度为120℃/minB．玻璃原材料的降温阶段，y与x之间的函数关系式为y＝eq\f(600,x)C．能够对玻璃原材料进行加工的时长为1.8minD．玻璃原材料从600℃降低至室温30℃需要的时间为80min10．如图，矩形ABCD的顶点D在反比例函数y＝eq\f(k,x)(x<0)的图象上，顶点B，C在x轴上，对角线AC的延长线交y轴于点E，连接BE，若△BCE的面积是8，则k的值为()A．－4B．－8C．－16D．－20二、填空题(每题3分，共18分)11．若y是x的反比例函数，且当x＝2时，y＝7，则y与x之间的函数关系式是y＝________．12．[2024·北京]在平面直角坐标系xOy中，若函数y＝eq\f(k,x)(k≠0)的图象经过点(3，y1)和(－3，y2)，则y1＋y2的值是________．13．若反比例函数y＝(2k－1)x3k2－2k－1的图象位于第二、四象限，则k的值是________．14．已知反比例函数y1＝eq\f(2,x)，y2＝－eq\f(3,x)，当1≤x≤3时，函数y1的最大值是a，函数y2的最大值是b，则ab＝________.15.在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强p(kPa)与汽缸内气体的体积V(mL)成反比例关系，p关于V的函数图象如图所示．若压强由75kPa加压到100kPa，则气体体积压缩了________mL.16．如图，矩形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在反比例函数y＝eq\f(k,x)(k≠0)的图象上，点B的坐标为(2，4)，则点E的坐标为____________．三、解答题(17～19题每题9分，20～22题每题10分，23题15分，共72分)17．已知反比例函数y＝－eq\f(5,3x).(1)写出比例系数；(2)求当x＝－10时函数的值；(3)求当y＝2eq\f(1,2)时自变量x的值．18.已知反比例函数y＝eq\f(m－8,x)(m≠8)．(1)若函数图象经过点A(－1，6)，求m的值；(2)若函数图象位于第二、四象限，求m的取值范围；(3)当x＞0时，y随x的增大而减小，求m的取值范围．19.大约在两千四百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端．”如图，根据小孔成像的科学原理，当像距(小孔到像的距离)和物高(蜡烛火焰高度)不变时，火焰的像高y(单位：cm)是物距(小孔到蜡烛的距离)x(单位：cm)的反比例函数，当x＝6时，y＝2.(1)求y关于x的函数表达式．(2)若小孔到蜡烛的距离为4cm，求火焰的像高．(3)若火焰的像高不得超过3cm，求小孔到蜡烛的距离至少是多少厘米？20.为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏法进行消毒，已知药物燃烧时，室内空气中的含药量y(毫克/立方米)与药物点燃后的时间x(分钟)满足如图所示的一次函数关系，药物点燃6分钟后燃尽，药物燃尽后，校医每隔6分钟测一次空气中的含药量，测得数据如下表：药物点燃后的时间x/分钟6121824空气中的含药量y/(毫克/立方米)12643(1)在如图所示的平面直角坐标系中描出以表格中数据为坐标的各点；(2)观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一个反比例函数的图象上，如果在同一个反比例函数的图象上，求出这个反比例函数图象所对应的函数表达式；如果不在同一个反比例函数的图象上，请说明理由；(3)研究表明：空气中每立方米的含药量不低于8毫克，且持续4分钟以上才能有效杀灭空气中的病菌，应用上述发现的规律估算此次消毒能否有效杀灭空气中的病菌．21．如图，以原点O为顶点作正方形OABC，已知点C(0，3)，点A在x轴的正半轴上，直线y＝x－1与边AB，OA分别交于点D，M.反比例函数y＝eq\f(k,x)(k≠0，x>0)的图象过点D，与BC交于点N，连接MN.(1)求反比例函数的表达式；(2)若点P是直线DM上的动点，当CP＝MN时，求点P的坐标．22.如图，直线y1＝－x＋4，y2＝eq\f(3,4)x＋b都与双曲线y＝eq\f(k,x)(x>0)交于点A(1，n)，这两条直线分别与x轴交于B，C两点．(1)求双曲线的函数表达式；(2)根据图象，直接写出不等式eq\f(3,4)x＋b>eq\f(k,x)的解集；(3)若点P在x轴上，连接AP把△ABC的面积分成34两部分，求此时点P的坐标．23.如图①，某兴趣小组计划开垦一个面积为8m2的矩形地块ABCD种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为am.【问题提出】小组内有同学提出这样一个问题：若a＝10，能否围出满足条件的矩形地块？【问题探究】小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：设AB为xm，BC为ym．由矩形地块的面积为8m2，得xy＝8，满足条件的(x，y)可看作反比例函数y＝eq\f(8,x)的图象在第一象限内点的坐标．由木栏总长为10m，得2x＋y＝10，满足条件的(x，y)可看作一次函数y＝－2x＋10的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的(x，y)就可以看作两个函数图象交点的坐标．如图②，反比例函数y＝eq\f(8,x)(x>0)的图象与直线l：y＝－2x＋10的交点坐标为(1，8)和________，因此当木栏总长为10m时，能围出满足条件的矩形地块，此时AB＝1m，BC＝8m或AB＝________m，BC＝________m.(1)根据小颖的分析思路，完成上面的填空．【类比探究】(2)若a＝5，能否围出满足条件的矩形地块？请仿照小颖的方法说明理由．【问题延伸】当木栏总长为am时，小颖建立了一次函数y＝－2x＋a，发现直线y＝－2x＋a可以看作直线y＝－2x通过平移得到，在平移过程中，当过点(2，4)时，直线y＝－2x＋a与反比例函数y＝eq\f(8,x)(x>0)的图象有唯一交点．(3)请在图②中画出过点(2，4)的直线y＝－2x＋a，并求出a的值．【拓展应用】小颖从以上探究中发现“能否围成满足条件的矩形地块问题”可以转化为“y＝－2x＋a与y＝eq\f(8,x)的图象在第一象限内交点的存在问题”．(4)若要围出满足条件的矩形地块，且AB和BC的长均不小于1m，请直接写出a的取值范围．

答案一、1.C2.D3.C4．C【点拨】已知反比例函数表达式为y＝eq\f(k2＋1,x)，∵k2＋1>0，∴反比例函数图象位于第一、三象限，且在每个象限中，y随x的增大而减小，如图所示，由图可得x1<x3<x2，故选C.5．A【点拨】∵点A(2，3)在反比例函数y＝eq\f(k,x)的图象上，∴k＝6.∴反比例函数的表达式为y＝eq\f(6,x).又∵点B(m，－2)在反比例函数y＝eq\f(6,x)的图象上，∴m＝－3.∴B(－3，－2)．由题图可知，当ax＋b＞eq\f(k,x)时，－3＜x＜0或x＞2.6．B【点拨】∵点A的坐标为(x，y)，∴OB＝|x|，AB＝|y|.∵点A为反比例函数y＝eq\f(1,x)的图象上一点，∴xy＝1，∴S△AOB＝eq\f(1,2)AB·OB＝eq\f(1,2)|xy|＝eq\f(1,2)×1＝eq\f(1,2).故选B.7．D【点拨】过点A作AC⊥x轴于点C，∵直线y＝－x与双曲线y＝eq\f(k,x)(k≠0)交于A，B两点，∴设A(n，－n)，则OC＝n，CA＝n.∵OA＝3eq\r(2)，∴eq\r(n2＋n2)＝3eq\r(2)，解得n＝3(负值已舍去)．∴A(3，－3)，则－3＝eq\f(k,3)，解得k＝－9，∴y＝－eq\f(9,x).8．A【点拨】反比例函数y＝－eq\f(k2＋1,x)(k≠0)中，∵－(k2＋1)<0，∴反比例函数图象位于第二、四象限，选项C、D不符合题意；一次函数y＝kx－k(k≠0)中，当k>0时，－k<0，则一次函数的图象不经过第二象限，选项A符合题意；当k<0时，－k>0，则一次函数的图象不经过第三象限，选项B不符合题意．故选A.9．C【点拨】玻璃原材料的加热速度为600÷4＝150(℃/min)，故A选项不正确；设玻璃原材料的降温阶段，y与x之间的函数关系式为y＝eq\f(k,x)，把(4，600)代入，得k＝2400，∴玻璃原材料的降温阶段，y与x之间的函数关系式为y＝eq\f(2400,x)，故B选项不正确；设玻璃原材料的加热阶段，y与x之间的函数关系式为y＝k1x，把(4，600)代入，得k1＝150，∴玻璃原材料的加热阶段，y与x之间的函数关系式为y＝150x，将y＝480代入y＝150x，得x＝3.2，将y＝480代入y＝eq\f(2400,x)，得x＝5，5－3.2＝1.8(min)，∴能够对玻璃原材料进行加工的时长为1.8min，故C选项正确；将y＝30代入y＝eq\f(2400,x)，得x＝80，80－4＝76(min)，∴玻璃原材料从600℃降低至室温30℃需要的时间为76min，故D选项不正确．10．C【点拨】设D(a，b)，则OC＝－a，CD＝b.在矩形ABCD中，AB＝CD＝b.∵点D在反比例函数图象上，∴k＝ab.易得AB∥OE，∴易得△ABC∽△EOC，∴eq\f(AB,OE)＝eq\f(BC,OC)，即BC·OE＝AB·OC＝－ab.∵△BCE的面积是8，∴eq\f(1,2)BC·OE＝－eq\f(1,2)ab＝8，∴ab＝－16，即k＝－16.故选C.二、11.eq\f(14,x)12.013.014.eq\f(1,2)【点拨】∵对于y1＝eq\f(2,x)，当1≤x≤3时，函数y1随x的增大而减小，最大值为a，∴当x＝1时，y1＝2＝a.∵对于y2＝－eq\f(3,x)，当1≤x≤3时，函数y2随x的增大而增大，最大值为b，∴当x＝3时，y2＝－1＝b.∴ab＝2－1＝eq\f(1,2).15．2016．(4，2)【点拨】∵点B(2，4)在反比例函数y＝eq\f(k,x)(k≠0)的图象上，∴4＝eq\f(k,2)，∴k＝2×4＝8，∴反比例函数的表达式为y＝eq\f(8,x).∵四边形ADEF是正方形，∴AD＝ED.又∵点E在反比例函数图象上，∴设Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(8,a)))，则OD＝a，ED＝eq\f(8,a).易知OA＝2，∴AD＝a－2＝ED＝eq\f(8,a)，∴a2－2a＝8，解得a1＝4，a2＝－2.∵a>0，∴a＝4，∴E(4，2)．三、17.【解】(1)由反比例函数y＝－eq\f(5,3x)可知比例系数为－eq\f(5,3).(2)把x＝－10代入y＝－eq\f(5,3x)，得y＝－eq\f(5,3×(－10))＝eq\f(1,6).(3)把y＝2eq\f(1,2)代入y＝－eq\f(5,3x)，得eq\f(5,2)＝－eq\f(5,3x)，解得x＝－eq\f(2,3).18．【解】(1)∵函数图象经过点A(－1，6)，∴m－8＝－1×6＝－6，∴m＝2.(2)∵函数图象位于第二、四象限，∴m－8＜0，解得m＜8.∴m的取值范围是m＜8.(3)∵当x＞0时，y随x的增大而减小，∴m－8＞0，解得m＞8.∴m的取值范围是m＞8.19．【解】(1)由题意设y关于x的函数表达式为y＝eq\f(k,x)，把x＝6，y＝2代入，得k＝6×2＝12，∴y关于x的函数表达式为y＝eq\f(12,x).(2)把x＝4代入y＝eq\f(12,x)，得y＝3，∴火焰的像高为3cm.(3)当y≤3时，即eq\f(12,x)≤3，∵x>0，∴3x≥12，解得x≥4.答：小孔到蜡烛的距离至少是4cm.20．【解】(1)如图所示．(2)观察各点的分布规律，易得它们在同一个反比例函数的图象上．设反比例函数的表达式为y＝eq\f(k,x)，把点(6，12)的坐标代入，得k＝12×6＝72，∴这个反比例函数的表达式为y＝eq\f(72,x).(3)易得一次函数表达式为y＝2x(0≤x≤6)，把y＝8代入y＝2x，得8＝2x，∴x＝4.把y＝8代入y＝eq\f(72,x)，得eq\f(72,x)＝8，∴x＝9.∵9－4＝5(分钟)＞4分钟，∴此次消毒能有效杀灭空气中的病菌．21．【解】(1)∵C(0，3)，∴OC＝3.∵四边形OABC是正方形，∴OA＝OC＝3.∵点M，D在直线y＝x－1上，∴易得点M(1，0)，D(3，2)．∵点D在y＝eq\f(k,x)(k≠0，x>0)的图象上，∴k＝3×2＝6，∴反比例函数的表达式为y＝eq\f(6,x)(x>0)．(2)设P(a，a－1)．对于y＝eq\f(6,x)，当y＝3时，x＝2，∴N(2，3)．又∵M(1，0)，∴MN2＝(2－1)2＋32＝10.∵CP＝MN，∴CP2＝MN2，∴a2＋(a－1－3)2＝10，整理，得a2－4a＋3＝0，解得a1＝1，a2＝3.∴P(1，0)或(3，2)．22．【解】(1)将点A(1，n)的坐标代入y1＝－x＋4，得n＝－1＋4＝3，∴A(1，3)．将点A(1，3)的坐标代入y＝eq\f(k,x)，得3＝eq\f(k,1)，解得k＝3.∴双曲线的函数表达式为y＝eq\f(3,x).(2)结合图象可知，不等式eq\f(3,4)x＋b>eq\f(k,x)的解集为x>1.(3)对于y1＝－x＋4，令y1＝0，得0＝－x＋4，解得x＝4，∴B(4，0)．将点A(1，3)的坐标代入y2＝eq\f(