第一章向量代数习题

第一章向量代数

习题1.1

1.试证向量加法的结合律，即对任意向

量a,》,c成立

(a+5)+c=a+(>+c)・

证明：作向量标=a,前=b,5=c(如下图),

贝(a+b)+c=(AB+BC)+CD=AC+Cb=AD,

a+(b+c)=XB+(BC+CD)=AB+BD=AD,

故(a+))+c=a+3+c).

2.设a9两两不共线，试证顺次将它们的终

点与始点相连而成一个三角形的充要条件

a+b+c=0.

证明：必要性，设的终点与始点相连而

AB

成一个三角形AA5C,

^\a+b+c=AB+BC+CA=AC+CA=AA=O.

充分性，作向量通=a,近=九而入，由于

O=a+b+c=AB+BC+CD=AC+CD=AD,所以点A与。重

合，即三向量祓c的终点与始点相连构成一

个三角形。

3.试证三角形的三中线可以构成一个三

角形。

证明：设三角形AA3C三边A5,3C,CA的中点分别

是D,E,F。(如下图)，并且记

a=AB,b=BC,c=CA9则根据书中例1.1.1,二条

中线表示的向量分别是

CD=-(c-b),AE=-(a-c),JF=-(b-a),

222

所以，CD+AE+BF^-(c-b)+-(a-c)+-(b-a)=O,故由上

222

题结论得三角形的三中线①3所可以构成

一个三角形。

4.用向量法证明梯形两腰中点连线平行

于上、下底且等于它们长度和的一半。

证明：如卜图，梯形ABCD两腰5C,AO中点分

别为E],记向量通』直=5,

则而=砥而向量方与而共线且同向，所以存

在实数丸＞o,使得丽=2ZB.现在而=b+a,FC——b+4a,

由于E是3c的中点，所以

VE=-(FB+FC)=-(b+a+Aa-b)=-(l+A)a=-(l+A)AB..ft

2222

IFEI=-(I+2)IAB|=-(|AB|+A|AB|)=-(|AB|+|DC|).

2，2''2

故梯形两腰中点连线平行于上、下底且等

于它们长度和的一半。

5.试证命题1.1.2。

证明：必要性，设3c共面，如果其中有

两个是共线的，比如是“，则.线性相关，

从而amc线性相关。现在设a区c两两不共线，

则向量c可以在两个向量2上的进行分解，即

作以c为对角线，邻边平行于“的平行四边

形，则存在实数九〃使得c=2a+W，因而a也c线性

相关。

充分性，设/C线性相关，则存在不全为

零的数册&内,使得占〃+05+43c=0O不妨设e。，

则向量C可以表示为向量沙的线性组合，因此

由向量加法的平行四边形法则知道向量C平

行于由向量.决定的平面，故3c共面。

6.设2,C是不共线的三点，它们决定一平

面口，则点P在II上的充要条件是存在唯一的

数组（九少）使得

fOP=XOA+piOB+vOC9（*）

U+〃+v=1,

其中，o是任意一\点。p在AA5C内的充要条件

是（*）与人0,砂0,晨0同时成立。

证明：必要性，作如下示意图，连接AP并

延长交直线5c于Ro

则由三点3,R,C共线，存在唯一的数组用此

使得砺=叫砺+七］,并且用+七=1。由二,点4,P,R共

线，存在唯一'的数组.使得而=，厮+4砺，并且

/i+4=l。于是OP=llOA+l2OR=llOA+l2kiOB+l2k2OC，设

A,=li,fi=l2kl,v=l2k2,由kt,k2,4,4的唯一*性知道的

唯一性，则而=病+juOB+vOC9日、X+〃+v=/]+12kl+12k2=1o

充分性，由已知条件有

OP=AOA+juOB4-vOC=AOA+juOB+(1-2-JLI)OC

=A(OA-OC)+/i(OB-OC)+OC=ACA+/A：B+OC,得至U

CP=ACA+^iCB,因而向量画瓯而共面,即尸在A,5,C

决定的平面上。

如果P在AA5C内，贝UP在线段AR内，R在线

段6c内，于是0<jt,,jt2,Z,,/2<l,贝I]04九,//,1/41。

如果(*)成立且0<2,/z,v<1,则有所=ACA,+从CB,

这说明点尸在角ZACB内。同样可得到

AP=^iAB+vAC,这说明点尸在角ZBAC内。故尸在AA5C

内。

7.在AA8C中，点O,E分别在边8C与CA上，

且叫BC,CE=gcA,AD与BE交于R,试证

14

RD=—AD,RE=—BE.

77

证明：作如下示意图，

c

EX

R.y\D

AB

由二点8,R,E共线，存在A使得而=女而+(1一.而，

由二点共线，存在/使得而=画+(1-/)5，

由于BD=^BC,CE=^CA,有CD=^CB,CE=^CA,因而

加A瓦+9-哂=①+剑-,)丽。由于向量区丽不

共线，所以A$I®T「A),解此方程组得

k=-,l=-由此得方―而+3近，

77o77

—.—►—►4—►3—►—►4—►—►4—►

ER=CR-CE=-CB+-CE-CE^CB-CE^-EB。

同理得到丽，而。故得欢=-AD,RE=-BE.

777

8.用向量法证明A43C的三条中线交于一

点P,并且对任意一点。有

OP=^(OA+OB+OC).

证明：设D,E,尸分别是边AB,5C,CA的中点,

则房加交于一点P,连接

CP,CDo由A,P,E二点共线，存在A使

CP=kCF+(l-k)CB=-kCA+(l-k)CB，由8,P,F二点共线，

2

存在,使CP=lCE+(l-l)CA=-lCB+(l-l)CA，于是得

2

-k=i-i,-i=i-k,解得A=/=2。从而有丽」而+,出，

22333

然而诙=；方+；万，故方=；)，即C,p,o三点共线，

A4BC的三条中线交于一点八

任取一点0,由丽=冲+咨，得到

OP-OC=^(OB-OC)+^(OA-OC)J于是而=g(丽+丽+而).

9.用向量法证明四面体A5CO的对棱中

点连线交于一点P，且对任意一点。有

OP=~(OA+OB+OC+dD).

证明：设四面体A5CD的棱AB,AC,AO的中点

分别是一,CM,棱5C,CD,O5的中点分别是E,F,G,

如卜图。则对棱中点连线为BF,C'G,D'Eo

则容易知道再」血=西，CD'=-CD=EG,因

22

此四边形CDGE是平行四边形，C"G,"E相交且交

点是各线段的中点。同理”,C，G也相交于各线

段的中点，故52CG0E交于一\点尸。

由以上结论知道，对任意一点。，由尸是

D'E的中点,有

dP=^(OD'+OE)=~^OA+^OD+^dC+^OB),

KPOP=^(OA+OB+OC+OD).

10.设A(i=l,2,…向是正〃边形的顶点,O是

它的中心，试证为西=0.

i=l

证明：设”力西，将正〃边形绕着中心旋

1=1

转凡n一方面向量.绕点。旋转了角度n多而得到

一个新的向量H；另一方面，正〃边形绕着中

心旋转口n后与原正〃边形重合，因而向量.没

有变化。方向不同的向量要相等只能是零向

量，故为两=0.

<=1

证法2:由于4(』,2,…是正〃边形的顶点,

。是它的中心，所以西+西;=4西;(i=l,2,…,〃)，其

中心=44,2=4o由三角不等式得到

西+西;卜同西卜西+|西;卜2西|(i=l,2,…，故有

\k\<2o所以为(西+皈)=2之两=应可，由于同<2,

1=11=1i=l

所以石西=0.

i=l

11.试证：三点46,。共线的充要条件是

存在不全为零的实数九i使得

AOA+/nOB+vOC=0日.2+〃+v=0

其中，。是任意取定的一点。

证明：必要性，如果三点C中至少有

两点重合，比如4,5重合，则函-而=0,所以结

论成立。如果A,3,C互不重合，由例1.1.1知道

三点C共线的充要条件是存在数A使得

kOA+(1-k)OB-0C=0,^^A=k,〃=l-k,v=-l,贝U丸,〃/

为零，有AOA+fiOB+vOC=0?A+ju+v=k+(l-k)-l=0o

充分性，设;1次+〃砺+〃而=0且;1+〃+用0,贝IJ

AOA4-juOB-(2+〃)OC=0，

A(OA-OC)+n(OB-OC)=ACA+^CB=0,由于;l,不全为零,

以及点。的任意性，可知心不全为零，否贝心

也为零。所以不妨设之/0，则瓦=一犷〃而，因而

-----4,5,C共线o

习题1.2

1.给定直角坐标系，设尸(…⑶，求尸分别关

于心平面，x轴与原点的对称点的坐标。

解：在直角坐标系下，点—y,z)关于g平

面，*轴与原点的对称点的坐标分别是(“/),

2.设平行四边形45。的对角线交于点尸，设

DM==*西在仿射标架卜；函呵下，求点

PMN的坐标以及向量诉的坐标。

解：作如下示意图，

因为P是06中点，所以不，通通.

22

-A--M---=---D--M--+——AD=-1D一B+——AD=-1(A—B-A——D)+A——D=-1A一B+-4A——D.

5555

前=:m=京海+砌.故在仿射标架{A；函到下，点

P,M,N的坐标分别为

MN=MD+DC+CN=-BD+AB--AJC

56

=-1{一AD-A一B)+A一B——1(一AB+A一D)=-19A一B+—1一AD,

563030

所以向量赤在仿射标架卜;函呵下的坐标

为(竺-)

八30,30,

3.设a=(l,5,2),)=(0,-3,4),c=(-2,3,-l),,求下列向量

的坐标：

(1)2a-b+c；(2)-3a+25+4co

解：(1)2a-b+c=2(1,5,2)-(0,-3,4)+(-2,3,-1)=(0,16,-1).

(2)-3a+2b+4c=-3(1,5,2)+2(0,-3,4)+4(-2,3,-1)=(-11,-9,-2).

4.判断下列各组的三个向量“,c是否

共面？能否将C表示成设的线性组合？若能

表示，则写出表示式。

(1)a=(5,2,D,b=(-1,4,2),c=(-1,-1,5);

(2)a=(6,4,2),〃=(一9,6,3),c=(-3,6,3);

(3)a=(1,2,-3),6=(-2,-4,6),c=(1,0,5).

解：(1)设k}a+k2b+k3c=0,即

5左］一左2一左3二0,、、、

2占+%-右=0,该方程

(%+2A2+5.=。・

组只有零解&=占=七=0,所以三向量不共面。

(2)设4］。+42)+左3。=0，即

［6ky-9k2-3k3=0,、、、

匕(6,4,2)+42(-9,6,3)+々3(-3,6,3)=0,贝卜占+6k2+6k3=0,该方程

+3左2+3M3=。・

组等价于由此得到y-猛&=-赳,

I।+3K12+3/i3vF•/3

只要右不为零，加的就不为零，所以三向量共

面。取—贝队=一；此=4,所以c=；a+荻即c可表

示成2的线性组合。

（3）kxa+k2b+k3c=0,BP

k[-2k2+左彳=0,、、、

2自-%=0,该方

｛一3A]+6k2+5k3=0.

程组等价于卜-：=°，方程组有非零解（2,1,

离=0-

0）,所以三向量共面。由于心只能为零，故c

不能表示成少的线性组合。

5.在AA5C中，设O,E是边8C的三等分点，试

用热和恁表出而与亚。

6.设在一平面II上取一个仿射标架｛0当必｝,

n上三点匕（七,匕）"=1,2,3,共线当且仅当二；1=0.

七以1

证明：三点"…）,』,23共线当且仅当

职职，即二二五」.展开得

与一巧y3f

巧%+*23+一X1%-x3y2-x2yt=0.

I：I：I。展开行列式得

*3%1

0

*1%+*2%+“I-*逮3-“2-巧为=-故命题成立。

7.在AA5c中，设P,°,R分别是直线A8,BC,CA上

的点，并且

AP=APB^BQ=//QC^CR=vRA.

证明尸@R共线当且仅当如一.

证明：邳口下示意图，

由于P,?,R分别是直线A5,3C,CA上的定比分点,

所以八-1丰-l,v丰-1o建仿射标架卜；函正｝,由于

AP=APB=A（AB-AP）,AP=XPB=^—AB；

1+2

AR=AC-RC=AC-vAR,AR=AC；

1+v

BQ^nQC=BC+CQ,QC=-^—BC,

l+〃

AQ=AC+CQ=AC+-^—CB=AC+—^—（AB-AJC）=-^—AB+-^—ACO

l+〃1+41+4l+〃

所以P,°,R在仿射标架卜;瓯砌下的坐标分别为

p（与,0）,2（「,尸）,叫；）。根据上题的结论，P,@,R

1+21+〃1+〃1+v

共线当且仅当qqi=o.展开行列式即得

0

1+v

至UXjXV——1.

9.试证命题1.2.1o

证明：取定标架｛。当,%必,设向量

(1)Q+》=(。步］+0202+03,3)+(01，1+62。2+力遇3)

=(%+如电+%，%+%)・

=(%+4)e［+(a2+b2)e2+(a3+b3)e3

a-b=(aeae)-(瓦%+be+be)

(2)il+a2e2+332233

=(%—"1)。1+(。2-”2)。2+(“3—”3)，3=("1-b］，02-，2'03-，3)*

(3)Aa=A(alel+a2e2+a3e3)=Aaiel+Aa2e2+Aa3e3=(2ar2a2,2a3)o

习题1.3

1•+c=0,|a|=3,|ft|=l,|c|=4，<jCab+bc+cao

角牛:由a+b+L=0,同=3,1=1,卜|=4,7f寸

0=(a+1+c)3+1+c)=同，时+|cf+2(ab+bc+ca)

=9+1+16+2(。b+bc+ca),

ab+bc+ca=-13.

2.已知同=3,网=2,/(25)=生，求(3a+2b)(2a-5。)o

6

解：(3a+2Z>)(2a—58)=6同2—10时一Ilab

=54-40-1123cos生=14-33百.

6

3.已知a+3。与7a-5b垂直，a-4b与la-2b垂直，求

N(a,b)o

解：因为a+3b与la—5b币;白.’a—4b7a—2b垂直,

所以

(a+3Z>)(7a-55)=7k「-15时+16aZ»=0,

V

(a-4b)(7a-26)=7|«|2+8|Z>|2-30a6=0

得至U|a「=时=2ab,于是3/(4,5)=91=；,故/(4,5)=].

同例23

4.证明：对任意向量.都有

卜+“+卜一叶=2同2+2时.

当。与方不共线时，说明此等式的几何意

义。

证明:\a+b[+|a-b[=(a+〃)(a+〃)+(a-力)(a-b)

=|a|2+\b[+2a&+|a|2+时-2ab=2|a|2+2时.

当〃与万不共线时，此等式的几何意义是以

a与〃为邻边的平行四边形的两条对角线的

平方和等于四边的平方和。

5.下列等式是否正确？说明理由（习惯上

把aa记为/)。

(1)\a\a=a2;(2)a(bb)=ab2;

(3)a(ab)=a2b;(4)(ab)2=a2b2;

(5)(ab)c=a(bc);(6)CQ=C),CW0=>Q=6.

解：(1)错误,因为左边表示向量，右边

是数。

(2)正确，因为“常。

(3)错误，因为左边向量”35)与a共线，

而右边向量汽与。共线。

22222

(4)牵曰,[^|(ab)=abcosZ(a,b)^abo

(5)错误，因为左边向量(ab)c与c共线，

而右边向量好c)与a共线。

(6)错误，因为c"cb.Onc(a-5)=0=c与ad垂

直。

6.证明：三角形的垂直平分线交于一点，

且交点到三顶点的距离相等。

证明：设三角形AA5C的两条边A3,3c的垂直

平分线交于一点0,D,E,F为AB,BC,CA边的中点,

以。为始点，为A,B,C,D,E,F终点的向量记为

a,b,c,d,e,f。贝tld=；(a+Z>),e=；(A+c)J=；(c+a),

AB=b-a,BC=c一b,CA=a-c.

由于OO,OE是的垂直平分线，

所以用=/")=0,诙e=⑹=0,Y=T=/由此

得到川二心不。,说明。F是CA的垂直平分线，

即三角形的垂直平分线交于一点，且交点到

三顶点的距离相等。

7.证明：设““不共面，如果向量，满足

ra=0,rb=,rc=0,

则r=0。

证明：因为不共面，所以可设r=xayb+zco

则

rr=r(xa+yb+zc)=xra+yrb+zrc=0,r=0o

8.用几何方法证明：右4也，…也;C…,c.

都是实数，则有

+b：+c：+Ja；+b；+c；+••-+Ja：+b；+c；

N+%--------*"4J+(4+瓦■(------bb“)2+(C]+qH---------^+工•

等号成立的充分必要条件是

:a:q=a?：&:。2=…=a“:b,1:c“_13一%,。2,…,4；瓦,％,…,b“;C],Cz，…,c“)J

别同号。

证明：设在直角坐标系下，向量

«,=(a,,2,q),i=l,2,…,〃.则由二角不等式得

|…+.•・+小同+同+..+%，并且等号成立的条件

是向量%=(0”“),i=1,2,…,/i同向，将坐标代入就有

[a：+b；+c：+Ja；+*+c：+…++力；+c；

之J(0[+《+,••+"〃/+(〃[+%+・一+〃“)2+(q+Q+・一+C〃)2・

等号成立的充分必要条件是

分

a,:b,:c,=a2:b2:c2=-=an:bn:cnJE,a,,a2,•••,a„;Z>,,Z>2,c2,---,c„

别同号。

习题1.4

1.设/表示向量4在与向量”()垂直的平面

上的投影，则有。xb=a'xbo

证明：由于优表示向量。在与向量AwO垂直的

平面上的投影(如下图)，则由研构

成的平行四边形的面积与j构成的矩形

的面积相等，”仇八方的方向相同，因而，

axb=arxbo

2证明：(axb)2=a2b2-(ab)2o

证明：(axb)2=a2b2sin2Z(a,b),

a2b2-(ab)2=a2b2-a2b2cos2Z.(a,b)=a2b2sin2Z(a,Z>),

^L(axb)2=a2b2-(ab)2o

3.证明：若axb=cxd，axe=bxd则”d与…共线。

证明

(a-d)x(b-c)=axb-axc-dxb+dxc=ax5-cxd-axc+》xd=0，故^

a-db-co

4.证明：(a-b)x(a+b)=2(axb),并说明其几何意

义。

证明：

(a-b)x(a+b)=axa+axb-bxa-bxb=O+axb+axb-O=2(axb).

以a,0为邻边的平行四边形的对角线构成

的平行四边形的面积等于可为邻边的平行

四边形的面积的2倍。

5.在直角坐标系中，已知。=(2,3,-1)/=(1,一2,3)，

求与常都垂直，且满足如下条件之一的向量

(1)c为单位向量;

(2)cd=10,其中=(2,1-7)O

解：因为向量C与d万都垂直，所以可设

c=Aaxb，而

%e2

axb=23-1=(7,-7,-7),\axb\=7y/3o

1-23

(1)因为C为单位向量，所以k1=1,即

神、同=1,|小品=志，故，=±*(1,一1,_1)o

(2)由d=(2,l-7)，cd=10，得4(14一7+49)=10,4=包，于

28

是，=%1TT)。

6.用向量法证明:

(1)三角形的正弦定理号=4=*；

sinAsinBsmC

(2)三角形面积的海伦(Heron)公式，式

中””经，△为三角形的面积，其中为三

角形三边的长。

证明：(1)设角43,C对应边表示的向量为

〃小，由向量外积的模的几何意义知道

1

#xb|=#xc|=1|cxd,于是卜||6|sinC=|&||c|sinA=|c||a|sinB，

乙乙2乙2

故，-=上=，

sinAsinBsinC

(2)A2=-\axb^=-(a2b2-(ab)2)=-(a2b2-a2b2cos2N(a,，))

444

=-a2b2(a~C)2)=+Z>2-c2)2)

4lab44

=^(4a2b2-(a2+b2-c2)2)=^(2ab+a2+b2-c2)(2ab-a2-b2+c2)

=­((a+b)2-c2)(c2-(a-b)2)=—(a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b)

1616

=p(p-a)(p-b)(p-c)o

7.证明Jacobi恒等式Qx(5xc)+5x(cxa)+cx(ax》)=OO

证明：由双重外积公式

ax(》xc)+6x(cxa)+cx(ax5)

=(ac)b—(ab)c4-(ba)c-(bc)〃+(cb)a-(ca)b=0o

8.设”0,而…求满足方程”x=b的点P的轨

迹。

解：由外积的定义及外积模的几何意义，

点尸的轨迹在与方垂直的平面上，且与过点。

平行于〃的直线的距离为2的直线，而且｛小⑶

a

保持右手系。

习题1.5

1.证明:(axb)c=(bxc)a=(exa)bo

证明：如果〃公共面，则(axb)c=(bxc)a=(cxa)b=0o

如果a,b,c不共面，则\(axb)c\=\(bxc)«|=|(cxrz)b\,

{a,b,c},{仇c,a},{c,a,b}符合相同的右手或左手规则，

因而(axb)c9(bxc)a9(cxa)b有相同的符号，故

(axb)c=(bxc)a=(cxa)bo

2.证明：a,仇c不共面当且仅当axM>xc,cxa不共

面。

T1E明：区I关J[(axZ>)x(6xc)](cxa)={[(axZ>)c]b-[(axb)Z>]c}(exa)

={[(axb)c])}(cXQ)=[(ax))c][b(cxa)]=[(axb)c]2,

(axb)c=0[(axb)x(bxc)](cxa)=0o

故2c不共面当且仅当axb,bx.c,cxa不共面。

3.在右手直角坐标系中，一个四面体的顶

点为4(1,2,0),5(一1,3,4)，C(-l,-2,-3),D(0,-l,3)，求它的体积。

解：因为

-214

(AB,AC,AD)=-2-4-3=59,

-1-33

所以四面体ABCD的体积匕〜=冰福南砌|=年.

4.证明Lagrange恒等式

acad

(axb)(cxd)=

bcbd

证明：(axb)(cxd)=a[bx(cxd)]=a[(5d)c-(bc)d]

acad

=(ac)(bd)-(ad)(bc)=

bcbd

5.证明：(a+8力+c,c+a)=2(a,〃,c)o

证明因为

(a,b,d+e)=(ax〃)(d+e)=(axb)d+(axb)e=(a,b,d)+(a,b,e),W

{a+〃,〃+c,c+a)=(a++c,c)+(a+〃，方+c,a)

=(a+仇。,c)+(a+),c,c)+3,〃+c,a)+S,A+c,a)

=(a+b,b,c)+(〃,b+CM)=(a,b,c)+(b,b,c)+(b,b,a)+(b,c,a)

=2(a,〃,c)o

6.证明：(a,b,cxd)+(b,c,axd)+(c,a,bxd)=0o

证明：左边=[(axb)xc]d+[(万xc)xa]d+[(cxa)x》]d

={[(ac)b-(bc)a]+[Sa)c-(ca)〃]+[(cb)a-(ab)c]}d=0d=0—

边。

7.证明：对任意四个向量a…有

(),c,d)a+(c,a,d)》+(a,)，d)c+(3，〃,c)d=0o

证明因为

(b9c9d)a+(b9a9c)d=(b,c,d)a+(c,b,a)d=[(6xc)d]a+[(cxb)a)]d

=[(/xc)d]a-[(/xc)〃)]rf=(/xc)x(Qxd),同理

(c9a9d)b+(a9b9d)c=(a,d,c)b+(d,a,b)c=(a,d,c)b-(a,d,b)c=(axd)x(bxc)

所以

(b,c,d)a+(c,a,d)b+(a,b,d)c+(b,a,c)d=Sxc)x(axd)+(Qxd)x(〃xc)=0o

8.证明：右"〃与b不共线,贝ll〃x(ax力)与Ax(ax〃)不

共线。

证明：因为。与〃不共线，所以”“0.

由JT[ax(ax6)]x[6x(ax6)]={[ax(ax6)](axb)]b-{[ax(ax6)]b}(axb)

=一{[〃x(axft)]b}(axb)={[(axb)xa]b}(axb)=[(«xft)(axb)](axb)

=(axb)2(axb)H0,|大Ifft]ax(ax6)与Ax(axA)不线o

9.已知都是非零实数，向量“，，的混合积

(a,b,c)=aft，如果向量，满足

ra=a,rb=0,rc=0，

求此向量r。

解：由条件得到r(J3a-ab)=0,而且rc=0,因此

可设r=A(^a-ab)xc,现在两边分别与。作内积，

则有a=ra=Aa[(^a-ab)xc]=-aA(a^b^c)=,

2=--j=(—Z>-—a)xco

appa

10.设右必必不共面，证明：任一向量4可以

表示成

Q=7-~；(3述2，。3)6+(。述3科])。2+(。述],。2%3)O

(el9e2,e3)

证明：因为w,不共面，所以任一向量a可

以表示成a=xe,+ye2+ze3o两边分别与向量

02X03,63X61,61X62作内积，得至tI

3,«2，03)=”(。1,，2，03)=MR，，2，/)，(〃，，1，‘2)=)

因而

a=-^((。,？2，。3)。1+(。,，3，,1)，2+(。，，1)，3)。

(el9e29e3)

11.设a,b,c不共面，设向量r满足

ra=a,rb=/3,rc=y,那么有

r=——-——(abxc+ficxa+yaxb)o

3,九c)

证明：因为％A,c不共面，所以axb,bxc,cxa—』

共面，从而可设

r=x(〃xc)+y(cxQ)+z(axb),两边分别与ab作内

积，则有

a-ar=xa(bxc),0=br=yb(cxa),/=cr=zc(axb),于是

r=——-——(abxc+ficxa-^yaxb)o

3,九c)

第二章直线与平面

习题2.1

1.求通过两点4(2,3,4)和5(5,2,一1)的直线方程。

解：直线的方向向量为热=(3,-1,-5),所以

直线的方程为彳=哼=三

3—1—5

2.在给定的仿射坐标系中，求下列平面

的普通方程和参数方程。

(1)过点(-1,2,0),(-2,-1,4),(3,1,-5)；

(2)过点和z轴；

(3)过点(2,0,-1)和(-1,3,4),平行于y轴；

(4)过点(-1,-5,4),平行于平面3x-2y+5=0。

解：(1)平面的方位向量为

匕=(-1,-3,4),匕=(4,-1,-5)，所以平面的参数方程

x=-1-2+4//,

<y=2-34

[z=42-5/z.

平面的普通方程为

x+1y-2Z

-1-34=0,即19x+Uy+13z-3=0.

4-1-5

(2)平面的方位向量为y,=(3,l,-2),v2=(0,0,1)，

所以平面的参数方程

工=3+34

+因为过z轴，所以也可选经过的

(z=-2—2A+

点为(0,0,0),那么参数方程也可以写为

卜=32,

卜=4,

[z=-22+ju.

平面的普通方程为

xyz

31-2=0,即x-3y=0.

001

(3)平面的方位向量为!=(—3,3,5),“(0」,0)，

所以平面的参数方程

x=2—3%,

y=34+〃，

z=-1+54.

平面的普通方程为

x-2yz+1

-335=0,即5x+3z-7=0.

010

（4）平面的方位向量平行于平面

3x-2j+5=0,方位向量（x,y,z）满足3x-2y=o,因此

可以选为匕=（2,3,0）,%=（0,0」）o所以平面的参数方

程

x=—1+24,

<y=­5+34,

[z=4+〃.

平面的普通方程为

x+1y+5Z-4

230=0,BP3x-2j-7=0.

001

3.在直角坐标系中，求通过点（1,。,一2）并与

平面

II]:2x+y-”2=0不口II2:x-_y-z-3=0

均垂直的平面方程。

解：平面n.,n2的法向量分别是

%=（2,1,-1）,%=（1,一1，-1），所求平面与口”风均垂直，所

以它的法向量〃与〃”2均垂直，因此

〃/x%=(2,1,-1)x(1,-1,-1)=(-2,1,-3),

平面的方程为-2(r-l)+j-3(z+2)=0,即

2x-y+3z+6=0.

4.在直角坐标系中，求经过点

监(3,-1,4),%(1,0,-3)，垂直于平面2x+5y+z+l=0的平面

方程。

解：设平面的法向量为〃，则它与两;垂

直，它又与平面2x+5y+z+l=0的法向量(2,5,1),故

n=(-2,l,-7)x(2,5,l)=12(3,-1,-1).所以所求平面的方程为

3(x-3)-(j+l)-(z-4)=0,BP3x-j-z-6=0.

5.在直角坐标系中，设平面口的方程为

Ax+By+Cz+D=Oj其中设此平面与二坐标

轴分别交于监,也必，求三角形弧,弧,M3的面积

和四面体的体积。

解：由于ABCDX。，所以平面的三个截距分

别为A因BC此四面体。峪也%的体积为

y」/)(&/)」匹.

6ABC6\ABC\

二角形M，%,h的面积S=xM闯,

HUAf.AZx—,0)x(—,0,——)=

1213ABACBCCAAB

所以s="绰尤

2\ABC\

6.设平面TI:Ax+By+Cz+D=0与连接两点

和加2(*2'，2'?2)的线段相交于点M，且

=J证明

_Ax,+By.+Cz+D

k=---------!--------------------}----------o

AX+

2By2+Cz2+D

证明：因为西=A丽心所以由定比分点的

坐标公式得到点M的坐标

*=任「专誓六音，将它们代入平面方

程中得

6日+C特+八。，整理即得

k_Ax,+Byx+Czi+D

AX+4-

2By2Cz2+D

习题2.2

1.求经过点Tl,3),并且通过两平面

2x-7y+4z-3=0与3x—5y+4z+U=0的交线的平面方程。

解：经过交线的平面束方程为

21(2x-7j+4z-3)+22(3X-5J+4Z+11)=0，其中4，%不全为零。

所求平面经过点(.2,1⑶，将它代入上式得到

4一64=0，可以取4=6,4=1,因此平面的方程为

15x-47j+28z-7=0.

2.判断下列各对平面的相关位置。

(1)x—2y+z-2=03x+j-2z-l=0

(2)3x+9j-6z+2=02x+6y-4z+：=0；

(3)x+2j—z—1=0—+j——+2=0o

解：(1)平面的法向量分别是(1,一2,1),(3,1,一2),

它们不共线，所以两平面相交。

(2)两平面的系数之比的关系为

14=^4，所以两平面重合。

26-44

3

(3)第二个平面的方程化为x+2y.z+4=0,

所以两平面的系数之比的关系为卜|=9？，

所以两平面平行。

3.将下列直线的普通方程化为标准方

程。

(1)尸"+2=0,⑵Iy-1=0,

4y+3z+1=0；2+2=0.

解：(1)方程可写成:;，一久内所以标

准方程为十y-2z+3

3-4

(2)标准方程为

4.求通过点N0(l,4,—2)且与两平面

风:6x+2j+2z+3=0,n2:3x-5j-2z-1=0

均平行的直线方程。

解：直线的方向向量v=(x,y,z)与已知两平

面均平行，所以

产+2丫+22=。，得到N：Z=L3:(-6),

(3X-5y-2Z=0

于是直线的方程为

x-1y-4z+2

13-6

5.判断下列各对直线的位置。

x+ly-1z-2xy-6z+5.

(1)==,——•

331-123

(2)x+y+z=O,Jx+z+l=O,

J+z+1=0,+J+l=0.

解：(1)直线誓=F=彳经过点Mil,2),

方向向量是匕=(3,3,1),直线彳=?=胃经过点

—123

^,(0,6,-5)，方向向量是y2=(-1,2,3)。

15-7

混合积砥皈匕,匕)=331=一106工0,所以两直线

-123

异面。

(2)直线方程可分别化

[y+z+l=0,[x+y+l=0.

为FW4

W=*=彳.经过的点分别是M2(-1,0,0).方

—111

向向量分别是v,=(0,l,-l),v2=(-1,1,1).混合积

(M1M2,vi,v2)=01一1=100,且”=0,所以两直线异面

-111

且互相垂直。

6.求直线；与平面"一2k7=0的交点。