湖南省2025届高三下学期“一起考”大联考（模拟二）数学试题

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页湖南省2025届高三下学期“一起考”大联考（模拟二）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合A=x∣x2A．1 B．0,1 C．0,2．以y=±2A．x24−C．y22−3．已知平面向量a=−3,−A．1 B．3 C．−3 D．4．若tanα=2tanβA．−19 B．19 C．25．甲､乙､丙､丁､戊5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去向老师询问成绩，老师对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从这两个回答分析，5人的名次排列的情形有（

）A．36种 B．48种 C．54种 D．64种6．已知a∈R，函数fx=ex+A．−∞,−C．1,+∞7．已知某正三棱柱外接球的表面积为4π，则该正三棱柱体积的最大值为（

A．1 B．2 C．22 8．记数列an的前n项和为Sn，若an+12=A．0 B．1 C．2 D．3二、多选题9．已知z1，z2都是复数，下列正确的是（A．若z1=z2，则z1C．若z1=z2，则z110．下列四棱锥的所有棱长都相等，A，B，C，D，E是四棱锥的顶点或所在棱的中点，则直线DE不与平面ABCA．

B．

C．

D．

11．已知函数fx=eA．fB．对任意实数xC．fD．若直线y=t与函数y=fx和三、填空题12．已知实数a,b,c满足3a=13．已知函数fx=sinωx+π614．已知过抛物线C:y2=2pxp>0的焦点F2,0的直线与抛物线C交于A,B两点（A在第一象限），以A四、解答题15．中国是茶的故乡，茶文化源远流长，博大精深.某兴趣小组，为了了解当地居民对喝茶的态度，随机调查了100人，并将结果整理如下：单位：人年龄段态度合计不喜欢喝茶喜欢喝茶35岁以上（含35岁）30306035岁以下251540合计5545100(1)依据小概率值α=0.1的(2)以样本估计总体，用频率代替概率.该兴趣小组在当地喜欢喝茶的人群中，随机选出2人参加茶文化艺术节.抽取的2人中，35岁以下的人数记为X，求X的分布列与期望.参考公式：χ2=n参考数据：α0.100.050.0100.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.82816．在△ABC中，内角A,B(1)判断△A(2)设AB=1，且D是边BC的中点，求当17．在三棱锥P−ABC中，平面PAB⊥

(1)求证：PB(2)若二面角P−AC−B的余弦值为13，且18．已知函数fx(1)当a=1时，求(2)若fx⩾0(3)求证：sin119．已知点F1−1,0,F21(1)求C的方程；(2)直线l:x=4与x轴交于点M,B为l上的动点，过B作①证明：直线BP②⊙N经过B,P,Q三点，是否存在点B答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《湖南省2025届高三下学期“一起考”大联考（模拟二）数学试题》参考答案题号12345678910答案CBDBCBADADBCD题号11答案ACD1．C【分析】由一元二次不等式与一元一次不等式，求得集合，利用交集，可得答案.【详解】由题意可得A=则A∩故选：C.2．B【分析】利用渐近线的求法，直接求出各个选项的渐近线方程，即可求解.【详解】对于A，由x24−对于B，由x2−y对于C，由y22−对于D，由y2−x故选：B.3．D【分析】利用数量积的坐标运算即可求得.【详解】a+故选：D.4．B【分析】由同角三角函数的商式与正弦函数的和角公式，根据方程思想，利用正弦函数的差角公式，可得答案.【详解】由tanα=2tanβ由sinα+β=1则sinα故选：B.5．C【分析】由排列数计算，根据分步乘法原理，可得答案.【详解】分三步完成：冠军有A31种可能，乙的名次有A3所以5人的名次排列有A3故选：C.6．B【分析】根据题意，分别讨论x≤0以及【详解】当x≤0时，0<ex≤1当x>0时，lnx+1综上，实数a的取值范围是−∞故选：B.7．A【分析】根据球的表面积公式可得R=1，即可根据正三棱柱的性质以及勾股定理求得高，利用体积公式可得Vx【详解】设外接球的半径为R，则4πR2设正三棱柱的底面三角形的边长为x，则该三角形外接圆的半径为x3故该正三棱柱的高为h=所以该正三棱柱的体积Vx由x4−x令fx=x所以函数fx在0,2上单调递增，在2,3故V(故选：A.8．D【分析】利用an=an+12−an22−【详解】数列an中，由an+即an所以S=1又a1=0又由an+12=可知a2所以an是整数，于是S30是整数，且a312是偶数的平方，则下面举例说明a31可以取到6a2na26此时S30所以S30故选：D.9．AD【分析】根据共轭复数的定义及复数的乘法运算即可判断A；举出反例即可判断BC；根据复数的乘法运算及复数的模的计算公式即可判断D.【详解】设z1对于A，若z1=z2，则对于B，当z1=z对于C，当z1=1对于D，若z12+z2z1同理z22=z2故选：AD.10．BCD【分析】由线面垂直的判定，结合向量说明线线的不垂直，逐个判断即可.【详解】由条件可知四棱锥为正四棱锥，对于A：

设AB,DE的交点为O，由正四棱锥的结构特征可知：易知：CO⊥ED，又ED所以直线DE与平面A对于B：

取CA的中点为O，连接E有中位线性质可知：EO∥B所以四边形BDEO可证直线DE平行平面A对于C：

设棱长为2，DE所以DE所以AC与DE不垂直，所以直线DE对于D：

设棱长为2，ED=E所以E=所以AC与DE不垂直，所以直线DE故选：BCD.11．ACD【分析】代入化简即可求解ABC，根据函数的单调性可大致判断函数y=fx和y=gx的图象，且【详解】对A，f2对B，gx+y对C，f2对D，f′x=ex当x>0时，f′x>所以fx在x当x→+∞时，fx→g′x=ex当x→+∞所以函数fx

不妨设x1<x2<直线y=t与y=fx令gx=e解得ex>1所以x>ln1又因为x1+x故选：ACD.12．3【分析】由对数式的定义，利用对数的运算律与换底公式，可得答案.【详解】由3a=6所以1a+1b=故答案为：3213．1【分析】先化简函数得fx=3sinω【详解】因为f=3又fx1=0,所以函数fx的最小正周期T=4所以ω=故答案为：1.14．16【分析】先求得p=4，由条件推得AD⊥BD,DE//【详解】依题意p2=2，得p=4由题意可知DE与抛物线的准线x在Rt△ABD中，AD则直线AB的方程为y由y=3x−易得Δ>0,x又原点0,0到直线AB故S△故答案为：16315．(1)不能(2)分布列见解析，2【分析】（1）根据列联表计算得出χ2（2）易知X的所有取值可能为0，1，2，分别计算出对应概率可得分布列及其期望值.【详解】（1）零假设为H0根据列联表中的数据，可以求得χ2根据小概率值α=0.1的χ2因此可以认为H0（2）由题意可知，X的取值可能为0,则PX=0所以X的分布列为X012P441所以X的期望为EX16．(1)等腰三角形(2)3【分析】（1）根据二倍角公式化简可得sinA2−（2）根据余弦定理结合基本不等式可得cos∠CAD≥【详解】（1）由二倍角公式得sinA所以sinA整理得sinA2cos因为A,B∈0,π，所以（2）由（1）及题设，有AC所以cos=3AC又∠CAD为三角形内角，所以∠CAD≤π6，即∠故AD2+CD又由（1）可得△A所以当∠CAD最大时，△17．(1)证明见解析(2)2【分析】（1）过P作PE⊥AB于E，利用面面垂直推出线面垂直，即得PE⊥BC，再由PA（2）法1：过E作EF⊥AC于F，连接PF，证明∠PFE即为二面角P−AC−B的平面角，即得tan∠PFE【详解】（1）

如图，过P作PE⊥A因为平面PAB⊥平面ABC，平面PA所以PE⊥平面又BC⊂平面AB又PA⊥平面PBC,B因为PA,PE⊂所以BC⊥平面PAB，又PB（2）法1：过E作EF⊥AC于由（1）PE⊥平面ABC，AC因PE,EF⊂平面PEF又PF⊂平面PE

所以∠PFE所以cos∠PF又由（1）PA⊥平面PBC，PB因BC⊥平面PAB，AB设∠PAB=θ，因为ABPE=2cosθ所以tan∠解得tanθ=263法2：由（1）可得PA⊥PB,直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系，

记二面角P−AC−B为α所以PA则A2所以AC设平面ACP的法向量为m即−2x+2y易知平面ABC的一个法向量为n=所以cosα解得tanθ=26318．(1)单调递减区间为−1,0(2)a(3)证明见解析【分析】（1）求导，根据函数的单调性可得极值；（2）分情况讨论函数的单调性与最值情况，可得参数值；（3）利用放缩法，由sinx<xx>0，可知若证【详解】（1）当a=1时，则f′当x∈−1,0时，f′x<0,f在x=（2）由题意得f′①当a≤0时，f′x>所以当x∈−1,0②当a>0时，当x∈当x∈a−所以f(因为fx≥0记ga当a∈0,1时，g′a>0,又lna−a−1（3）先证sinx<xx>所以hx在区间0,+∞上单调递减，所以所以sin1n+由（2）可知lnx+1令x=1n即1n所以1n累加可得1n所以sin119．(1)x(2)①证明见解析；②存在，B【分析】（1）根据椭圆的定义，可得曲线C的方程.（2）设直线的方程为y−①根据直线与椭圆的位置关系，由Δ=0可以得到关于k的一元二次方程，根据韦达定理，可得kBP+②法一：分别用k1,k2表示出P,Q,N的坐标，结合①中的法二：分别用k1,k2表示出P,Q,N的坐标，结合①中的法三：分别用k1,k2表示出P,Q,N的坐标，结合①中的法四：分别用k1,k2表示出P,Q,N的坐标，结合①中的【详解】（1）因为TF所以C的轨迹是以F1设C的轨迹方程为x2a2+y又c=1，所以b2=a（2）设B4,t，易知过B且与C相切的直线斜率存在，设直线方程为y−t=k由Δ=64设两条切线BP,BQ①证明：设BF2的斜率为k3因为k1+k②法1：在y−t=k1x−同理，得Q0,t−4易得BP的中点为2,t−2联立y=t−所以NP=−要使∠PNQ=90整理得k1而k1所以t2−312+故存在符合题意的点B，使得∠PNQ法2：在y−t=k1x−同理可得Q0,t−4易得