2024北京五十中高一（下）期中数学试题及答案

试题PAGE1试题2024北京五十中高一（下）期中数学一、选择题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.复数的虚部是（）A.1 B.-2 C.-2i D.22.已知向量，，则（）A. B. C. D.3.在中，三个内角的对边分别是，若，则（）A. B. C. D..4.已知，，则（）A. B.7 C. D.-75.将函数的图像向左平移个单位后，与函数的图像重合，则函数．A. B. C. D.6.已知，那么的值为（）A. B. C. D.7.在中，点满足，则（）A. B. C. D.8.设a，b均为单位向量，则“”是“a⊥b”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件9.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则是（）A.等腰三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形10.将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数图象在区间上单调递减，则m的最小值为（）A. B. C. D.11.函数①，②，③中，周期是且为奇函数的所有函数的序号是（）A.①② B.② C.③ D.②③12.已知函数，则下列四个结论中正确的是（）A.函数的图象关于中心对称B.函数的图象关于直线对称C.函数在区间内有个零点D.函数在区间上单调递增二、填空题共6小题，每小题3分，共18分.13.若函数，则的值为______.14.已知向量，，且，则________．15.已知向量，，则________．16.已知向量，则a与b夹角的大小为_________.17.已知正方形的边长为2，点满足，则__．18.函数的非负零点按照从小到大的顺序分别记为.若，则_________；_________.三、解答题共6小题，共46分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.19.已知，.（1）求的值；（2）求的值．20.已知向量的夹角为，且，求：（1）;（2）;（3）与夹角的余弦值.21.在中，三个内角的对边分别是，若，求,.22.已知函数．（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在区间上的最小值．23.在中,，,，求：（1）的值；（2）角的大小和的面积.24.已知函数.（Ⅰ）求函数的单调递增区间；（Ⅱ）若在区间上的最大值为，求的最小值.

参考答案一、选择题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.【答案】B【分析】根据虚部的定义直接辨析即可.【详解】复数的虚部是.故选：B【点睛】本题主要考查了复数虚部的辨析，复数的虚部为，属于基础题.2.【答案】A【分析】直接根据平面向量的坐标运算求解.【详解】依题意得，.故选：A.3.【答案】B【分析】由正弦定理列方程，即可求出的值.【详解】由，则，，即，解得.故选：B.4.【答案】A【分析】根据角的范围以及平方关系求出再利用商的关系求出，最后由两角和的正切公式可得答案.【详解】因为，，所以，故选：A.【点睛】本题主要考查平方关系、商的关系以及两角和的正切公式，属于基础题.5.【答案】D【详解】分析：根据图像平移即得解析式.详解：由题意可知，故选．点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言.6.【答案】D【分析】根据点的坐标先得出向量的坐标，然后根据向量坐标共线的条件求解.【详解】由题意，，则，，又，则，解得.故选：D7.【答案】C【分析】利用向量的线性运算即可求解.【详解】因为所以.故选：C.8.【答案】C【分析】先化简，再比较与a⊥b关系即可得结果.【详解】因为a，b均为单位向量，，所以“”是“a⊥b”的充分必要条件，选C.【点睛】本题考查向量的模、向量垂直关系以及充要关系，考查基本分析求解能力，属中档题.9.【答案】D【分析】根据余弦定理，得到，求得，即可求解.【详解】因为，由余弦定理可得，又由，所以，所以是钝角三角形.故选：D.10.【答案】C【分析】利用函数的图象变换规律求得的解析式，再利用正弦函数的单调性的性质列不等式求得的最小值．【详解】将函数的图象向左平移（）个单位长度，可得到，其减区间满足:，即，所以函数的减区间为又在区间上单调递减，则则且,即且，所以的最小值为：.故选：C.11.【答案】D【分析】对三个函数化简后分别讨论.【详解】对于①，，周期为π，但不是奇函数；对于②，周期为；又故符合题意；对于③，，由②推导过程可知：周期是且为奇函数，符合题意.故选：D【点睛】三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于或的性质解题；(1)求周期用;(2)判断奇偶性，一般用或.12.【答案】C【分析】利用正弦型函数的对称性可判断A，C选项的正误；在区间上解方程，可判断B选项的正误；利用正弦型函数的单调性可判断D选项的正误.【详解】A选项，，A错误；B选项，，B错误；C选项，当时，，当时，，解得或或或，故函数在区间内有个零点，C正确；D选项，由，，解得，所以单调递增区间为，，令，得，，得，所以在区间上不是单调递增的，D错误．故选：C．二、填空题共6小题，每小题3分，共18分.13.【答案】【分析】由已知利用二倍角公式可求，进而根据特殊角的三角函数值即可求解.【详解】解：∵，∴.故答案为：.【点睛】此题考查正弦的二倍角公式的应用，属于基础题14.【答案】8【分析】利用向量垂直的坐标表示，列式计算即得.【详解】向量，，由，得，所以.故答案为：815.【答案】【分析】根据向量坐标的加法运算和数量积运算求解.【详解】由题意，，则.故答案为：16.【答案】【详解】试题分析：两向量夹角为,又两个向量夹角范围是,所以夹角为.【考点】向量数量积与夹角公式【名师点睛】由向量数量积的定义（为，的夹角）可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算.当然，无论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考查.求解夹角与模的题目在近几年高考中出现的频率很高，应熟练掌握其解法.17.【答案】-1【分析】首先根据条件确定点位置，然后建立平面直角坐标系并写出各点坐标，然后根据数量积的坐标运算进行求解即可.【详解】建立坐标系如图，正方形的边长为2，则，，，点满足，所以，，，所以．故答案为：18.【答案】①.2②.##【分析】根据函数相邻的两个零点之间相距半个周期，结合，即可求出，求出，再根据即可求出.【详解】解：因为函数相邻的两个零点之间相距半个周期，所以，所以，所以，令，则，所以，又因为，所以，所以.故答案为：2；.三、解答题共6小题，共46分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.19.【答案】（1）（2）【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求的值，进而利用两角和的正弦公式即可计算得解；（2）利用二倍即角公式可求的值，进而利用两角差的余弦函数公式即可计算得解.【小问1详解】因为,,所以＝.故.【小问2详解】由（1）知，，所以.20.【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根据数量积的定义求解；（2）待求表达式平方后，结合（1）的结果求解；（3）结合（1）（2）的结果，运用夹角公式求解.【小问1详解】根据数量积的定义，.【小问2详解】，故【小问3详解】由（1）（2）的结果，，则.21.【答案】，【分析】由余弦定理求出、，勾股定理求出.【详解】由余弦定理得，所以，所以，因为，所以，又，所以，所以，所以，22.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【详解】试题分析：（Ⅰ)先利用二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数：，再根据正弦函数性质求周期（Ⅱ)，在（Ⅰ)的基础上，利用正弦函数性质求最值试题解析：（Ⅰ)（1)的最小正周期为；（2)，当时，取得最小值为：考点：二倍角公式、配角公式23.【答案】（1）（2），【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系及正弦定理即可求解；（2）根据（1）的结论及三角形的内角和定理，利用诱导公式及两角和的余弦公式，结合三角形的面积公式即可求解.【小问1详解】因为，所以.因为，所以.由正弦定理，得，解得.【小问2详解】由（I）知，又因为，在中，，所以,又，所以.所以.24.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）利用二倍角的降幂公式以及辅助角公式将函