2024北京顺义一中高一（下）期中数学试题及答案

试题PAGE1试题2024北京顺义一中高一（下）期中数学本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题（每小题4分，共40分，四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则（）A. B. C. D.2.在平面直角坐标系中，，则向量（）A. B. C. D.3.下列函数中，最小正周期为且是偶函数的是（）A. B. C. D.4.在中，，那么等于（）A. B. C. D.5.在，“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（）A. B.C. D.7.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，，则（）A. B. C. D.8.已知函数，则（）A.的最小值为0B.的最小正周期为C.将向右平移个单位所得图象关于原点中心对称D.函数在区间上单调递增9.已知的内角所对的边分别为，面积为，若，，则的形状是（）A.等腰三角形 B.直角三角形 C.正三角形 D.等腰直角三角形10.已知点A，点B，点P都在单位圆上，且，则的最大值是（）A. B.3 C.1 D.2二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11.已知向量，.若，则______；若，则______.12.复数的模等于______；虚部等于______.13.已知向量，，在正方形网格中的位置，如图所示.则______.14.已知圆柱的底面半径为3，体积为的球与该圆柱的上、下底面相切，则球的半径为______，圆柱的体积为______．15.如图，在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水（未满），将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四种说法：①水的部分始终呈棱柱状；②棱始终与水面平行；③水面四边形的面积不改变；④当，且时，是定值.其中所有正确的命题的序号是______.（请在横线上写出所有正确答案的序号，错选不得分）三、解答题（共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）16.已知向量．（1）求；（2）求与夹角的大小；（3）求．17.如图，四棱锥中，底面为矩形，与平面垂直，E为的中点.（1）证明：平面；（2）若，，，求四棱锥的体积.18.已知函数.（1）求的值；（2）求函数的单调递增区间；（3）若函数在区间上的最大值为1，求m的取值范围.19.如图，四棱锥的底面为平行四边形，设平面与平面的交线为m，分别为的中点.（1）求证：平面；（2）求证：.20.①；②；③向量与平行，在这三个条件中任选一个，补充在下面题干中，然后解答问题.已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足______.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）（1）求角；（2）若，求面积的最大值.21.“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，（1）若，①求；②若，设点为的费马点，求；（2）若，设点为的费马点，，求实数的最小值．

参考答案一、选择题（每小题4分，共40分，四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.【答案】D【分析】根据复数的几何意义即可得解.【详解】因为复数z对应的点的坐标是，所以.故选：D.2.【答案】B【分析】利用起点和终点坐标求向量坐标.【详解】依题意，，.故选：B3.【答案】A【分析】借助三角函数得周期性与对称性逐项判断即可得.【详解】对A：，又是偶函数，故A正确；对B：为奇函数，故B错误；对C：周期为，故C错误；对D：为奇函数，故D错误.故选：A.4.【答案】C【分析】利用正弦定理求得.【详解】由正弦定理得.故选：C5.【答案】C【分析】先考虑充分性，再考虑必要性得解.【详解】当，因为在内单调递减，所以，所以“”是“”的充分条件；当时，因为在内单调递减，所以，所以“”是“”的必要条件.故选：C【点睛】本题主要考查充分条件必要条件的判断，考查余弦函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6.【答案】C【分析】由题意结合函数图象平移的规律及诱导公式即可得解.【详解】由题意.故选：C.【点睛】本题考查了三角函数的图象变换与诱导公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.7.【答案】D【分析】由两点间的距离公式求出，再由余弦定理求解即可.【详解】因为O为坐标原点，，，所以，，，所以.故选：D.8.【答案】C【分析】借助辅助角公式、三角函数的值域、周期、三角函数的平移变换与单调性逐项判断即可得.【详解】对A：，故的最小值为，故A错误；对B：，故的最小正周期为，故B错误；对C：将向右平移个单位可得，由的图象关于原点中心对称，故的图象关于原点中心对称，故C正确；对D：当，有，由在上不具单调性，故函数在区间上不是单调递增的，故D错误.故选：C.9.【答案】A【分析】分别从两个条件计算出的正切值，再计算出各个角的角度，即可判断三角形的形状.【详解】由及正弦定理知，故.由，知.从而，，这说明是等腰三角形，不是直角三角形，不是正三角形，故选项A正确，选项B，C，D错误.故选：A.10.【答案】A【分析】设的中点为，得，，将化为，根据可得结果.【详解】设的中点为，因为，，所以，，则，因为，所以，即的最大值是.

故选：A.【点睛】关键点点睛：设的中点为，将化为，是解决本题的关键.二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11.【答案】①.②.【分析】利用平面向量共线的坐标表示结合垂直的坐标表示计算即可.【详解】利用平面向量共线的坐标表示可知，若，则；若，则.故答案为：，12.【答案】①.②.【分析】直接求出复数的模和虚部即可.【详解】由题意知：，复数的虚部为.故答案为：；.13.【答案】6【分析】将，，平移至同一个起点并构建直角坐标系，令单元格长度为1，标出相关向量的坐标，再应用向量数量积的坐标表示求.【详解】将，，平移至同一个起点位置，如下图点位置，并构建直角坐标系，若每个单元格长度为1，又，则，，所以.故答案为：6.14.【答案】①.2②.【分析】根据球的体积公式求出球的半径，根据相切得圆柱的高，根据圆柱的体积公式可得结果.【详解】设球的半径为，则，得，则圆柱的高为，所以圆柱的体积为.故答案为：；.15.【答案】①②④【分析】从棱柱的特征平面可判断①；由，水面，水面，可判断②；由水面四边形的面积是改变的可判断③；由体积是定值，高为定值，则底面积为定值，可判断④.【详解】根据面面平行性质定理，可得BC固定时，在倾斜的过程中，始终有，且平面平面，故水的形状成棱柱状，没水的部分也始终成棱柱状，故①正确；因为平面，平面，则，且，则，即为矩形，又因为水面所在四边形的面积，从图中可以发现，边长不变，而另外一条长随着倾斜程度变化而变化，所以所在四边形的面积是变化的，故③错误；因为，水面，水面，所以水面正确，故②正确；若，，由于水的形状成棱柱，且水的体积是定值，高不变，所以底面面积不变，又在矩形中，四边形的面积为是定值，因为为定值，所以是定值，故④正确.故答案为：①②④.【点睛】方法点睛：常见的线面平行的证明方法有：（1）通过面面平行得到线面平行；（2）通过线线平行得到线面平行，在证明线线平行中，经常用到中位线定理或平行四边形的性质.三、解答题（共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）16.【答案】（1）5，（2），（3）5【分析】（1）直接利用坐标求解即可；（2）利用向量的夹角公式求解；（3）先求出的坐标，再求其模【详解】解：（1）因为，所以，（2）设与夹角为，则，因为，所以，所以与夹角的大小为，（3）因为，所以，所以17.【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）利用中位线的性质得线线平行，再证线面平行即可；（2）利用棱锥的体积公式计算即可.【小问1详解】连接交于F，由底面为矩形可知F为中点，又E为的中点，利用三角形中位线的性质得，因为平面，平面，所以平面；【小问2详解】由，，，及棱锥体积公式可知：.18.【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）利用二倍角公式、差角公式及辅助角公式先化简函数，直接代入计算函数值即可；（2）利用正弦函数的单调性计算即可；（3）利用正弦函数的图象与性质计算即可.【小问1详解】因为，所以；【小问2详解】令，解之得，所以函数的单调递增区间为；【小问3详解】由，结合题意可知，即m的取值范围为.19.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）取的中点，利用中位线的性质先证明四边形为平行四边形，由线线平行证线面平行即可；（2）利用线线平行先证线面平行，再由线面平行的性质证线线平行即可.【小问1详解】取的中点，连接，因为分别为的中点，底面为平行四边形，则，且，所以四边形为平行四边形，即，显然平面，平面，则平面；【小问2详解】易知，平面，平面，所以平面，又平面，平面与平面的交线为m，所以.20.【答案】（1）（2）【分析】（1）若选①：借助正弦定理与余弦定理计算即可得；若选②：借助正弦定理将边化为角后借助两角和的正弦定理计算即可得；若选③：借助向量平行计算即可得；（2）借助余弦定理与基本不等式计算即可得.【小问1详解】若选①：：借助正弦定理可得，即，即，又，故，故；若选②：：借助正弦定理可得，即有，即，又，故，故，故；若选③：向量与平行：由题意可得，即，又，故，故，故；【小问2详解】由（1）知：，又，所以，即，即，当且仅当时，等号成立，故，即面积的最大值为.21.【答案】（1）①；②（2）.【分析】（1）①利用正弦定理角化边，然后利用余弦定理来求解；②利用等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案；（2）由（1）结论可得，设，推出，利用余弦定理以及勾股定理即可推出，再结合基本不等式即可求得答案.【小问1详解】①由正弦定理得，即，所以，又，所以；②由①，所以三角形的三个角都小于，则由费马点定义可知：，设，由得