2024北京大峪中学高一（下）期中数学试题及答案

试题PAGE1试题2024北京大峪中学高一（下）期中数学（满分：150分；时间：120分钟；）一、选择题（本大题共10小题，每题4分，共40分）1．函数的最小正周期为（）A． B． C． D．2．若，且，则是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角3．的值为（）A． B． C． D．4．已知向量，，且，则实数m的值为（）A．―2或4 B．4 C．2 D．―25．比较、、的大小关系（）A． B．C． D．6．函数的定义域为（）A．， B．，C．， D．，7．已知函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，则只需将的图象（）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度8．已知，则（）A． B． C． D．9．已知实数，，“，”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件10．1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用sec（角）表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用csc（角）表示．现已知（），则该函数的最小值为（）A． B． C．1 D．2二、填空题（本大题共5小题，每题5分，共25分）11．已知是第二象限角，且，则______．12．设向量与的夹角为，且，，则在方向上的投影数量为______．13．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧AB和其所对弦AB围成的图形，若弧田的弧AB长为4π，弧所在的圆的半径为6，则弧田的弦AB长是______，弧田的面积是______．14．当时，函数的最小值为______．15．已知函数（）在上的图象有且仅有3个最高点．下面四个结论：①在上的图象有且仅有3个最低点；②在至多有7个零点；③在单调递增；④的取值范围是；则正确的结论是______．（填写序号）三、解答题（本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（13分）已知是锐角，且．（1）化简；（2）若，求的值，17．（13分）已知，求下列代数式的值：（1）；（2）18．（15分）已知函数．（1）利用五点法画函数在内的图象；（2）已知函数（），且的最小正周期为，求的单调递增区间；19．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点，点在单位圆上，（）．（1）求的值；（2）若四边形OADB是平行四边形，求点D的坐标；（3）若，求的值．20．（15分）已知函数（，），再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数的解析式的两个作为已知．条件①：函数两条对称轴之间最短距离为；条件②：函数的图象经过点；条件③：函数的最大值为1．（1）求的解析式及最小值点；（2）已知，若函数在区间上恰好有两个零点，求a的取值范围．（3）若函数在区间（）上有且仅有2条对称轴，求t的取值范围．21．（15分）对于集合和常数，定义：为集合相对的“余弦方差”．（1）若集合，，求集合相对的“余弦方差”；（2）若集合，证明集合相对于任何常数的“余弦方差”是一个常数，并求这个常数；（3）若集合，，，相对于任何常数的“余弦方差”是一个常数，求，的值．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分1．B2．C3．A4．A5．D6．C7．C8．D9．A10．C二、填空题：本大题共5题，每小题5分，共25分．11．12．13．14．15．②③④注：第13题第一个空2分，第二个空3分．第15题全部选对得5分，不选或有错选得0分，选对1个得2分，选对2个得3分．三、解答题：本大题共6小题，共85分．其他正确解答过程，请参照评分标准给分16．（本小题13分）解：（1）（每个诱导公式化简1分，最后结果2分）（2）∵∵且为锐角∴∴17．（本小题13分）解：（1）当时，不成立，∴∴所以（公式1分，答案1分）（2）原式（原式除以2分，上下同除2分，答案2分）18．（本小题15分）（1）列表如下：x0020―20图象如下：（取点正确1分，闭区间1分）（2）因为因为，所以，即因为解得所以的单调递增区间为（）．19．（本小题14分）（1）由点，点在单位圆上，（），则，则；（公式1分，答案1分）（2）四边形OADB是平行四边形，则，则，即，所以点D的坐标为；（3）∵∴∴则20．（本小题16分）（1）方法一：选择条件①②因为，所以，又因为，所以．所以．当，，即，时，取得最小值，所以函数的最小值点为，．方法二：选择条件①③因为，所以，又因为，所以．所以．当，，即，时，取得最小值，所以函数的最小值点为，．（2）∵函数在区间上恰好有两个零点，∴函数的图象与函数的图象在区间上恰好有两个交点，设，则，∵，∴∴．（3）方法一：因为，所以，又因为在区间上上有且仅有2条对称轴，所以，所以．方法二：因为，所以对称轴方程为，又因为在区间上上有且仅有2条对称轴，所以．21．（本小题15分）（1）解：当集合，时，集合相对的“余弦方差”：；（2）证明：当集合时，集合相对于常数