一元二次方程的根的判别式教案

一元二次方程的根的判别式教案一、教学目标1.知识与技能目标学生理解一元二次方程根的判别式的概念，能熟练运用判别式判断一元二次方程根的情况。通过根的判别式的应用，培养学生的运算能力和逻辑推理能力。2.过程与方法目标经历探索一元二次方程根的判别式的过程，体会从特殊到一般的数学思想方法。通过对根的判别式的应用，提高学生分析问题和解决问题的能力。3.情感态度与价值观目标通过探索判别式的过程，培养学生勇于探索的精神。在运用判别式解决问题的过程中，让学生感受数学的严谨性和科学性，体会数学的应用价值。二、教学重难点1.教学重点一元二次方程根的判别式的概念及应用。2.教学难点理解根的判别式与一元二次方程根的情况之间的关系，并能灵活运用判别式解决相关问题。三、教学方法讲授法、讨论法、练习法相结合四、教学过程（一）导入新课1.回顾一元二次方程的一般形式：\(ax^2+bx+c=0\)（\(a≠0\)），并让学生说出其中的二次项系数\(a\)、一次项系数\(b\)和常数项\(c\)。2.提出问题：对于一元二次方程\(x^22x+1=0\)，你能求出它的根吗？引导学生通过配方法求解：\[\begin{align*}x^22x+1&=0\\(x1)^2&=0\\x1&=0\\x&=1\end{align*}\]此时方程有两个相等的实数根。3.再看方程\(x^22x+2=0\)，同样用配方法求解：\[\begin{align*}x^22x+2&=0\\x^22x+1+1&=0\\(x1)^2&=1\end{align*}\]因为任何实数的平方都不可能是负数，所以此方程无实数根。4.引导学生观察这两个方程的求解过程及结果，思考：方程根的情况与什么有关？从而引出本节课的主题一元二次方程的根的判别式。（二）探究新知1.根的判别式的概念对于一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)（\(a≠0\)），其根的判别式\(\Delta=b^24ac\)。强调判别式是由方程的系数\(a\)、\(b\)、\(c\)组成的一个代数式，它的值决定了方程根的情况。2.根的判别式与根的情况的关系让学生分组讨论刚才求解的两个方程，结合判别式分析根的情况：对于方程\(x^22x+1=0\)，其中\(a=1\)，\(b=2\)，\(c=1\)，则\(\Delta=(2)^24×1×1=44=0\)，方程有两个相等的实数根。对于方程\(x^22x+2=0\)，\(a=1\)，\(b=2\)，\(c=2\)，\(\Delta=(2)^24×1×2=48=4＜0\)，方程无实数根。教师总结并板书：当\(\Delta＞0\)时，一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)（\(a≠0\)）有两个不相等的实数根。当\(\Delta=0\)时，一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)（\(a≠0\)）有两个相等的实数根。当\(\Delta＜0\)时，一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)（\(a≠0\)）没有实数根。3.实例分析例1：判断下列一元二次方程根的情况\(2x^23x1=0\)\(x^22x+3=0\)\(4x^24x+1=0\)分析：对于方程\(2x^23x1=0\)，\(a=2\)，\(b=3\)，\(c=1\)，则\(\Delta=(3)^24×2×(1)=9+8=17＞0\)，所以方程有两个不相等的实数根。对于方程\(x^22x+3=0\)，\(a=1\)，\(b=2\)，\(c=3\)，\(\Delta=(2)^24×1×3=412=8＜0\)，所以方程没有实数根。对于方程\(4x^24x+1=0\)，\(a=4\)，\(b=4\)，\(c=1\)，\(\Delta=(4)^24×4×1=1616=0\)，所以方程有两个相等的实数根。解：方程\(2x^23x1=0\)有两个不相等的实数根。方程\(x^22x+3=0\)没有实数根。方程\(4x^24x+1=0\)有两个相等的实数根。总结解题步骤：先确定方程中\(a\)、\(b\)、\(c\)的值，再计算判别式\(\Delta\)的值，最后根据\(\Delta\)的值判断方程根的情况。（三）课堂练习1.课本练习题判断下列方程根的情况：\(x^2+3x+2=0\)\(x^26x+9=0\)\(5x^23x+1=0\)已知关于\(x\)的一元二次方程\(kx^22x1=0\)有两个不相等的实数根，求\(k\)的取值范围。2.拓展练习若关于\(x\)的方程\((m1)x^2+2mx+m+1=0\)有实数根，求\(m\)的取值范围。已知方程\(x^2+bx+c=0\)的两个根为\(x_1=1\)，\(x_2=2\)，求\(b\)和\(c\)的值。（四）课堂小结1.引导学生回顾本节课所学内容：一元二次方程根的判别式的概念：\(\Delta=b^24ac\)。根的判别式与根的情况的关系：\(\Delta＞0\)，方程有两个不相等的实数根。\(\Delta=0\)，方程有两个相等的实数根。\(\Delta＜0\)，方程没有实数根。运用判别式判断方程根的情况的步骤：确定\(a\)、\(b\)、\(c\)的值，计算\(\Delta\)的值，根据\(\Delta\)的值判断根的情况。2.强调根的判别式在一元二次方程中的重要性，它是解决许多与一元二次方程根的情况相关问题的关键工具。（五）布置作业1.书面作业课本习题第[X]题已知关于\(x\)的一元二次方程\(x^22x+k1=0\)，当\(k\)取何值时，方程有两个不相等的实数根？当\(k\)取何值时，方程有两个相等的实数根？当\(k\)取何值时，方程没有实数根？2.拓展作业若方程\(x^2+(2k1)x+k^2=0\)有两个实数根，求\(k\)的取值范围。已知方程\(x^23x+m=0\)的一个根是\(1\)，求方程的另一个根及\(m\)的值。五、教学反思在本节课的教学中，通过回顾旧知识引入新课，让学生经历探索根的判别式的过程，较好地培养了学生的探究能力和逻辑推理能力。在讲解根的判别式与根的情况的关系时，结合具体实例进行分析，使学生易于理解和掌握。课堂练习的