奥数-一年级-教案-第十二讲-巧填数阵图-教师

奥数-一年级-教案-第十二讲-巧填数阵图-教师一、教学目标1.让学生了解数阵图的基本概念和特点，认识常见的数阵图形式。2.学生能够掌握巧填数阵图的一般方法和步骤，学会运用简单的数学推理和计算来填写数阵图。3.通过练习和实践，培养学生的逻辑思维能力、观察能力和分析问题、解决问题的能力，激发学生对数学的兴趣。二、教学重难点1.教学重点理解数阵图中数字之间的关系和规律。掌握根据已知条件确定关键位置数字的方法。学会运用尝试、调整等策略来完成数阵图的填写。2.教学难点如何引导学生找到数阵图中隐藏的数量关系，特别是对于复杂数阵图的分析和突破。培养学生在填写数阵图过程中的有序思考和全面分析问题的能力，避免遗漏和重复。三、教学方法1.讲授法：讲解数阵图的基本概念、填数方法和解题思路，让学生系统地学习知识。2.演示法：通过在黑板上演示数阵图的填写过程，直观地展示解题步骤和方法，帮助学生理解。3.讨论法：组织学生进行小组讨论，鼓励学生交流想法和思路，共同探讨数阵图的填法，培养学生的合作学习能力和思维碰撞。4.练习法：安排适量的练习题让学生巩固所学知识，提高解题能力，在练习中发现问题及时纠正。四、教学过程（一）导入（5分钟）1.同学们，今天老师要带大家去探索一个神秘的数学世界，那里有许多有趣的图形和数字等着我们去发现。看，老师这里有一个特别的图形（在黑板上画出一个简单的数阵图框架，如一个三角形，每个顶点和每条边上各有一个圆圈）。2.在这个图形的每个圆圈里都要填上一个数字，而且这些数字要满足一定的条件哦。大家想不想知道是什么条件呀？这就是我们今天要学习的内容巧填数阵图。（二）新授（25分钟）1.认识数阵图（5分钟）数阵图是一种将一些数字按照一定的规则排列在特定图形中的数学谜题。这些图形可以是三角形、正方形、圆形等等。数阵图的特点是：图形中每条线上的数字之和或者某些区域内的数字之和是相等的。例如，我们刚才看到的三角形数阵图，可能要求每条边上的三个数字之和都相等。2.例题讲解（20分钟）例1：在下图的圆圈里填上合适的数，使每条线上的三个数之和都等于12。（黑板上画出题目中的数阵图：一个三角形，三个顶点和三条边上各有一个圆圈，三角形三个顶点处的圆圈分别标为A、B、C，三条边中点处的圆圈分别标为D、E、F）首先，我们来分析一下这个数阵图。已知每条线上的三个数之和都等于12，那么三条线的数字总和就是\(12×3=36\)。但是，我们发现这样计算的话，三角形三个顶点处的数字A、B、C都被重复计算了一次。设三角形三个顶点处的数字分别为A、B、C，三条边中点处的数字分别为D、E、F。我们可以列出式子：\((A+D+B)+(B+E+C)+(C+F+A)=36\)，整理得到\(2×(A+B+C)+(D+E+F)=36\)。现在我们观察所给的数字，如果我们先假设A=2，B=5，C=3（这里的假设可以根据所给数字的特点和学生的认知水平进行调整）。那么\(2×(2+5+3)+(D+E+F)=36\)，即\(2×10+(D+E+F)=36\)，所以\(D+E+F=3620=16\)。在所给数字中，我们可以尝试找到合适的组合使得D+E+F=16，比如D=4，E=6，F=6（这里的组合不唯一，需要引导学生尝试不同的数字组合）。最后，我们把找到的数字填入数阵图中进行验证：2+4+6=12，5+6+1=12，3+4+5=12，符合题目要求。总结方法：先确定数阵图中重复计算的部分（一般是图形的顶点或中心位置）。计算出所有数字的总和以及重复部分多计算的次数。根据已知条件求出重复部分的数字和，再通过尝试、调整等方法确定其他位置的数字。（三）课堂练习（20分钟）1.在下图的圆圈里填上合适的数，使每条线上的三个数之和都等于15。（黑板上画出题目中的数阵图：一个三角形，三个顶点和三条边上各有一个圆圈，所给数字为1、2、3、4、5、6）学生独立思考并尝试填写，老师巡视指导，及时发现学生存在的问题并给予帮助。老师请一位同学上台讲解他的解题思路和答案。答案：假设三角形三个顶点处的数字分别为A、B、C，三条边中点处的数字分别为D、E、F。三条线的数字总和为\(15×3=45\)。设三个顶点数字之和为\(x\)，则\(2x+(D+E+F)=45\)。通过尝试，若\(A=1\)，\(B=5\)，\(C=6\)，则\(x=1+5+6=12\)，那么\(D+E+F=452×12=21\)，可以找到\(D=2\)，\(E=4\)，\(F=3\)。即1+2+12=15，5+4+6=15，6+3+6=15（这里最后一个式子中6重复使用，是因为数阵图的特殊性，在这种情况下是合理的）。2.在下面的正方形数阵图中，每个空格都填入一个数字，使横行、竖列上的三个数字之和都等于9。（黑板上画出题目中的数阵图：一个正方形，四条边上各有三个圆圈，所给数字为1、2、3）学生继续独立完成，老师强调要注意横行和竖列的数字关系。老师对学生的答案进行点评和讲解，进一步巩固解题方法。答案：设正方形四个顶点处的数字分别为A、B、C、D，四条边中点处的数字分别为E、F、G、H。横行和竖列的数字总和为\(9×4=36\)。由于四个顶点处的数字被重复计算了一次，设四个顶点数字之和为\(x\)，则\(3x+(E+F+G+H)=36\)。通过尝试，若\(A=1\)，\(B=2\)，\(C=3\)，\(D=1\)（这里顶点数字可以有多种组合），则\(x=1+2+3+1=7\)，那么\(E+F+G+H=363×7=15\)，可以找到\(E=3\)，\(F=2\)，\(G=3\)，\(H=7\)（这里数字7是假设的，只要满足总和为15且符合数阵图规则即可）。即1+3+5=9，2+3+4=9，3+2+4=9，1+3+5=9（这里最后一个式子与第一个式子形式相同，是因为数阵图的对称性）。（四）拓展延伸（15分钟）1.例2：将1、2、3、4、5、6、7这七个数字填入下图的圆圈中，使每条直线上的三个数之和都等于12。（黑板上画出题目中的数阵图：一个类似雪花形状的图形，中心一个圆圈，周围六个圆圈通过六条直线相连）首先分析，这个数阵图中中心的圆圈是关键位置，因为它被多条直线共用。设中心圆圈的数字为\(x\)，那么除中心圆圈外，每条直线上另外两个圆圈的数字之和为\(12x\)。从17这七个数字中，我们要找出合适的组合。先尝试\(x=1\)，那么\(121=11\)，在剩下的数字27中，找不到两个数字之和等于11的组合。再尝试\(x=2\)，\(122=10\)，同样找不到合适的组合。当\(x=3\)时，\(123=9\)，可以找到\(2+7=9\)，\(4+5=9\)。然后把剩下的数字1、6分别填入剩下的两个位置，经过验证，符合每条直线上三个数之和都等于12的条件。即中心填3，与3在一条直线上的分别填2和7，4和5，1和6。2.总结拓展题型的解题思路：对于更复杂的数阵图，要抓住关键位置（如中心、顶点等），设未知数来表示相关的数字和。通过分析数字组合和条件限制，逐步尝试确定关键位置的数字，再根据关键位置的数字去确定其他位置的数字。（五）课堂小结（5分钟）1.引导学生回顾本节课所学内容：今天我们学习了巧填数阵图，知道了数阵图是一种有趣的数学谜题，它有特定的规则，比如每条线上的数字之和相等。我们学会了通过分析数阵图中重复计算的部分，利用已知条件和数字总和的关系来确定关键位置的数字，再通过尝试、调整找到其他位置的数字。2.强调解题的关键要点：一定要仔细观察数阵图的特点，找到重复计算的部分。在尝试数字组合时要有条理，按照一定的顺序进行，避免遗漏和重复。3.鼓励学生在课后继续探索数阵图的奥秘，多做一些相关的练习题，提高自己的逻辑思维能力和解决问题的能力。五、教学反思通过本节课的教学，学生对数阵图有了初步的认识和理解，大部分学生能够掌握基本的填数方法和解题思路。在教学过程中，采用多种教学方法相结合，如讲授、演示、讨论和练习，让学生积极参与到课堂中来，取得了较好的教学效果。在导入环节，通过展示一个简单的数阵图框架，激发了学生的好奇心和学习兴趣，为后续的教学奠定了良好的基础。在新授部分，通过详细讲解例题，引导学生逐步分析数阵图中数字之间的关系，总结出解题方法，学生能够较好地理解和掌握。课堂练习环节，学生积极思考，认真完成练习题，通过练习进一步巩固了所学知识，同时也暴露出一些问题，比如部分学生在寻找数字组合时不够灵活，花费时间较多，这在今后的教学中需要加强针对性的训练。拓展延伸部分，通过引入更复杂的数阵图，培养了学生的综合运用能力和创新思维能力，但部分学生在理解和解决这类问题时存在一定困难，需要在今后的教学中给予更多的指导和练习。课堂小结环节，帮助学生梳理了本节课的重点知识和解题要点，强化了学生的记忆。总体来说，本节课教学目标明确，教学方法得当，但在教学过程中还需要更加关注学生的个体差异，根据学生的实际情况调整教学进度和方法，让每个学生都能在数学学习中有所收获。六、课后作业1.在下图的圆圈里填上合适的数，使每条线上的三个数之和都等于18。（画出一个三角形数阵图，三个顶点和三条边上各有一个圆圈，所给数字为3、4、5、6、7、8）2.将2、3、4、5、6、7、8这七个数字填入下图的圆圈中，使每条直线上的三个数之和都等于15。（画出一个类似雪花形状的图形，中心一个圆圈，周围六个圆圈通过六条直线相连）3.思考：如果将19这九个数字填入一个九宫格数阵图中，使每行、每列、每条对角线上的三个数字之和都相等，应该怎么填？（提示：可以先确定中间位置的数字，再根据数字之和的关系逐步确定其他位置的数字）七、附录（相关数阵图资料及拓展）1.数阵图的历史渊源数阵图在中国古代就有相关的记载，它是一种古老而有趣的数学游戏和谜题形式。古人通过研究数阵图，不仅锻炼了逻辑思维能力，还发现了许多数学规律和奥秘。例如，河图洛书就是一种特殊的数阵图，它蕴含着丰富的数学知识和文化内涵。河图上，排列成数阵的黑点和白点，蕴藏着无穷的奥秘；洛书上的图案正好对应着从1到9九个数字，并且无论是纵向、横向、斜向、三条线上的三个数字其和皆等于15，当时人们并不知道，这就是现代数学中的三阶幻方，他们把这个神秘的数字排列称为九宫图。2.数阵图的变化形式除了常见的三角形、正方形、雪花形等数阵图形式外，还有圆形数阵图、多边形数阵图等多种变化形式。例如，圆形数阵图是将数字围绕一个圆心排列，要求各圆周上的数字之和相等；多边形数阵图则是根据多边形的边数，在各顶点和边上的位置填数，使每条边上的数字之和满足特定条件。这些变化形式增加了数阵图的趣味性和挑战性，也为学生提供了更广阔的探索空间。3.数阵图在数学竞赛中的应用在各类数学