《备考指南一轮 数学》课件-第9章 第8讲 第1课时

第九章第8讲第1课时[A级基础达标]1．如图所示，点O为坐标原点，直线l经过抛物线C：y2＝4x的焦点F，设点A是直线l与抛物线C在第一象限的交点．以点F为圆心，|FA|为半径的圆与x轴负半轴的交点为点B，与抛物线C在第四象限的交点为点C．(1)若点O到直线l的距离为eq\f(\r(3),2)，求直线l的方程；(2)求证：直线AB与抛物线C相切．【解析】(1)由题易知，抛物线C的焦点为F(1,0)，当直线l的斜率不存在时，即x＝1，不符合题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.所以eq\f(|－k|,\r(1＋k2))＝eq\f(\r(3),2)，解得k＝±eq\r(3).即直线l的方程为y＝±eq\r(3)(x－1)．(2)证明：设A(x0，y0)，则yeq\o\al(2,0)＝4x0.因为|BF|＝|AF|＝x0＋1，所以B(－x0,0)．所以直线AB的方程为y＝eq\f(y0,2x0)(x＋x0)，整理，得x＝eq\f(2x0y,y0)－x0，把上式代入y2＝4x，得y0y2－8x0y＋4x0y0＝0，因为Δ＝64xeq\o\al(2,0)－16x0yeq\o\al(2,0)＝64xeq\o\al(2,0)－64xeq\o\al(2,0)＝0，所以直线AB与抛物线C相切．2．(2020年乌鲁木齐一模)已知椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－1,0)，其四个顶点围成的四边形面积为2eq\r(6).(1)求椭圆E的方程；(2)过点F的直线l与椭圆E交于A，B两点，设点M为AB的中点，C，D两点为椭圆E上关于原点O对称的两点，且eq\o(CO,\s\up6(→))＝λeq\o(OM,\s\up6(→))(λ＞0)，求四边形ACBD的面积的取值范围．【解析】(1)根据题意得2ab＝2eq\r(6)，所以a2b2＝6.又c2＝1＝a2－b2，所以a2＝3，b2＝2.所以E的方程为eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.(2)①当直线l的斜率为0时，点M与O重合，不满足eq\o(CO,\s\up6(→))＝λeq\o(OM,\s\up6(→))(λ＞0)，故斜率不为0.②当直线斜率不为0时，设直线AB的方程为x＝my－1.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,3)＋\f(y2,2)＝1，,x＝my－1，))得(2m2＋3)y2－4my－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝eq\f(4m,2m2＋3)，y1y2＝eq\f(－4,2m2＋3).所以AB＝eq\r(1＋m2)·eq\r(y1＋y22－4y1y2)＝eq\f(4\r(3)1＋m2,2m2＋3).x1＋x2＝m(y1＋y2)－2＝eq\f(4m2,2m2＋3)－2＝eq\f(－6,2m2＋3).所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－3,2m2＋3)，\f(2m,2m2＋3))).因为eq\o(CO,\s\up6(→))＝λeq\o(OM,\s\up6(→))，所以Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3λ,2m2＋3)，\f(－2λm,2m2＋3))).又因为C在曲线E上，所以eq\f(\f(9λ2,2m2＋32),3)＋eq\f(\f(4λ2m2,2m2＋32),2)＝1，整理得λ2＝2m2＋3.因为点O到直线AB的距离d＝eq\f(1,\r(1＋m2)).设四边形ACBD面积为S，△ABO的面积为S1，则S1＝eq\f(1,2)AB·d＝2eq\r(3)·eq\f(\r(1＋m2),2m2＋3).所以S＝S△ABC＋S△ABD＝(λ＋1)S1＋(λ－1)S1＝2λS1＝4eq\r(3)λ·eq\f(\r(1＋m2),2m2＋3).将λ2＝2m2＋3代入，得S＝4eq\r(3)·eq\r(\f(1＋m2,2m2＋3))＝4eq\r(3)·eq\r(\f(1,2＋\f(1,m2＋1))).当m＝0时，S取最小值4.所以4≤S＜2eq\r(6)，即四边形ACBD面积的取值范围为[4,2eq\r(6))．[B级能力提升]3．(2020年沙坪坝区校级模拟)已知点A(－eq\r(m)，0)，B(eq\r(m)，0)是坐标轴上的两点，动点P满足直线PA与PB的斜率之积为－eq\f(3,m)(其中m为常数，且m＞3)．记P的轨迹为曲线C．(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；(2)过点A斜率为k(k＞0)的直线与曲线C交于点M，点N在曲线C上，且AM⊥AN，若3|AM|＝|AN|，求k的取值范围．【解析】(1)设点P(x，y)，可得kPA＝eq\f(y,x＋\r(m))，kPB＝eq\f(y,x－\r(m)).由kPAkPB＝eq\f(y2,x2－m)＝－eq\f(3,m)，整理得，eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,3)＝1.因为直线PA与PB的斜率存在，故y≠0，eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,3)＝1(m＞3)为所求轨迹方程．因为y≠0，所以曲线C表示去掉左右顶点，焦点在x轴上的椭圆．(2)直线AM的方程为y＝k(x＋eq\r(m))，代入eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,3)＝1，得(3＋mk2)x2＋2meq\r(m)k2x＋m2k2－3m＝0，解得x＝－eq\r(m)或x＝－eq\f(m\r(m)k2－3\r(m),3＋mk2).|AM|＝eq\r(1＋k2)·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(m\r(m)k2－3\r(m),3＋mk2)＋\r(m)))＝eq\r(1＋k2)·eq\f(6\r(m),3＋mk2).AN的方程为y＝k′(x＋eq\r(m))，同理可得|AN|＝eq\r(1＋k′2)·eq\f(6\r(m),3＋mk′2).把k′＝－eq\f(1,k)代入，得|AN|＝eq\f(\r(1＋k2),|k|)·eq\f(6\r(m),3＋\f(m,k2))＝eq\f(\r(1＋k2),|k|)·eq\f(6\r(m)k2,3k2＋m).因为3|AM|＝|AN|，所以3eq\r(1＋k2)·eq\f(6\r(m),3＋mk2)＝eq\f(\r(1＋k2),|k|)·eq\f(6\r(m)k2,3k2＋m).又k＞0，得m＝eq\f(9k2－3k,k3－3).而m＞3，所以eq\f(9k2－3k,k3－3)＞3，整理得，eq\f(kk2＋1－3k2＋1,k3－3)＜0，即(k2＋1)(k－3)(k3－3)＜0.由k2＋1＞0，得(k－3)(k3－3)＜0，即(k－3)(k－eq\r(3,3))(k2＋eq\r(3,3)k＋eq\r(3,32))＜0.所以k2＋eq\r(3,3)k＋eq\r(3,32)＞0，得(k－3)(k3－eq\r(3,3))＜0，解得eq\r(3,3)＜k＜3.4．(2020年武昌区校级模拟)设Q是圆E：(x＋1)2＋y2＝16上的一动点，点A(m，n)在直线y＝x－1上，线段AQ的垂直平分线交直线EQ于点P.(1)若点P的轨迹为椭圆，求m的取值范围；(2)设m＝1时对应的椭圆为C1，点B为椭圆的右顶点，直线l与椭圆C1交于M、N两点，若eq\o(BM,\s\up6(→))⊥eq\o(BN,\s\up6(→))，求△OMN的面积的最大值．【解析】(1)圆E：(x＋1)2＋y2＝16的圆心E(－1,0)，半径r＝4.若P的轨迹为椭圆，则A必在圆内，此时AQ的垂直平分线交线段EQ于点P，|PA|＋|PE|＝|PQ|＋|PE|＝|EQ|＝r＝4＞|AE|，所以(m＋1)2＋n2＜16.因为A(m，n)在直线y＝x－1上，所以n＝m－1，所以(m＋1)2＋(m－1)2＜16，则－eq\r(7)＜m＜eq\r(7).(2)当m＝1时，A为(1,0)，此时|PA|＋|PE|＝4＞2＝|AE|，所以P的轨迹为以A，E为焦点的椭圆，其中a＝2，c＝1，b＝eq\r(3)，所以椭圆C1的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.因为B为右顶点，所以B为(2,0)．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为x＝ty＋s.由eq\o(BM,\s\up6(→))⊥eq\o(BN,\s\up6(→))，得eq\o(BM,\s\up6(→))·eq\o(BN,\s\up6(→))＝0，即(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0…①因为M，N在直线x＝ty＋s上，所以由①得(1＋t2)y1y2＋t(s－2)(y1＋y2)＋(s－2)2＝0…②由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ty＋s，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1))得(3t2＋4)y2＋6tsy＋3s2－12＝0.所以y1＋y2＝eq\f(－6ts,3t2＋4)，y1y2＝eq\f(3s2－12,3t2＋4).代入②，得7s2－16s＋4＝0，解得s＝2或s＝eq\f(2,7).当s＝2时，B，M或B，N重合，与eq\o(BM,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))为非零向量矛盾，舍去．所以s＝eq\f(2,7)，直线MN为x＝ty＋eq\f(2,7)，过定点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,7)，0))，此时S△OMN＝eq\f(1,2)×eq\f(2,7)·|y1－y2|＝eq\f(1,7)eq\r(y1＋y22－4y1y2)＝eq\f(4\r(3),7)eq\r(\f(3t2－s2＋4,3t2＋42))＝eq\f(4\r(3),7)e